Zuordnungen und Dreisatz

Darum geht's

Wenn du weisst, dass $3$ Brötchen $\text{CHF}\ 4{,}50$ kosten, wie viel kosten dann $7$? Wenn $4$ Maler einen Zaun in $6$ Stunden streichen, wie lange brauchen $6$ Maler für denselben Zaun? Beide Fragen beantwortest du mit demselben Werkzeug: dem Dreisatz, der berühmtesten Rechentechnik der Mittelstufe.

In diesem Kapitel verstehst du, was eine Zuordnung ist, welche zwei Grundtypen — proportional und antiproportional — es gibt und wie du mit dem Dreisatz schnell und sicher rechnest.

Worum geht es?

Eine Zuordnung ist eine Regel, die jedem Wert einer Grösse genau einen Wert einer zweiten Grösse zuweist: jeder Anzahl Brötchen einen Preis, jeder Fahrzeit eine Distanz, jeder Personenzahl eine Arbeitsdauer.

Die zwei wichtigsten Zuordnungen auf dieser Stufe:

• Proportional: Wächst die erste Grösse um den Faktor $k$, wächst die zweite um denselben Faktor. Doppelt so viele Brötchen = doppelter Preis.
• Antiproportional: Wächst die erste Grösse um den Faktor $k$, schrumpft die zweite um denselben Faktor. Doppelt so viele Maler = halbe Arbeitszeit.

Der Dreisatz ist das mechanische Rechenverfahren, das du anwendest, sobald du den Typ erkannt hast. Er funktioniert in drei Zeilen: “Auf $1$ zurückrechnen, auf gewünschte Anzahl hochrechnen.” Einfach, zuverlässig, überall einsetzbar.

Was du schon können solltest

Für dieses Kapitel solltest du mitbringen:

• sicheres Rechnen mit den vier Grundrechenarten,
• den Umgang mit Brüchen und Dezimalzahlen,
• die Beziehung zwischen Brüchen und Prozenten (25 % = $\tfrac{1}{4}$).

Was du in diesem Kapitel lernst

Vier Lektionen, die dich vom Begriff bis zum sicheren Dreisatz führen:

1. Zuordnungen — was eine Zuordnung ist, wie man sie als Tabelle, Graph oder Regel darstellt, und wie man sie liest.
2. Proportionale Zuordnungen — wie du sie an einer Tabelle oder am Graph (Gerade durch den Ursprung) erkennst. Der Proportionalitätsfaktor $k$ ist hier der Schlüsselbegriff.
3. Antiproportionale Zuordnungen — bei ihnen bleibt das Produkt $a \cdot b$ konstant. Der Graph ist eine Hyperbel.
4. Dreisatz — das Rechenverfahren. Du lernst, ihn für proportionale und antiproportionale Situationen korrekt anzuwenden — der häufigste Fehler passiert nämlich im zweiten Schritt, wenn man den Rechenweg vertauscht.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Zuordnung — jedem Wert einer Grösse wird genau ein Wert einer zweiten Grösse zugewiesen.
• Proportional — konstanter Faktor zwischen beiden Grössen: $\tfrac{y}{x} = k$.
• Antiproportional — konstantes Produkt beider Grössen: $x \cdot y = k$.
• Dreisatz — Rechenschema, um über die “Einheit” ($1$) auf die gesuchte Menge zu schliessen.
• Proportionalitätsfaktor — die Zahl $k$, die bei einer proportionalen Zuordnung Kennzahl ist.

Häufige Denkfehler

Achtung

Der Dreisatz ist deshalb berühmt, weil er so oft falsch angewandt wird. Fast immer liegt es daran, dass über den Typ der Zuordnung zu wenig nachgedacht wurde.

1. “Mehr = mehr, also immer proportional.” Falsch. Mehr Maler bringen weniger Arbeitszeit — das ist antiproportional. Bevor du den Dreisatz anfängst, frage: was passiert mit der zweiten Grösse, wenn die erste grösser wird?
2. “Beim Dreisatz teile ich immer durch die Ausgangszahl.” Bei proportional: ja. Bei antiproportional: nein, dort multiplizierst du im ersten Schritt (auf $1$ runter bedeutet mehr Arbeit für einen Maler, also längere Zeit).
3. ”$25\%$ sind ein Viertel der Aufgabe.” Prozent ist immer auf einen Bezugswert bezogen, nicht absolut. $25\%$ von $80$ ist $20$, $25\%$ von $40$ ist $10$.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Zuordnungen und Dreisatz liegen im Kompetenzbereich MA.3 – Grössen, Funktionen, Daten, 2. Zyklus:

• MA.3.A.1 – Mit Grössen rechnen und Einheiten sicher umgehen.
• MA.3.C.2 – Zuordnungen in Tabellen, Termen und Graphen darstellen.
• MA.3.A.3 – Dreisatz anwenden, proportionale und antiproportionale Zusammenhänge nutzen.

Das Erkennen und Lösen proportionaler Aufgaben mit dem Dreisatz ist Grundanspruch. Der antiproportionale Dreisatz ist zum Teil Erweiterung und wird im 3. Zyklus weiter vertieft (siehe 7./8. Klasse).

Die Themen im Überblick

• Zuordnungen
• Proportionale Zuordnungen
• Antiproportionale Zuordnungen
• Dreisatz

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport