Wahrscheinlichkeit und Stochastik

Darum geht's

Lohnt sich eine Krankenversicherung? Ist ein Glücksspiel fair? Wie gross ist die Chance, dass ein positiver Medizintest auch wirklich eine Krankheit anzeigt? Solche Fragen werden in der 9./10. Klasse ernst — und die Antworten liefert die Stochastik, die mathematische Theorie des Zufalls.

Dieses Kapitel baut auf der Wahrscheinlichkeitsrechnung der 7./8. Klasse auf und fügt drei mächtige Werkzeuge hinzu: die Pfadregel für mehrstufige Experimente, die Vierfeldertafel für bedingte Wahrscheinlichkeiten und den Erwartungswert für Entscheidungen unter Unsicherheit.

Worum geht es?

Die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ eines Ereignisses $E$ ist eine Zahl zwischen $0$ und $1$ — $0$ heisst “unmöglich”, $1$ heisst “sicher”. Bei einem Laplace-Experiment berechnet sie sich als $P(E) = \tfrac{\text{günstig}}{\text{möglich}}$. In diesem Kapitel lernst du, auch mehrstufige und verkettete Experimente zu behandeln:

Summenregel. Für disjunkte Ereignisse (sie schliessen sich gegenseitig aus): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Für beliebige Ereignisse allgemeiner: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Pfadregel. Bei einem Baumdiagramm gilt entlang eines Pfades $P = P_1 \cdot P_2 \cdots P_n$ (Produktregel) und über mehrere Pfade $P = \sum P_\text{Pfad}$ (Summenregel).

Bedingte Wahrscheinlichkeit. $P(A \mid B)$ ist ”$P(A)$, wenn bekannt ist, dass $B$ eingetreten ist”: $P(A \mid B) = \tfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Hier wird es praktisch interessant — etwa bei Medizintests: “Wie wahrscheinlich ist es, krank zu sein, gegeben ein positiver Test?”

Erwartungswert. Für eine Zufallsgrösse $X$ mit möglichen Werten $x_i$ und Wahrscheinlichkeiten $p_i$: $E(X) = \sum x_i \cdot p_i$. Das ist der “langfristige Durchschnittswert” — und die Basis jeder rationalen Entscheidung bei unsicheren Auszahlungen.

Darstellungswerkzeuge: Baumdiagramme (für sequentielle Experimente), Vierfeldertafeln (für bedingte Wahrscheinlichkeiten), Venn-Diagramme (für Mengenoperationen) und Häufigkeitsbäume (für Schätzung aus Daten).

Was du schon können solltest

Für dieses Kapitel brauchst du:

• die Grundbegriffe und Laplace-Formel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung der 7./8. Klasse,
• sichere Baumdiagramme aus der Vorstufe,
• Grundkenntnisse der Kombinatorik für das Zählen der Fälle,
• Rechnen mit Brüchen und Prozenten.

Was du in diesem Kapitel lernst

Zwölf Lektionen, die vom Basis-Werkzeug bis zur angewandten Entscheidungsanalyse reichen:

1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit — Ergebnis, Ereignis, Laplace-Formel, Gegenereignis.
2. Summenregel — $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
3. Pfadregel — Produktregel entlang eines Pfades, Summenregel über Pfade.
4. Vereinfachte Baumdiagramme — wenn man nur an bestimmten Ästen interessiert ist.
5. Zufallsgrösse und Wahrscheinlichkeitsverteilung — $X$ als Funktion mit Wahrscheinlichkeitstabelle.
6. Erwartungswert einer Zufallsgrösse — $E(X) = \sum x_i \cdot p_i$.
7. Modellieren mit dem Erwartungswert — Fairness von Spielen, Versicherungsprämien.
8. Ziehen ohne Zurücklegen — Wahrscheinlichkeiten ändern sich von Stufe zu Stufe.
9. Vierfeldertafeln — $2 \times 2$-Matrix für zwei Ereignisse, Grundlage für bedingte Wahrscheinlichkeit.
10. Venn-Diagramme — Schnitt, Vereinigung und Differenz von Ereignismengen.
11. Relative Häufigkeit — $\tfrac{\text{Treffer}}{\text{Versuche}}$ als Schätzer für $P$.
12. Häufigkeitsbäume — Kombination aus Baum und Vierfeldertafel auf Basis absoluter Zahlen.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Zufallsgrösse ($X$) — eine Zahl, die sich aus einem Zufallsexperiment ergibt.
• Wahrscheinlichkeitsverteilung — Liste der möglichen Werte $x_i$ mit ihren Wahrscheinlichkeiten $p_i$, wobei $\sum p_i = 1$.
• Erwartungswert ($E(X)$) — gewichteter Mittelwert: $\sum x_i \cdot p_i$.
• Bedingte Wahrscheinlichkeit ($P(A \mid B)$) — ”$P(A)$, wenn $B$ schon eingetreten ist”.
• Unabhängige Ereignisse — $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$; eines tritt unabhängig vom anderen ein.
• Vierfeldertafel — Kreuztabelle mit $A/\bar A$ in Zeilen und $B/\bar B$ in Spalten.
• Relative Häufigkeit — Schätzer für $P$ aus Daten; nähert sich bei vielen Versuchen der wahren Wahrscheinlichkeit (“Gesetz der grossen Zahlen”).

Häufige Denkfehler

Achtung

Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A \mid B)$ ist nicht dasselbe wie $P(B \mid A)$. Verwechslung davon ist der Kern der “Basisratenverzerrung”, die in Medizin und Forensik regelmässig zu falschen Schlüssen führt.

1. “Wenn eine Münze fünfmal Kopf zeigt, kommt jetzt bestimmt Zahl.” Falsch — die Münze hat kein Gedächtnis. Das bleibt der “Gambler’s Fallacy” aus der 7./8. Klasse, und Erwachsenen passiert er ebenso häufig.
2. ”$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ gilt immer.” Nur bei unabhängigen Ereignissen. Bei abhängigen: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$. Das ist der Sinn der bedingten Wahrscheinlichkeit.
3. “Ein fairer Würfel muss nach vielen Würfen gleich viele Sechsen wie Einsen zeigen.” Nein — die relativen Häufigkeiten nähern sich $\tfrac{1}{6}$, aber die absoluten Abweichungen können (und werden) gross bleiben. Das nennt sich Gesetz der grossen Zahlen, nicht Ausgleichsgesetz.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Wahrscheinlichkeit und Stochastik gehören zu MA.3 – Grössen, Funktionen, Daten, 3. Zyklus:

• MA.3.D.1 – Zufallsexperimente analysieren und Wahrscheinlichkeiten berechnen.
• MA.3.D.2 – Mehrstufige Experimente mit Baum- und Pfadregeln auswerten.
• MA.3.D.4 – Zufallsgrössen und ihren Erwartungswert einsetzen.
• MA.3.C.5 – Sachverhalte mit Vierfeldertafeln und Venn-Diagrammen modellieren.

Einfache Wahrscheinlichkeiten, Baumdiagramme und die Summenregel gelten als Grundanspruch. Bedingte Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Vierfeldertafeln gehören zur Erweiterung und sind Kernstoff im Gymnasium.

Die Themen im Überblick

• Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit
• Summenregel: Oder-Ereignisse berechnen
• Pfadregeln bei mehrstufigen Experimenten
• Vereinfachte Baumdiagramme
• Zufallsgrösse und Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Erwartungswert einer Zufallsgrösse
• Modellieren mit dem Erwartungswert
• Ziehen ohne Zurücklegen
• Vierfeldertafeln
• Venn-Diagramme in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Relative Häufigkeit
• Häufigkeitsbäume

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport