Sinus, Kosinus und Tangens: Definition im rechtwinkligen Dreieck

Darum geht's

Du stehst vor einem hohen Gebäude und fragst dich: Wie hoch ist das wohl? Du hast kein Messband, das bis zur Spitze reicht. Aber du kannst den Abstand zum Gebäude messen und den Winkel, unter dem du nach oben schaust. Mit diesen zwei Informationen kannst du die Höhe berechnen – ganz ohne hinaufzuklettern.

Genau das ist die Magie der Trigonometrie. Sie verbindet Winkel und Seitenlängen in Dreiecken miteinander. Architekten, Ingenieure, Vermessungstechniker und sogar Spieleentwickler nutzen diese Zusammenhänge täglich. In dieser Lektion lernst du die drei wichtigsten trigonometrischen Funktionen kennen: Sinus, Kosinus und Tangens. Nach diesem Kapitel wirst du verstehen, wie Winkel und Seiten zusammenhängen – und wie du fehlende Grössen berechnen kannst.

Das rechtwinklige Dreieck als Grundlage

Bevor wir in die Trigonometrie eintauchen, müssen wir das rechtwinklige Dreieck genau verstehen. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von genau $90°$. Dieser rechte Winkel ist unser Ausgangspunkt für alles Weitere.

Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heisst Hypotenuse. Sie liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Die beiden anderen Seiten nennen wir Katheten. Doch welche Kathete ist welche? Das hängt davon ab, aus welchem Blickwinkel wir schauen.

Nehmen wir einen der beiden spitzen Winkel – nennen wir ihn $\alpha$. Von diesem Winkel aus betrachtet gibt es:

• Die Ankathete: Das ist die Kathete, die direkt an $\alpha$ anliegt (also den Winkel “berührt”). Achtung: Die Hypotenuse liegt zwar auch am Winkel an, ist aber nie Ankathete.
• Die Gegenkathete: Das ist die Kathete, die $\alpha$ gegenüberliegt.

Diese Benennung ist entscheidend. Wenn du den Blickwinkel wechselst, wechseln auch Ankathete und Gegenkathete ihre Rollen. Die Hypotenuse bleibt aber immer die Hypotenuse.

In der üblichen Beschriftung liegt der rechte Winkel bei $C$, also ist $c$ die Hypotenuse. Für den Winkel $\alpha$ bei $A$ ist $a$ die Gegenkathete und $b$ die Ankathete. Für den Winkel $\beta$ bei $B$ ist es genau umgekehrt: $b$ ist die Gegenkathete, $a$ die Ankathete.

Die drei trigonometrischen Funktionen

Jetzt kommt der Kern der Trigonometrie. Sinus, Kosinus und Tangens sind Verhältnisse zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie hängen vom betrachteten Winkel ab.

Sinus – Das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse

Der Sinus eines Winkels $\alpha$ gibt das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse an:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Kosinus – Das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse

Der Kosinus eines Winkels $\alpha$ beschreibt das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Tangens – Das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete

Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Definition

Im rechtwinkligen Dreieck gelten für jeden spitzen Winkel $\alpha$ die Beziehungen:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Diese Verhältnisse hängen nur vom Winkel ab – egal wie gross das Dreieck ist.

Warum hängen die Verhältnisse nur vom Winkel ab?

Nimm zwei rechtwinklige Dreiecke, die denselben spitzen Winkel $\alpha$ haben. Dann stimmen sie in allen drei Winkeln überein: $90°$, $\alpha$ und $90° - \alpha$. Zwei Dreiecke mit gleichen Winkeln sind ähnlich. Das grössere ist also eine vergrösserte Kopie des kleineren: Alle Seiten sind mit demselben Faktor $k$ gestreckt.

Bildest du ein Seitenverhältnis, kürzt sich dieser Faktor heraus:

$\frac{k \cdot \text{Gegenkathete}}{k \cdot \text{Hypotenuse}} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Ein Beispiel: Ein Dreieck hat die Katheten $5 \, \text{cm}$ und $12 \, \text{cm}$ und die Hypotenuse $13 \, \text{cm}$. Ein zweites Dreieck ist doppelt so gross: $10 \, \text{cm}$, $24 \, \text{cm}$ und $26 \, \text{cm}$. Für den Winkel gegenüber der kürzeren Kathete gilt in beiden Dreiecken

$\sin(\alpha) = \frac{5}{13} = \frac{10}{26} \approx 0{,}385$

Deshalb kann der Taschenrechner zu jedem Winkel einen festen Wert für Sinus, Kosinus und Tangens liefern – er muss die Grösse deines Dreiecks gar nicht kennen.

Sinus und Kosinus liegen zwischen 0 und 1

Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Beim Sinus und beim Kosinus steht sie im Nenner, im Zähler steht eine kürzere Kathete. Darum ist das Verhältnis immer kleiner als 1 – und grösser als 0, weil Seitenlängen positiv sind. Für jeden spitzen Winkel $\alpha$ gilt:

$0 < \sin(\alpha) < 1 \qquad \text{und} \qquad 0 < \cos(\alpha) < 1$

Beim Tangens stehen zwei Katheten im Bruch. Er kann deshalb jede positive Zahl sein: Für Winkel unter $45°$ ist er kleiner als 1, bei $45°$ genau 1 und für Winkel über $45°$ grösser als 1.

Die Eselsbrücke: SOHCAHTOA

Um dir die Formeln zu merken, gibt es eine bewährte Eselsbrücke: SOHCAHTOA. Sprich es aus wie ein Fantasiewort: “So-ka-to-a”.

• SOH: Sinus = Opposite (Gegenkathete) / Hypotenuse
• CAH: Cosinus = Adjacent (Ankathete) / Hypotenuse
• TOA: Tangens = Opposite (Gegenkathete) / Adjacent (Ankathete)

Eine deutsche Alternative lautet: “GAGA HühnerHof AG”. Die Anfangsbuchstaben von “GAGA” sind die Zähler, die Anfangsbuchstaben von “HühnerHof AG” (H, H, A, G) die Nenner. Liest du sie paarweise von oben nach unten, erhältst du:

	Sinus	Kosinus	Tangens
Zähler (“GAGA”)	Gegenkathete	Ankathete	Gegenkathete
Nenner (“HühnerHof AG”)	Hypotenuse	Hypotenuse	Ankathete

Also: $\sin(\alpha) = \text{Gegenkathete} : \text{Hypotenuse}$, $\cos(\alpha) = \text{Ankathete} : \text{Hypotenuse}$ und $\tan(\alpha) = \text{Gegenkathete} : \text{Ankathete}$. Das vierte Paar (Ankathete : Gegenkathete) gehört zum Kotangens, den du hier nicht brauchst.

Wähle die Eselsbrücke, die dir besser gefällt. Hauptsache, du kannst die Zuordnung sicher abrufen.

So gehst du bei Aufgaben vor

Hier ist deine Schritt-für-Schritt-Anleitung für trigonometrische Berechnungen:

1. Zeichne das Dreieck (falls nicht gegeben) und markiere den rechten Winkel.
2. Identifiziere den gegebenen oder gesuchten Winkel $\alpha$.
3. Benenne die Seiten aus Sicht dieses Winkels: Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse.
4. Wähle die passende Funktion: Überlege, welche zwei Seiten in der Aufgabe vorkommen (gegeben oder gesucht).
5. Stelle die Gleichung auf und löse nach der gesuchten Grösse auf.
6. Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner.

Welche Funktion wähle ich?

Das hängt davon ab, welche Seiten du kennst oder suchst:

Gegebene/gesuchte Seiten	Funktion
Gegenkathete und Hypotenuse	Sinus
Ankathete und Hypotenuse	Kosinus
Gegenkathete und Ankathete	Tangens

Wie du die Formeln nach jeder Seite auflöst und ein ganzes Dreieck berechnest, übst du in der Lektion Rechtwinkliges Dreieck berechnen: Seiten und Winkel.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Achtung

Fehler 1: Seiten falsch benennen Der häufigste Fehler ist die Verwechslung von Ankathete und Gegenkathete. Denke daran: Die Benennung hängt immer vom betrachteten Winkel ab. Zeichne dir den Winkel ein und frage: Welche Kathete liegt an ihm an? Das ist die Ankathete. Die andere ist die Gegenkathete.

Fehler 2: Taschenrechner im falschen Modus Dein Taschenrechner kann mit verschiedenen Winkelmassen rechnen: Grad (DEG), Radiant (RAD) und Gon (GRAD). In der Schule arbeitest du fast immer mit Grad. Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf DEG eingestellt ist.

Fehler 3: Sinus und Kosinus vertauschen Bei $\sin$ steht die Gegenkathete im Zähler, bei $\cos$ die Ankathete. Nutze konsequent deine Eselsbrücke, um Verwechslungen zu vermeiden.

Fehler 4: Umkehrfunktionen falsch anwenden Wenn du den Winkel suchst, brauchst du die Umkehrfunktionen: $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ oder $\tan^{-1}$ (auf dem Taschenrechner oft als “arcsin”, “arccos”, “arctan” bezeichnet). Vergiss nicht, diese zu verwenden, wenn du vom Seitenverhältnis zum Winkel kommen willst.

Fehler 5: Hypotenuse im Zähler Bei Sinus und Kosinus steht die Hypotenuse immer im Nenner. Weil sie die längste Seite ist, muss das Verhältnis kleiner als 1 sein. Erhältst du für einen Sinus oder Kosinus einen Wert über 1, hast du Zähler und Nenner vertauscht.

Beispiele

Beispiel 1: Eine Seite berechnen (Grundaufgabe)

Aufgabe: In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt der Winkel $\alpha = 35°$. Die Hypotenuse ist $c = 12 \, \text{cm}$ lang. Berechne die Länge der Gegenkathete $a$.

Lösung:

Schritt 1: Identifiziere die gegebenen Grössen.

• Winkel: $\alpha = 35°$
• Hypotenuse: $c = 12 \, \text{cm}$
• Gesucht: Gegenkathete $a$

Schritt 2: Wähle die passende Funktion. Gegenkathete und Hypotenuse – das ist Sinus.

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}$

Schritt 3: Setze ein und löse nach $a$ auf.

$\sin(35°) = \frac{a}{12}$

$a = 12 \cdot \sin(35°)$

Schritt 4: Berechne mit dem Taschenrechner.

$a = 12 \cdot 0{,}5736 \approx 6{,}88 \, \text{cm}$

Antwort: Die Gegenkathete ist etwa $6{,}88 \, \text{cm}$ lang.

Beispiel 2: Einen Winkel berechnen

Aufgabe: Eine Leiter lehnt an einer Wand. Die Leiter ist $5 \, \text{m}$ lang und ihr Fusspunkt steht $2 \, \text{m}$ von der Wand entfernt. Unter welchem Winkel $\alpha$ steht die Leiter zum Boden?

Lösung:

Schritt 1: Zeichne die Situation und identifiziere das Dreieck.

• Die Leiter ist die Hypotenuse: $c = 5 \, \text{m}$
• Der Abstand zur Wand ist die Ankathete (liegt am Winkel zum Boden an): $b = 2 \, \text{m}$
• Gesucht: Winkel $\alpha$ zwischen Leiter und Boden

Schritt 2: Wähle die passende Funktion. Ankathete und Hypotenuse – das ist Kosinus.

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}$

Schritt 3: Setze ein.

$\cos(\alpha) = \frac{2}{5} = 0{,}4$

Schritt 4: Wende die Umkehrfunktion an.

$\alpha = \cos^{-1}(0{,}4)$

Schritt 5: Berechne mit dem Taschenrechner.

$\alpha \approx 66{,}42°$

Antwort: Die Leiter steht unter einem Winkel von etwa $66{,}4°$ zum Boden.

Besondere Winkel und ihre Werte

Für $30°$, $45°$ und $60°$ kannst du Sinus, Kosinus und Tangens exakt angeben, zum Beispiel $\sin(30°) = \frac{1}{2}$ und $\tan(45°) = 1$. Woher diese Werte kommen und wie du sie dir dauerhaft merkst, lernst du in der Lektion Besondere Winkel: 30°, 45° und 60°.

Der Zusammenhang zwischen den Funktionen

Die drei trigonometrischen Funktionen sind nicht unabhängig voneinander. Es gibt wichtige Beziehungen:

Tangens als Quotient

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Dies folgt direkt aus den Definitionen:

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}{\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \tan(\alpha)$

Der trigonometrische Pythagoras

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$

Diese Beziehung folgt aus dem Satz des Pythagoras. Mit der üblichen Beschriftung ($c$ Hypotenuse, $a$ Gegenkathete, $b$ Ankathete von $\alpha$) gilt $a^2 + b^2 = c^2$ und damit:

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$

Sie ist nützlich, wenn du einen Wert kennst und den anderen berechnen willst. Ist zum Beispiel $\sin(\alpha) = 0{,}28$, dann ist

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - 0{,}28^2} = \sqrt{0{,}9216} = 0{,}96$

Die positive Wurzel ist richtig, weil der Kosinus eines spitzen Winkels positiv ist.

Sinus und Kosinus der beiden spitzen Winkel

Im rechtwinkligen Dreieck mit dem rechten Winkel bei $C$ ergänzen sich die beiden spitzen Winkel zu $90°$: $\alpha + \beta = 90°$. Die Seite $a$ ist Gegenkathete von $\alpha$, aber Ankathete von $\beta$. Mit $b$ ist es umgekehrt. Darum gilt:

$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \cos(\beta) \qquad \text{und} \qquad \cos(\alpha) = \frac{b}{c} = \sin(\beta)$

Der Sinus des einen spitzen Winkels ist also der Kosinus des anderen. Wegen $\beta = 90° - \alpha$ kannst du auch $\sin(\alpha) = \cos(90° - \alpha)$ schreiben. Zum Beispiel ist $\sin(30°) = \cos(60°) = 0{,}5$. Beim Tangens drehen sich Zähler und Nenner um: $\tan(\beta) = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tan(\alpha)}$.

Das Wichtigste in Kürze

• Sinus, Kosinus und Tangens sind Verhältnisse zwischen Seiten im rechtwinkligen Dreieck, abhängig vom betrachteten spitzen Winkel.
• Die Verhältnisse hängen nur vom Winkel ab: Rechtwinklige Dreiecke mit gleichem spitzem Winkel sind ähnlich, der Streckfaktor kürzt sich heraus.
• Die Eselsbrücken SOHCAHTOA und GAGA HühnerHof AG helfen dir, die Zuordnungen zu merken: Sinus = Gegenkathete : Hypotenuse, Kosinus = Ankathete : Hypotenuse, Tangens = Gegenkathete : Ankathete.
• Für spitze Winkel liegen Sinus und Kosinus zwischen 0 und 1, weil die Hypotenuse die längste Seite ist und im Nenner steht.
• Es gilt $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ und $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Für die beiden spitzen Winkel gilt $\sin(\alpha) = \cos(\beta)$.
• Seiten berechnen: Stelle die passende Gleichung auf und löse nach der gesuchten Seite auf.
• Winkel berechnen: Berechne das Seitenverhältnis und wende die Umkehrfunktion ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$) an.
• Achte immer darauf, die Seiten korrekt zu benennen – Ankathete und Gegenkathete wechseln je nach Betrachtungswinkel.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt der Winkel $\alpha = 40°$ und die Hypotenuse ist $c = 10 \, \text{cm}$. Wie lang ist die Ankathete $b$?

Lösung anzeigen

Ankathete und Hypotenuse – verwende Kosinus:

$\cos(40°) = \frac{b}{10}$

$b = 10 \cdot \cos(40°) = 10 \cdot 0{,}766 = 7{,}66 \, \text{cm}$

❓ Frage:Die Gegenkathete eines rechtwinkligen Dreiecks misst $6 \, \text{cm}$, die Ankathete $8 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Winkel $\alpha$?

Lösung anzeigen

Gegenkathete und Ankathete – verwende Tangens:

$\tan(\alpha) = \frac{6}{8} = 0{,}75$

$\alpha = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}87°$

Der Winkel beträgt etwa $36{,}9°$.

❓ Frage:In einem rechtwinkligen Dreieck (rechter Winkel bei $C$) ist $\sin(\alpha) = 0{,}6$. Bestimme ohne Taschenrechner $\cos(\alpha)$, $\tan(\alpha)$ und $\cos(\beta)$.

Lösung anzeigen

Mit dem trigonometrischen Pythagoras:

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - 0{,}6^2} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$

Mit dem Tangens als Quotient:

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75$

Der Sinus des einen spitzen Winkels ist der Kosinus des anderen:

$\cos(\beta) = \sin(\alpha) = 0{,}6$

❓ Frage:Mia rechnet in einem rechtwinkligen Dreieck mit Gegenkathete $4 \, \text{cm}$ und Hypotenuse $5 \, \text{cm}$ und erhält $\sin(\alpha) = 1{,}25$. Woran erkennst du sofort, dass das falsch ist, und was ist richtig?

Lösung anzeigen

Der Sinus eines spitzen Winkels ist immer kleiner als 1, weil die Hypotenuse als längste Seite im Nenner steht. Mia hat Zähler und Nenner vertauscht ($5 : 4 = 1{,}25$). Richtig ist:

$\sin(\alpha) = \frac{4}{5} = 0{,}8$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Mit Sinus, Kosinus und Tangens hast du die Grundlagen der Trigonometrie gemeistert. Als Nächstes setzt du sie ein, um rechtwinklige Dreiecke vollständig zu berechnen – mit Anwendungen von der Rampe bis zum Landeanflug. Doch das rechtwinklige Dreieck ist nur der Anfang.

Danach lernst du den Sinussatz und den Kosinussatz kennen. Diese ermöglichen es dir, auch in beliebigen Dreiecken – also solchen ohne rechten Winkel – Seiten und Winkel zu berechnen. Damit erschliesst sich dir eine noch grössere Welt geometrischer Probleme.

Später lernst du Sinus und Kosinus am Einheitskreis kennen. Dort sind sie nicht mehr nur für Winkel zwischen $0°$ und $90°$ definiert, sondern für alle Winkel – auch für stumpfe, negative und solche über $360°$. Dann werden Sinus und Kosinus zu Funktionen, die Schwingungen, Wellen und andere periodische Vorgänge beschreiben – von Musik über Elektrizität bis hin zur Astronomie.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport