Statistik kritisch hinterfragen

Weiterführend:

• Vorwissen: Daten visualisieren (Diagramme)
• Vorwissen: Statistische Kennwerte (Lage- und Streumasse)
• Vorwissen: Grundlagen & Datenerhebung

Darum geht's

Jeden Tag begegnen dir Diagramme und Statistiken: in der Zeitung, in sozialen Medien, in der Werbung. Zahlen wirken objektiv und überzeugend. Doch der Schein trügt häufig. Eine abgeschnittene Achse lässt einen kleinen Unterschied riesig erscheinen. Eine geschickt gewählte Stichprobe verzerrt jedes Ergebnis. In diesem Artikel lernst du, Statistiken kritisch zu lesen. Du lernst typische Manipulationstricks kennen und erhältst eine Checkliste für die Analyse. Diese Fähigkeit heisst Data Literacy. Mit ihr erkennst du Falschmeldungen und triffst Entscheidungen auf einer soliden Grundlage. Am Ende wendest du dein Wissen in Übungen und Quizfragen an.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 6 Kompetenzen

• MA.3.B.1.iGrundanspruchErgebnisse zu funktionalen Zusammenhängen überprüfen, insbesondere durch Interpretation von Tabellen, Graphen und Diagrammen
• MA.3.B.2.eGrundanspruchHäufigkeiten experimentell bestimmen und Vermutungen zu Wahrscheinlichkeiten formulieren; unbekannte Fragestellungen zu Kombinatorik/Wahrscheinlichkeit bearbeiten
• MA.3.C.2.gGrundanspruchAbhängigkeit zweier Grössen mit Funktionsgraph darstellen; Graphenverläufe interpretieren (Erw: geeignete Skalierung wählen; lineare funktionale Zusammenhänge mit Term beschreiben)
• MA.3.B.1.jFunktionale und statistische Zusammenhänge erforschen; statistische Rohdaten zu sozialen/wirtschaftlichen/ökologischen Fragestellungen erforschen
• MA.3.B.2.fWahrscheinlichkeiten und statistische Angaben überprüfen und begründen
• MA.3.C.2.hWertetabellen, Diagramme, Sachtexte, Terme und Graphen einander zuordnen und interpretieren; Sachsituationen nach funktionalen, statistischen und probabilistischen Gesichtspunkten bearbeiten

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Kritisch hinterfragen: die Idee

Statistik kritisch zu hinterfragen bedeutet, Zahlen nicht blind zu glauben. Du prüfst sie systematisch. Du schaust hinter die Kulissen der Darstellung. Das heisst nicht, alle Statistiken abzulehnen. Es bedeutet, ihre Qualität zu beurteilen.

Definition

Data Literacy bezeichnet die Fähigkeit, Daten kritisch zu lesen, zu verstehen und einzuordnen. Sie umfasst das Erkennen von Manipulationen, das Bewerten von Quellen und das Ziehen fundierter Schlussfolgerungen aus statistischen Informationen.

Drei zentrale Bereiche helfen dir beim kritischen Lesen. Erstens die Datenerhebung: Wer hat die Daten gesammelt? Wie gross war die Stichprobe? War sie repräsentativ? Zweitens die Darstellung: Ist die Grafik fair skaliert? Verzerren Farben oder 3D-Effekte? Drittens die Interpretation: Stimmt die angegebene Schlussfolgerung überhaupt? Wird Korrelation mit Kausalität verwechselt?

Definition

Eine ehrliche Visualisierung bereitet Daten klar und verständlich auf. Eine manipulierte Darstellung nutzt bewusst grafische oder statistische Tricks. Diese sollen eine bestimmte Interpretation aufdrängen, die durch die reinen Zahlen nicht gerechtfertigt ist.

Ein einfaches Beispiel verdeutlicht den Unterschied. Ein Säulendiagramm zeigt zwei Werte: $10{,}0$ und $10{,}5$. Startet die y-Achse bei $0$, siehst du einen kleinen Unterschied. Startet sie bei $9{,}8$, ragt die erste Säule nur $0{,}2$ Einheiten über die Achse, die zweite $0{,}7$ Einheiten. Die zweite Säule ist dann $3{,}5$-mal so hoch wie die erste. Die Zahlen sind identisch, die Wirkung ist völlig verschieden.

Das Ziel dieser Lektion ist klar. Du sollst nicht paranoid werden. Du sollst ein geübtes Auge entwickeln. Jede Statistik verdient eine kurze Prüfung: Stimmt die Quelle? Passt die Darstellung zum Inhalt? Ist die Schlussfolgerung logisch? Mit wenigen Sekunden Aufmerksamkeit filterst du die meisten Fehlinformationen heraus.

Kritisch hinterfragen: der Rechenweg

Für das systematische Hinterfragen von Statistiken gibt es eine bewährte Methode. Sie basiert auf fünf W-Fragen. Diese Fragen kannst du bei jeder Grafik und bei jeder Zahl stellen.

Definition

1. Wer hat die Daten erhoben und veröffentlicht? Welche Interessen verfolgt diese Quelle?
2. Was genau wurde gemessen? Welche Definition liegt zugrunde?
3. Wann wurden die Daten erhoben? Ist der Zeitraum repräsentativ?
4. Wie wurde gemessen und dargestellt? Welche Methode und welche Skala?
5. Warum wird gerade diese Statistik präsentiert? Welche Botschaft soll ankommen?

Jede Frage hat ihren Zweck. Die Wer-Frage entlarvt versteckte Interessen. Eine Studie der Tabakindustrie zum Rauchen ist mit Vorsicht zu geniessen. Die Was-Frage klärt Definitionen. Sogar in der Schweiz gibt es zwei Zahlen zur Arbeitslosigkeit: Die Arbeitslosenquote des SECO zählt nur Personen, die beim RAV gemeldet sind. Die Erwerbslosenquote des BFS beruht auf einer Befragung nach internationaler Definition und fällt höher aus.

Die Wann-Frage enthüllt Cherry-Picking. Wer nur den besten oder schlechtesten Zeitraum zeigt, verzerrt das Bild. Die Wie-Frage untersucht die technische Qualität. Achsenskalierung, Stichprobengrösse und Erhebungsmethode gehören hierher.

Die Warum-Frage schliesslich beleuchtet die Absicht. Marketing, Politik oder Wissenschaft haben unterschiedliche Motive. Eine Gewinnmeldung eines Unternehmens ist anders zu lesen als eine Studie eines unabhängigen Instituts.

Für die mathematische Analyse sind zwei Konzepte zentral. Die relative Abweichung eines Werts $a$ von einem Vergleichswert $b$ berechnest du mit:

$$\begin{align*} \text{relative Abweichung} = \dfrac{|a - b|}{b} \cdot 100\,\% \end{align*}$$

So erkennst du, ob ein Unterschied wirklich bedeutend ist. Der zweite Begriff ist die Stichprobengrösse $n$. Je grösser $n$, desto kleiner die Fehlermarge einer Umfrage. Als Faustregel (bei $95\,\%$ Sicherheit) gilt:

$$\begin{align*} \text{Fehlermarge} \approx \dfrac{1}{\sqrt{n}} \end{align*}$$

Bei $n = 30$ sind das $\dfrac{1}{\sqrt{30}} \approx 0{,}18$, also rund $\pm 18$ Prozentpunkte. Eine solche Umfrage ist wenig aussagekräftig. Bei $n = 1000$ sind es nur noch $\dfrac{1}{\sqrt{1000}} \approx 0{,}03$, also etwa $\pm 3$ Prozentpunkte. Darum arbeiten gute Umfragen mit $n \geq 1000$.

Beispiel:

Die abgeschnittene Achse

Ein Unternehmen präsentiert seinen Umsatz über drei Jahre:

Jahr	Umsatz (Mio. CHF)
2024	$10{,}0$
2025	$10{,}3$
2026	$10{,}6$

Aufgabe: Ein Säulendiagramm startet bei $9{,}8$ Mio. CHF. Wie wirkt die zweite Säule im Vergleich zur ersten? Und wie wirkt sie, wenn die Achse bei $0$ beginnt?

Abb. 1: Dieselben Zahlen, zwei Achsen. Links ist die Säule für 2025 $2{,}5$-mal so hoch wie die für 2024, rechts sieht man den echten Zuwachs von $3\,\%$.

Lösung:

Bei einer Achse ab $9{,}8$ Mio. ist der sichtbare Säulenabschnitt der ersten Säule $10{,}0 - 9{,}8 = 0{,}2$ Einheiten hoch. Die zweite Säule zeigt $10{,}3 - 9{,}8 = 0{,}5$ Einheiten. Der optische Unterschied:

$$\dfrac{0{,}5}{0{,}2} = 2{,}5$$

Die zweite Säule wirkt also $2{,}5$-mal so gross. Bei einer Achse ab $0$ ist das Verhältnis $\dfrac{10{,}3}{10{,}0} = 1{,}03$. Der tatsächliche Zuwachs beträgt nur $3\,\%$. Die dritte Säule wirkt mit $\dfrac{0{,}8}{0{,}2} = 4$ sogar viermal so hoch wie die erste, obwohl der Umsatz nur um $6\,\%$ gestiegen ist. Die abgeschnittene Achse täuscht einen massiven Anstieg vor.

Beispiel:

Das verzerrte Kreisdiagramm

Ein 3D-Kreisdiagramm zeigt die Marktanteile dreier Firmen. Firma A hat $35\,\%$, Firma B $35\,\%$ und Firma C $30\,\%$. Firma A liegt im Vordergrund und wirkt deutlich grösser als Firma B.

Aufgabe: Erkläre den Trick. Wie kannst du den tatsächlichen Anteil prüfen?

Abb. 2: Dieselben Anteile, flach und gekippt. Im 3D-Bild bedeckt Firma A knapp die Hälfte der eingefärbten Fläche, Firma B nur gut ein Viertel.

Lösung:

3D-Effekte verzerren Flächen. Der vordere Sektor wirkt aus zwei Gründen grösser. Erstens erscheint er durch das Kippen breiter: In Abb. 2 öffnet sich A scheinbar auf rund $154°$ statt auf $126°$. Zweitens sieht man nur bei den vorderen Sektoren zusätzlich den Rand des «Kuchens». Dabei hat A denselben Winkel wie B. Der Winkel entspricht dem Prozentsatz:

$$\alpha = 35\,\% \cdot 360° = 126°$$

Firma A und Firma B haben identische Winkel von $126°$, Firma C hat $30\,\% \cdot 360° = 108°$. Nur die Perspektive täuscht. Du prüfst die Aufteilung, indem du die angegebenen Prozentwerte nachrechnest: $35 + 35 + 30 = 100$ und $126° + 126° + 108° = 360°$. Die Zahlen stimmen, doch das Bild lügt. Fordere eine flache, faire Darstellung. Ein einfaches Balkendiagramm wäre objektiver. Merke dir als Regel: Kreisdiagramme immer in 2D darstellen und Sektoren nicht herausziehen.

Ein verwandter Flächentrick steckt in Piktogrammen. Steigt der Umsatz einer Firma von $10$ auf $20$ Mio. CHF, zeichnet eine Grafik den Geldschein für $20$ Mio. oft doppelt so hoch und doppelt so breit. Seine Fläche ist dann $2 \cdot 2 = 4$-mal so gross. Das Auge vergleicht Flächen, nicht Höhen. Der Zuwachs wirkt also vierfach statt doppelt. Allgemein gilt: Wird ein Bild in Breite und Höhe mit dem Faktor $k$ vergrössert, wächst seine Fläche mit dem Faktor $k^2$.

Abb. 3: Links passt der kleine Schein viermal in den grossen, obwohl sich der Umsatz nur verdoppelt hat. Ehrlich ist es, gleich grosse Symbole zu wiederholen.

Typische Fehler bei Kritisch hinterfragen

Beim Analysieren von Statistiken lauern viele Fallen. Die folgenden Warnungen helfen dir, die häufigsten Fehler zu vermeiden.

Achtung

Korrelation ist nicht Kausalität: Zwei Grössen können zusammen ansteigen, ohne dass eine die andere verursacht. Beispiel: Mehr verkaufte Glace geht mit mehr Badeunfällen einher. Die gemeinsame Ursache ist jedoch das warme Wetter. Prüfe immer, ob es eine dritte, versteckte Variable gibt.

Abb. 4: Modelldaten für ein Jahr. Glaceverkauf und Badeunfälle korrelieren stark ($r \approx 0{,}94$). Die Ursache für beides ist die Temperatur: Die kalten Monate liegen unten links, die warmen oben rechts.

Achtung

Stichprobengrösse beachten: Eine Umfrage unter $n = 10$ Personen ist statistisch nicht aussagekräftig. Die Fehlermarge beträgt nach der Faustregel $\dfrac{1}{\sqrt{10}} \approx 0{,}32$, also rund $\pm 32$ Prozentpunkte. Seriöse Studien nennen die Stichprobengrösse $n$ und die Fehlermarge. Fehlen diese Angaben, sei skeptisch.

Achtung

Absolute und relative Zahlen unterscheiden: «Die Kriminalität stieg um $100\,\%$» klingt dramatisch. Bei einem Anstieg von $1$ auf $2$ Fälle ist der Zuwachs absolut gering. Umgekehrt kann «nur $0{,}1\,\%$» absolut gesehen viel sein, wenn die Grundmenge Millionen beträgt.

Achtung

Die Quelle prüfen: Wer finanziert eine Studie? Eine Studie der Zuckerindustrie über Zucker ist problematisch. Unabhängige Universitäten, nationale Statistikämter und Fachzeitschriften mit Begutachtung durch unabhängige Fachleute (Peer-Review) sind meist verlässlicher. Suche immer die Originalquelle, statt dich auf eine Zusammenfassung aus zweiter Hand zu verlassen.

Kritisch hinterfragen in Aufgaben

Beispiel:

Cherry-Picking beim Zeitraum

Eine Zeitung titelt: «Temperatur weltweit stagniert seit 1998!» Sie zeigt einen Graphen der Jahresdurchschnittstemperaturen von $1998$ bis $2008$. Die Kurve ist nahezu flach.

Aufgabe: Analysiere den Trick. Warum ist diese Darstellung irreführend?

Abb. 5: Modelldaten mit einem Trend von $+0{,}02\,°\mathrm{C}$ pro Jahr und zufälligen Schwankungen. Der rote Ausschnitt startet beim Ausreisser 1998 und wirkt darum flach.

Lösung:

Das Jahr $1998$ war ein extremes El-Niño-Jahr mit ungewöhnlich hohen Temperaturen. Durch die Wahl dieses Startpunkts wirkt jedes Folgejahr kühler. Der wahre langfristige Trend wird verdeckt.

Nimmst du stattdessen den Zeitraum von $1980$ bis $2020$, zeigt sich ein klarer Anstieg von etwa:

$$\Delta T = 0{,}8\,°\mathrm{C}$$

Auf $40$ Jahre verteilt entspricht das einer durchschnittlichen Erwärmung von $\dfrac{0{,}8\,°\mathrm{C}}{40} = 0{,}02\,°\mathrm{C}$ pro Jahr. Die kurze, ausgewählte Zeitspanne verbirgt diesen Trend. Dieses Vorgehen heisst Cherry-Picking. Der Name kommt vom Kirschenpflücken: Man pflückt nur die Früchte, die einem passen, und lässt den Rest hängen.

Achte bei Trendaussagen immer auf die Zeitspanne. Kurze Ausschnitte sind fast immer verdächtig. Je länger der Zeitraum, desto zuverlässiger die Aussage. In der Klimaforschung gelten mindestens $30$ Jahre als aussagekräftige Basis.

Beispiel:

Korrelation und Kausalität

Eine Studie behauptet: «Menschen, die regelmässig Kaffee trinken, sind glücklicher.» Die Korrelation beträgt $r = 0{,}45$.

Aufgabe: Was könnte diese Aussage wirklich bedeuten? Diskutiere alternative Erklärungen.

Lösung:

Die Korrelation von $r = 0{,}45$ ist moderat positiv. Doch Korrelation beweist keine Kausalität. Mehrere Erklärungen sind möglich:

1. Kaffee macht glücklich (Koffein als Stimmungsheber).
2. Glückliche Menschen trinken mehr Kaffee (soziale Treffen im Café).
3. Eine dritte Variable steckt dahinter: Berufstätige trinken häufiger Kaffee und sind dank Arbeit und Einkommen im Schnitt zufriedener.

Die Korrelationsformel zeigt nur, dass beide Werte gemeinsam variieren:

$$r = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$

Für Kausalität brauchst du Experimente: Eine Gruppe trinkt Kaffee, eine Kontrollgruppe nicht, und die Teilnehmenden werden den Gruppen zufällig zugeteilt. Erst dann kannst du Ursachen identifizieren. Beobachtungsstudien zeigen Zusammenhänge, keine Ursachen. Merke dir: «Correlation does not imply causation» – Korrelation bedeutet keine Kausalität.

Kritisch hinterfragen genauer betrachtet

Fortgeschrittene Themen der kritischen Statistik betreffen Paradoxien und Verzerrungen. Zwei besonders wichtige Konzepte sind das Simpson-Paradoxon und die Grundraten-Vernachlässigung. Beide tauchen in Medizin, Politik und Wirtschaft regelmässig auf.

Definition

Ein Trend, der in einzelnen Gruppen sichtbar ist, kehrt sich beim Zusammenfassen der Gruppen um oder verschwindet. Dies tritt auf, wenn eine versteckte dritte Variable die Daten unterschiedlich gewichtet.

Das berühmteste Beispiel stammt von der Universität Berkeley aus dem Jahr $1973$. Die Universität fürchtete den Vorwurf, Frauen bei der Zulassung zu benachteiligen. Die Gesamtdaten zeigten: $44\,\%$ der Männer und nur $35\,\%$ der Frauen wurden zugelassen. Bei der Aufschlüsselung nach Fachrichtungen kehrte sich das Bild teilweise um. In einigen Fächern hatten Frauen sogar höhere Zulassungsquoten.

Die Erklärung: Frauen bewarben sich häufiger für sehr selektive Fächer. Männer wählten öfter weniger selektive Bereiche. Die versteckte Variable war die Fachwahl, nicht das Geschlecht. Ohne diese Aufschlüsselung wäre der falsche Schluss gezogen worden.

Definition

Eine Verzerrung, bei der die statistische Grundrate einer Eigenschaft ignoriert wird. Wahrscheinlichkeiten werden dadurch stark überschätzt oder unterschätzt. Besonders relevant bei medizinischen Tests und Sicherheitskontrollen.

Ein Beispiel: Ein Test auf eine seltene Krankheit ist zu $99\,\%$ genau. Er erkennt $99\,\%$ der Kranken, und bei $99\,\%$ der Gesunden zeigt er korrekt «negativ» an. Die Krankheit betrifft $1$ von $10\,000$ Menschen. Fällt dein Test positiv aus, bist du trotzdem nur mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $1\,\%$ krank.

Am einfachsten siehst du das mit ganzen Zahlen. Von $1\,000\,000$ Getesteten sind $100$ krank und $999\,900$ gesund. Von den Kranken testet der Test $99$ positiv. Von den Gesunden erhalten $1\,\%$, also $9\,999$ Personen, fälschlich ein positives Ergebnis. Insgesamt gibt es $99 + 9\,999 = 10\,098$ positive Tests, und nur $99$ davon gehören zu Kranken:

$$P(K \mid T) = \dfrac{99}{10\,098} \approx 0{,}0098 \approx 1\,\%$$

Abb. 6: Weil es so viel mehr Gesunde als Kranke gibt, sind fast alle positiven Tests Fehlalarme. Die Kranken machen nur rund $1\,\%$ der positiven Tests aus.

Dasselbe Ergebnis liefert der Satz von Bayes:

$$P(K \mid T) = \dfrac{P(T \mid K) \cdot P(K)}{P(T)} = \dfrac{0{,}99 \cdot 0{,}0001}{0{,}99 \cdot 0{,}0001 + 0{,}01 \cdot 0{,}9999} \approx 0{,}0098$$

Diese Paradoxien zeigen, wie wichtig präzises Hinsehen ist. Durchschnittswerte und Gesamtstatistiken können trügen. Die Aufschlüsselung nach Untergruppen und der Blick auf die Grundrate zeigen oft erst das wahre Bild.

Beispiel:

Das Simpson-Paradoxon

Zwei Therapien gegen Nierensteine werden verglichen. Die Zahlen stammen aus einer bekannten Studie. Insgesamt hat Therapie A eine Erfolgsquote von $78\,\%$ und Therapie B von $83\,\%$. Aufgeschlüsselt nach Schweregrad zeigt sich:

Schweregrad	Therapie A	Therapie B
leicht (kleine Steine)	$93\,\%$ ($81/87$)	$87\,\%$ ($234/270$)
schwer (grosse Steine)	$73\,\%$ ($192/263$)	$69\,\%$ ($55/80$)

Aufgabe: Welche Therapie ist besser? Warum widerspricht die Gesamtstatistik den Einzeldaten?

Lösung:

Therapie A ist in jeder Untergruppe besser! Bei leichten Fällen: $93\,\%$ gegen $87\,\%$. Bei schweren Fällen: $73\,\%$ gegen $69\,\%$. Dennoch wirkt Therapie B insgesamt besser.

Die Berechnung der Gesamtquoten:

$$\begin{align*} \text{Therapie A:} \quad & \dfrac{81 + 192}{87 + 263} = \dfrac{273}{350} = 78\,\% \\[0.5em] \text{Therapie B:} \quad & \dfrac{234 + 55}{270 + 80} = \dfrac{289}{350} \approx 83\,\% \end{align*}$$

Die Erklärung liegt in der unterschiedlichen Verteilung. Therapie A wurde meist bei schweren Fällen angewendet ($263$ von $350$ Patienten), wo die Quoten generell niedriger sind. Therapie B dagegen wurde hauptsächlich bei leichten Fällen eingesetzt ($270$ von $350$). Diese Gewichtung zieht den Gesamtwert von A nach unten.

Die Lehre: Vertraue nie blind der Gesamtstatistik. Frage nach Untergruppenanalysen. Sie zeigen die wahre Struktur der Daten. In der Medizin ist diese Aufschlüsselung Standard bei klinischen Studien.

Übungen

Bearbeite diese Aufgaben selbständig. Die Schwierigkeit steigt von Aufgabe $1$ bis Aufgabe $10$.

Aufgabe 1: Ein Säulendiagramm zeigt Umsätze: $50$, $52$, $54$. Die y-Achse beginnt bei $48$. Berechne, wie viel grösser die dritte Säule optisch im Vergleich zur ersten wirkt.

Aufgabe 2: Eine Firma wirbt: «Unser Produkt reduziert das Risiko um $50\,\%$!» Das Risiko sinkt von $0{,}002$ auf $0{,}001$. Beurteile die absolute und die relative Veränderung.

Aufgabe 3: Eine Umfrage mit $n = 20$ ergibt: $70\,\%$ der Befragten bevorzugen Produkt X. Die Schlagzeile lautet: «$70\,\%$ aller Konsumenten lieben Produkt X.» Kritisiere die Aussage.

Aufgabe 4: Ein 3D-Kreisdiagramm zeigt die Werte $40\,\%$, $35\,\%$ und $25\,\%$. Berechne die Winkel der drei Sektoren. Wie kannst du die Darstellung fair machen?

Aufgabe 5: Ein Graph zeigt den Aktienkurs von $2024$ bis $2025$ mit starkem Anstieg. Der $10$-Jahres-Graph zeigt dagegen einen klaren Abwärtstrend. Erkläre, welches Bild verlässlicher ist und warum.

Aufgabe 6: Die Korrelation zwischen Schokoladenkonsum und Nobelpreisen pro Land beträgt $r = 0{,}79$. Nenne drei mögliche Erklärungen, die keinen direkten Kausalzusammenhang voraussetzen.

Aufgabe 7: Eine Zeitung schreibt: «Verkehrstote um $200\,\%$ gestiegen!» Die absoluten Zahlen: von $2$ auf $6$. Eine zweite Zeitung meldet: «Nur $4$ Verkehrstote mehr.» Diskutiere beide Schlagzeilen.

Aufgabe 8: Ein Test erkennt $99\,\%$ aller Kranken. Die Krankheit betrifft $1$ von $100\,000$ Menschen. Bei Gesunden zeigt der Test in $2\,\%$ der Fälle fälschlich «positiv» an (Falsch-Positiv-Rate). Es werden $1$ Million Menschen getestet. Berechne, wie viele Gesunde fälschlich positiv getestet werden und welcher Anteil der positiv Getesteten wirklich krank ist.

Aufgabe 9: Zwei Schulen haben je eine Fremdsprachen- und eine Naturwissenschaftsklasse. Schule A: Fremdsprache $90\,\%$ bestanden ($45$ von $50$), Naturwissenschaft $50\,\%$ ($50$ von $100$). Schule B: Fremdsprache $85\,\%$ ($85$ von $100$), Naturwissenschaft $45\,\%$ ($27$ von $60$). Berechne die Gesamtquoten und erkläre das Simpson-Paradoxon.

Aufgabe 10: Eine Studie behauptet: «Menschen, die Vitamin C einnehmen, werden seltener krank.» Die Studie wurde von einem Vitamin-Hersteller finanziert und umfasste $n = 45$ Freiwillige. Wende die 5-W-Checkliste an und bewerte die Aussage.

Das Wichtigste in Kürze

Statistiken kritisch zu hinterfragen ist eine Kernkompetenz der digitalen Welt. Die wichtigsten Prinzipien sind: Prüfe die Achsenskalierung und verlange bei Säulendiagrammen eine Achse ab $0$. Achte auf Flächen: Doppelte Breite und doppelte Höhe ergeben die vierfache Fläche. Hinterfrage Stichprobengrösse und Auswahl der Befragten. Unterscheide absolute von relativen Zahlen. Verwechsle Korrelation nie mit Kausalität. Analysiere immer die Quelle und ihre Interessen. Wende die 5-W-Checkliste an: Wer, Was, Wann, Wie, Warum. Achte auf versteckte Variablen, Grundraten und mögliche Paradoxien. Eine gute Datenjournalistin nennt Quelle, Stichprobe und Methode. Fehlen diese Angaben, sei skeptisch. Mit wenigen Sekunden Prüfung erkennst du die meisten Manipulationen. Diese Data-Literacy-Kompetenz schützt dich vor Fehlinformationen und stärkt dein kritisches Denken im Alltag.

❓ Frage:

Ein Säulendiagramm zeigt die Werte $98$ und $100$. Die y-Achse startet bei $96$. Wie gross erscheint der optische Unterschied? a) etwa gleich hoch, da die Werte fast identisch sind b) die zweite Säule wirkt etwa $1{,}5$-mal so hoch c) die zweite Säule wirkt doppelt so hoch

Lösung anzeigen

c) Die erste Säule zeigt $98 - 96 = 2$ Einheiten, die zweite $100 - 96 = 4$ Einheiten. Optisch wirkt sie doppelt so hoch, obwohl der echte Unterschied nur $\dfrac{100 - 98}{98} \approx 2\,\%$ beträgt.

❓ Frage:

Welches ist KEIN Warnzeichen für eine manipulierte Statistik? a) klare Angabe der Stichprobengrösse $n = 1500$ b) y-Achse eines Säulendiagramms beginnt bei $85$ statt $0$ c) 3D-Effekt auf einem Kreisdiagramm

Lösung anzeigen

a) Eine klare Angabe der Stichprobengrösse ist ein Qualitätsmerkmal. Die Optionen b) und c) sind klassische Manipulationstricks.

❓ Frage:

Was bedeutet «Cherry-Picking» in der Statistik? a) Auswählen eines vorteilhaften Zeitraums oder Datenausschnitts b) das Sammeln von Daten mit einer Stichprobe c) die Berechnung des Durchschnitts

Lösung anzeigen

a) Cherry-Picking beschreibt die selektive Auswahl günstiger Daten, um eine gewünschte Aussage zu stützen. Der Rest wird ignoriert.

❓ Frage:

Eine Studie zeigt: $r = 0{,}9$ zwischen Kaffeekonsum und Glück. Was folgt daraus zwingend? a) Kaffee macht glücklich b) Glück führt zu mehr Kaffeekonsum c) nichts zwingend, Korrelation zeigt keine Kausalität

Lösung anzeigen

c) Korrelation zeigt nur, dass zwei Grössen gemeinsam variieren. Sie belegt keine Ursache-Wirkung-Beziehung.

❓ Frage:

Welche der 5-W-Fragen zielt auf versteckte Interessen der Quelle? a) Wie b) Wer c) Wann

Lösung anzeigen

b) Die Wer-Frage untersucht, wer die Daten erhoben und veröffentlicht hat. Sie deckt auch Finanzierung und Interessenkonflikte auf.

Ausblick

Mit dem kritischen Hinterfragen von Statistiken beherrschst du eine zentrale Data-Literacy-Kompetenz. Als Nächstes kannst du tiefer in die beurteilende Statistik eintauchen. Dort lernst du Hypothesentests, Konfidenzintervalle und p-Werte kennen. Diese Werkzeuge helfen dir, Studienergebnisse wissenschaftlich korrekt zu interpretieren. Auch die explorative Datenanalyse mit Boxplots und Streudiagrammen wird spannend. Du wirst künftig nicht nur Statistiken lesen, sondern eigene Daten kompetent analysieren. In Studium und Beruf ist diese Fähigkeit unverzichtbar geworden.

Lösungen

Lösung 1: Die sichtbaren Säulenabschnitte sind $50 - 48 = 2$, $52 - 48 = 4$ und $54 - 48 = 6$ Einheiten hoch. Die dritte Säule wirkt optisch $\dfrac{6}{2} = 3$-mal so gross wie die erste. Der echte Unterschied beträgt nur $\dfrac{54 - 50}{50} = 0{,}08 = 8\,\%$. Die abgeschnittene Achse erzeugt einen viel zu dramatischen Eindruck.

Lösung 2: Relativ sinkt das Risiko um $\dfrac{0{,}002 - 0{,}001}{0{,}002} = 0{,}5 = 50\,\%$. Absolut sinkt es nur um $0{,}001$, also von $0{,}2\,\%$ auf $0{,}1\,\%$ (um $0{,}1$ Prozentpunkte). Statt $2$ von $1000$ Personen ist noch $1$ von $1000$ betroffen. Das klingt beeindruckend, ist aber im Alltag kaum spürbar. Die Werbung verschweigt die geringe absolute Veränderung. Beides anzugeben wäre fair.

Lösung 3: Mit $n = 20$ ist die Aussage nicht repräsentativ. Nach der Faustregel beträgt die Fehlermarge $\dfrac{1}{\sqrt{20}} \approx 0{,}22$, also grob $\pm 22$ Prozentpunkte bei $95\,\%$ Sicherheit. Der wahre Anteil könnte also irgendwo zwischen etwa $48\,\%$ und $92\,\%$ liegen. Seriöse Umfragen brauchen $n \geq 1000$. Zudem muss die Stichprobe zufällig und repräsentativ gezogen werden. Die Schlagzeile verallgemeinert unzulässig auf «alle Konsumenten», und «bevorzugen» ist nicht dasselbe wie «lieben».

Lösung 4: Die Winkel sind $40\,\% \cdot 360° = 144°$, $35\,\% \cdot 360° = 126°$ und $25\,\% \cdot 360° = 90°$. Die Summe ergibt korrekt $360°$. Die faire Darstellung ist ein flaches 2D-Kreisdiagramm. Noch besser: ein Balkendiagramm mit identischer Balkenbreite. So lassen sich die Anteile direkt vergleichen.

Lösung 5: Der $10$-Jahres-Graph ist verlässlicher. Kurze Zeiträume zeigen vor allem Schwankungen (Rauschen). Langfristige Trends werden erst über längere Zeit sichtbar. Wer nur eine kurze Periode herauspickt, betreibt Cherry-Picking und verzerrt das Bild. In der Finanzanalyse gelten mindestens $5$ bis $10$ Jahre als aussagekräftige Basis für Trendaussagen.

Lösung 6: Mögliche Erklärungen ohne direkte Kausalität: 1) Beide hängen vom Wohlstand ab: Reichere Länder konsumieren mehr Schokolade und investieren mehr in Forschung. 2) Gut ausgebaute Bildungssysteme finden sich vor allem in Ländern, in denen Schokolade traditionell beliebt ist. 3) Zufall und kleine Zahlen: Nobelpreise sind selten, schon wenige Preise mehr oder weniger verändern die Werte eines Landes stark. Die wahrscheinlichste gemeinsame Ursache ist wirtschaftlicher Wohlstand.

Lösung 7: Zeitung 1 wählt die relative Darstellung: $\dfrac{6 - 2}{2} \cdot 100\,\% = 200\,\%$. Zeitung 2 wählt die absolute: $6 - 2 = 4$ Verkehrstote mehr. Beide Zahlen sind rechnerisch korrekt, aber die Wirkung ist verschieden. Bei kleinen Grundzahlen wirken relative Angaben schnell dramatisch und sind irreführend. Eine faire Darstellung nennt beides: relative und absolute Veränderung.

Lösung 8: Bei $1\,000\,000$ Getesteten sind $\dfrac{1\,000\,000}{100\,000} = 10$ Personen krank. Davon testet der Test $99\,\%$ positiv, also $9{,}9 \approx 10$ Personen. Gesund sind $1\,000\,000 - 10 = 999\,990$ Personen. Davon werden $2\,\%$ fälschlich positiv getestet: $0{,}02 \cdot 999\,990 = 19\,999{,}8 \approx 20\,000$ Personen. Die Fehlalarme dominieren. Von den rund $10 + 20\,000 = 20\,010$ positiv Getesteten sind nur etwa $\dfrac{10}{20\,010} \approx 0{,}0005 = 0{,}05\,\%$ tatsächlich krank.

Lösung 9: Schule A gesamt: $\dfrac{45 + 50}{50 + 100} = \dfrac{95}{150} \approx 63{,}3\,\%$. Schule B gesamt: $\dfrac{85 + 27}{100 + 60} = \dfrac{112}{160} = 70\,\%$. Schule B wirkt besser, obwohl Schule A in jeder Einzelklasse höhere Quoten hat ($90\,\% > 85\,\%$ und $50\,\% > 45\,\%$). Das ist das Simpson-Paradoxon, verursacht durch die unterschiedliche Verteilung auf die Klassen. Schule A hat zwei Drittel ihrer Lernenden in der schwierigen Naturwissenschaftsklasse ($100$ von $150$), Schule B dagegen die Mehrheit in der leichteren Fremdsprachenklasse ($100$ von $160$).

Lösung 10: Wer: Vitamin-Hersteller, klarer Interessenkonflikt. Was: «Seltener krank» ist vage. Was genau wurde gemessen? Erkältungshäufigkeit, Krankheitstage, Schweregrad? Wann: Zeitraum der Studie unklar, etwa über welche Jahreszeit? Wie: $n = 45$ ist viel zu klein. Keine Kontrollgruppe erwähnt, kein Doppelblindverfahren. Warum: Marketing für Vitaminprodukte. Fazit: Die Studie ist wissenschaftlich nicht belastbar. Du solltest unabhängige Übersichtsarbeiten konsultieren, zum Beispiel Cochrane-Reviews. Diese bewerten die Studienlage systematisch.

Verwandte Themen

• Komplexe Analysen & Zusammenhänge
• Statistische Kennwerte (Lage- und Streumasse)
• Daten visualisieren (Diagramme)

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport