Rechenausdrücke mit ganzen Zahlen – So löst du jeden Term

Darum geht's

Stell dir vor, du bist ein Fahrstuhlführer in einem Hochhaus mit Tiefgarage. Du startest im Erdgeschoss. Dann fährt jemand drei Stockwerke hoch, dann zwei runter, dann wieder fünf hoch und schliesslich vier runter.

Wo bist du am Ende? Du musst die Bewegungen in der richtigen Reihenfolge zusammenrechnen. Fahrten nach oben zählen als Plus, Fahrten nach unten als Minus.

Genau so funktionieren Rechenausdrücke mit ganzen Zahlen. Du kombinierst positive und negative Zahlen durch verschiedene Rechenoperationen. Am Ende steht ein einziges Ergebnis. Diese Fähigkeit brauchst du nicht nur in der Schule – sondern überall, wo Zahlen eine Richtung haben.

Eine kleine Zeitreise

Negative Zahlen haben die Menschheit lange Zeit verwirrt. Heute erscheinen sie selbstverständlich. Der Weg dorthin war jedoch lang und voller Widerstand.

Bereits im alten China beschäftigten sich Mathematiker mit negativen Zahlen. Im Werk Neun Bücher zur Rechenkunst aus dem zweiten Jahrhundert vor Christus tauchen rote und schwarze Rechenstäbchen auf. Schwarze Stäbchen standen für positive Mengen, rote für Schulden. Das ist eine der frühesten bekannten Darstellungen negativer Zahlen.

Der indische Mathematiker Brahmagupta legte um 628 nach Christus erstmals klare Rechenregeln fest. Er beschrieb, wie man Schulden addiert und subtrahiert. Sein Werk Brahmasphutasiddhanta enthält Sätze, die sich fast wörtlich in heutigen Schulbüchern wiederfinden.

In Europa war die Situation lange anders. Griechische und arabische Mathematiker lehnten negative Zahlen oft ab. Sie galten als «falsche» oder «absurde» Zahlen. Der französische Mathematiker René Descartes nannte sie im 17. Jahrhundert noch fausses racines – falsche Wurzeln.

Den Durchbruch brachten die Bedürfnisse von Handel und Buchführung. Schulden, Guthaben, Temperaturen unter null – die Realität erzwang die Anerkennung negativer Zahlen.

Heute ist der Begriff der ganzen Zahlen fest in der Mathematik verankert. Die Menge $\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$ bildet ein fundamentales Fundament der Algebra. Das $\mathbb{Z}$ stammt vom deutschen Wort Zahlen.

Und Rechenausdrücke – also Terme – mit ganzen Zahlen? Die tauchen auf, sobald du mehrere Operationen kombinierst. Sie sind das tägliche Handwerkszeug der Mathematik.

Die Grundlagen

Bevor du komplexe Terme löst, musst du die Bausteine kennen.

Definition

Ein Term ist eine sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Ein Term hat immer einen eindeutigen Wert.

Beispiele für Terme mit ganzen Zahlen:

$$3 + (-5)$$$$(-2) \cdot 4 - 7$$$$(8 - 11) \cdot (-3) + 6$$

Ein Term ohne Gleichheitszeichen ist kein Gleichung. Er beschreibt nur einen Ausdruck, den du berechnen kannst.

Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, der Null und den negativen Zahlen. Du schreibst sie so:

$$\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$$

Positive Zahlen haben kein extra Vorzeichen oder ein $+$ davor. Negative Zahlen tragen ein Minuszeichen direkt vor der Zahl. In Termen schreibst du negative Zahlen oft in Klammern. So vermeidest du Verwirrung zwischen Vorzeichen und Rechenzeichen.

Zum Beispiel: $5 + (-3)$ ist klarer als $5 + -3$.

Der Zahlenstrahl hilft dir beim Vorstellen. Positive Zahlen liegen rechts von null, negative Zahlen links. Addition bedeutet eine Bewegung nach rechts, Subtraktion eine Bewegung nach links.

Bei $-4 + 6$ startest du bei $-4$ und gehst sechs Schritte nach rechts. Du landest bei $+2$.

Alle vier Grundoperationen – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – gelten auch für ganze Zahlen. Dabei gibt es besondere Vorzeichenregeln, die du unbedingt beherrschen musst.

Die Kernmethode

Mehrere Rechenoperationen in einem Term brauchen eine klare Reihenfolge. Ohne Regeln wäre Mathematik nicht eindeutig.

Definition

Berechne Terme immer in dieser Reihenfolge:

1. Klammern: Beginne mit dem innersten Ausdruck in Klammern.
2. Absolutbeträge und Potenzen: Diese kommen als Nächstes.
3. Punkt vor Strich: Multiplikation ($\cdot$) und Division ($:$) vor Addition und Subtraktion.
4. Strich von links nach rechts: Addition ($+$) und Subtraktion ($-$) zuletzt.

Merksatz: KLAPS – damit gibst du dem Term den richtigen Klaps in die richtige Richtung.

Diese Regel gilt weltweit in der Mathematik. Sie ist keine willkürliche Erfindung, sondern notwendige Vereinbarung.

Betrachte das Beispiel $3 + 4 \cdot 2$. Ohne Regel wäre das Ergebnis entweder $11$ oder $14$ – je nachdem, was du zuerst rechnest. Mit der Regel ist klar: Zuerst $4 \cdot 2 = 8$, dann $3 + 8 = 11$.

Die Vorzeichenregeln für Multiplikation und Division:

Vorzeichen	Ergebnis
$+ \cdot +$	$+$
$+ \cdot -$	$-$
$- \cdot +$	$-$
$- \cdot -$	$+$

Merkhilfe: Gleiche Vorzeichen ergeben Plus. Verschiedene Vorzeichen ergeben Minus.

Beispiel:

Beispiel 1: Einfacher Term ohne Klammern

Berechne $8 - 3 + 2 \cdot 4$.

Lösung:

Überblick verschaffen: Es gibt Subtraktion, Addition und Multiplikation. Es gibt keine Klammern.

Schritt 1 – Punkt vor Strich, also zuerst die Multiplikation:

$$2 \cdot 4 = 8$$

Der Term wird zu:

$$8 - 3 + 8$$

Schritt 2 – von links nach rechts addieren und subtrahieren:

$$8 - 3 = 5$$$$5 + 8 = 13$$

Ergebnis: $13$

Häufiger Fehler: Zuerst $8 - 3 = 5$ rechnen, dann $5 + 2 = 7$, dann $7 \cdot 4 = 28$. Das wäre falsch, weil Multiplikation Vorrang hat.

Beispiel:

Beispiel 2: Term mit Klammern und negativen Zahlen

Berechne $(-4) \cdot (3 - 7) + 2$.

Lösung:

Überblick: Es gibt eine Multiplikation, eine Subtraktion in der Klammer und eine Addition.

Schritt 1 – Klammer zuerst:

$$3 - 7 = -4$$

Der Term wird zu:

$$(-4) \cdot (-4) + 2$$

Schritt 2 – Multiplikation vor Addition. Minus mal Minus ergibt Plus:

$$(-4) \cdot (-4) = +16$$

Der Term wird zu:

$$16 + 2$$

Schritt 3 – Addition:

$$16 + 2 = 18$$

Ergebnis: $18$

Das Vorzeichen der Multiplikation ist hier entscheidend. Zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt.

Die häufigsten Stolpersteine

Bestimmte Fehler tauchen immer wieder auf. Wenn du sie kennst, kannst du sie gezielt vermeiden.

Achtung

Stolperstein 1 – Minus mal Minus vergessen: Bei $(-2) \cdot (-3)$ ist das Ergebnis $+6$, nicht $-6$. Gleiche Vorzeichen ergeben immer ein positives Produkt. Viele vergessen dies im Eifer des Rechnens.

Achtung

Stolperstein 2 – Subtraktion einer negativen Zahl: Der Ausdruck $7 - (-4)$ ergibt $11$, nicht $3$. Das doppelte Minus wird zum Plus: $7 - (-4) = 7 + 4 = 11$. Stell dir vor, du entfernst eine Schuld – das ist dasselbe wie ein Guthaben.

Achtung

Stolperstein 3 – Vorzeichen beim Klammer-Auflösen: Bei $-(3 - 5)$ musst du das Minuszeichen vor der Klammer auf jeden Term darin anwenden. Zuerst die Klammer: $3 - 5 = -2$. Dann das äussere Minus: $-(-2) = +2$. Alternativ: Das Minus verteilen gibt $-3 + 5 = 2$.

Achtung

Stolperstein 4 – Punkt-vor-Strich ignorieren: Der Ausdruck $6 + 4 \cdot (-2)$ ergibt $6 + (-8) = -2$, nicht $(6 + 4) \cdot (-2) = -20$. Ohne Klammern hat die Multiplikation immer Vorrang vor der Addition.

Beispiel:

Beispiel 3: Verschachtelte Klammern

Berechne $2 \cdot (3 - (8 + (-5))) - 1$.

Lösung:

Überblick: Es gibt eine innere Klammer innerhalb einer äusseren Klammer. Beginne innen.

Schritt 1 – Innerste Klammer:

$$8 + (-5) = 8 - 5 = 3$$

Der Term wird zu:

$$2 \cdot (3 - 3) - 1$$

Schritt 2 – Äussere Klammer:

$$3 - 3 = 0$$

Der Term wird zu:

$$2 \cdot 0 - 1$$

Schritt 3 – Multiplikation:

$$2 \cdot 0 = 0$$

Der Term wird zu:

$$0 - 1$$

Schritt 4 – Subtraktion:

$$0 - 1 = -1$$

Ergebnis: $-1$

Merke: Jede Zahl mal null ergibt null. Das verkürzt manchmal die Rechnung erheblich.

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Kontostand berechnen

Aufgabe: Lisa hat 50 CHF auf ihrem Konto. Sie kauft dreimal je 12 CHF ein. Dann überweist ihr Oma 25 CHF. Schliesslich zahlt sie eine Rechnung von 8 CHF. Wie hoch ist ihr Kontostand?

Lösung:

Übersetze die Situation in einen Term. Ausgaben sind negativ, Einnahmen positiv:

$$50 + 3 \cdot (-12) + 25 - 8$$

Schritt 1 – Multiplikation:

$$3 \cdot (-12) = -36$$

Der Term wird zu:

$$50 + (-36) + 25 - 8$$

Das ist dasselbe wie:

$$50 - 36 + 25 - 8$$

Schritt 2 – von links nach rechts:

$$50 - 36 = 14$$$$14 + 25 = 39$$$$39 - 8 = 31$$

Ergebnis: Lisas Kontostand beträgt 31 CHF.

Tipp: Solche Textaufgaben löst du am besten, indem du zuerst den Term aufschreibst, bevor du rechnest.

Vertiefung

Wer Terme mit ganzen Zahlen sicher beherrscht, kann einen weiteren Schritt gehen: das Distributivgesetz.

Definition

Das Distributivgesetz beschreibt, wie du eine Zahl vor einer Klammer in die Klammer hineinmultiplizierst:

$$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$

Das gilt auch für negative Zahlen:

$$(-2) \cdot (3 + (-5)) = (-2) \cdot 3 + (-2) \cdot (-5) = -6 + 10 = 4$$

Du kannst die Klammer ausrechnen oder das Distributivgesetz anwenden. Das Ergebnis ist immer dasselbe.

Das Distributivgesetz ist keine neue Regel, sondern eine Folge der Rechengesetze. Es ist besonders nützlich, wenn die Klammer nicht einfach zu berechnen ist – zum Beispiel wenn Variablen darin stehen.

Ein weiterer wichtiger Zusammenhang: Terme mit ganzen Zahlen sind die Vorstufe zur Algebra. Sobald du Zahlen durch Buchstaben ersetzt, arbeitest du mit algebraischen Termen. Die Rechenregeln bleiben dieselben.

Betrachte den Term $3x - 2 \cdot (x + 4)$ mit $x = -5$:

Einsetzen: $3 \cdot (-5) - 2 \cdot ((-5) + 4)$

Klammer: $(-5) + 4 = -1$

Weiter: $3 \cdot (-5) - 2 \cdot (-1) = -15 + 2 = -13$

Du siehst: Alle Regeln aus diesem Artikel gelten auch in der Algebra. Wer Terme mit konkreten Zahlen beherrscht, hat einen grossen Vorteil beim Einstieg in algebraische Terme.

Auch Brüche mit ganzen Zahlen folgen denselben Mustern. Der Term $\dfrac{-12}{4} + 3 \cdot (-1)$ ergibt $-3 + (-3) = -6$. Die KLAPS-Regel gilt unverändert.

Beispiel:

Beispiel 5: Distributivgesetz anwenden

Berechne $(-3) \cdot (4 + (-6)) - 2 \cdot (-5 + 3)$ auf zwei Wegen.

Lösung – Weg 1: Klammern zuerst

Erste Klammer: $4 + (-6) = -2$

Zweite Klammer: $-5 + 3 = -2$

Der Term wird zu: $(-3) \cdot (-2) - 2 \cdot (-2)$

Multiplikationen: $(-3) \cdot (-2) = 6$ und $2 \cdot (-2) = -4$

Achtung: Das Minus vor $2 \cdot (-2)$ bleibt. Der Term lautet: $6 - (-4) = 6 + 4 = 10$

Lösung – Weg 2: Distributivgesetz

$$(-3) \cdot 4 + (-3) \cdot (-6) - 2 \cdot (-5) - 2 \cdot 3$$$$= -12 + 18 + 10 - 6$$$$= 10$$

Ergebnis: $10$ – auf beiden Wegen dasselbe.

Das Distributivgesetz kann die Rechnung vereinfachen oder verkomplizieren. Wähle den Weg, der dir leichter fällt.

Übungen

Hier sind zehn Aufgaben, geordnet nach aufsteigendem Schwierigkeitsgrad. Die Lösungswege findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1 (einfach)

Berechne: $-3 + 7$

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Aufgabe 2 (einfach)

Berechne: $5 - (-4) + 2$

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Aufgabe 3 (einfach)

Berechne: $(-6) \cdot (-2)$

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Aufgabe 4 (mittel)

Berechne: $10 - 3 \cdot 4 + 2$

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Aufgabe 5 (mittel)

Berechne: $(-8) + 2 \cdot (-3) - 1$

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Aufgabe 6 (mittel)

Berechne: $(5 - 9) \cdot (-3)$

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Aufgabe 7 (mittel)

Berechne: $(-2) \cdot (6 - 10) + 3 \cdot (-2)$

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Aufgabe 8 (schwer)

Berechne: $4 \cdot (-3 + 7) - (2 - 8) \cdot (-1)$

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Aufgabe 9 (schwer)

Berechne: $3 \cdot (-(4 - 7)) + 2 \cdot (-5 + 8)$

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Aufgabe 10 (schwer – Textaufgabe)

Ein Taucher startet an der Wasseroberfläche (Position $0$ m). Er taucht zweimal je $5$ m tief. Dann steigt er $3$ m auf. Dann taucht er nochmals $4$ m tief. Zuletzt steigt er $6$ m auf. Auf welcher Tiefe befindet er sich? Schreibe zuerst den Term, dann berechne ihn.

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Das Wichtigste in Kürze

Rechenausdrücke mit ganzen Zahlen folgen klaren Regeln.

Die KLAPS-Regel legt die Reihenfolge fest: Klammern zuerst, dann Potenzen und Absolutbeträge, dann Punkt vor Strich, zuletzt Addition und Subtraktion von links nach rechts.

Vorzeichen bei Multiplikation und Division: Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, verschiedene Vorzeichen ergeben Minus.

Subtraktion einer negativen Zahl wird zur Addition: $a - (-b) = a + b$.

Verschachtelte Klammern löst du von innen nach aussen auf.

Das Distributivgesetz erlaubt dir, eine Klammer aufzulösen, indem du den Faktor mit jedem Summanden darin multiplizierst.

Diese Regeln sind das Fundament für Algebra, Gleichungen und alle weiteren Kapitel der Mathematik.

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❓ Frage: Berechne: $6 + 2 \cdot (-3)$

Lösung anzeigen

Erst Punkt vor Strich: $2 \cdot (-3) = -6$ Dann: $6 + (-6) = 6 - 6 = 0$ Ergebnis: $0$

❓ Frage: Berechne: $(-5) - (-8) + 3$

Lösung anzeigen

Minus minus wird Plus: $(-5) - (-8) = -5 + 8 = 3$ Dann: $3 + 3 = 6$ Ergebnis: $6$

❓ Frage: Berechne: $(4 - 9) \cdot (-2) - 1$

Lösung anzeigen

Zuerst die Klammer: $4 - 9 = -5$ Dann die Multiplikation: $(-5) \cdot (-2) = 10$ Schliesslich: $10 - 1 = 9$ Ergebnis: $9$

❓ Frage: Ein Term ergibt $(-3) \cdot (-4) + (-6)$. Was ist das Ergebnis?

Lösung anzeigen

Erst die Multiplikation: $(-3) \cdot (-4) = +12$ Dann: $12 + (-6) = 12 - 6 = 6$ Ergebnis: $6$

❓ Frage: Berechne: $-2 \cdot (3 - (1 + 4))$

Lösung anzeigen

Innerste Klammer: $1 + 4 = 5$ Der Term wird zu: $-2 \cdot (3 - 5)$ Äussere Klammer: $3 - 5 = -2$ Multiplikation: $(-2) \cdot (-2) = 4$ Ergebnis: $4$

Ausblick

Was kommt als Nächstes? Rechenausdrücke mit ganzen Zahlen sind die direkte Vorbereitung auf die Algebra.

Dort ersetzt du Zahlen durch Buchstaben wie $x$, $y$ oder $a$. Die Rechenregeln bleiben genau dieselben. Klammern, Punkt vor Strich, Vorzeichen – alles gilt weiterhin.

Du wirst auch lernen, Terme zu vereinfachen – also gleichartige Glieder zusammenzufassen. Dazu kommt das Ausmultiplizieren mit dem Distributivgesetz und schliesslich das Lösen von Gleichungen.

Jeder dieser Schritte baut direkt auf dem auf, was du in diesem Artikel gelernt hast. Wer Terme mit ganzen Zahlen sicher berechnen kann, hat einen starken Start für alle weiteren Themen der Mathematik.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1

Berechne: $-3 + 7$

Kein Punkt-vor-Strich, keine Klammern. Direkt rechnen:

$$-3 + 7 = 4$$

Am Zahlenstrahl: Start bei $-3$, sieben Schritte nach rechts, Landung bei $+4$.

Ergebnis: $4$

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Lösung zu Aufgabe 2

Berechne: $5 - (-4) + 2$

Doppeltes Minus wird Plus:

$$5 - (-4) = 5 + 4 = 9$$

Dann weiter:

$$9 + 2 = 11$$

Ergebnis: $11$

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Lösung zu Aufgabe 3

Berechne: $(-6) \cdot (-2)$

Gleiche Vorzeichen: Minus mal Minus ergibt Plus.

$$(-6) \cdot (-2) = +12$$

Ergebnis: $12$

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Lösung zu Aufgabe 4

Berechne: $10 - 3 \cdot 4 + 2$

Schritt 1 – Punkt vor Strich:

$$3 \cdot 4 = 12$$

Der Term wird zu: $10 - 12 + 2$

Schritt 2 – von links nach rechts:

$$10 - 12 = -2$$ $$-2 + 2 = 0$$

Ergebnis: $0$

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Lösung zu Aufgabe 5

Berechne: $(-8) + 2 \cdot (-3) - 1$

Schritt 1 – Multiplikation:

$$2 \cdot (-3) = -6$$

Der Term wird zu: $(-8) + (-6) - 1$

Das ist: $-8 - 6 - 1$

Schritt 2 – von links nach rechts:

$$-8 - 6 = -14$$ $$-14 - 1 = -15$$

Ergebnis: $-15$

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Lösung zu Aufgabe 6

Berechne: $(5 - 9) \cdot (-3)$

Schritt 1 – Klammer:

$$5 - 9 = -4$$

Schritt 2 – Multiplikation: Minus mal Minus ergibt Plus:

$$(-4) \cdot (-3) = +12$$

Ergebnis: $12$

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Lösung zu Aufgabe 7

Berechne: $(-2) \cdot (6 - 10) + 3 \cdot (-2)$

Schritt 1 – Klammer:

$$6 - 10 = -4$$

Der Term wird zu: $(-2) \cdot (-4) + 3 \cdot (-2)$

Schritt 2 – beide Multiplikationen:

$$(-2) \cdot (-4) = +8$$ $$3 \cdot (-2) = -6$$

Der Term wird zu: $8 + (-6) = 8 - 6$

Schritt 3 – Addition:

$$8 - 6 = 2$$

Ergebnis: $2$

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Lösung zu Aufgabe 8

Berechne: $4 \cdot (-3 + 7) - (2 - 8) \cdot (-1)$

Schritt 1 – beide Klammern:

$$-3 + 7 = 4$$ $$2 - 8 = -6$$

Der Term wird zu: $4 \cdot 4 - (-6) \cdot (-1)$

Schritt 2 – beide Multiplikationen:

$$4 \cdot 4 = 16$$ $$(-6) \cdot (-1) = +6$$

Der Term wird zu: $16 - 6$

Schritt 3 – Subtraktion:

$$16 - 6 = 10$$

Ergebnis: $10$

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Lösung zu Aufgabe 9

Berechne: $3 \cdot (-(4 - 7)) + 2 \cdot (-5 + 8)$

Schritt 1 – Innerste Klammer der ersten Gruppe:

$$4 - 7 = -3$$

Jetzt das Minuszeichen davor: $-(-3) = +3$

Erste Gruppe: $3 \cdot 3 = 9$

Schritt 2 – Zweite Klammer:

$$-5 + 8 = 3$$

Zweite Gruppe: $2 \cdot 3 = 6$

Schritt 3 – Addition:

$$9 + 6 = 15$$

Ergebnis: $15$

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Lösung zu Aufgabe 10

Taucher-Aufgabe. Position $0$ ist die Wasseroberfläche. Tiefe ist negativ, Aufstieg ist positiv.

Term aufschreiben:

$$0 + 2 \cdot (-5) + 3 + (-4) + 6$$

Schritt 1 – Multiplikation:

$$2 \cdot (-5) = -10$$

Der Term wird zu: $0 + (-10) + 3 + (-4) + 6$

Das ist: $0 - 10 + 3 - 4 + 6$

Schritt 2 – von links nach rechts:

$$0 - 10 = -10$$ $$-10 + 3 = -7$$ $$-7 - 4 = -11$$ $$-11 + 6 = -5$$

Ergebnis: Der Taucher befindet sich auf $-5$ m, also 5 Meter unter der Wasseroberfläche.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport