Addition und Subtraktion

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Natürliche Zahlen & Grundrechenarten”
• Vertiefung: Schriftliches Addieren
• Vertiefung: Im Kopf addieren und subtrahieren
• Verwandt: Runden und Überschlagen

Darum geht's

Stell dir vor, du sammelst Fussballkarten. Heute bekommst du fünfzehn neue Karten von einem Freund, gestern hast du dreiundzwanzig getauscht. Wie viele sind dazugekommen? Oder umgekehrt: Du hattest fünfzig Karten und verschenkst achtzehn davon. Wie viele bleiben übrig? Solche Fragen begegnen dir täglich – beim Einkaufen, beim Sparen auf ein neues Velo oder beim Zählen der Zuschauer im Stadion. Immer geht es darum, Mengen zusammenzufügen oder etwas wegzunehmen. Genau das leisten Addition und Subtraktion, die beiden ältesten Rechenarten der Menschheit. In diesem Artikel lernst du die schriftlichen Verfahren mit Übertrag, die wichtigsten Fachbegriffe und clevere Tricks, mit denen du viele Aufgaben sogar im Kopf löst.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse) · 4Kompetenzen

• MA.1.A.1.fBegriffe Summand, Summe, Differenz, Faktor, Produkt, Quotient; natürliche Zahlen bis 1 Million lesen und schreiben
• MA.1.A.2.gDezimalzahlen in angemessenen Schritten zählen; Brüche mit Nennern 2–100 ordnen; Dezimalzahlen ordnen; Grundoperationen mit natürlichen Zahlen überschlagen
• MA.1.A.3.dRechenwege notieren und Ergebnisse überprüfen; schriftlich addieren/subtrahieren; kleines Einmaleins kennen
• MA.1.A.3.eBis 4 Wertziffern im Kopf addieren/subtrahieren; multiplizieren; natürliche Zahlen durch einstellige Divisoren dividieren

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die natürlichen Zahlen gehören zu den ältesten mathematischen Konzepten der Menschheit. Schon vor über 5000 Jahren nutzten die Sumerer in Mesopotamien Zahlsysteme zum Zählen von Waren. Sie ritzten Striche in Tontafeln, um Mengen festzuhalten. Die alten Ägypter entwickelten um 3000 vor Christus ein System mit Hieroglyphen für Zahlen. Sie konnten bereits addieren und subtrahieren – wichtig für den Bau der Pyramiden und die Landvermessung nach den Nilüberschwemmungen.

Gerechnet wurde jahrtausendelang nicht auf Papier, sondern mit Hilfsmitteln. Das bekannteste ist der Abakus, ein Rahmen mit verschiebbaren Kugeln. Römische Händler nutzten das Rechenbrett: Auf Linien für Einer, Zehner und Hunderter legten sie Rechensteine und schoben sie hin und her. Fünf Steine auf der Einerlinie wurden gegen einen Stein auf der Fünferposition getauscht – der Übertrag, den du beim schriftlichen Rechnen kennenlernst, wurde dort buchstäblich von Hand ausgeführt.

Den grossen Durchbruch brachten arabische Gelehrte im 9. Jahrhundert. Muhammad al-Chwarizmi verbreitete das indische Dezimalsystem mit den Ziffern 0 bis 9. Über Spanien gelangte es nach Europa, wo Leonardo Fibonacci es 1202 mit seinem Buch „Liber Abaci” populär machte. Mit Stellenwerten konnte man Zahlen erstmals direkt auf Papier untereinanderschreiben und Ziffer für Ziffer rechnen.

In Deutschland machte der Rechenmeister Adam Ries im 16. Jahrhundert die schriftlichen Verfahren volkstümlich. Seine Rechenbücher erklärten das Rechnen „auf den Linien” mit dem Rechenbrett und das neue Rechnen „mit der Feder” – also schriftlich, so wie du es heute lernst. Seine Bücher waren auf Deutsch statt auf Latein geschrieben und wurden über hundert Mal aufgelegt.

Gefahr

Mathe-Fact: Die Redewendung „Das macht nach Adam Riese …” gibt es wirklich – sie geht auf den Rechenmeister Adam Ries (1492–1559) zurück. Wer sich auf ihn berief, signalisierte: Diese Rechnung stimmt garantiert. Sein Bestseller „Rechenung auff der linihen und federn” wurde über 120-mal neu gedruckt.

Heute bilden die natürlichen Zahlen die Basis für alle weiteren Zahlenmengen. Addition und Subtraktion stecken in jeder Algebra-Aufgabe, in jeder Tabellenkalkulation und in jedem Computerchip – denn auch Computer addieren im Kern nur Stellen mit Übertrag, einfach im Zweiersystem statt im Zehnersystem.

Die Grundlagen

Natürliche Zahlen sind die Zahlen, mit denen wir zählen: $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ Sie haben keine Nachkommastellen und sind nie negativ. Die Addition fügt zwei oder mehr Mengen zu einer grösseren Menge zusammen; ihr Zeichen ist das Plus ($+$). Die Subtraktion entfernt einen Teil aus einer Menge; ihr Zeichen ist das Minus ($-$).

Für beide Rechenarten gibt es feste Fachbegriffe. Du brauchst sie, um über Rechnungen sprechen zu können – in Textaufgaben, im Unterricht und in jeder Prüfung.

Definition

Bei der Addition heissen die Zahlen, die du zusammenzählst, Summanden. Das Ergebnis heisst Summe:

$$\underbrace{7}_{\text{Summand}} + \underbrace{5}_{\text{Summand}} = \underbrace{12}_{\text{Summe}}$$

Bei der Subtraktion heisst die Zahl, von der du abziehst, Minuend. Die Zahl, die abgezogen wird, heisst Subtrahend. Das Ergebnis heisst Differenz:

$$\underbrace{15}_{\text{Minuend}} - \underbrace{8}_{\text{Subtrahend}} = \underbrace{7}_{\text{Differenz}}$$

Beide Rechenarten verhalten sich unterschiedlich, wenn du die Reihenfolge tauschst. Bei der Addition spielt sie keine Rolle: $3 + 5 = 5 + 3$. Diese Eigenschaft heisst Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz). Bei der Subtraktion ist die Reihenfolge dagegen entscheidend: $10 - 3 = 7$, aber $3 - 10$ ist im Bereich der natürlichen Zahlen gar nicht lösbar. Der Minuend muss immer grösser oder gleich dem Subtrahend sein.

Addition und Subtraktion sind ausserdem Umkehroperationen: Die eine macht die andere rückgängig. Wenn $15 - 8 = 7$ gilt, dann gilt auch $7 + 8 = 15$. Diesen Zusammenhang nutzt du für die Probe: Jede Subtraktion kontrollierst du, indem du Differenz und Subtrahend addierst. Kommt der Minuend heraus, stimmt deine Rechnung. Merke dir diesen Trick – er taucht in diesem Artikel immer wieder auf.

Die Kernmethode

Kleine Zahlen addierst und subtrahierst du im Kopf. Bei grösseren Zahlen nutzt du die schriftlichen Verfahren. Sie funktionieren für beliebig grosse Zahlen, weil sie das Dezimalsystem ausnutzen: Du rechnest nie mit der ganzen Zahl, sondern immer nur Stelle für Stelle – Einer mit Einern, Zehner mit Zehnern.

Definition

Schriftlich addieren: Schreibe die Summanden stellengerecht untereinander (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner). Addiere von rechts nach links jede Spalte. Ist eine Spaltensumme grösser als 9, schreibst du nur die Einerziffer hin und nimmst eine 1 als Übertrag in die nächste Spalte mit.

Schriftlich subtrahieren: Schreibe den Minuend oben, den Subtrahend stellengerecht darunter. Ziehe von rechts nach links in jeder Spalte die untere Ziffer von der oberen ab. Ist die obere Ziffer zu klein, leihst du dir einen Zehner von der nächsthöheren Stelle: Die obere Ziffer wird um 10 grösser, die Ziffer der nächsten Stelle um 1 kleiner.

So gehst du Schritt für Schritt vor:

1. Stellengerecht untereinanderschreiben – rechtsbündig ausrichten, damit die Einer genau übereinanderstehen.
2. Rechts bei den Einern beginnen und Spalte für Spalte nach links arbeiten.
3. Überträge sofort notieren – klein über die nächste Spalte geschrieben, gehen sie nicht vergessen.
4. Beim Leihen die Nachbarstelle anpassen – die geliehene 1 muss bei der nächsten Stelle abgezogen werden.
5. Mit der Probe kontrollieren – jede Subtraktion durch Addition prüfen, jede Addition durch einen Überschlag.

Der Übertrag ist das Herzstück beider Verfahren. Er entsteht, weil jede Stelle im Dezimalsystem nur die Ziffern 0 bis 9 fassen kann. Werden es mehr, „wandert” ein Bündel von zehn in die nächste Stelle – genau wie auf dem Rechenbrett von Adam Ries, wo zehn Steine auf der Einerlinie gegen einen Stein auf der Zehnerlinie getauscht wurden.

Beispiel:

Beispiel 1: Einstieg – Schriftliche Addition mit Übertrag

Berechne die Summe von 247 und 135.

Gegeben: Die Summanden 247 und 135

Gesucht: Die Summe

Lösung:

Du schreibst die Zahlen stellengerecht untereinander und addierst von rechts nach links:

$$\begin{align*} &\phantom{+}\,2\,4\,7 \\ &+\,1\,3\,5 \\ &\overline{\phantom{+}\,3\,8\,2} \end{align*}$$

Einerstelle: $7 + 5 = 12$. Du schreibst die 2 und nimmst den Übertrag 1 mit.

Zehnerstelle: $4 + 3 = 7$, plus Übertrag 1 ergibt 8.

Hunderterstelle: $2 + 1 = 3$.

Antwort: Die Summe ist $247 + 135 = 382$.

Kontrolle: Überschlag: $250 + 140 = 390$. Das Ergebnis 382 liegt nahe daran. ✓

Beispiel:

Beispiel 2: Aufbauend – Schriftliche Subtraktion mit Leihen

Subtrahiere 68 von 145.

Gegeben: Minuend 145, Subtrahend 68

Gesucht: Die Differenz

Lösung:

$$\begin{align*} &\phantom{-}\,1\,4\,5 \\ &-\,\phantom{1}\,6\,8 \\ &\overline{\phantom{-}\,\phantom{1}\,7\,7} \end{align*}$$

Einerstelle: $5 - 8$ geht nicht. Du leihst einen Zehner: Aus 5 wird 15, aus den 4 Zehnern werden 3 Zehner. Nun: $15 - 8 = 7$.

Zehnerstelle: $3 - 6$ geht wieder nicht. Du leihst einen Hunderter: Aus 3 wird 13, aus dem 1 Hunderter werden 0 Hunderter. Nun: $13 - 6 = 7$.

Hunderterstelle: Es bleibt 0 – die Stelle entfällt.

Antwort: Die Differenz ist $145 - 68 = 77$.

Kontrolle: Probe durch Addition: $77 + 68 = 145$. Das ist der Minuend. ✓

Die häufigsten Stolpersteine

Beim schriftlichen Addieren und Subtrahieren passieren bestimmte Fehler immer wieder. Wenn du sie kennst, vermeidest du sie leichter.

Achtung

Stolperstein 1: Den Übertrag vergessen

Viele rechnen die Spaltensumme richtig, vergessen aber den Übertrag in der nächsten Spalte. Beispiel: $78 + 45$. Bei den Einern: $8 + 5 = 13$, du schreibst die 3. Bei den Zehnern musst du den Übertrag mitrechnen: $7 + 4 + 1 = 12$. Das Ergebnis ist 123, nicht 113. Tipp: Schreibe jeden Übertrag sofort klein über die nächste Spalte – verlasse dich nicht auf dein Gedächtnis.

Achtung

Stolperstein 2: Stellen nicht genau untereinander

Bei Zahlen mit unterschiedlich vielen Stellen rutscht die kürzere Zahl leicht an die falsche Position. Wer bei $234 + 67$ die 6 unter die 2 schreibt, rechnet plötzlich $234 + 670$ und erhält 904 statt 301. Tipp: Richte die Zahlen immer rechtsbündig aus, sodass Einer unter Einern stehen. Bei kariertem Papier hilft: eine Ziffer pro Häuschen.

Achtung

Stolperstein 3: Minuend und Subtrahend vertauschen

Bei der Subtraktion darfst du die Reihenfolge nicht tauschen. Wer bei $52 - 38$ in der Einerspalte bequem „$8 - 2 = 6$” statt korrekt „$12 - 8$” rechnet, vertauscht heimlich Minuend und Subtrahend – und erhält 26 statt 14. Auch in Textaufgaben gilt: Bei „Ziehe 38 von 52 ab” ist 52 der Minuend und steht oben. Tipp: Kontrolliere mit der Probe $14 + 38 = 52$. ✓

Achtung

Stolperstein 4: Leihen über die Null hinweg

Bei $302 - 158$ musst du an der Einerstelle leihen – aber die Zehnerstelle ist 0, und von 0 kannst du nichts leihen. Du leihst deshalb zuerst vom Hunderter an den Zehner, dann vom Zehner an den Einer. Aus 302 wird gedanklich „2 Hunderter, 9 Zehner, 12 Einer”. Dann: $12 - 8 = 4$, $\;9 - 5 = 4$, $\;2 - 1 = 1$. Ergebnis: 144. Tipp: Arbeite das Leihen Stelle für Stelle sauber ab, ohne eine zu überspringen.

Beispiel:

Beispiel 3: Komplex – Subtraktion mit Null im Minuend

Berechne $5038 - 2769$.

Gegeben: Minuend 5038, Subtrahend 2769

Gesucht: Die Differenz

Lösung:

Diese Aufgabe ist anspruchsvoll, weil der Minuend an der Hunderterstelle eine 0 hat.

$$\begin{align*} &\phantom{-}\,5\,0\,3\,8 \\ &-\,2\,7\,6\,9 \\ &\overline{\phantom{-}\,2\,2\,6\,9} \end{align*}$$

Einerstelle: $8 - 9$ geht nicht. Du leihst von der Zehnerstelle: Aus 8 wird 18, aus 3 wird 2. Nun: $18 - 9 = 9$.

Zehnerstelle: $2 - 6$ geht nicht, und die Hunderterstelle ist 0. Du leihst zuerst von der Tausenderstelle an die Hunderterstelle: Aus 5 wird 4, aus 0 wird 10. Jetzt leiht die Hunderterstelle weiter: Aus 10 wird 9, aus 2 wird 12. Nun: $12 - 6 = 6$.

Hunderterstelle: $9 - 7 = 2$.

Tausenderstelle: $4 - 2 = 2$.

Antwort: Die Differenz ist $5038 - 2769 = 2269$.

Kontrolle: Probe durch Addition: $2269 + 2769 = 5038$. Das ist der Minuend. ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Sparen auf das neue Velo

Lena spart auf ein neues Velo. Es kostet CHF 389. Sie hat bereits CHF 245 gespart. Wie viel Geld fehlt ihr noch?

Gegeben:

• Preis des Velos: CHF 389
• Bereits gespart: CHF 245

Gesucht: Der fehlende Betrag in CHF

Lösung:

Das Schlüsselwort „fehlt” zeigt eine Subtraktion an: Du ziehst das Vorhandene vom Ziel ab.

$$\begin{align*} &\phantom{-}\,3\,8\,9 \\ &-\,2\,4\,5 \\ &\overline{\phantom{-}\,1\,4\,4} \end{align*}$$

Einerstelle: $9 - 5 = 4$. Zehnerstelle: $8 - 4 = 4$. Hunderterstelle: $3 - 2 = 1$. Kein Leihen nötig.

Antwort: Lena fehlen noch CHF 144.

Kontrolle: Probe durch Addition: $144 + 245 = 389$ – genau der Preis des Velos. ✓ Achte in Textaufgaben auf Signalwörter: „insgesamt” und „zusammen” bedeuten Addition; „fehlt”, „bleibt übrig” und „Unterschied” bedeuten Subtraktion.

Vertiefung

Die schriftlichen Verfahren funktionieren immer – aber sie sind nicht immer der schnellste Weg. Oft lohnt es sich, eine Aufgabe zuerst anzuschauen: Mit halbschriftlichen Strategien und Rechenvorteilen löst du viele Aufgaben im Kopf, schneller als auf Papier.

Bei der halbschriftlichen Strategie zerlegst du eine Zahl in Stellenwerte und rechnest schrittweise. Für $345 + 230$ rechnest du etwa $345 + 200 = 545$ und dann $545 + 30 = 575$. Du notierst nur Zwischenergebnisse, kein Spaltenschema.

Noch eleganter sind zwei Verschiebe-Tricks. Sie beruhen darauf, dass sich Summe und Differenz bei geschicktem Verändern der Zahlen nicht ändern:

Definition

Konstanz der Summe (gegensinniges Verändern): Vergrösserst du einen Summanden und verkleinerst den anderen um dieselbe Zahl, bleibt die Summe gleich:

$$398 + 247 = 400 + 245 = 645$$

Konstanz der Differenz (gleichsinniges Verändern): Vergrösserst oder verkleinerst du Minuend und Subtrahend um dieselbe Zahl, bleibt die Differenz gleich:

$$703 - 298 = 705 - 300 = 405$$

Der Unterschied ist leicht zu merken: Beim Addieren wandert etwas von einem Summanden zum anderen – gegensinnig. Beim Subtrahieren verschiebst du beide Zahlen in dieselbe Richtung – gleichsinnig, wie auf dem Zahlenstrahl, wo der Abstand der beiden Zahlen gleich bleibt.

Ein dritter Rechenvorteil ist das geschickte Umgruppieren beim Addieren mehrerer Zahlen. Wegen des Kommutativgesetzes darfst du Summanden beliebig tauschen. Suche Paare, die runde Zahlen ergeben: $17 + 58 + 83 = (17 + 83) + 58 = 100 + 58 = 158$.

Schliesslich gehört zu jeder Rechnung das Überschlagen: Du rundest die Zahlen grob und prüfst, ob dein exaktes Ergebnis plausibel ist. Für $4912 + 3087$ überschlägst du $5000 + 3000 = 8000$. Liegt dein Ergebnis weit davon entfernt, hast du dich verrechnet – meist beim Übertrag oder bei der Stellenausrichtung.

Beispiel:

Beispiel 5: Vertiefung – Mit Rechenvorteil statt Spaltenschema

Berechne $4998 + 2756$ ohne schriftliches Verfahren.

Gegeben: Die Summanden 4998 und 2756

Gesucht: Die Summe, berechnet mit einem Rechenvorteil

Lösung:

Der erste Summand liegt nur 2 unter der runden Zahl 5000. Du nutzt die Konstanz der Summe und veränderst gegensinnig: 4998 wird um 2 grösser, 2756 dafür um 2 kleiner.

$$4998 + 2756 = 5000 + 2754$$

Mit der runden 5000 rechnest du im Kopf:

$$5000 + 2754 = 7754$$

Antwort: Die Summe ist $4998 + 2756 = 7754$.

Kontrolle: Überschlag: $5000 + 2800 = 7800$. Das Ergebnis 7754 liegt nahe daran. ✓ Schriftlich gerechnet kämen drei Überträge vor – der Rechenvorteil erspart sie alle.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Rechne schriftlich oder – wo es sich anbietet – mit einem Rechenvorteil. Kontrolliere jede Subtraktion mit der Probe. Die Lösungen mit allen Rechenwegen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Berechne $56 + 37$.

Aufgabe 2: Berechne $92 - 48$ und mache die Probe.

Aufgabe 3: Addiere die Zahlen 348, 127 und 215 in einem Schema.

Aufgabe 4: Von 600 werden 437 abgezogen. Wie gross ist die Differenz?

Aufgabe 5: Ein Buch hat 278 Seiten. Du hast bereits 189 Seiten gelesen. Wie viele Seiten bleiben noch?

Aufgabe 6: Berechne $4005 - 1876$.

Aufgabe 7: Berechne $399 + 276$ im Kopf mit der Konstanz der Summe.

Aufgabe 8: Berechne $802 - 397$ im Kopf mit der Konstanz der Differenz.

Aufgabe 9: In einem Stadion sind 18’347 Zuschauerinnen und Zuschauer. Nach der Halbzeit kommen noch 2’895 dazu. Überschlage zuerst, rechne dann exakt.

Aufgabe 10: Eine Schule hat drei Gebäude mit 324, 287 und 198 Schülerinnen und Schülern. In der Turnhalle sind gerade 145 von ihnen beim Sportunterricht. Wie viele Schülerinnen und Schüler hat die Schule insgesamt? Wie viele sind nicht in der Turnhalle?

Das Wichtigste in Kürze

• Fachbegriffe: Summand + Summand = Summe; Minuend − Subtrahend = Differenz.
• Schriftliche Addition: stellengerecht untereinander, von rechts nach links, Überträge klein notieren.
• Schriftliche Subtraktion: Minuend oben; ist eine Ziffer zu klein, leihst du von der nächsten Stelle – auch über Nullen hinweg, Stelle für Stelle.
• Reihenfolge: Bei der Addition gilt das Kommutativgesetz ($3 + 5 = 5 + 3$); bei der Subtraktion nicht – der Minuend muss grösser oder gleich dem Subtrahend sein.
• Probe: Jede Subtraktion prüfst du durch Addition: Differenz + Subtrahend = Minuend.
• Rechenvorteile: Konstanz der Summe (gegensinnig verändern), Konstanz der Differenz (gleichsinnig verändern), geschicktes Umgruppieren zu runden Zahlen.
• Überschlagen: Runde grob und prüfe, ob dein exaktes Ergebnis plausibel ist.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Wie heissen die Zahlen in der Rechnung $15 - 8 = 7$ mit Fachbegriffen? Und wie heissen die Zahlen in $7 + 5 = 12$?

Lösung anzeigen

In $15 - 8 = 7$ ist 15 der Minuend, 8 der Subtrahend und 7 die Differenz.

In $7 + 5 = 12$ sind 7 und 5 die Summanden und 12 ist die Summe.

Merkhilfe: Der Minuend steht am Anfang, obwohl er auf „-end” endet – er ist die Zahl, von der etwas weggenommen wird (lateinisch minuere = vermindern).

❓ Frage:

Berechne schriftlich: $687 + 245$. Notiere alle Überträge.

Lösung anzeigen

Einerstelle: $7 + 5 = 12$, schreibe 2, Übertrag 1.

Zehnerstelle: $8 + 4 + 1 = 13$, schreibe 3, Übertrag 1.

Hunderterstelle: $6 + 2 + 1 = 9$.

$$687 + 245 = 932$$

Kontrolle: Überschlag: $700 + 250 = 950$. Das Ergebnis 932 liegt nahe daran. ✓

❓ Frage:

Berechne schriftlich: $503 - 278$. Wo musst du leihen?

Lösung anzeigen

Du musst zweimal leihen. Bei den Einern geht $3 - 8$ nicht, aber die Zehnerstelle ist 0. Also leihst du zuerst vom Hunderter an den Zehner, dann vom Zehner an den Einer. Aus 503 wird gedanklich „4 Hunderter, 9 Zehner, 13 Einer”.

Einerstelle: $13 - 8 = 5$. Zehnerstelle: $9 - 7 = 2$. Hunderterstelle: $4 - 2 = 2$.

$$503 - 278 = 225$$

Kontrolle: Probe: $225 + 278 = 503$. ✓

❓ Frage:

Berechne $596 + 238$ im Kopf. Welcher Rechenvorteil hilft dir?

Lösung anzeigen

Die Konstanz der Summe: Verändere gegensinnig. 596 liegt nur 4 unter 600, also gibst du 4 hinüber:

$$596 + 238 = 600 + 234 = 834$$

Die Summe bleibt gleich, weil ein Summand um 4 wächst und der andere um 4 schrumpft.

Kontrolle: Überschlag: $600 + 240 = 840$. Das Ergebnis 834 passt. ✓

❓ Frage:

Überschlage zuerst $4912 + 3087$ und berechne dann exakt. Wie nah liegt dein Überschlag am Ergebnis?

Lösung anzeigen

Überschlag: Runde auf Tausender: $5000 + 3000 = 8000$.

Exakt: Einer: $2 + 7 = 9$. Zehner: $1 + 8 = 9$. Hunderter: $9 + 0 = 9$. Tausender: $4 + 3 = 7$.

$$4912 + 3087 = 7999$$

Der Überschlag 8000 liegt nur 1 über dem exakten Ergebnis – die Rechnung ist plausibel. ✓

Ausblick

Mit Addition und Subtraktion beherrschst du die ersten beiden Grundrechenarten. Als Nächstes folgt die Multiplikation und Division: Die Multiplikation ist eine verkürzte Addition – statt $5 + 5 + 5 + 5$ schreibst du $4 \cdot 5$. Auch dort gibt es schriftliche Verfahren mit Übertrag, die direkt auf deinem heutigen Wissen aufbauen. Und die Rechenvorteile aus der Vertiefung begegnen dir wieder, wenn du das Kommutativ- und Assoziativgesetz systematisch untersuchst. Festige darum Übertrag, Leihen und Probe – sie tragen dich durch alle vier Grundrechenarten.

Lösungen

Lösung 1: Du schreibst die Zahlen stellengerecht untereinander.

Einerstelle: $6 + 7 = 13$, schreibe 3, Übertrag 1. Zehnerstelle: $5 + 3 + 1 = 9$.

$$56 + 37 = 93$$

Kontrolle: Überschlag: $60 + 40 = 100$. Das Ergebnis 93 liegt nahe daran. ✓

Lösung 2: Einerstelle: $2 - 8$ geht nicht. Du leihst einen Zehner: $12 - 8 = 4$; aus 9 Zehnern werden 8. Zehnerstelle: $8 - 4 = 4$.

$$92 - 48 = 44$$

Kontrolle: Probe: $44 + 48 = 92$ – der Minuend. ✓

Lösung 3: Drei Summanden passen in ein einziges Schema.

Einerstelle: $8 + 7 + 5 = 20$, schreibe 0, Übertrag 2. Zehnerstelle: $4 + 2 + 1 + 2 = 9$. Hunderterstelle: $3 + 1 + 2 = 6$.

$$348 + 127 + 215 = 690$$

Kontrolle: Überschlag: $350 + 130 + 220 = 700$. Das Ergebnis 690 passt. ✓

Lösung 4: Der Minuend 600 hat an Zehner- und Einerstelle Nullen – du musst das Leihen über zwei Stellen weitergeben. Aus 600 wird gedanklich „5 Hunderter, 9 Zehner, 10 Einer”.

Einerstelle: $10 - 7 = 3$. Zehnerstelle: $9 - 3 = 6$. Hunderterstelle: $5 - 4 = 1$.

$$600 - 437 = 163$$

Kontrolle: Probe: $163 + 437 = 600$. ✓

Lösung 5: „Wie viele bleiben?” zeigt eine Subtraktion an: $278 - 189$.

Einerstelle: $8 - 9$ geht nicht, leihen: $18 - 9 = 9$. Zehnerstelle: $6 - 8$ geht nicht (aus 7 wurde 6), leihen: $16 - 8 = 8$. Hunderterstelle: $1 - 1 = 0$.

$$278 - 189 = 89$$

Es bleiben noch 89 Seiten.

Kontrolle: Probe: $89 + 189 = 278$. ✓

Lösung 6: Der Minuend 4005 hat zwei Nullen in der Mitte. Du leihst von der Tausenderstelle und gibst das Leihen bis zu den Einern weiter: Aus 4005 wird gedanklich „3 Tausender, 9 Hunderter, 9 Zehner, 15 Einer”.

Einerstelle: $15 - 6 = 9$. Zehnerstelle: $9 - 7 = 2$. Hunderterstelle: $9 - 8 = 1$. Tausenderstelle: $3 - 1 = 2$.

$$4005 - 1876 = 2129$$

Kontrolle: Probe: $2129 + 1876 = 4005$. ✓

Lösung 7: Konstanz der Summe – gegensinnig verändern. 399 liegt 1 unter 400, also wandert eine 1 vom zweiten zum ersten Summanden:

$$399 + 276 = 400 + 275 = 675$$

Die Summe bleibt gleich, weil der eine Summand um 1 wächst und der andere um 1 schrumpft. Im Kopf gerechnet, ganz ohne Übertrag.

Lösung 8: Konstanz der Differenz – gleichsinnig verändern. Du vergrösserst Minuend und Subtrahend beide um 3, damit der Subtrahend rund wird:

$$802 - 397 = 805 - 400 = 405$$

Der Abstand der beiden Zahlen auf dem Zahlenstrahl ändert sich nicht, wenn beide gleich weit verschoben werden.

Kontrolle: Probe: $405 + 397 = 802$. ✓

Lösung 9: Überschlag: $18\,000 + 3000 = 21\,000$.

Exakt, schriftlich von rechts nach links:

Einerstelle: $7 + 5 = 12$, schreibe 2, Übertrag 1. Zehnerstelle: $4 + 9 + 1 = 14$, schreibe 4, Übertrag 1. Hunderterstelle: $3 + 8 + 1 = 12$, schreibe 2, Übertrag 1. Tausenderstelle: $8 + 2 + 1 = 11$, schreibe 1, Übertrag 1. Zehntausenderstelle: $1 + 1 = 2$.

$$18\,347 + 2895 = 21\,242$$

Im Stadion sind jetzt 21’242 Zuschauerinnen und Zuschauer. Der Überschlag 21’000 bestätigt die Grössenordnung. ✓

Lösung 10: Zwei Teilschritte.

Teil 1 – Gesamtzahl: Drei Summanden in einem Schema. Einerstelle: $4 + 7 + 8 = 19$, schreibe 9, Übertrag 1. Zehnerstelle: $2 + 8 + 9 + 1 = 20$, schreibe 0, Übertrag 2. Hunderterstelle: $3 + 2 + 1 + 2 = 8$.

$$324 + 287 + 198 = 809$$

Die Schule hat insgesamt 809 Schülerinnen und Schüler.

Teil 2 – Nicht in der Turnhalle: Einerstelle: $9 - 5 = 4$. Zehnerstelle: $0 - 4$ geht nicht, leihen: $10 - 4 = 6$. Hunderterstelle: $7 - 1 = 6$ (aus 8 wurde 7).

$$809 - 145 = 664$$

664 Schülerinnen und Schüler sind nicht in der Turnhalle.

Kontrolle: Probe für Teil 2: $664 + 145 = 809$. ✓

Verwandte Themen

• Schriftliches Addieren: Erklärung & Beispiele
• Stellenwertsysteme einfach erklärt: Regeln & Beispiele
• Schriftliches Subtrahieren – So klappt das Minus-Rechnen mit grossen Zahlen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport