Negative Zahlen verstehen und anwenden

Darum geht's

Stell dir vor, du stehst im Winter draussen. Am Morgen zeigt das Thermometer zwei Grad unter null. Am Abend sind es sogar sieben Grad unter null. Wie schreibst du diese Temperaturen auf? Genau dafür braucht man negative Zahlen. Sie beschreiben alles, was unter null liegt. Schulden, Tiefen im Meer, Kälterekorte – negative Zahlen begegnen dir überall im Alltag. In dieser Lektion lernst du, was negative Zahlen sind, wie du sie auf der Zahlengerade darstellst und wie du sicher mit ihnen rechnest.

Eine kleine Zeitreise

Negative Zahlen waren nicht immer selbstverständlich. Jahrhundertelang glaubten Mathematiker, sie seien unsinnig oder gar unmöglich. Ein Blick in die Geschichte zeigt, wie mühsam sich diese Idee durchgesetzt hat.

Antikes China und Indien

Die ältesten bekannten Belege für negative Zahlen stammen aus China. Dort nutzte man um etwa 200 vor Christus schwarze und rote Rechenstäbchen. Rote Stäbchen standen für Schulden, schwarze für Guthaben. Das System war praktisch, aber theoretisch kaum durchdacht. Im siebten Jahrhundert nach Christus beschrieb der indische Mathematiker Brahmagupta negative Zahlen als «Schulden». Er entwickelte sogar erste Rechenregeln für sie. Das war für seine Zeit revolutionär.

Europas langer Widerstand

In Europa war man skeptischer. Griechische Mathematiker wie Euklid kannten keine negativen Zahlen. Für sie existierten nur Grössen, die man sich vorstellen konnte. Eine negative Länge schien absurd. Noch im 16. Jahrhundert nannten europäische Mathematiker negative Zahlen «falsche Zahlen» oder «absurde Zahlen». Der französische Mathematiker René Descartes prägte im 17. Jahrhundert den Begriff «imaginäre Grössen» für Zahlen, die ihm unvorstellbar erschienen.

Der Durchbruch

Erst im 18. und 19. Jahrhundert akzeptierten Mathematiker negative Zahlen vollständig. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss entwickelte ein klares Zahlensystem. Er zeigte, dass negative Zahlen nicht «falsch» sind, sondern einfach eine Richtung beschreiben. Diese Erkenntnis veränderte die gesamte Mathematik.

Was das für dich bedeutet

Du lernst heute etwas, wofür kluge Menschen Jahrtausende gebraucht haben. Negative Zahlen sind keine Erfindung der Schulbücher. Sie beschreiben echte Situationen aus der Welt. Diese historische Perspektive hilft dir, das Konzept wirklich zu verstehen.

Die Grundlagen

Bevor du rechnest, brauchst du ein klares Bild. Das wichtigste Werkzeug ist die Zahlengerade.

Die Zahlengerade

Stell dir eine waagrechte Linie vor. In der Mitte steht die null. Rechts davon liegen alle positiven Zahlen: $1, 2, 3, \ldots$ Links davon liegen alle negativen Zahlen: $-1, -2, -3, \ldots$ Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto grösser ist sie. Je weiter links, desto kleiner.

Definition

Negative Zahlen sind alle ganzen Zahlen kleiner als null. Sie werden mit einem Minuszeichen vor der Zahl geschrieben:

$-1,\quad -2,\quad -3,\quad \ldots$

Zusammen mit null und den positiven ganzen Zahlen bilden sie die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$:

$\mathbb{Z} = \{\ldots,\, -3,\, -2,\, -1,\, 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, \ldots\}$

Das Minuszeichen gehört zur Zahl

Das Minuszeichen vor einer negativen Zahl ist kein Rechenzeichen. Es ist Teil der Zahl selbst. Es zeigt, dass die Zahl links von null liegt. Schreibe negative Zahlen immer mit diesem Zeichen.

Zahlen vergleichen

Beim Vergleichen hilft dir immer die Zahlengerade. Weiter rechts bedeutet grösser. Weiter links bedeutet kleiner. Zum Beispiel: $-3$ liegt rechts von $-7$. Darum gilt: $-3 > -7$. Das überrascht viele am Anfang, weil $3$ kleiner als $7$ ist. Hier zählt aber die Lage zur null, nicht der Betrag.

Die Kernmethode

Der Betrag einer Zahl ist ein zentrales Hilfsmittel. Er erklärt viele Zusammenhänge bei negativen Zahlen.

Definition

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur null auf der Zahlengerade. Er ist immer positiv oder null. Man schreibt ihn mit senkrechten Strichen:

$|{-5}| = 5 \qquad |5| = 5 \qquad |0| = 0$

Allgemein gilt für eine Zahl $a$:

$$\begin{align*} |a| &= a \quad \text{falls } a \geq 0 \\ |a| &= -a \quad \text{falls } a < 0 \end{align*}$$

Warum ist der Betrag nützlich?

Mit dem Betrag erkennst du, wie weit eine Zahl von null entfernt ist. $-8$ hat den Betrag $8$. $3$ hat den Betrag $3$. Also ist $-8$ weiter von null entfernt als $3$. Trotzdem ist $-8$ kleiner als $3$, weil sie links liegt.

Die Zahlengeraden-Methode beim Rechnen

Beim Addieren und Subtrahieren bewegst du dich auf der Zahlengerade. Eine positive Zahl zieht dich nach rechts. Eine negative Zahl zieht dich nach links. Du startest immer bei der ersten Zahl der Aufgabe. Diese einfache Regel hilft dir bei fast allen Aufgaben im Kopf.

Beispiel:

Beispiel 1: Negative Zahlen auf der Zahlengerade einordnen

Ordne die Zahlen $-4$, $2$, $-1$ und $-6$ der Grösse nach.

Lösung:

Zeichne die Zahlengerade und trage alle Zahlen ein.

$-6 \quad -4 \quad -1 \quad 2$

Von links nach rechts gelesen:

• $-6$ liegt am weitesten links → kleinste Zahl
• $-4$ liegt rechts von $-6$
• $-1$ liegt rechts von $-4$
• $2$ liegt am weitesten rechts → grösste Zahl

Die Reihenfolge von klein nach gross lautet:

$-6 < -4 < -1 < 2$

Merke: Je grösser der Betrag einer negativen Zahl, desto weiter links liegt sie, desto kleiner ist sie.

Beispiel:

Beispiel 2: Einfaches Addieren mit negativen Zahlen

Berechne $-5 + 3$.

Lösung:

Schritt 1: Starte auf der Zahlengerade bei $-5$.

Schritt 2: Die zweite Zahl ist $+3$, also positiv. Bewege dich $3$ Schritte nach rechts.

$-5 \xrightarrow{+3} -4 \xrightarrow{} -3 \xrightarrow{} -2$

Schritt 3: Du landest bei $-2$.

$-5 + 3 = -2$

Probe: Der Betrag von $-5$ ist $5$. Der Betrag von $3$ ist $3$. Die Differenz ist $2$. Da $-5$ grösser ist, bleibt das Ergebnis negativ: $-2$. ✓

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Arbeiten mit negativen Zahlen gibt es einige typische Fehlerquellen. Hier lernst du, sie zu erkennen und zu vermeiden.

Achtung

Grösserer Betrag ≠ grössere Zahl: Viele verwechseln Betrag und Wert. $-10$ hat den grösseren Betrag als $-2$, ist aber kleiner: $-10 < -2$. Achte immer auf die Lage zur null, nicht auf den Betrag allein.

Achtung

Doppeltes Minus wird Plus: Das ist die häufigste Fehlerquelle überhaupt. Minus mal Minus ergibt Plus. Beim Subtrahieren einer negativen Zahl drehst du die Richtung um:

$5 - (-3) = 5 + 3 = 8$

Das Minuszeichen vor der Klammer dreht das Vorzeichen darin um.

Achtung

Vorzeichen und Rechenzeichen verwechseln: In der Aufgabe $-4 + (-2)$ ist das erste Minus ein Vorzeichen der Zahl $4$. Das Pluszeichen ist das Rechenzeichen. Das Minus vor der Klammer ist das Vorzeichen der $2$. Lies jede Aufgabe langsam und trenne Vorzeichen von Rechenzeichen.

Achtung

Null vergessen: Null ist weder positiv noch negativ. Sie liegt genau in der Mitte der Zahlengerade. Aussagen wie «null ist eine negative Zahl» sind falsch. Es gilt: $-1 < 0 < 1$.

Beispiel:

Beispiel 3: Subtrahieren einer negativen Zahl

Berechne $-1 - (-3)$.

Lösung:

Schritt 1: Starte bei $-1$.

Schritt 2: Du subtrahierst $-3$. Minus mal Minus ergibt Plus. Die Aufgabe wird zu:

$-1 - (-3) = -1 + 3$

Schritt 3: Jetzt addierst du $+3$. Bewege dich $3$ Schritte nach rechts.

$-1 \xrightarrow{+3} 0 \xrightarrow{} 1 \xrightarrow{} 2$

Schritt 4: Du landest bei $2$.

$-1 - (-3) = 2$

Merke: Immer wenn du eine negative Zahl subtrahierst, schreibe die Aufgabe zuerst um. Ersetze das doppelte Minus durch ein Plus.

Beispiel:

Beispiel 4: Textaufgabe – Temperatur

Am Montag beträgt die Temperatur in Davos $-8\,^\circ\text{C}$. Bis Dienstagmorgen steigt sie um $5\,^\circ\text{C}$. Am Dienstagabend sinkt sie erneut um $9\,^\circ\text{C}$. Wie kalt ist es am Dienstagabend?

Lösung:

Schritt 1: Starttemperatur notieren.

$T_0 = -8\,^\circ\text{C}$

Schritt 2: Temperaturanstieg um $5\,^\circ\text{C}$.

$T_1 = -8 + 5 = -3\,^\circ\text{C}$

Schritt 3: Temperatursenkung um $9\,^\circ\text{C}$.

$T_2 = -3 + (-9) = -3 - 9 = -12\,^\circ\text{C}$

Antwort: Am Dienstagabend beträgt die Temperatur $-12\,^\circ\text{C}$.

Probe: Von $-8$ zu $-12$ sind $4$ Schritte nach links. Von $+5 - 9 = -4$ stimmt das. ✓

Vertiefung

Du kennst jetzt die Grundlagen negativer Zahlen. Jetzt schauen wir uns weiterführende Aspekte an.

Multiplizieren mit negativen Zahlen

Bei der Multiplikation gelten klare Vorzeichenregeln. Sie folgen einem einfachen Muster:

Definition

Beim Multiplizieren bestimmt das Vorzeichen das Ergebnis:

$$\begin{align*} (+) \cdot (+) &= (+) \\ (-) \cdot (-) &= (+) \\ (+) \cdot (-) &= (-) \\ (-) \cdot (+) &= (-) \end{align*}$$

Kurzregel: Gleiche Vorzeichen ergeben Plus. Verschiedene Vorzeichen ergeben Minus.

Warum ergibt minus mal minus plus?

Das erscheint zuerst seltsam. Denk es so: Du hast eine Schuld von $3$ Franken, also $-3$. Wenn diese Schuld gestrichen wird (also negiert wird), hast du $3$ Franken mehr. $-(-3) = +3$. Das Streichen einer Schuld ist ein Gewinn.

Brücke zu anderen Themen

Negative Zahlen verbinden sich mit vielen anderen Themen. In der Geometrie beschreibt die negative $x$-Koordinate Punkte links vom Ursprung. In der Physik steht negatives Vorzeichen für eine Richtung. Bei Bankkonten zeigt ein negativer Saldo Schulden an. In der Informatik werden negative Zahlen im sogenannten Zweierkomplement gespeichert.

Das Koordinatensystem

Wenn du zwei Zahlengeraden kombinierst – eine waagrecht, eine senkrecht –, entsteht ein Koordinatensystem. Der Schnittpunkt heisst Ursprung und liegt bei $(0, 0)$. Negative $x$-Werte liegen links, negative $y$-Werte liegen unten. Dieses System wirst du in der 6. Klasse und später oft nutzen.

Beispiel:

Beispiel 5: Multiplizieren mit negativen Zahlen

Berechne die folgenden Produkte: a) $(-4) \cdot 3$ b) $(-2) \cdot (-5)$ c) $6 \cdot (-3)$

Lösung:

a) Verschiedene Vorzeichen → Minus:

$(-4) \cdot 3 = -12$

b) Gleiche Vorzeichen (beide negativ) → Plus:

$(-2) \cdot (-5) = +10 = 10$

c) Verschiedene Vorzeichen → Minus:

$6 \cdot (-3) = -18$

Merke: Schreibe bei unklaren Aufgaben zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses auf. Dann multipliziere die Beträge. Das verhindert Flüchtigkeitsfehler.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Löse sie zuerst alleine, dann prüfe deine Antworten im Lösungsabschnitt.

Niveau 1: Grundverständnis

Aufgabe 1 Trage diese Zahlen auf einer Zahlengerade ein und ordne sie von klein nach gross: $3, \quad -5, \quad 0, \quad -2, \quad 7, \quad -9$

Aufgabe 2 Welche Zahl ist grösser? Begründe mit der Zahlengerade. a) $-4$ oder $-7$ b) $-1$ oder $0$ c) $-6$ oder $3$

Aufgabe 3 Bestimme den Betrag der folgenden Zahlen: $|-3|, \quad |8|, \quad |0|, \quad |-15|, \quad |{-\frac{1}{2}}|$

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Niveau 2: Rechnen

Aufgabe 4 Berechne: a) $-6 + 4$ b) $-3 + (-5)$ c) $2 + (-8)$ d) $-7 + 7$

Aufgabe 5 Berechne: a) $-5 - 3$ b) $4 - (-2)$ c) $-1 - (-6)$ d) $0 - (-4)$

Aufgabe 6 Berechne: a) $(-3) \cdot 4$ b) $(-2) \cdot (-7)$ c) $5 \cdot (-3)$ d) $(-1) \cdot (-1)$

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Niveau 3: Textaufgaben und Übertragung

Aufgabe 7 Ein U-Boot taucht auf $-240\,\text{m}$ (Meerestiefe). Es steigt $85\,\text{m}$ auf. Auf welcher Tiefe befindet es sich jetzt?

Aufgabe 8 Um 6 Uhr morgens beträgt die Temperatur $-12\,^\circ\text{C}$. Bis Mittag steigt sie um $15\,^\circ\text{C}$. Am Abend sinkt sie um $7\,^\circ\text{C}$. Wie warm ist es am Abend?

Aufgabe 9 Lena hat auf ihrem Konto $-35$ Franken (sie hat Schulden). Ihr Vater zahlt $50$ Franken ein. Dann kauft sie etwas für $20$ Franken. Wie viel steht auf ihrem Konto?

Aufgabe 10 Berechne und erkläre jeden Schritt:

$(-3) \cdot (-2) + (-4) - (-1)$

Das Wichtigste in Kürze

Negative Zahlen beschreiben Werte unter null. Sie liegen links von null auf der Zahlengerade. Ihr Vorzeichen ist ein Minuszeichen und gehört zur Zahl. Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie. Beim Addieren bewegst du dich nach links oder rechts. Beim Subtrahieren einer negativen Zahl dreht sich die Richtung um: Minus minus wird Plus. Bei der Multiplikation gilt: Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, verschiedene ergeben Minus. Der Betrag misst den Abstand zur null und ist immer positiv. Negative Zahlen begegnen dir überall: bei Temperaturen, Schulden, Tiefen und Koordinaten.

❓ Frage: Welche Zahl ist kleiner: $-8$ oder $-3$?

Lösung anzeigen

$-8$ ist kleiner als $-3$, weil $-8$ weiter links auf der Zahlengerade liegt. $-8 < -3$ Obwohl $8 > 3$ gilt, schaut man bei negativen Zahlen auf die Lage zur null.

❓ Frage: Berechne $-2 + (-5)$.

Lösung anzeigen

Du startest bei $-2$ und gehst $5$ Schritte nach links (weil $-5$ negativ ist). $-2 + (-5) = -7$

❓ Frage: Berechne $-4 - (-1)$.

Lösung anzeigen

Minus minus wird Plus. Schreibe die Aufgabe zuerst um: $-4 - (-1) = -4 + 1 = -3$

❓ Frage: Was ist der Betrag von $-13$?

Lösung anzeigen

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur null. Das Vorzeichen spielt keine Rolle: $|-13| = 13$

❓ Frage: Berechne $(-3) \cdot (-4)$.

Lösung anzeigen

Beide Zahlen sind negativ, also haben sie gleiche Vorzeichen. Gleiche Vorzeichen ergeben Plus: $(-3) \cdot (-4) = +12 = 12$

Ausblick

Du hast jetzt die Grundlagen der negativen Zahlen verstanden. Dieses Wissen trägt dich weit. In der 7. Klasse lernst du das vollständige Rechnen mit rationalen Zahlen, also auch negativen Brüchen und Dezimalzahlen. Im Koordinatensystem nutzt du negative Zahlen, um Punkte in allen vier Quadranten zu beschreiben. In der Algebra bilden negative Zahlen die Basis für das Lösen von Gleichungen. Je sicherer du heute mit negativen Zahlen rechnest, desto leichter wird dir alles Folgende fallen.

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Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1

Trage alle Zahlen auf der Zahlengerade ein. Sortiere sie von links nach rechts:

$-9 < -5 < -2 < 0 < 3 < 7$

Die Reihenfolge von klein nach gross lautet: $-9,\, -5,\, -2,\, 0,\, 3,\, 7$.

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Lösung zu Aufgabe 2

a) $-4$ oder $-7$: $-4$ liegt rechts von $-7$ auf der Zahlengerade. Darum gilt: $-4 > -7$. $-4$ ist grösser.

b) $-1$ oder $0$: $-1$ liegt links von $0$. Darum gilt: $-1 < 0$. $0$ ist grösser.

c) $-6$ oder $3$: Alle negativen Zahlen liegen links von null. Alle positiven Zahlen liegen rechts. Darum gilt: $-6 < 3$. $3$ ist grösser.

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Lösung zu Aufgabe 3

Der Betrag misst den Abstand zur null. Das Vorzeichen fällt weg:

$|-3| = 3, \quad |8| = 8, \quad |0| = 0, \quad |-15| = 15, \quad \left|-\dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2}$

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Lösung zu Aufgabe 4

a) $-6 + 4$: Starte bei $-6$, gehe $4$ Schritte nach rechts. $-6 + 4 = -2$

b) $-3 + (-5)$: Starte bei $-3$, gehe $5$ Schritte nach links. $-3 + (-5) = -8$

c) $2 + (-8)$: Starte bei $2$, gehe $8$ Schritte nach links. $2 + (-8) = -6$

d) $-7 + 7$: Starte bei $-7$, gehe $7$ Schritte nach rechts. Du landest genau bei null. $-7 + 7 = 0$

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Lösung zu Aufgabe 5

a) $-5 - 3$: Du subtrahierst eine positive Zahl, also gehst du nach links. $-5 - 3 = -8$

b) $4 - (-2)$: Minus minus wird Plus. $4 - (-2) = 4 + 2 = 6$

c) $-1 - (-6)$: Minus minus wird Plus. $-1 - (-6) = -1 + 6 = 5$

d) $0 - (-4)$: Minus minus wird Plus. $0 - (-4) = 0 + 4 = 4$

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Lösung zu Aufgabe 6

a) $(-3) \cdot 4$: Verschiedene Vorzeichen → Ergebnis negativ. Betrag: $3 \cdot 4 = 12$. $(-3) \cdot 4 = -12$

b) $(-2) \cdot (-7)$: Gleiche Vorzeichen → Ergebnis positiv. Betrag: $2 \cdot 7 = 14$. $(-2) \cdot (-7) = 14$

c) $5 \cdot (-3)$: Verschiedene Vorzeichen → Ergebnis negativ. Betrag: $5 \cdot 3 = 15$. $5 \cdot (-3) = -15$

d) $(-1) \cdot (-1)$: Gleiche Vorzeichen → Ergebnis positiv. $(-1) \cdot (-1) = 1$

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Lösung zu Aufgabe 7

Das U-Boot startet bei $-240\,\text{m}$. Es steigt $85\,\text{m}$ auf (positiver Wert, da aufwärts).

$-240 + 85 = -155$

Das U-Boot befindet sich jetzt auf $-155\,\text{m}$ Tiefe.

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Lösung zu Aufgabe 8

Starttemperatur um 6 Uhr: $-12\,^\circ\text{C}$.

Anstieg bis Mittag um $15\,^\circ\text{C}$: $-12 + 15 = 3\,^\circ\text{C}$

Senkung am Abend um $7\,^\circ\text{C}$: $3 - 7 = -4\,^\circ\text{C}$

Am Abend beträgt die Temperatur $-4\,^\circ\text{C}$.

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Lösung zu Aufgabe 9

Lenas Kontostand zu Beginn: $-35$ Franken.

Einzahlung des Vaters: $-35 + 50 = 15 \text{ Franken}$

Ausgabe von $20$ Franken: $15 - 20 = -5 \text{ Franken}$

Auf Lenas Konto stehen jetzt $-5$ Franken. Sie hat wieder Schulden.

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Lösung zu Aufgabe 10

Berechne $(-3) \cdot (-2) + (-4) - (-1)$ Schritt für Schritt.

Schritt 1: Multiplikation zuerst (Punkt vor Strich). $(-3) \cdot (-2) = 6$ Gleiche Vorzeichen → positives Ergebnis.

Schritt 2: Terme einsetzen. $6 + (-4) - (-1)$

Schritt 3: $-(-1)$ vereinfachen. Minus minus wird Plus. $6 + (-4) + 1$

Schritt 4: Von links nach rechts addieren. $6 + (-4) = 2$ $2 + 1 = 3$

$(-3) \cdot (-2) + (-4) - (-1) = 3$

Verwandte Themen

• Addieren und Subtrahieren (ganze Zahlen) – So rechnest du mit Plus und Minus
• Multiplizieren und Dividieren mit ganzen Zahlen – So klappt's mit Plus und Minus
• Rechenausdrücke mit ganzen Zahlen – So löst du jeden Term

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport