Binomialverteilung

Darum geht's

Wie wahrscheinlich ist es, bei $10$ Münzwürfen genau $7$-mal Kopf zu bekommen? Wie gross ist die Chance, dass ein Basketballspieler mit $80\,\%$ Trefferquote bei $5$ Freiwürfen mindestens $4$ trifft? Wie viele defekte Teile erwartet man in einer Lieferung von $1\,000$ Stück bei einer Ausschussquote von $2\,\%$?

Alle drei Fragen haben dieselbe mathematische Struktur — und die passende Antwort liefert die Binomialverteilung. Sie ist die wichtigste diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schule und im Gymnasium und öffnet die Tür zur Statistik.

Worum geht es?

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen: “Treffer” (Wahrscheinlichkeit $p$) oder “Niete” (Wahrscheinlichkeit $1-p$). Klassische Beispiele: Münzwurf, ein einzelner Freiwurf, ein Qualitätstest an einem Bauteil.

Führst du $n$ unabhängige Bernoulli-Experimente mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit $p$ durch, dann ist die Anzahl der Treffer $X$ binomialverteilt: $X \sim B(n, p)$. Die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer beträgt:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Die drei Faktoren haben eine klare Bedeutung: $\binom{n}{k}$ zählt, wie viele Reihenfolgen mit $k$ Treffern es gibt. $p^k$ ist die Wahrscheinlichkeit jeder dieser Reihenfolgen für die Treffer, $(1-p)^{n-k}$ für die Nieten.

Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung folgen elegant:

$E(X) = n \cdot p, \quad \text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$

Bei $10$ Münzwürfen erwartet man $E(X) = 10 \cdot 0{,}5 = 5$ Kopfwürfe — was der Intuition entspricht.

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten $P(X \le k)$ braucht man für Aufgaben wie “höchstens $3$ Defekte” oder “mindestens $7$ Treffer”. Sie sind Summen einzelner Binomialwahrscheinlichkeiten und lassen sich aus Tabellen oder mit dem Taschenrechner ablesen.

Was du schon können solltest

Für dieses Kapitel brauchst du:

• die Grundbegriffe aus Wahrscheinlichkeit und Stochastik,
• den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ aus der Kombinatorik,
• die Potenzrechnung (auch mit kleinen Basen, z. B. $0{,}8^{12}$),
• das Arbeiten mit Zufallsgrössen und Erwartungswerten.

Was du in diesem Kapitel lernst

Drei Lektionen, die aufeinander aufbauen:

1. Bernoulli-Experimente und Binomialverteilung — die Formel $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, mit Beispielen zu Münzen, Würfeln, Qualitätskontrolle.
2. Erwartungswert — $E(X) = n \cdot p$ für die Binomialverteilung; Anwendung auf Fairness- und Prognosefragen.
3. Kumulierte Wahrscheinlichkeiten — $P(X \le k)$, $P(X \ge k)$, $P(a \le X \le b)$: “höchstens”, “mindestens”, “zwischen”.

Ein wiederkehrendes Muster in den Aufgaben: Zuerst identifizieren, dass eine Situation binomialverteilt ist (zwei Ausgänge, konstantes $p$, unabhängige Versuche, fester Umfang $n$). Ist das klar, folgt die Formel fast automatisch.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Bernoulli-Experiment — Zufallsexperiment mit zwei Ausgängen.
• Binomialverteilung $B(n, p)$ — Verteilung der Trefferzahl bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Experimenten mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$.
• $\binom{n}{k}$ — Binomialkoeffizient, ”$n$ über $k$”.
• Erwartungswert — $E(X) = n \cdot p$ bei Binomialverteilung.
• Varianz — Mass für die Streuung: $\text{Var}(X) = n p (1-p)$.
• Kumulierte Wahrscheinlichkeit — $P(X \le k) = \sum_{i=0}^k P(X = i)$.

Häufige Denkfehler

Achtung

Die Voraussetzungen der Binomialverteilung — feste Anzahl, konstantes $p$ und unabhängige Versuche — sind nicht verhandelbar. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich $p$ zwischen den Stufen, und das Modell ist streng genommen nicht mehr binomial (hier käme die hypergeometrische Verteilung ins Spiel).

1. “Binomialverteilt heisst, dass genau zwei Ausgänge vorkommen.” Das ist nur die Voraussetzung des einzelnen Experiments. Die Binomialverteilung selbst zählt die Treffer in $n$ Versuchen — und die Zufallsgrösse $X$ kann Werte $0, 1, \ldots, n$ annehmen.
2. ”$P(X = k) = p^k$.” Falsch — das wäre die Wahrscheinlichkeit einer einzigen bestimmten Reihenfolge aus $k$ Treffern und $n-k$ Nieten. Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ zählt alle Reihenfolgen, die Nietenwahrscheinlichkeit $(1-p)^{n-k}$ fehlt ausserdem.
3. ”$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ ist ein Trick.” Das ist kein Trick, sondern die Standardtechnik für “mindestens einer”-Aufgaben. Direktes Addieren über $k = 1, 2, \ldots, n$ wäre fehleranfällig — das Gegenereignis hat genau einen Summanden.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Die Binomialverteilung gehört zu MA.3 – Grössen, Funktionen, Daten, 3. Zyklus:

• MA.3.D.4 – Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen anwenden und interpretieren.
• MA.3.D.5 – Binomialverteilung auf Sachprobleme anwenden.
• MA.3.B.5 – Erwartungswert und Standardabweichung zur Bewertung einsetzen.

Die Binomialverteilung gehört vollständig zur Erweiterung des 3. Zyklus. Im Gymnasium ist sie Pflichtstoff und die Grundlage für den späteren Übergang zur Normalverteilung (Satz von Moivre-Laplace).

Die Themen im Überblick

• Bernoulli-Experimente und Binomialverteilung
• Erwartungswert einer Binomialverteilung
• Kumulierte Wahrscheinlichkeiten berechnen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport