Grundlagen & Datenerhebung

Weiterführend:

• Als Nächstes: Statistische Erhebungen einfach erklärt
• Häufigkeiten & Tabellen
• Daten visualisieren (Diagramme)
• Statistik kritisch hinterfragen

Darum geht's

Wie gross sind die Schüler deiner Klasse im Durchschnitt? Welche Musikrichtung hören Jugendliche am häufigsten? Wie viele Haushalte in der Schweiz haben ein Elektroauto? Solche Fragen beantwortet die Statistik – und zwar mit Daten. Bevor du aber rechnen kannst, musst du wissen, woher deine Daten kommen. Du lernst jetzt, was eine Grundgesamtheit und eine Stichprobe sind. Du unterscheidest quantitative und qualitative Merkmale. Du erfährst, wie seriöse Umfragen funktionieren. Und du verstehst, warum eine gute Datenerhebung der wichtigste Schritt jeder statistischen Untersuchung ist.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 7Kompetenzen

• MA.3.A.1.kGrundanspruchBegriffe absolute und relative Häufigkeit, x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Einheitsstrecke, Wahrscheinlichkeit; Masseinheiten Geschwindigkeit (km/h, m/s, kB/s, dpi)
• MA.3.B.2.eGrundanspruchHäufigkeiten experimentell bestimmen und Vermutungen zu Wahrscheinlichkeiten formulieren; unbekannte Fragestellungen zu Kombinatorik/Wahrscheinlichkeit bearbeiten
• MA.3.A.1.lBegriffe Steigung in %, Zins, Zinssatz, Kapital, Rabatt, Brutto, Netto
• MA.3.A.1.mBegriffe (lineare) Funktion, sichere/mögliche/unmögliche Ereignisse, Flussdiagramm, Bit, Byte; Vorsätze Mikro, Nano; Masseinheiten Dichte (kg/dm³, g/cm³)
• MA.3.B.2.fWahrscheinlichkeiten und statistische Angaben überprüfen und begründen
• MA.3.C.1.jBeziehungen zwischen Grössen datengestützt herstellen; soziale, wirtschaftliche und ökologische Fragestellungen bearbeiten
• MA.3.C.2.hWertetabellen, Diagramme, Sachtexte, Terme und Graphen einander zuordnen und interpretieren; Sachsituationen nach funktionalen, statistischen und probabilistischen Gesichtspunkten bearbeiten

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Statistik hat eine lange Geschichte. Schon vor über 4000 Jahren zählten Herrscher in Ägypten und China ihre Bevölkerung. Sie wollten wissen, wie viele Soldaten sie aufbieten konnten. Sie wollten Steuern eintreiben. Die berühmte Volkszählung bei Jesu Geburt im Weihnachtsevangelium ist ebenfalls ein statistisches Ereignis.

Das Wort “Statistik” stammt vom lateinischen status ab. Das bedeutet “Zustand” oder “Staat”. Es tauchte erstmals im 18. Jahrhundert auf. Damals beschrieb es die Lehre vom Zustand eines Staates. Gottfried Achenwall (1719–1772), ein deutscher Gelehrter, gilt als Namensgeber der modernen Statistik.

Ein grosser Wendepunkt kam mit Adolphe Quetelet (1796–1874). Der belgische Mathematiker untersuchte Durchschnittsmenschen und erkannte Muster. Er zeigte: Auch menschliches Verhalten folgt Gesetzen der Wahrscheinlichkeit. Seine Idee des “durchschnittlichen Menschen” war revolutionär.

Im 19. Jahrhundert entwickelten Francis Galton (1822–1911) und Karl Pearson (1857–1936) die moderne mathematische Statistik. Sie führten Begriffe wie Korrelation und Standardabweichung ein. Ronald A. Fisher (1890–1962) erfand später die Versuchsplanung. Seine Methoden prägen bis heute jede wissenschaftliche Studie.

Ein eindrückliches Beispiel zeigt, wie mächtig Statistik sein kann. Florence Nightingale (1820–1910), die Pionierin der Krankenpflege, nutzte Statistiken im Krimkrieg. Sie wies nach, dass mehr Soldaten an Hygienemängeln starben als an Verwundungen. Ihre Polar-Area-Diagramme retteten unzählige Leben und überzeugten skeptische Politiker.

Heute ist Statistik überall. Wetterprognosen, Fussballergebnisse, Umfragen vor Abstimmungen – nichts davon funktioniert ohne saubere Datenerhebung. Suchmaschinen, Streamingdienste und soziale Netzwerke sammeln riesige Datenmengen. Die Methoden, mit denen du jetzt beginnst, sind die Basis für das ganze Datenzeitalter.

Die Grundlagen

Bevor du Daten auswertest, musst du klären: Wen oder was untersuchst du? Und welches Merkmal interessiert dich? Diese Fragen stehen am Anfang jeder statistischen Untersuchung.

Definition

Die Grundgesamtheit umfasst alle Objekte oder Personen, über die du eine Aussage treffen willst. Man nennt sie auch Population. Jedes Element dieser Menge heisst statistische Einheit oder Merkmalsträger.

Ein Beispiel: Du willst wissen, wie viel Taschengeld Schweizer Jugendliche pro Monat erhalten. Die Grundgesamtheit sind dann alle Jugendlichen der Schweiz. Jeder einzelne Jugendliche ist eine statistische Einheit.

Definition

Eine Stichprobe ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit. Aus zeitlichen und finanziellen Gründen befragt man selten alle. Stattdessen wählt man eine kleinere Gruppe aus und schliesst von ihr auf die gesamte Population.

Die Grösse der Stichprobe ist ihr Umfang $n$. Für die Schweizer Jugendlichen könntest du $n = 500$ zufällig auswählen.

Definition

Das Merkmal ist die Eigenschaft, die du untersuchst (z. B. Taschengeld, Lieblingsfarbe, Körpergrösse). Die Merkmalsausprägung ist der konkrete Wert, den diese Eigenschaft bei einer Einheit annimmt (z. B. 50 CHF, blau, 1.72 m).

Wichtig ist: Die Grundgesamtheit muss klar definiert sein. “Alle Jugendlichen” reicht nicht. “Alle Schweizer Jugendlichen zwischen 12 und 16 Jahren im Jahr 2026” ist präzise. Nur so sind deine Ergebnisse nachvollziehbar und vergleichbar.

Die Kernmethode

Jetzt weisst du, was du untersuchen willst. Bleibt die Frage: Wie kommst du an die Daten? Und welche Art von Daten erhältst du?

Definition

• Befragung (Umfrage): Menschen geben mündlich oder schriftlich Antworten auf deine Fragen.
• Beobachtung: Du zählst oder misst, ohne einzugreifen (z. B. Autos an einer Kreuzung).
• Experiment: Du veränderst eine Bedingung gezielt und misst den Effekt (z. B. Pflanzenwachstum bei verschiedenen Lichtmengen).

Nicht jede Methode passt zu jeder Frage. Für Meinungen brauchst du Umfragen. Für Verhalten eignet sich Beobachtung. Für Ursache-Wirkung-Zusammenhänge sind Experimente notwendig.

Definition

• Qualitative Merkmale lassen sich nicht sinnvoll rechnen. Beispiel: Lieblingsfarbe, Geschlecht, Augenfarbe.
  • Nominal: keine Reihenfolge (Farben, Städte)
  • Ordinal: mit Reihenfolge (Schulnoten, Zufriedenheit: gering/mittel/hoch)
• Quantitative Merkmale sind zahlenmässige Werte. Beispiel: Alter, Gewicht, Einkommen.
  • Diskret: abzählbar (Kinderzahl, Würfelaugen)
  • Stetig: beliebig fein messbar (Länge, Zeit, Temperatur)

Zum Schluss unterscheidest du absolute und relative Häufigkeiten. Die absolute Häufigkeit $H(x_i)$ zählt, wie oft ein Wert vorkommt. Die relative Häufigkeit $h(x_i)$ gibt den Anteil am Gesamtumfang $n$ an:

$h(x_i) = \dfrac{H(x_i)}{n}$

Damit kannst du verschiedene Stichproben vergleichen – auch bei unterschiedlichem Umfang.

Beispiel:

Beispiel 1: Taschengeld in der Klasse

Du befragst 20 Schüler deiner Klasse, wie viel Taschengeld sie pro Monat erhalten. Das Ergebnis ist eine Urliste (in CHF):

$30, 50, 40, 50, 60, 30, 70, 50, 40, 30, 50, 60, 40, 50, 70, 30, 50, 40, 60, 50$

Lösung:

• Grundgesamtheit: Schüler deiner Klasse
• Stichprobenumfang: $n = 20$
• Merkmal: monatliches Taschengeld
• Merkmalstyp: quantitativ, diskret (in 10er-Schritten angegeben)

Absolute Häufigkeiten:

• 30 CHF: $H = 4$
• 40 CHF: $H = 4$
• 50 CHF: $H = 6$
• 60 CHF: $H = 3$
• 70 CHF: $H = 2$

Relative Häufigkeit für 50 CHF: $h = \dfrac{6}{20} = 0{,}30 = 30\,\%$.

Kontrolle: Die Summe aller absoluten Häufigkeiten muss $n = 20$ ergeben: $4 + 4 + 6 + 3 + 2 = 20$.

Beispiel:

Beispiel 2: Augenfarbe in zwei Klassen

Klasse A (25 Schüler): 12 blau, 8 braun, 3 grün, 2 grau. Klasse B (18 Schüler): 6 blau, 7 braun, 3 grün, 2 grau.

Lösung:

• Merkmal: Augenfarbe
• Merkmalstyp: qualitativ, nominal

Relative Häufigkeiten für “blau”:

• Klasse A: $h_A = \dfrac{12}{25} = 0{,}48 = 48\,\%$
• Klasse B: $h_B = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333 = 33{,}3\,\%$

Obwohl Klasse A in absoluten Zahlen doppelt so viele blauäugige Schüler hat, zeigt der relative Anteil einen weniger grossen Unterschied. Nur so kannst du Stichproben unterschiedlicher Grösse fair vergleichen.

Die Summe aller relativen Häufigkeiten in einer Klasse muss stets 1 bzw. 100 % ergeben: $h_{\text{blau}} + h_{\text{braun}} + h_{\text{grün}} + h_{\text{grau}} = 1$. Diese Kontrolle hilft beim Überprüfen deiner Rechnung.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Verzerrte Stichprobe: Wenn du nur deine Freunde befragst, vertreten sie nicht “die Jugend”. Sie teilen deine Interessen, dein Alter, deinen Wohnort. Eine gute Stichprobe muss die Grundgesamtheit widerspiegeln. Ideal ist eine Zufallsstichprobe, bei der jedes Element dieselbe Chance hat, ausgewählt zu werden.

Achtung

Suggestivfragen: “Stimmst du der sinnvollen Handyregel an deiner Schule zu?” ist keine neutrale Frage. Das Wort “sinnvoll” lenkt die Antwort. Formuliere neutral: “Welche Handyregel hältst du für angemessen?”

Achtung

Absolute vs. relative Häufigkeit verwechseln: “Bei uns gibt es 50 Fälle mehr als in Zug.” Das klingt nach viel. Aber wenn in Zug 10 und bei dir 60 Fälle sind, ist der Anstieg relativ gigantisch. Bei 10’000 und 10’060 Fällen dagegen winzig. Immer fragen: Wovon?

Achtung

Skala falsch wählen: Ordinale Daten (z. B. Zufriedenheitsnoten 1–6) darfst du nicht einfach mitteln wie Messwerte. Zwischen Note 2 und 3 liegt nicht zwingend der gleiche “Abstand” wie zwischen 5 und 6. Rechne nur, was die Skala erlaubt.

Beispiel:

Beispiel 3: Zufallsstichprobe aus der Schule

An deiner Schule sind 480 Jugendliche. Du willst 40 für eine Umfrage auswählen. Wie gehst du vor?

Lösung:

Schritt 1: Nummeriere alle 480 Schüler von 1 bis 480.

Schritt 2: Generiere 40 Zufallszahlen zwischen 1 und 480. In einer Tabellenkalkulation nutzt du die Formel =ZUFALLSBEREICH(1;480).

Schritt 3: Dopplungen ersetzt du durch neue Zufallszahlen, bis du 40 verschiedene Nummern hast.

Schritt 4: Befrage die Schüler mit diesen Nummern.

Der Anteil $\dfrac{40}{480} = \dfrac{1}{12} \approx 8{,}3\,\%$ ist der Auswahlsatz. Jeder Schüler hatte die Chance $\dfrac{40}{480} \approx 8{,}3\,\%$, in die Stichprobe zu kommen. So schaltest du Vorlieben aus und erhältst ein realistisches Abbild der Schule.

Alternative: geschichtete Stichprobe. Du teilst die Schule nach Klassenstufen in Gruppen und ziehst aus jeder Gruppe anteilig. So sind auch kleinere Stufen angemessen vertreten.

Beispiel:

Beispiel 4: Merkmalstypen erkennen

Ordne die folgenden Merkmale richtig ein:

a) Schuhgrösse b) Lieblingssport c) Körpergrösse d) Schulnote e) Anzahl Geschwister f) Postleitzahl

Lösung:

a) Schuhgrösse: quantitativ, diskret (nur bestimmte Werte wie 38, 39, 40 …). Man kann Mittelwerte bilden, aber in der Realität gibt es keine Grösse 38,73.

b) Lieblingssport: qualitativ, nominal (Fussball, Ski, Tennis – keine Rangfolge).

c) Körpergrösse: quantitativ, stetig (beliebige Zwischenwerte möglich; 1,734 m existiert).

d) Schulnote: qualitativ, ordinal (Note 5 ist besser als 4, aber “besser um 1” ist nicht messbar wie bei Metern).

e) Anzahl Geschwister: quantitativ, diskret (nur 0, 1, 2, …; 1,5 Geschwister gibt es nicht).

f) Postleitzahl: qualitativ, nominal (obwohl sie wie eine Zahl aussieht, rechnet man nicht damit; PLZ 8000 ist nicht “doppelt so gross” wie 4000).

Merke: Nicht jede Ziffernfolge ist automatisch eine Zahl im statistischen Sinn. Frag dich: Ergibt ein Mittelwert für dieses Merkmal Sinn?

Vertiefung

Statistik ist nie ohne Fehlerquellen. Gerade in der Erhebungsphase schleichen sich subtile Probleme ein, die das Ergebnis unbrauchbar machen können.

Definition

• Repräsentativität: Die Stichprobe bildet die Grundgesamtheit strukturell ab.
• Nonresponse-Bias: Menschen, die nicht antworten, unterscheiden sich möglicherweise systematisch von Antwortenden.
• Self-Selection-Bias: Wer sich freiwillig beteiligt, hat oft stärkere Meinungen (z. B. Online-Umfragen, Leserbriefe).
• Messfehler: Ungenauigkeiten durch Messgeräte oder Antwortverhalten (z. B. Übertreibungen).

Ein klassisches Beispiel: Die US-Präsidentschaftswahl 1936. Die Zeitschrift Literary Digest verschickte 10 Millionen Fragebogen und erhielt 2,4 Millionen zurück. Sie prognostizierten einen klaren Sieg des republikanischen Kandidaten Alf Landon. Gewonnen hat jedoch Franklin D. Roosevelt – mit einem Erdrutschsieg. Der Fehler: Die Stichprobe stammte aus Telefonbüchern und Autoregistern. In der Wirtschaftskrise hatten nur Wohlhabende diese Güter. Die Stichprobe war nicht repräsentativ.

Daraus lernte man: Grösse ist nicht alles. George Gallup befragte parallel nur 50’000 zufällig ausgewählte Menschen – und prognostizierte korrekt. Eine gut geplante kleine Stichprobe schlägt eine grosse, verzerrte.

Für die Schweiz gilt: Das Bundesamt für Statistik (BFS) führt regelmässig die Strukturerhebung durch. Sie befragt rund 200’000 zufällig ausgewählte Personen. Diese Stichprobe erlaubt Aussagen über die gesamte Schweizer Wohnbevölkerung von über 8,9 Millionen.

Ein letzter Aspekt ist die Datenqualität. Selbst eine perfekte Stichprobe nützt nichts, wenn Fragen missverstanden werden. Pilotstudien (Vorab-Tests mit wenigen Personen) decken solche Probleme auf. Professionelle Umfragen testen jeden Fragebogen vorher an einer kleinen Gruppe.

Beispiel:

Beispiel 5: Online-Umfrage kritisch prüfen

Eine Zeitung schreibt: “75 % unserer Leser finden das neue Tram unnötig. An unserer Online-Umfrage beteiligten sich 1200 Personen.”

Lösung:

Welche Probleme hat diese Erhebung?

1. Grundgesamtheit unklar: Wer sind “die Leser”? Abonnenten? Website-Besucher? Facebook-Follower?

2. Self-Selection-Bias: Wer an Online-Umfragen teilnimmt, interessiert sich besonders für das Thema. Unzufriedene klicken häufiger.

3. Keine Zufallsauswahl: Die Teilnehmenden haben sich selbst gemeldet. Sie sind keine Zufallsstichprobe.

4. Mehrfachabgabe möglich: Online-Umfragen ohne Authentifizierung lassen sich manipulieren.

5. Beeinflussung durch Fragestellung: Wortwahl wie “das neue, unnötig teure Tram” verzerrt Antworten.

Fazit: Die Zahl “75 %” ist statistisch wertlos, obwohl 1200 Teilnehmer viel klingen. Für eine belastbare Aussage bräuchte man eine Zufallsstichprobe aus einer klar definierten Grundgesamtheit (z. B. Stimmberechtigte der Stadt). Sei also kritisch, wenn du solche Zahlen liest.

Übungen

Aufgabe 1 (Begriffsklärung) An einer Schule wird das Gewicht der Schultaschen gemessen. 50 Schüler werden zufällig ausgewählt. Benenne Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang, Merkmal und Merkmalstyp.

Aufgabe 2 (Merkmalstypen) Ordne jedes Merkmal einer Kategorie zu (qualitativ nominal/ordinal, quantitativ diskret/stetig): a) Herkunftsland b) Reaktionszeit in Sekunden c) Anzahl gelesener Bücher d) T-Shirt-Grösse (S, M, L, XL) e) Hausnummer f) Temperatur

Aufgabe 3 (Relative Häufigkeit) In einer Klasse mit 24 Schülern haben 9 ein Haustier. Berechne die relative Häufigkeit und drücke sie als Prozentzahl aus.

Aufgabe 4 (Vergleichen) Klasse A: 18 von 30 Schülern gehen zu Fuss zur Schule. Klasse B: 15 von 22 gehen zu Fuss. Welche Klasse hat anteilig mehr Fussgänger?

Aufgabe 5 (Erhebungsmethode wählen) Welche Erhebungsmethode (Befragung, Beobachtung, Experiment) passt am besten? a) Die Lieblingsband der Schüler b) Die Wartezeit an einer Bushaltestelle c) Der Einfluss des Düngers auf das Pflanzenwachstum

Aufgabe 6 (Suggestivfrage erkennen) Eine Frage lautet: “Findest du nicht auch, dass die neue Mensa viel besser ist als die alte?” Formuliere sie neutral um.

Aufgabe 7 (Stichprobe planen) An einer Schule mit 600 Schülern soll eine Umfrage unter 50 Schülern stattfinden. Beschreibe, wie du eine einfache Zufallsstichprobe ziehst.

Aufgabe 8 (Häufigkeitsverteilung) Die Urliste der Anzahl Geschwister in einer Klasse (20 Schüler) lautet: $0, 1, 2, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 2, 4, 1, 2, 1, 3, 0, 1, 2$

Erstelle eine Tabelle mit absoluten und relativen Häufigkeiten.

Aufgabe 9 (Verzerrung erkennen) Ein Reporter befragt Passanten in einer Einkaufsstrasse um 15 Uhr an einem Werktag, wie oft sie arbeiten. Welche Gruppen sind in dieser Stichprobe wahrscheinlich unterrepräsentiert und warum?

Aufgabe 10 (Kritische Analyse) “80 % der Hundebesitzer bestätigen: Unser Futter ist das beste!” Was wirft diese Werbeaussage statistisch auf? Nenne mindestens drei Probleme.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Grundgesamtheit ist die Gruppe, über die du Aussagen machst. Die Stichprobe ist eine Teilmenge.
• Der Stichprobenumfang $n$ gibt die Grösse deiner Auswahl an.
• Merkmale sind qualitativ (nominal/ordinal) oder quantitativ (diskret/stetig).
• Drei Erhebungsmethoden: Befragung, Beobachtung, Experiment.
• Absolute Häufigkeit $H$ zählt, relative Häufigkeit $h = \dfrac{H}{n}$ setzt ins Verhältnis.
• Eine Zufallsstichprobe gibt jedem Element die gleiche Chance, ausgewählt zu werden.
• Achte auf Suggestivfragen, Self-Selection-Bias und verzerrte Stichproben.
• Grösse allein macht keine gute Statistik – Repräsentativität ist entscheidend.

❓ Frage:

Du willst wissen, wie viele Schweizer Haushalte ein Elektroauto besitzen, und befragst 500 Besucher an einer Tesla-Messe. Was ist das Hauptproblem? a) Die Stichprobe ist zu klein. b) Die Stichprobe ist nicht repräsentativ. c) Das Merkmal ist qualitativ. d) Es handelt sich nicht um eine Zufallsstichprobe im engeren Sinn – aber das reicht.

Lösung anzeigen

b) Die Stichprobe ist nicht repräsentativ. Menschen, die eine Tesla-Messe besuchen, interessieren sich überdurchschnittlich für Elektroautos. Die Schätzung wäre viel zu hoch.

❓ Frage:

Welche Aussage über qualitative und quantitative Merkmale ist korrekt? a) Schulnoten sind quantitativ stetig. b) Geschlecht ist quantitativ diskret. c) Alter in ganzen Jahren ist quantitativ diskret. d) Augenfarbe ist quantitativ nominal.

Lösung anzeigen

c) Alter in ganzen Jahren ist quantitativ diskret. Schulnoten sind qualitativ ordinal (nicht stetig), Geschlecht und Augenfarbe sind qualitativ nominal – nicht quantitativ.

❓ Frage:

In einer Stichprobe von $n = 200$ Personen beantworten 30 die Frage mit “ja”. Wie gross ist die relative Häufigkeit?

Lösung anzeigen

$h = \dfrac{30}{200} = 0{,}15 = 15\,\%$

❓ Frage:

Welche Erhebungsmethode ist für folgende Frage geeignet: “Wirkt Koffein auf die Konzentrationsfähigkeit?” a) Umfrage b) Beobachtung c) Experiment d) Internetrecherche

Lösung anzeigen

c) Experiment. Nur ein Experiment mit kontrollierter Koffeingabe (und einer Vergleichsgruppe ohne Koffein) erlaubt Ursache-Wirkung-Aussagen.

❓ Frage:

Eine Zeitung schreibt: “Unsere Umfrage unter 2000 Leserbriefverfassern ergab: 90 % sind gegen das Projekt.” Warum ist das Ergebnis statistisch problematisch?

Lösung anzeigen

Wer Leserbriefe schreibt, hat meist eine starke Meinung. Das ist Self-Selection-Bias: Die Stichprobe rekrutiert sich freiwillig und ist nicht repräsentativ für alle Leser. Eine Zufallsstichprobe ergäbe wahrscheinlich ein deutlich anderes Bild.

Ausblick

Jetzt hast du das Fundament. Im nächsten Schritt lernst du, wie du Daten ordnest und in Häufigkeitstabellen überführst. Danach visualisierst du sie in Säulen-, Kreis- und Liniendiagrammen. Später berechnest du Kennwerte wie Mittelwert, Median und Standardabweichung. Diese beschreiben die Daten in einer einzigen Zahl. Und schliesslich wirst du statistische Aussagen kritisch hinterfragen – denn Zahlen lügen nicht, aber ihre Präsentation manchmal schon.

Lösungen

Lösung 1 (Begriffsklärung)

• Grundgesamtheit: Alle Schüler der Schule
• Stichprobe: 50 zufällig ausgewählte Schüler
• Stichprobenumfang: $n = 50$
• Merkmal: Gewicht der Schultasche
• Merkmalstyp: quantitativ, stetig (beliebige Zwischenwerte möglich, z. B. 4,37 kg)

Lösung 2 (Merkmalstypen)

a) Herkunftsland – qualitativ, nominal (keine Reihenfolge) b) Reaktionszeit in Sekunden – quantitativ, stetig (beliebig fein messbar) c) Anzahl gelesener Bücher – quantitativ, diskret (nur ganze Zahlen) d) T-Shirt-Grösse (S, M, L, XL) – qualitativ, ordinal (hat eine Reihenfolge) e) Hausnummer – qualitativ, nominal (trotz Zahl nicht rechnerisch nutzbar; Hausnummer 20 ist nicht “doppelt” so gross wie Hausnummer 10) f) Temperatur – quantitativ, stetig

Lösung 3 (Relative Häufigkeit)

$h = \dfrac{9}{24} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%$

Lösung 4 (Vergleichen)

Klasse A: $h_A = \dfrac{18}{30} = 0{,}60 = 60\,\%$ Klasse B: $h_B = \dfrac{15}{22} \approx 0{,}682 \approx 68{,}2\,\%$

Klasse B hat anteilig mehr Fussgänger (68,2 % vs. 60 %), obwohl die absolute Zahl kleiner ist.

Lösung 5 (Erhebungsmethode)

a) Lieblingsband – Befragung (Meinungen ermittelt man durch Fragen) b) Wartezeit – Beobachtung (man misst ohne einzugreifen) c) Dünger-Wirkung – Experiment (man vergleicht verschiedene Düngemengen systematisch)

Lösung 6 (Suggestivfrage)

Neutrale Umformulierung: “Wie vergleichst du die neue Mensa mit der alten?” oder “Wie bewertest du die neue Mensa?” Mögliche Antwortskala: viel schlechter / schlechter / gleich / besser / viel besser.

Lösung 7 (Stichprobe planen)

1. Nummeriere alle 600 Schüler durch (1 bis 600).
2. Nutze Zufallszahlen (z. B. =ZUFALLSBEREICH(1;600) in einer Tabellenkalkulation).
3. Ziehe 50 verschiedene Nummern. Dopplungen ersetzen durch neue Ziehungen.
4. Befrage die 50 Schüler mit den gezogenen Nummern.

Der Auswahlsatz beträgt $\dfrac{50}{600} \approx 8{,}3\,\%$. Jeder Schüler hat die gleiche Chance, gezogen zu werden.

Lösung 8 (Häufigkeitsverteilung)

Zuerst Werte sortieren und zählen:

Anzahl Geschwister	Absolute Häufigkeit $H$	Relative Häufigkeit $h$
0	4	$\dfrac{4}{20} = 0{,}20 = 20\,\%$
1	8	$\dfrac{8}{20} = 0{,}40 = 40\,\%$
2	5	$\dfrac{5}{20} = 0{,}25 = 25\,\%$
3	2	$\dfrac{2}{20} = 0{,}10 = 10\,\%$
4	1	$\dfrac{1}{20} = 0{,}05 = 5\,\%$
Summe	20	1,00 = 100 %

Kontrolle: Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist $n = 20$. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist 1 bzw. 100 %.

Lösung 9 (Verzerrung)

Unterrepräsentierte Gruppen:

• Berufstätige: Sie arbeiten zu Bürozeiten und sind um 15 Uhr nicht in der Einkaufsstrasse.
• Schulkinder (je nach Stundenplan): Viele sind um 15 Uhr noch im Unterricht.
• Landbewohner: Wer in der Stadt einkauft, wohnt häufiger in der Stadt.

Überrepräsentiert sind Rentner, Teilzeitkräfte, arbeitslose Personen und Schüler nach Schulschluss. Die Aussage “die meisten Befragten arbeiten wenig” wäre also verzerrt.

Lösung 10 (Werbung)

Mindestens drei Probleme:

1. Undefinierte Grundgesamtheit: Welche Hundebesitzer? Schweizweit? Kunden des Herstellers?
2. Self-Selection-Bias: Vermutlich wurden nur Kunden befragt, die das Futter bereits kaufen. Zufriedene Kunden antworten.
3. Keine Vergleichsbasis: “Das beste” im Vergleich wozu? Gegen wen wurde getestet?
4. Stichprobenumfang fehlt: Vielleicht waren es nur 10 Hundebesitzer, von denen 8 zustimmten.
5. Suggestive Formulierung: “Bestätigen Sie, dass unser Futter gut ist?” verzerrt Antworten.

Solche Aussagen sind Werbung, keine Statistik. Seriöse Angaben nennen Grundgesamtheit, Stichprobenumfang und Methode.

Verwandte Themen

• Statistische Erhebungen einfach erklärt
• Häufigkeiten & Tabellen
• Daten visualisieren (Diagramme)

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport