Statistische Erhebungen: Grundgesamtheit, Stichprobe, Merkmale

Von Dario·Zuletzt aktualisiert: 8. Oktober 2026

Weiterführend:

Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 7 Kompetenzen

MA.3.A.1.kGrundanspruchBegriffe absolute und relative Häufigkeit, x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Einheitsstrecke, Wahrscheinlichkeit; Masseinheiten Geschwindigkeit (km/h, m/s, kB/s, dpi)
MA.3.B.2.eGrundanspruchHäufigkeiten experimentell bestimmen und Vermutungen zu Wahrscheinlichkeiten formulieren; unbekannte Fragestellungen zu Kombinatorik/Wahrscheinlichkeit bearbeiten
MA.3.A.1.lBegriffe Steigung in %, Zins, Zinssatz, Kapital, Rabatt, Brutto, Netto
MA.3.A.1.mBegriffe (lineare) Funktion, sichere/mögliche/unmögliche Ereignisse, Flussdiagramm, Bit, Byte; Vorsätze Mikro, Nano; Masseinheiten Dichte (kg/dm³, g/cm³)
MA.3.B.2.fWahrscheinlichkeiten und statistische Angaben überprüfen und begründen
MA.3.C.1.jBeziehungen zwischen Grössen datengestützt herstellen; soziale, wirtschaftliche und ökologische Fragestellungen bearbeiten
MA.3.C.2.hWertetabellen, Diagramme, Sachtexte, Terme und Graphen einander zuordnen und interpretieren; Sachsituationen nach funktionalen, statistischen und probabilistischen Gesichtspunkten bearbeiten

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Grundlagen & Datenerhebung: die Idee

Bevor du Daten auswertest, musst du klären: Wen oder was untersuchst du? Und welches Merkmal interessiert dich? Diese Fragen stehen am Anfang jeder statistischen Untersuchung.

Ein Beispiel: Du willst wissen, wie viel Taschengeld Schweizer Jugendliche pro Monat erhalten. Die Grundgesamtheit sind dann alle Jugendlichen der Schweiz. Jeder einzelne Jugendliche ist eine statistische Einheit.

Die Grösse der Stichprobe ist ihr Umfang $n$ . Die Anzahl Elemente der Grundgesamtheit bezeichnet man mit $N$ . Für die Schweizer Jugendlichen könntest du $n = 500$ zufällig auswählen.

Eine Vollerhebung liefert exakte Ergebnisse, ist aber teuer, langsam und manchmal gar nicht möglich. Die Schweiz führte bis 2000 alle zehn Jahre eine Volkszählung als Vollerhebung durch. Seit 2010 stützt sich das Bundesamt für Statistik (BFS) auf die Einwohnerregister und ergänzt sie mit jährlichen Stichprobenerhebungen. Manchmal ist eine Vollerhebung sogar sinnlos: Wer die Lebensdauer von Glühbirnen prüft, lässt sie bis zum Ausfall brennen. Nach einer Vollerhebung wäre keine Birne mehr zu verkaufen. Eine Teilerhebung spart Zeit und Geld, dafür sind ihre Ergebnisse mit einer gewissen Unsicherheit behaftet.

Wichtig ist: Die Grundgesamtheit muss klar abgegrenzt sein, und zwar in drei Richtungen.

Räumlich: Für welches Gebiet sollen die Ergebnisse gelten? Zum Beispiel die Stadt Zürich, der Kanton Bern oder die ganze Schweiz.
Zeitlich: Auf welchen Zeitpunkt oder Zeitraum bezieht sich die Erhebung? Zum Beispiel “Stand 1. Januar 2026” oder “im Schuljahr 2025/26”. Das ist besonders wichtig bei Grössen, die sich schnell ändern.
Sachlich: Welche Eigenschaften muss eine Einheit haben, um dazuzugehören? Zum Beispiel “Jugendliche zwischen 12 und 16 Jahren”.

“Alle Jugendlichen” reicht also nicht. “Alle Jugendlichen zwischen 12 und 16 Jahren mit Wohnsitz in der Schweiz am 1. Januar 2026” ist präzise. Eine ungenaue Abgrenzung wirft Fragen auf: Gehören zu “Schüler in der Schweiz” auch Lernende an Berufsfachschulen? Privatschüler? Austauschschüler? Nur mit einer klaren Abgrenzung sind deine Ergebnisse nachvollziehbar und vergleichbar.

Grundlagen & Datenerhebung: der Rechenweg

Jetzt weisst du, was du untersuchen willst. Bleibt die Frage: Wie kommst du an die Daten? Und welche Art von Daten erhältst du?

Nicht jede Methode passt zu jeder Frage. Für Meinungen brauchst du Umfragen. Für Verhalten eignet sich Beobachtung. Für Ursache-Wirkung-Zusammenhänge sind Experimente notwendig.

Beobachtung: offen oder verdeckt. Bei einer offenen Beobachtung wissen die Beobachteten Bescheid. Das kann ihr Verhalten verändern: Wer merkt, dass gezählt wird, geht seltener bei Rot über die Strasse. Bei einer verdeckten Beobachtung merken die Beobachteten nichts davon. Dann stellen sich ethische Fragen und Fragen zum Datenschutz.

Experiment: mit Kontrollgruppe. In einem Experiment vergleichst du meist zwei Gruppen. Die Experimentalgruppe erhält die Veränderung, zum Beispiel einen Wirkstoff. Die Kontrollgruppe erhält sie nicht. Oft bekommt sie ein Placebo, ein gleich aussehendes Scheinmittel ohne Wirkstoff. So erleben beide Gruppen dasselbe und unterscheiden sich nur im Wirkstoff. Wer in welche Gruppe kommt, wird ausgelost. Nur so kannst du einen Unterschied zwischen den Gruppen der Veränderung zuschreiben.

Noch genauer beschreibt das Skalenniveau, was du mit den Ausprägungen eines Merkmals tun darfst. Es gibt vier Skalenniveaus, die aufeinander aufbauen: Jede Stufe erlaubt alles, was die vorherige erlaubt, und noch etwas mehr.

Skalenniveau	Was ist sinnvoll?	Beispiele
Nominalskala	nur gleich oder verschieden	Augenfarbe, Wohnort
Ordinalskala	zusätzlich eine Rangfolge	Schulnoten, Zufriedenheit
Intervallskala	zusätzlich gleiche Abstände: Differenzen sind sinnvoll	Temperatur in °C, Jahreszahlen
Verhältnisskala	zusätzlich ein natürlicher Nullpunkt: Verhältnisse sind sinnvoll	Körpergewicht, Länge, Zeitdauer

Nominal- und ordinalskalierte Merkmale sind qualitativ. Intervall- und verhältnisskalierte Merkmale sind quantitativ.

Nominal: “Blau” ist weder grösser noch kleiner als “braun”.
Ordinal: Eine 5 ist besser als eine 4. Der Abstand zwischen 5 und 4 muss aber nicht gleich gross sein wie der zwischen 4 und 3.
Intervall: Der Unterschied zwischen 10 °C und 20 °C ist gleich gross wie der zwischen 20 °C und 30 °C. Aber 0 °C bedeutet nicht “keine Temperatur”. Deshalb ist 20 °C nicht “doppelt so warm” wie 10 °C.
Verhältnis: 80 kg sind doppelt so viel wie 40 kg, und 0 kg bedeutet tatsächlich “kein Gewicht”.

Zum Schluss unterscheidest du absolute und relative Häufigkeiten. Die absolute Häufigkeit $H(x_i)$ zählt, wie oft ein Wert vorkommt. Die relative Häufigkeit $h(x_i)$ gibt den Anteil am Gesamtumfang $n$ an:

$h(x_i) = \dfrac{H(x_i)}{n}$

Damit kannst du verschiedene Stichproben vergleichen – auch bei unterschiedlichem Umfang.

Beispiel:

Taschengeld in der Klasse

Du befragst alle 20 Schüler deiner Klasse, wie viel Taschengeld sie pro Monat erhalten. Das Ergebnis ist eine Urliste (in CHF):

30, 50, 40, 50, 60, 30, 70, 50, 40, 30, 50, 60, 40, 50, 70, 30, 50, 40, 60, 50

Lösung:

Grundgesamtheit: alle 20 Schüler deiner Klasse
Erhebungsart: Du befragst alle, also eine Vollerhebung mit $n = N = 20$
Merkmal: monatliches Taschengeld
Merkmalstyp: quantitativ, diskret (in 10er-Schritten angegeben), Verhältnisskala

Absolute und relative Häufigkeiten:

Taschengeld	Absolute Häufigkeit $H$	Relative Häufigkeit $h$
30 CHF	4	$\dfrac{4}{20} = 0{,}20 = 20\,\%$
40 CHF	4	$\dfrac{4}{20} = 0{,}20 = 20\,\%$
50 CHF	7	$\dfrac{7}{20} = 0{,}35 = 35\,\%$
60 CHF	3	$\dfrac{3}{20} = 0{,}15 = 15\,\%$
70 CHF	2	$\dfrac{2}{20} = 0{,}10 = 10\,\%$
Summe	20	1,00 = 100 %

Kontrolle: Die Summe aller absoluten Häufigkeiten muss $n = 20$ ergeben: $4 + 4 + 7 + 3 + 2 = 20$ ✓. Die relativen Häufigkeiten ergeben zusammen $0{,}20 + 0{,}20 + 0{,}35 + 0{,}15 + 0{,}10 = 1$ ✓.

Beispiel:

Augenfarbe in zwei Klassen

Klasse A (25 Schüler): 12 blau, 8 braun, 3 grün, 2 grau. Klasse B (18 Schüler): 6 blau, 7 braun, 3 grün, 2 grau.

Lösung:

Merkmal: Augenfarbe
Merkmalstyp: qualitativ, nominal

Relative Häufigkeiten für “blau”:

Klasse A: $h_A = \dfrac{12}{25} = 0{,}48 = 48\,\%$
Klasse B: $h_B = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333 = 33{,}3\,\%$

Obwohl Klasse A in absoluten Zahlen doppelt so viele blauäugige Schüler hat, zeigt der relative Anteil einen weniger grossen Unterschied. Nur so kannst du Stichproben unterschiedlicher Grösse fair vergleichen.

Die Summe aller relativen Häufigkeiten in einer Klasse muss stets 1 bzw. 100 % ergeben: $h_{\text{blau}} + h_{\text{braun}} + h_{\text{grün}} + h_{\text{grau}} = 1$ . Diese Kontrolle hilft beim Überprüfen deiner Rechnung.

Typische Fehler bei Grundlagen & Datenerhebung

Grundlagen & Datenerhebung in Aufgaben

Beispiel:

Zufallsstichprobe aus der Schule

An deiner Schule sind 480 Jugendliche. Du willst 40 für eine Umfrage auswählen. Wie gehst du vor?

Lösung:

Schritt 1: Nummeriere alle 480 Schüler von 1 bis 480.

Schritt 2: Generiere 40 Zufallszahlen zwischen 1 und 480. In einer Tabellenkalkulation nutzt du die Formel =ZUFALLSBEREICH(1;480).

Schritt 3: Dopplungen ersetzt du durch neue Zufallszahlen, bis du 40 verschiedene Nummern hast.

Schritt 4: Befrage die Schüler mit diesen Nummern.

Der Anteil $\dfrac{40}{480} = \dfrac{1}{12} \approx 8{,}3\,\%$ ist der Auswahlsatz. Jeder Schüler hatte die Chance $\dfrac{40}{480} \approx 8{,}3\,\%$ , in die Stichprobe zu kommen. So schaltest du Vorlieben aus und erhältst ein realistisches Abbild der Schule.

Alternative: geschichtete Stichprobe. Du teilst die Schule nach Klassenstufen in Gruppen und ziehst aus jeder Gruppe anteilig. So sind auch kleinere Stufen angemessen vertreten. Weitere Stichprobenverfahren findest du in der Vertiefung.

Beispiel:

Merkmalstypen erkennen

Ordne die folgenden Merkmale richtig ein:

a) Schuhgrösse b) Lieblingssport c) Körpergrösse d) Schulnote e) Anzahl Geschwister f) Postleitzahl

Lösung:

a) Schuhgrösse: quantitativ, diskret (nur bestimmte Werte wie 38, 39, 40 …). Man kann Mittelwerte bilden, aber in der Realität gibt es keine Grösse 38,73.

b) Lieblingssport: qualitativ, nominal (Fussball, Ski, Tennis – keine Rangfolge).

c) Körpergrösse: quantitativ, stetig (beliebige Zwischenwerte möglich; 1,734 m existiert).

d) Schulnote: qualitativ, ordinal (Note 5 ist besser als 4, aber “besser um 1” ist nicht messbar wie bei Metern).

e) Anzahl Geschwister: quantitativ, diskret (nur 0, 1, 2, …; 1,5 Geschwister gibt es nicht).

f) Postleitzahl: qualitativ, nominal (obwohl sie wie eine Zahl aussieht, rechnet man nicht damit; PLZ 8000 ist nicht “doppelt so gross” wie 4000).

Merke: Nicht jede Ziffernfolge ist automatisch eine Zahl im statistischen Sinn. Frag dich: Ergibt ein Mittelwert für dieses Merkmal Sinn?

Grundlagen & Datenerhebung genauer betrachtet

Statistik ist nie ohne Fehlerquellen. Gerade in der Erhebungsphase schleichen sich subtile Probleme ein, die das Ergebnis unbrauchbar machen können. Entscheidend ist, wie die Stichprobe gezogen wird.

Ein Beispiel: Eine Kantonsschule hat $N = 1\,200$ Schüler in $40$ Klassen zu je $30$ Personen. Gesucht ist eine Stichprobe von $n = 120$ Personen, also $10\,\%$ .

Einfache Zufallsstichprobe: $120$ Nummern aus der Schülerliste auslosen. Jede Person kommt mit Wahrscheinlichkeit $\dfrac{120}{1\,200} = \dfrac{1}{10}$ in die Stichprobe.
Geschichtete Stichprobe: Aus jeder Klasse $3$ Personen auslosen, insgesamt $40 \cdot 3 = 120$ . Weil alle Klassen gleich gross sind, ist das proportional: Wieder kommt jede Person mit Wahrscheinlichkeit $\dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}$ in die Stichprobe, und jede Klasse ist sicher vertreten.
Klumpenstichprobe: $4$ der $40$ Klassen auslosen und alle $4 \cdot 30 = 120$ Personen dieser Klassen befragen. Das ist am einfachsten zu organisieren. Ähneln sich die Personen innerhalb einer Klasse stark, wird das Ergebnis aber ungenauer.
Gelegenheitsstichprobe: Die ersten $120$ Personen befragen, die in die Mensa kommen. Wer nie in der Mensa isst, fehlt. Die Stichprobe ist verzerrt.

Wie gross muss eine Stichprobe sein?

Das hängt vor allem davon ab, wie genau das Ergebnis sein soll. Erstaunlicherweise spielt die Grösse der Grundgesamtheit kaum eine Rolle, solange sie viel grösser ist als die Stichprobe. Für Anteile gilt bei einer Zufallsstichprobe die Faustregel: Der Anteil in der Stichprobe weicht mit hoher Sicherheit (rund $95\,\%$ ) höchstens um etwa $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ vom wahren Anteil ab.

Stichprobenumfang $n$	ungefähre Fehlergrenze $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$
$400$	$0{,}05$ , also $5$ Prozentpunkte
$1\,000$	$\approx 0{,}032$ , also gut $3$ Prozentpunkte
$10\,000$	$0{,}01$ , also $1$ Prozentpunkt

Doppelte Genauigkeit kostet also die vierfache Stichprobe. Für eine Genauigkeit von etwa $5$ Prozentpunkten genügen rund $400$ Befragte, ob die Grundgesamtheit nun 10’000 oder mehrere Millionen Personen umfasst. Klassische Meinungsumfragen arbeiten oft mit 1’000 bis 2’000 Befragten. Die Faustregel gilt aber nur für Zufallsstichproben: Eine grosse, verzerrte Stichprobe wird durch ihre Grösse nicht besser. Das zeigt die Umfrage des Literary Digest weiter unten.

Ein klassisches Beispiel: Die US-Präsidentschaftswahl 1936. Die Zeitschrift Literary Digest verschickte 10 Millionen Fragebogen und erhielt 2,4 Millionen zurück. Sie prognostizierte einen klaren Sieg des republikanischen Kandidaten Alf Landon. Gewonnen hat jedoch Franklin D. Roosevelt – mit einem Erdrutschsieg. Der Fehler: Die Stichprobe stammte aus Telefonbüchern und Autoregistern. In der Wirtschaftskrise hatten nur Wohlhabende diese Güter. Die Stichprobe war nicht repräsentativ.

Daraus lernte man: Grösse ist nicht alles. George Gallup befragte parallel nur rund 50’000 nach Quoten ausgewählte Menschen – und prognostizierte korrekt. Eine gut geplante kleine Stichprobe schlägt eine grosse, verzerrte.

Für die Schweiz gilt: Das Bundesamt für Statistik (BFS) führt regelmässig die Strukturerhebung durch. Sie befragt rund 200’000 zufällig ausgewählte Personen. Diese Stichprobe erlaubt Aussagen über die gesamte Schweizer Wohnbevölkerung von über 8,9 Millionen.

Ein letzter Aspekt ist die Datenqualität. Selbst eine perfekte Stichprobe nützt nichts, wenn Fragen missverstanden werden. Pilotstudien (Vorab-Tests mit wenigen Personen) decken solche Probleme auf. Professionelle Umfragen testen jeden Fragebogen vorher an einer kleinen Gruppe.

Beispiel:

Online-Umfrage kritisch prüfen

Eine Zeitung schreibt: “75 % unserer Leser finden das neue Tram unnötig. An unserer Online-Umfrage beteiligten sich 1200 Personen.”

Lösung:

Welche Probleme hat diese Erhebung?

Grundgesamtheit unklar: Wer sind “die Leser”? Abonnenten? Website-Besucher? Facebook-Follower?
Self-Selection-Bias: Wer an Online-Umfragen teilnimmt, interessiert sich besonders für das Thema. Unzufriedene klicken häufiger.
Keine Zufallsauswahl: Die Teilnehmenden haben sich selbst gemeldet. Sie sind keine Zufallsstichprobe.
Mehrfachabgabe möglich: Online-Umfragen ohne Authentifizierung lassen sich manipulieren.
Beeinflussung durch Fragestellung: Wortwahl wie “das neue, unnötig teure Tram” verzerrt Antworten.

Fazit: Die Zahl “75 %” ist statistisch wertlos, obwohl 1200 Teilnehmer viel klingen. Für eine belastbare Aussage bräuchte man eine Zufallsstichprobe aus einer klar definierten Grundgesamtheit (z. B. Stimmberechtigte der Stadt). Sei also kritisch, wenn du solche Zahlen liest.

Beispiel:

Macht Koffein schneller?

Eine Sportwissenschaftlerin will wissen, ob Koffein die Reaktionszeit verkürzt. Plane die Erhebung und beurteile sie.

Lösung:

Grundgesamtheit: alle erwachsenen Amateursportlerinnen und Amateursportler in der Deutschschweiz. Ihre genaue Anzahl $N$ ist nicht bekannt.
Stichprobe: $n = 40$ Personen, die sich über Sportvereine melden, je $20$ Frauen und $20$ Männer. Das ist eine Gelegenheitsstichprobe, keine Zufallsstichprobe: Wer sich meldet, ist vielleicht besonders ehrgeizig oder trinkt besonders gern Kaffee. Die feste Aufteilung nach Geschlecht macht daraus noch keine geschichtete Zufallsstichprobe. Die Ergebnisse lassen sich deshalb nur vorsichtig auf alle Amateursportler übertragen.
Merkmal: Reaktionszeit in Millisekunden (ms), quantitativ und stetig. Sie hat eine Verhältnisskala: Es gibt einen natürlichen Nullpunkt, und “halb so lange” ist sinnvoll.
Erhebungsart: Experiment, Teilerhebung, Primärerhebung.
Gruppen: Die $40$ Personen werden per Los in zwei Gruppen zu je $20$ eingeteilt, mit je $10$ Frauen und $10$ Männern. Die Experimentalgruppe erhält eine Kapsel mit Koffein, die Kontrollgruppe eine gleich aussehende Kapsel ohne Wirkstoff (Placebo). Die Teilnehmenden wissen nicht, welche Kapsel sie bekommen haben. So unterscheiden sich die Gruppen nur im Koffein und nicht in der Erwartung, schneller zu sein.

Mögliches Ergebnis: Angenommen, die mittlere Reaktionszeit beträgt in der Experimentalgruppe $\bar{x}_E = 245$ ms und in der Kontrollgruppe $\bar{x}_K = 268$ ms. Dann war die Koffeingruppe im Mittel um $268 - 245 = 23$ ms schneller.

Ob dieser Unterschied mehr als Zufall ist, lässt sich bei $20$ Personen pro Gruppe nicht einfach ablesen. Dafür gibt es statistische Tests, die du später kennenlernst.

Übungen

Aufgabe 1 (Begriffsklärung) An einer Schule wird das Gewicht der Schultaschen gemessen. 50 Schüler werden zufällig ausgewählt. Benenne Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang, Merkmal und Merkmalstyp.

Aufgabe 2 (Merkmalstypen) Ordne jedes Merkmal einer Kategorie zu (qualitativ nominal/ordinal, quantitativ diskret/stetig): a) Herkunftsland b) Reaktionszeit in Sekunden c) Anzahl gelesener Bücher d) T-Shirt-Grösse (S, M, L, XL) e) Hausnummer f) Temperatur

Aufgabe 3 (Relative Häufigkeit) In einer Klasse mit 24 Schülern haben 9 ein Haustier. Berechne die relative Häufigkeit und drücke sie als Prozentzahl aus.

Aufgabe 4 (Vergleichen) Klasse A: 18 von 30 Schülern gehen zu Fuss zur Schule. Klasse B: 15 von 22 gehen zu Fuss. Welche Klasse hat anteilig mehr Fussgänger?

Aufgabe 5 (Erhebungsmethode wählen) Welche Erhebungsmethode (Befragung, Beobachtung, Experiment) passt am besten? a) Die Lieblingsband der Schüler b) Die Wartezeit an einer Bushaltestelle c) Der Einfluss des Düngers auf das Pflanzenwachstum

Aufgabe 6 (Suggestivfrage erkennen) Eine Frage lautet: “Findest du nicht auch, dass die neue Mensa viel besser ist als die alte?” Formuliere sie neutral um.

Aufgabe 7 (Stichprobe planen) An einer Schule mit 600 Schülern soll eine Umfrage unter 50 Schülern stattfinden. Beschreibe, wie du eine einfache Zufallsstichprobe ziehst.

Aufgabe 8 (Häufigkeitsverteilung) Die Urliste der Anzahl Geschwister in einer Klasse (20 Schüler) lautet: 0, 1, 2, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 2, 4, 1, 2, 1, 3, 0, 1, 2

Erstelle eine Tabelle mit absoluten und relativen Häufigkeiten.

Aufgabe 9 (Verzerrung erkennen) Ein Reporter befragt Passanten in einer Einkaufsstrasse um 15 Uhr an einem Werktag, wie oft sie arbeiten. Welche Gruppen sind in dieser Stichprobe wahrscheinlich unterrepräsentiert und warum?

Aufgabe 10 (Kritische Analyse) “80 % der Hundebesitzer bestätigen: Unser Futter ist das beste!” Was wirft diese Werbeaussage statistisch auf? Nenne mindestens drei Probleme.

Das Wichtigste in Kürze

Die Grundgesamtheit ist die Gruppe, über die du Aussagen machst. Die Stichprobe ist eine Teilmenge.
Der Stichprobenumfang $n$ gibt die Grösse deiner Auswahl an.
Die Grundgesamtheit (Umfang $N$ ) grenzt du räumlich, zeitlich und sachlich ab.
Vollerhebung ( $n = N$ ) oder Teilerhebung ( $n < N$ ); Primärerhebung (neue Daten) oder Sekundärerhebung (vorhandene Daten).
Merkmale sind qualitativ (nominal/ordinal) oder quantitativ (diskret/stetig).
Die vier Skalenniveaus (Nominal-, Ordinal-, Intervall-, Verhältnisskala) bestimmen, welche Rechnungen sinnvoll sind.
Drei Erhebungsmethoden: Befragung, Beobachtung (offen oder verdeckt), Experiment (mit Kontrollgruppe, oft mit Placebo).
Absolute Häufigkeit $H$ zählt, relative Häufigkeit $h = \dfrac{H}{n}$ setzt ins Verhältnis.
In einer einfachen Zufallsstichprobe kommt jedes Element mit derselben Wahrscheinlichkeit $\dfrac{n}{N}$ in die Stichprobe. Weitere Verfahren sind die geschichtete Stichprobe und die Klumpenstichprobe. Gelegenheitsstichproben sind meist verzerrt.
Achte auf Suggestivfragen, Self-Selection-Bias und verzerrte Stichproben.
Grösse allein macht keine gute Statistik – Repräsentativität ist entscheidend.

❓ Frage:

Du willst wissen, wie viele Schweizer Haushalte ein Elektroauto besitzen, und befragst 500 Besucher an einer Tesla-Messe. Was ist das Hauptproblem? a) Die Stichprobe ist zu klein. b) Die Stichprobe ist nicht repräsentativ. c) Das Merkmal ist qualitativ. d) Es handelt sich nicht um eine Zufallsstichprobe im engeren Sinn – aber das reicht.

Lösung anzeigen

b) Die Stichprobe ist nicht repräsentativ. Menschen, die eine Tesla-Messe besuchen, interessieren sich überdurchschnittlich für Elektroautos. Die Schätzung wäre viel zu hoch.

❓ Frage:

Welche Aussage über qualitative und quantitative Merkmale ist korrekt? a) Schulnoten sind quantitativ stetig. b) Geschlecht ist quantitativ diskret. c) Alter in ganzen Jahren ist quantitativ diskret. d) Augenfarbe ist quantitativ nominal.

Lösung anzeigen

c) Alter in ganzen Jahren ist quantitativ diskret. Schulnoten sind qualitativ ordinal (nicht stetig), Geschlecht und Augenfarbe sind qualitativ nominal – nicht quantitativ.

❓ Frage:

In einer Stichprobe von $n = 200$ Personen beantworten 30 die Frage mit “ja”. Wie gross ist die relative Häufigkeit?

Lösung anzeigen

$h = \dfrac{30}{200} = 0{,}15 = 15\,\%$

❓ Frage:

Welche Erhebungsmethode ist für folgende Frage geeignet: “Wirkt Koffein auf die Konzentrationsfähigkeit?” a) Umfrage b) Beobachtung c) Experiment d) Internetrecherche

Lösung anzeigen

c) Experiment. Nur ein Experiment mit kontrollierter Koffeingabe (und einer Vergleichsgruppe ohne Koffein) erlaubt Ursache-Wirkung-Aussagen.

❓ Frage:

Eine Zeitung schreibt: “Unsere Umfrage unter 2000 Leserbriefverfassern ergab: 90 % sind gegen das Projekt.” Warum ist das Ergebnis statistisch problematisch?

Lösung anzeigen

Wer Leserbriefe schreibt, hat meist eine starke Meinung. Das ist Self-Selection-Bias: Die Stichprobe rekrutiert sich freiwillig und ist nicht repräsentativ für alle Leser. Eine Zufallsstichprobe ergäbe wahrscheinlich ein deutlich anderes Bild.

❓ Frage:

Welche Aussage ist sinnvoll? Begründe mit dem Skalenniveau. a) “Lea ist mit 1,80 m 1,2-mal so gross wie ihr Bruder mit 1,50 m.” b) “Heute ist es mit 20 °C doppelt so warm wie gestern mit 10 °C.”

Lösung anzeigen

a) ist sinnvoll. Die Körpergrösse hat eine Verhältnisskala: 0 m bedeutet wirklich “keine Länge”. Deshalb darfst du Verhältnisse bilden: $\dfrac{1{,}80}{1{,}50} = 1{,}2$ .

b) ist nicht sinnvoll. Die Temperatur in °C hat nur eine Intervallskala: Der Nullpunkt 0 °C ist willkürlich gewählt (Gefrierpunkt von Wasser). Differenzen sind sinnvoll (“10 Grad wärmer”), Verhältnisse nicht. In Kelvin, wo 0 K der absolute Nullpunkt ist, stehen $293{,}15$ K gegen $283{,}15$ K. Das sind nur rund $3{,}5\,\%$ mehr.

Ausblick

Jetzt hast du das Fundament. Im nächsten Schritt lernst du, wie du Daten ordnest und in Häufigkeitstabellen überführst. Danach visualisierst du sie in Säulen-, Kreis- und Liniendiagrammen. Später berechnest du Kennwerte wie Mittelwert, Median und Standardabweichung. Diese beschreiben die Daten in einer einzigen Zahl. Und schliesslich wirst du statistische Aussagen kritisch hinterfragen – denn Zahlen lügen nicht, aber ihre Präsentation manchmal schon.

Lösungen

Lösung 1 (Begriffsklärung)

Grundgesamtheit: Alle Schüler der Schule
Stichprobe: 50 zufällig ausgewählte Schüler
Stichprobenumfang: $n = 50$
Merkmal: Gewicht der Schultasche
Merkmalstyp: quantitativ, stetig (beliebige Zwischenwerte möglich, z. B. 4,37 kg)

Lösung 2 (Merkmalstypen)

a) Herkunftsland – qualitativ, nominal (keine Reihenfolge) b) Reaktionszeit in Sekunden – quantitativ, stetig (beliebig fein messbar) c) Anzahl gelesener Bücher – quantitativ, diskret (nur ganze Zahlen) d) T-Shirt-Grösse (S, M, L, XL) – qualitativ, ordinal (hat eine Reihenfolge) e) Hausnummer – qualitativ, nominal (trotz Zahl nicht rechnerisch nutzbar; Hausnummer 20 ist nicht “doppelt” so gross wie Hausnummer 10) f) Temperatur – quantitativ, stetig

Lösung 3 (Relative Häufigkeit)

$h = \dfrac{9}{24} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%$

Lösung 4 (Vergleichen)

Klasse A: $h_A = \dfrac{18}{30} = 0{,}60 = 60\,\%$ Klasse B: $h_B = \dfrac{15}{22} \approx 0{,}682 \approx 68{,}2\,\%$

Klasse B hat anteilig mehr Fussgänger (68,2 % vs. 60 %), obwohl die absolute Zahl kleiner ist.

Lösung 5 (Erhebungsmethode)

a) Lieblingsband – Befragung (Meinungen ermittelt man durch Fragen) b) Wartezeit – Beobachtung (man misst ohne einzugreifen) c) Dünger-Wirkung – Experiment (man vergleicht verschiedene Düngemengen systematisch)

Lösung 6 (Suggestivfrage)

Neutrale Umformulierung: “Wie vergleichst du die neue Mensa mit der alten?” oder “Wie bewertest du die neue Mensa?” Mögliche Antwortskala: viel schlechter / schlechter / gleich / besser / viel besser.

Lösung 7 (Stichprobe planen)

Nummeriere alle 600 Schüler durch (1 bis 600).
Nutze Zufallszahlen (z. B. =ZUFALLSBEREICH(1;600) in einer Tabellenkalkulation).
Ziehe 50 verschiedene Nummern. Dopplungen ersetzen durch neue Ziehungen.
Befrage die 50 Schüler mit den gezogenen Nummern.

Der Auswahlsatz beträgt $\dfrac{50}{600} \approx 8{,}3\,\%$ . Jeder Schüler hat die gleiche Chance, gezogen zu werden.

Lösung 8 (Häufigkeitsverteilung)

Zuerst Werte sortieren und zählen:

Anzahl Geschwister	Absolute Häufigkeit $H$	Relative Häufigkeit $h$
0	4	$\dfrac{4}{20} = 0{,}20 = 20\,\%$
1	8	$\dfrac{8}{20} = 0{,}40 = 40\,\%$
2	5	$\dfrac{5}{20} = 0{,}25 = 25\,\%$
3	2	$\dfrac{2}{20} = 0{,}10 = 10\,\%$
4	1	$\dfrac{1}{20} = 0{,}05 = 5\,\%$
Summe	20	1,00 = 100 %

Kontrolle: Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist $n = 20$ . Die Summe der relativen Häufigkeiten ist 1 bzw. 100 %.

Lösung 9 (Verzerrung)

Unterrepräsentierte Gruppen:

Berufstätige: Sie arbeiten zu Bürozeiten und sind um 15 Uhr nicht in der Einkaufsstrasse.
Schulkinder (je nach Stundenplan): Viele sind um 15 Uhr noch im Unterricht.
Landbewohner: Wer in der Stadt einkauft, wohnt häufiger in der Stadt.

Überrepräsentiert sind Rentner, Teilzeitkräfte, arbeitslose Personen und Schüler nach Schulschluss. Die Aussage “die meisten Befragten arbeiten wenig” wäre also verzerrt.

Lösung 10 (Werbung)

Mindestens drei Probleme:

Undefinierte Grundgesamtheit: Welche Hundebesitzer? Schweizweit? Kunden des Herstellers?
Self-Selection-Bias: Vermutlich wurden nur Kunden befragt, die das Futter bereits kaufen. Zufriedene Kunden antworten.
Keine Vergleichsbasis: “Das beste” im Vergleich wozu? Gegen wen wurde getestet?
Stichprobenumfang fehlt: Vielleicht waren es nur 10 Hundebesitzer, von denen 8 zustimmten.
Suggestive Formulierung: “Bestätigen Sie, dass unser Futter gut ist?” verzerrt Antworten.

Solche Aussagen sind Werbung, keine Statistik. Seriöse Angaben nennen Grundgesamtheit, Stichprobenumfang und Methode.

Quellen

Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport

Statistische Erhebungen: Grundgesamtheit, Stichprobe, Merkmale

Grundlagen & Datenerhebung: die Idee

Grundlagen & Datenerhebung: der Rechenweg

Taschengeld in der Klasse

Augenfarbe in zwei Klassen

Typische Fehler bei Grundlagen & Datenerhebung

Grundlagen & Datenerhebung in Aufgaben

Zufallsstichprobe aus der Schule

Merkmalstypen erkennen

Grundlagen & Datenerhebung genauer betrachtet

Online-Umfrage kritisch prüfen

Macht Koffein schneller?

Übungen

Das Wichtigste in Kürze

Ausblick

Lösungen

Quellen

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