Das Distributivgesetz einfach erklärt

Darum geht's

Stell dir vor, du gehst mit zwei Freunden Eis kaufen. Jeder möchte eine Kugel Vanille für 1.20 CHF und eine Kugel Schoko für 1.30 CHF.

Wie rechnest du den Gesamtpreis aus?

Möglichkeit 1: Du rechnest, was eine Person bezahlt (1.20 + 1.30 = 2.50 CHF), dann mal 3.

Möglichkeit 2: Du rechnest $3 \times 1.20$ für alle Vanillekugeln und $3 \times 1.30$ für alle Schokokugeln und addierst dann.

Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis. Das ist die Idee hinter dem Distributivgesetz. Es zeigt dir, dass du bei solchen Rechnungen flexibel sein kannst.

Eine kleine Zeitreise

Das Distributivgesetz klingt nach einer modernen Erfindung. Tatsächlich kennen Menschen dieses Prinzip seit über 4000 Jahren.

Die Babylonier und ihr praktisches Rechnen

Im alten Babylonien (heute Irak) rechneten Händler und Baumeister täglich mit grossen Zahlen. Sie hatten keine Taschenrechner. Sie brauchten Tricks, um schnell und sicher zu rechnen. Auf Tontafeln aus der Zeit um 1800 v. Chr. findet man Berechnungen, die das Verteilungsprinzip nutzen. Die Babylonier wussten: Es ist einfacher, Zahlen aufzuteilen, als komplizierte Produkte direkt zu berechnen.

Die griechischen Mathematiker

Der griechische Mathematiker Euklid von Alexandria beschrieb das Prinzip um 300 v. Chr. systematisch in seinem Werk «Die Elemente». Er zeigte es geometrisch: Wenn du ein Rechteck in zwei Teile teilst, ist die Gesamtfläche gleich der Summe der Teilflächen. Das ist genau das Distributivgesetz in Bildform.

Der Name kommt aus dem Lateinischen

Das Wort «distribuieren» kommt vom lateinischen distribuere. Es bedeutet «verteilen» oder «aufteilen». Im 19. Jahrhundert begannen Mathematiker, die Grundgesetze der Arithmetik systematisch zu benennen und aufzuschreiben. Seitdem heisst dieses Gesetz offiziell Distributivgesetz.

Warum du es heute brauchst

Das Distributivgesetz ist kein verstaubtes Relikt. Es steckt in der Algebra, in der Informatik, in der Physik und sogar in der Wirtschaft. Immer wenn Programmierinnen und Programmierer Code optimieren, nutzen sie Varianten dieses Gesetzes. Du lernst also nicht nur Mathe für die Schule. Du lernst ein Werkzeug, das Mathematiker seit Jahrtausenden verwenden.

Die Grundlagen

Bevor du das Distributivgesetz anwendest, musst du drei Begriffe sicher kennen.

Definition

Faktor: Eine Zahl, die mit einer anderen multipliziert wird. In $3 \cdot 5$ sind sowohl 3 als auch 5 Faktoren.

Summand: Eine Zahl, die zu einer anderen addiert wird. In $6 + 4$ sind 6 und 4 die Summanden.

Klammer: Das Zeichen $(\ldots)$ zeigt an, was zuerst berechnet wird. Alles innerhalb der Klammer gehört zusammen.

Ausmultiplizieren: Den Faktor vor der Klammer mit jedem Term in der Klammer multiplizieren. Die Klammer verschwindet dabei.

Ausklammern: Den umgekehrten Weg gehen. Einen gemeinsamen Faktor vor die Klammer ziehen.

Der Weg vom Eis zur Formel

Schau dir das Eis-Beispiel nochmals an. Du hast 3 Personen. Jede bezahlt $(1.20 + 1.30)$ CHF.

Als Rechnung: $3 \cdot (1{,}20 + 1{,}30)$

Weg 1 – Klammer zuerst:

$3 \cdot (1{,}20 + 1{,}30) = 3 \cdot 2{,}50 = 7{,}50$

Weg 2 – Ausmultiplizieren:

$3 \cdot 1{,}20 + 3 \cdot 1{,}30 = 3{,}60 + 3{,}90 = 7{,}50$

Der Faktor 3 wird an beide Zahlen in der Klammer «verteilt». Daher der Name: Distributivgesetz.

Das Rechteck-Bild

Stell dir ein Rechteck vor. Es ist 5 cm breit. Es hat zwei aneinandergrenzende Teile: einen 3 cm langen und einen 4 cm langen Teil. Die Gesamtfläche ist $5 \cdot (3 + 4) = 5 \cdot 7 = 35$ cm². Du kannst aber auch die Teilflächen addieren: $5 \cdot 3 + 5 \cdot 4 = 15 + 20 = 35$ cm². Gleiches Ergebnis, andere Reihenfolge.

Die Kernmethode

Jetzt kommt das Herzstück. Hier ist die offizielle Regel, die du auswendig kennen solltest.

Definition

Mit Addition:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Mit Subtraktion:

$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

In Worten: Ein Faktor vor einer Klammer wird mit jedem Term in der Klammer multipliziert. Das Rechenzeichen in der Klammer bleibt erhalten.

Was bedeuten die Buchstaben?

• $a$ ist der Faktor vor der Klammer. Er wird verteilt.
• $b$ und $c$ sind die Terme in der Klammer. Beide bekommen den Faktor.
• Das Plus oder Minus zwischen $b$ und $c$ bleibt unverändert.

Das Lieferanten-Bild

Stell dir vor, der Faktor vor der Klammer ist ein Lieferant mit Paketen. Er muss an jeden Term in der Klammer ein Paket liefern. Niemand darf leer ausgehen!

$5 \cdot (3 + 7): \text{ Der 5er-Lieferant bringt der 3 ein Paket und der 7 ein Paket.}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Finde den Faktor vor der Klammer.
2. Multipliziere ihn mit dem ersten Term in der Klammer.
3. Schreibe das Rechenzeichen aus der Klammer hin (+ oder −).
4. Multipliziere den Faktor mit dem zweiten Term in der Klammer.
5. Rechne alle Produkte aus.
6. Addiere oder subtrahiere die Ergebnisse.

Beispiel:

Beispiel 1: Einfaches Ausmultiplizieren

Berechne: $4 \cdot (6 + 3)$

Lösung:

Schritt 1: Der Faktor vor der Klammer ist 4.

Schritt 2: Multipliziere 4 mit jedem Term in der Klammer.

$4 \cdot (6 + 3) = 4 \cdot 6 + 4 \cdot 3$

Schritt 3: Rechne die Produkte aus.

$= 24 + 12$

Schritt 4: Addiere.

$= 36$

Probe: $4 \cdot (6 + 3) = 4 \cdot 9 = 36$ ✓

Das Ergebnis stimmt. Die Probe macht du immer, indem du die Klammer zuerst berechnest.

Beispiel:

Beispiel 2: Mit Subtraktion

Berechne: $7 \cdot (15 - 8)$

Lösung:

Der Faktor 7 steht vor der Klammer. Er wird an beide Zahlen verteilt. Das Minus bleibt erhalten!

$7 \cdot (15 - 8) = 7 \cdot 15 - 7 \cdot 8$

Jetzt die Produkte ausrechnen:

$= 105 - 56$

Subtrahieren:

$= 49$

Probe: $7 \cdot (15 - 8) = 7 \cdot 7 = 49$ ✓

Achte besonders auf das Minus. Es bleibt zwischen den beiden Produkten stehen. Das ist eine häufige Fehlerquelle.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Distributivgesetz passieren immer wieder dieselben Fehler. Wenn du diese kennst, kannst du sie vermeiden.

Achtung

Stolperstein 1: Nur den ersten Term multiplizieren

Das ist der häufigste Fehler überhaupt. Viele Schülerinnen und Schüler multiplizieren nur den ersten Term in der Klammer. Den zweiten vergessen sie.

Falsch: $4 \cdot (2 + 5) = 4 \cdot 2 + 5 = 8 + 5 = 13$

Richtig: $4 \cdot (2 + 5) = 4 \cdot 2 + 4 \cdot 5 = 8 + 20 = 28$

Merkhilfe: Zeichne Pfeile vom Faktor zu jedem Term in der Klammer.

Achtung

Stolperstein 2: Das Vorzeichen vergessen

Bei einem Minus in der Klammer bleibt das Minus nach dem Ausmultiplizieren erhalten. Viele machen daraus ein Plus.

Falsch: $3 \cdot (8 - 2) = 3 \cdot 8 + 3 \cdot 2 = 24 + 6 = 30$

Richtig: $3 \cdot (8 - 2) = 3 \cdot 8 - 3 \cdot 2 = 24 - 6 = 18$

Probe: $3 \cdot (8 - 2) = 3 \cdot 6 = 18$ ✓

Das Minus gehört zum zweiten Term. Es verschwindet nicht beim Ausmultiplizieren.

Achtung

Stolperstein 3: Punkt vor Strich vergessen

Nach dem Ausmultiplizieren musst du erst alle Produkte berechnen, dann addieren oder subtrahieren. Das ist die Regel «Punkt vor Strich».

Falsch: $5 \cdot 3 + 5 \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32$ (erst addiert, dann multipliziert)

Richtig: $5 \cdot 3 + 5 \cdot 4 = 15 + 20 = 35$

Achtung

Stolperstein 4: Die Probe weglassen

Die Probe ist dein bester Freund. Du berechnest einfach die Klammer zuerst und multiplizierst dann. Wenn das Ergebnis nicht stimmt, hast du einen Fehler gemacht.

Nimm dir immer 10 Sekunden für die Probe. So erkennst du Rechenfehler sofort.

Beispiel:

Beispiel 3: Kopfrechnen mit dem Distributivgesetz

Berechne $6 \cdot 98$ im Kopf.

Idee: Die Zahl 98 ist fast 100. Wir schreiben: $98 = 100 - 2$

Lösung:

$6 \cdot 98 = 6 \cdot (100 - 2)$

Jetzt ausmultiplizieren:

$= 6 \cdot 100 - 6 \cdot 2$

$= 600 - 12$

$= 588$

Das ist der Trick: Zerlege «krumme» Zahlen in runde Zahlen plus oder minus eine kleine Zahl. Dann rechne mit dem Distributivgesetz. Das geht viel schneller als langes Schriftrechnen.

Weiteres Beispiel: $9 \cdot 103 = 9 \cdot (100 + 3) = 900 + 27 = 927$

Beispiel:

Beispiel 4: Textaufgabe mit Distributivgesetz

Aufgabe: Eine Schülerin kauft für die Klassenreise Snacks. Sie kauft für 8 Personen je einen Apfel für 0.80 CHF und einen Riegel für 1.20 CHF. Wie viel kostet das insgesamt?

Lösung:

Jede Person kostet: $(0{,}80 + 1{,}20)$ CHF

Für 8 Personen: $8 \cdot (0{,}80 + 1{,}20)$

Weg 1 – Klammer zuerst:

$8 \cdot (0{,}80 + 1{,}20) = 8 \cdot 2{,}00 = 16{,}00 \text{ CHF}$

Weg 2 – Ausmultiplizieren:

$8 \cdot 0{,}80 + 8 \cdot 1{,}20 = 6{,}40 + 9{,}60 = 16{,}00 \text{ CHF}$

Antwort: Die Snacks kosten insgesamt 16.00 CHF.

Das Distributivgesetz zeigt dir: Du kannst wählen, welcher Weg einfacher ist.

Vertiefung

Du beherrschst das Ausmultiplizieren. Jetzt lernst du den Umkehrweg: das Ausklammern.

Definition

Beim Ausklammern machst du genau das Umgekehrte vom Ausmultiplizieren. Du erkennst einen gemeinsamen Faktor in zwei oder mehr Termen und ziehst ihn vor die Klammer.

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

Du liest das Distributivgesetz also von rechts nach links.

Beispiel: $6 \cdot 4 + 6 \cdot 3 = 6 \cdot (4 + 3) = 6 \cdot 7 = 42$

Wann setzt du Ausklammern ein?

Ausklammern hilft, wenn du eine Summe von Produkten siehst und alle Produkte denselben Faktor teilen. Du fasst sie dann elegant zusammen.

Wie erkennst du den gemeinsamen Faktor?

Schau dir alle Terme an. Suche die grösste Zahl, die in jeden Term passt. Das ist der gemeinsame Faktor.

Zum Beispiel: $12 + 18$. Welche Zahl passt in 12 und in 18? Die grösste gemeinsame Zahl ist 6. Also: $12 + 18 = 6 \cdot 2 + 6 \cdot 3 = 6 \cdot (2 + 3) = 6 \cdot 5 = 30$.

Zusammenhang mit anderen Themen

Das Distributivgesetz ist keine isolierte Regel. Es verbindet sich mit vielen anderen Themen:

• Terme vereinfachen: In der 7. Klasse wirst du Terme wie $3x + 5x$ ausklammern zu $x \cdot (3 + 5) = 8x$.
• Bruchrechnen: Beim Erweitern und Kürzen von Brüchen steckt dasselbe Prinzip drin.
• Flächenberechnung: Bei Rechtecken nutzt du das Distributivgesetz, ohne es zu merken.

Beispiel:

Beispiel 5: Ausklammern

Vereinfache: $5 \cdot 7 + 5 \cdot 9$

Lösung:

Schritt 1: Erkenne den gemeinsamen Faktor. Beide Produkte haben den Faktor 5.

Schritt 2: Ziehe den gemeinsamen Faktor vor die Klammer.

$5 \cdot 7 + 5 \cdot 9 = 5 \cdot (7 + 9)$

Schritt 3: Rechne die Klammer aus.

$= 5 \cdot 16$

Schritt 4: Multipliziere.

$= 80$

Probe: $5 \cdot 7 + 5 \cdot 9 = 35 + 45 = 80$ ✓

Warum ist das nützlich? $5 \cdot 16$ ist einfacher zu rechnen als $35 + 45$. Ausklammern macht die Rechnung übersichtlicher.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne mit Aufgabe 1 und arbeite dich vor. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Stufe 1 – Einstieg

Aufgabe 1: Berechne mit dem Distributivgesetz: $3 \cdot (4 + 5)$

Aufgabe 2: Berechne mit dem Distributivgesetz: $6 \cdot (7 - 2)$

Aufgabe 3: Berechne mit dem Distributivgesetz: $9 \cdot (10 + 3)$

Stufe 2 – Aufbau

Aufgabe 4: Berechne mit dem Distributivgesetz: $8 \cdot (20 - 7)$

Aufgabe 5: Berechne mit dem Distributivgesetz und überprüfe mit der Probe: $12 \cdot (5 + 8)$

Aufgabe 6: Nutze das Distributivgesetz für das Kopfrechnen: $7 \cdot 99$ (Tipp: $99 = 100 - 1$)

Stufe 3 – Fortgeschritten

Aufgabe 7: Nutze das Distributivgesetz: $15 \cdot 102$ (Tipp: $102 = 100 + 2$)

Aufgabe 8: Klamme aus und rechne: $4 \cdot 9 + 4 \cdot 6$

Aufgabe 9: Klamme aus und rechne: $7 \cdot 12 + 7 \cdot 8$

Stufe 4 – Transfer

Aufgabe 10: Ein Sportverein kauft für 12 Mitglieder je ein Trikot für 38 CHF und eine Hose für 22 CHF. Berechne die Gesamtkosten auf zwei verschiedene Wege (einmal mit, einmal ohne Distributivgesetz). Welcher Weg ist einfacher?

Das Wichtigste in Kürze

Das Distributivgesetz ist eine der grundlegendsten Rechenregeln der Mathematik. Seit 4000 Jahren nutzen Menschen dieses Prinzip.

Die Kernregel:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Ausmultiplizieren: Den Faktor vor der Klammer mit jedem Term in der Klammer multiplizieren.

Ausklammern: Den umgekehrten Weg gehen. Einen gemeinsamen Faktor vor die Klammer ziehen.

Drei goldene Regeln:

1. Jeder Term in der Klammer bekommt den Faktor.
2. Das Rechenzeichen in der Klammer bleibt erhalten.
3. Immer Probe machen.

Das Distributivgesetz hilft dir beim Kopfrechnen, beim Vereinfachen von Aufgaben und ist die Grundlage für viele spätere Themen in der Algebra.

Quiz

❓ Frage: Berechne mithilfe des Distributivgesetzes: $5 \cdot (4 + 9)$

Lösung anzeigen

$5 \cdot (4 + 9) = 5 \cdot 4 + 5 \cdot 9 = 20 + 45 = 65$ Probe: $5 \cdot (4 + 9) = 5 \cdot 13 = 65$ ✓

❓ Frage: Berechne: $8 \cdot (12 - 5)$

Lösung anzeigen

$8 \cdot (12 - 5) = 8 \cdot 12 - 8 \cdot 5 = 96 - 40 = 56$ Probe: $8 \cdot (12 - 5) = 8 \cdot 7 = 56$ ✓ Achte auf das Minus: Es bleibt nach dem Ausmultiplizieren erhalten.

❓ Frage: Nutze das Distributivgesetz, um $4 \cdot 102$ einfach zu berechnen. (Tipp: $102 = 100 + 2$)

Lösung anzeigen

$4 \cdot 102 = 4 \cdot (100 + 2) = 4 \cdot 100 + 4 \cdot 2 = 400 + 8 = 408$ Probe: Schriftlich: $4 \cdot 102 = 408$ ✓

❓ Frage: Klamme aus und vereinfache: $6 \cdot 8 + 6 \cdot 4$

Lösung anzeigen

Erkenne den gemeinsamen Faktor 6: $6 \cdot 8 + 6 \cdot 4 = 6 \cdot (8 + 4) = 6 \cdot 12 = 72$ Probe: $6 \cdot 8 + 6 \cdot 4 = 48 + 24 = 72$ ✓

❓ Frage: Welche Rechnung ist falsch? (A) $3 \cdot (5 + 2) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot 2$ (B) $4 \cdot (6 - 1) = 4 \cdot 6 - 4 \cdot 1$ (C) $7 \cdot (3 + 4) = 7 \cdot 3 + 4$

Lösung anzeigen

Antwort: (C) ist falsch. Bei $7 \cdot (3 + 4)$ muss der Faktor 7 an beide Terme verteilt werden. Falsch: $7 \cdot 3 + 4 = 21 + 4 = 25$ Richtig: $7 \cdot 3 + 7 \cdot 4 = 21 + 28 = 49$ Probe: $7 \cdot (3 + 4) = 7 \cdot 7 = 49$ ✓ Das ist Stolperstein Nr. 1: Nie nur den ersten Term multiplizieren!

Ausblick

Das Distributivgesetz ist dein Einstieg in die Welt der Algebra. In der 7. Klasse wirst du Buchstaben statt Zahlen verwenden. Dann sieht das Distributivgesetz so aus: $x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$. Die Regel ist dieselbe, nur mit Variablen.

Später in der Sekundarstufe kommt das Ausmultiplizieren von zwei Klammern dazu: $(a + b) \cdot (c + d)$. Das klingt kompliziert. Aber wenn du das Distributivgesetz jetzt sicher beherrschst, wirst du das leicht meistern.

Übe das Distributivgesetz so lange, bis du es automatisch anwendest. Es ist eines der wichtigsten Werkzeuge der ganzen Mathematik.

Lösungen

Hier findest du die ausführlichen Lösungswege zu allen 10 Übungsaufgaben.

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Lösung zu Aufgabe 1: $3 \cdot (4 + 5)$

Den Faktor 3 an beide Terme verteilen:

$3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 12 + 15 = 27$

Probe: $3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 9 = 27$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 2: $6 \cdot (7 - 2)$

Den Faktor 6 an beide Terme verteilen. Das Minus bleibt!

$6 \cdot (7 - 2) = 6 \cdot 7 - 6 \cdot 2 = 42 - 12 = 30$

Probe: $6 \cdot (7 - 2) = 6 \cdot 5 = 30$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 3: $9 \cdot (10 + 3)$

$9 \cdot (10 + 3) = 9 \cdot 10 + 9 \cdot 3 = 90 + 27 = 117$

Probe: $9 \cdot (10 + 3) = 9 \cdot 13 = 117$ ✓

Tipp: Du siehst hier schon den Kopfrechentrick. $9 \cdot 13$ ist einfacher als $9 \cdot 10 + 9 \cdot 3$ zu berechnen.

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Lösung zu Aufgabe 4: $8 \cdot (20 - 7)$

$8 \cdot (20 - 7) = 8 \cdot 20 - 8 \cdot 7 = 160 - 56 = 104$

Probe: $8 \cdot (20 - 7) = 8 \cdot 13 = 104$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 5: $12 \cdot (5 + 8)$

$12 \cdot (5 + 8) = 12 \cdot 5 + 12 \cdot 8 = 60 + 96 = 156$

Probe: $12 \cdot (5 + 8) = 12 \cdot 13 = 156$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 6: $7 \cdot 99$

Zerlege 99 geschickt: $99 = 100 - 1$

$7 \cdot 99 = 7 \cdot (100 - 1) = 7 \cdot 100 - 7 \cdot 1 = 700 - 7 = 693$

Probe: Schriftlich: $7 \cdot 99 = 693$ ✓

Das ist der Kopfrechenweg: Runde auf 100 auf, ziehe dann den Überschuss ab.

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Lösung zu Aufgabe 7: $15 \cdot 102$

Zerlege 102 geschickt: $102 = 100 + 2$

$15 \cdot 102 = 15 \cdot (100 + 2) = 15 \cdot 100 + 15 \cdot 2 = 1500 + 30 = 1530$

Probe: Schriftlich: $15 \cdot 102 = 1530$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 8: $4 \cdot 9 + 4 \cdot 6$ (Ausklammern)

Erkenne den gemeinsamen Faktor: Beide Produkte haben den Faktor 4.

$4 \cdot 9 + 4 \cdot 6 = 4 \cdot (9 + 6) = 4 \cdot 15 = 60$

Probe: $4 \cdot 9 + 4 \cdot 6 = 36 + 24 = 60$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 9: $7 \cdot 12 + 7 \cdot 8$ (Ausklammern)

Erkenne den gemeinsamen Faktor: Beide Produkte haben den Faktor 7.

$7 \cdot 12 + 7 \cdot 8 = 7 \cdot (12 + 8) = 7 \cdot 20 = 140$

Probe: $7 \cdot 12 + 7 \cdot 8 = 84 + 56 = 140$ ✓

Durch das Ausklammern entsteht $7 \cdot 20$. Das ist viel einfacher zu rechnen als $84 + 56$.

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Lösung zu Aufgabe 10: Sportverein, 12 Mitglieder, Trikot 38 CHF, Hose 22 CHF

Weg 1 – Ohne Distributivgesetz (erst für eine Person rechnen):

Kosten pro Person: $38 + 22 = 60$ CHF

Kosten für 12 Personen: $12 \cdot 60 = 720$ CHF

Weg 2 – Mit Distributivgesetz (Faktor 12 zuerst verteilen):

$12 \cdot (38 + 22) = 12 \cdot 38 + 12 \cdot 22 = 456 + 264 = 720 \text{ CHF}$

Antwort: Die Gesamtkosten betragen 720 CHF.

Vergleich der Wege: Weg 1 ist einfacher. $12 \cdot 60$ ist leicht zu rechnen. Das Distributivgesetz (Weg 2) führt zu $12 \cdot 38 + 12 \cdot 22$, was schwieriger im Kopf ist. Das zeigt: Du kannst immer wählen, welcher Weg in der jeweiligen Situation praktischer ist. Manchmal ist das Ausmultiplizieren einfacher, manchmal die Klammer zuerst.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport