Mit gemischten Zahlen rechnen

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Bruchzahlen”
• Vorwissen: Unechte Brüche und gemischte Zahlen umwandeln
• Verwandt: Brüche addieren und subtrahieren
• Verwandt: Brüche multiplizieren

Darum geht's

Stell dir vor, du backst am Samstag einen Zopf. Das Rezept verlangt zweieinviertel Tassen Mehl, und für die Glasur kommt nochmals eine dreiviertel Tasse dazu. Wie viel Mehl brauchst du insgesamt? Solche Fragen begegnen dir ständig: beim Kochen, beim Sägen eines Bretts in der Werkstatt oder beim Messen einer Laufstrecke. Gemischte Zahlen verbinden ganze Zahlen mit Bruchteilen. Sie sind anschaulicher als reine Brüche, sobald die Mengen grösser werden. In diesem Artikel lernst du, wie du gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandelst und zurück. Danach addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst du sie sicher. Mit der richtigen Methode sind diese Zahlen gut zu beherrschen – und du erkennst die typischen Fallen sofort.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse), Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 3Kompetenzen

• MA.1.A.3.iGrundanspruchGrundoperationen mit rationalen Zahlen; Wurzeln und Potenzen mit Rechner; Erw: Grundoperationen mit gewöhnlichen Brüchen mit Variablen
• MA.1.A.2.gDezimalzahlen in angemessenen Schritten zählen; Brüche mit Nennern 2–100 ordnen; Dezimalzahlen ordnen; Grundoperationen mit natürlichen Zahlen überschlagen
• MA.1.A.3.fDezimalzahlen bis 5 Wertziffern addieren/subtrahieren; Brüche am Rechteckmodell kürzen, erweitern, addieren, subtrahieren; Grundoperationen mit Rechner

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Verwendung gemischter Zahlen reicht weit zurück in die Geschichte der Mathematik. Bereits die alten Ägypter arbeiteten vor über 4000 Jahren mit Brüchen. Sie nutzten hauptsächlich Stammbrüche, schrieben aber auch Kombinationen aus ganzen Zahlen und Bruchteilen auf Papyrus-Rollen – etwa beim Vermessen von Feldern nach der Nilflut.

Die Babylonier entwickelten ein ausgeklügeltes Sexagesimalsystem mit der Basis 60. Damit konnten sie komplexe Berechnungen mit ganzen Zahlen und Bruchteilen durchführen. Ihr System beeinflusst uns bis heute: Unsere Einteilung der Stunde in 60 Minuten und der Minute in 60 Sekunden stammt direkt von ihnen. Wenn du sagst, ein Film dauere zweieinhalb Stunden, rechnest du babylonisch.

Im antiken Griechenland betrachteten Mathematiker wie Euklid (um 300 v. Chr.) Brüche als Verhältnisse. Die praktische Notation gemischter Zahlen, wie wir sie kennen, entwickelte sich jedoch erst viel später. Der persische Mathematiker Al-Chwarizmi (um 780–850 n. Chr.) trug massgeblich zur Verbreitung des Bruchrechnens bei. Leonardo Fibonacci (1170–1250) brachte die arabischen Rechenmethoden nach Europa und machte sie in seinem Werk «Liber Abaci» bekannt.

Gefahr

Mathe-Fact: Fibonacci schrieb gemischte Zahlen genau umgekehrt wie wir: Der Bruchteil stand links, die ganze Zahl rechts. Diese Schreibweise übernahm er von den arabischen Gelehrten, deren Schrift von rechts nach links läuft. Aus unserem heutigen $2\dfrac{1}{4}$ wurde bei ihm also „ein Viertel und 2”.

Die moderne Schreibweise gemischter Zahlen etablierte sich im 16. und 17. Jahrhundert. Damals begannen Mathematiker, einheitliche Notationen zu entwickeln. Diese Vereinheitlichung war entscheidend für die wissenschaftliche Revolution.

Heute sind gemischte Zahlen aus Technik, Handwerk und Alltag nicht wegzudenken. Eine Schreinerin notiert Brettlängen als gemischte Zahlen, ein Rezept verlangt zweieinviertel Tassen Mehl, und eine Wanderkarte gibt dreieinhalb Stunden Gehzeit an. Vom Bauingenieur bis zum Koch – alle nutzen diese praktische Darstellungsform.

Die Grundlagen

Eine gemischte Zahl besteht aus zwei Teilen: einer ganzen Zahl und einem echten Bruch. Ein Beispiel ist $3\dfrac{2}{5}$. Die 3 ist die ganze Zahl, $\dfrac{2}{5}$ ist der Bruchteil. Gemeint ist immer eine Addition: $3\dfrac{2}{5} = 3 + \dfrac{2}{5}$. Das Pluszeichen wird nur nicht geschrieben.

Definition

Eine gemischte Zahl $a\dfrac{b}{c}$ setzt sich aus einer ganzen Zahl $a$ und einem echten Bruch $\dfrac{b}{c}$ zusammen. Ein Bruch ist echt, wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist ($b < c$). Die gemischte Zahl bedeutet die Summe der beiden Teile:

$$a\dfrac{b}{c} = a + \dfrac{b}{c}$$

Beispiel: $3\dfrac{2}{5} = 3 + \dfrac{2}{5}$, denn $2 < 5$.

Dieselbe Zahl kannst du auch als einen einzigen Bruch schreiben. Dann ist der Zähler grösser als der Nenner – ein sogenannter unechter Bruch.

Definition

Ein unechter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler grösser oder gleich dem Nenner ist. Beispiel: $\dfrac{17}{5}$, denn $17 \geq 5$. Jeder unechte Bruch mit Wert über 1 lässt sich als gemischte Zahl schreiben – und umgekehrt:

$$\dfrac{17}{5} = 3\dfrac{2}{5}$$

Beide Schreibweisen bezeichnen exakt dieselbe Zahl auf dem Zahlenstrahl.

Wozu zwei Schreibweisen? Die gemischte Zahl zeigt dir sofort die Grösse: $3\dfrac{2}{5}$ liegt zwischen 3 und 4. Beim Vergleichen und Ordnen von Zahlen ist das praktisch. Der unechte Bruch dagegen eignet sich besser zum Rechnen, besonders beim Multiplizieren und Dividieren. Wer beide Formen flüssig ineinander umwandeln kann, hat die wichtigste Grundlage für dieses Kapitel gelegt.

Auf dem Zahlenstrahl kannst du dir das gut vorstellen. Du startest bei der ganzen Zahl 3 und gehst noch $\dfrac{2}{5}$ einer Einheit weiter nach rechts. Genau dort liegt $3\dfrac{2}{5}$. Der unechte Bruch $\dfrac{17}{5}$ beschreibt denselben Punkt in einer anderen Sprache: 17 Schritte der Länge $\dfrac{1}{5}$ vom Nullpunkt aus. Beide Wege enden an derselben Stelle.

Die Kernmethode

Alle vier Grundoperationen mit gemischten Zahlen bauen auf der Umwandlung auf. Du brauchst sie in beide Richtungen.

Definition

Gemischte Zahl → unechter Bruch: Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner und addiere den Zähler. Der Nenner bleibt gleich.

$$a\dfrac{b}{c} = \dfrac{a \cdot c + b}{c} \qquad \text{Beispiel: } 3\dfrac{2}{5} = \dfrac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \dfrac{17}{5}$$

Unechter Bruch → gemischte Zahl: Teile den Zähler durch den Nenner mit Rest. Das Ganzzahl-Ergebnis wird zur ganzen Zahl, der Rest zum neuen Zähler.

$$\dfrac{17}{5} = 3\dfrac{2}{5}, \quad \text{denn } 17 : 5 = 3 \text{ Rest } 2$$

Für Addition und Subtraktion hast du zwei gleichwertige Wege:

Weg 1 – über unechte Brüche: Wandle beide Zahlen um, rechne nach den Bruchregeln (gleichnamig machen, Zähler addieren oder subtrahieren) und wandle das Ergebnis zurück.

Weg 2 – getrennt rechnen: Rechne die ganzen Zahlen für sich und die Bruchteile für sich. Wird der Bruchteil grösser als 1, wandelst du ihn um und addierst die Ganzen dazu. Reicht der Bruchteil beim Subtrahieren nicht aus, leihst du dir ein Ganzes.

Für Multiplikation und Division gibt es nur einen sicheren Weg: Wandle immer zuerst beide Zahlen in unechte Brüche um. Dann multiplizierst du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner – beziehungsweise multiplizierst bei der Division mit dem Kehrwert. Zum Schluss kürzt du und wandelst zurück.

Beispiel:

Beispiel 1: Addition mit gleichen Nennern

Berechne $2\dfrac{1}{3} + 1\dfrac{1}{3}$.

Gegeben: Die gemischten Zahlen $2\dfrac{1}{3}$ und $1\dfrac{1}{3}$, beide mit Nenner 3.

Gesucht: Die Summe als gemischte Zahl.

Lösung:

Die Nenner sind gleich, also rechnest du nach Weg 2 getrennt.

Ganze Zahlen addieren:

$$2 + 1 = 3$$

Bruchteile addieren:

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Beide Teile kombinieren:

$$3 + \frac{2}{3} = 3\frac{2}{3}$$

Antwort: Das Ergebnis ist $3\dfrac{2}{3}$ (als unechter Bruch: $\dfrac{11}{3}$).

Kontrolle: Über unechte Brüche: $\dfrac{7}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{11}{3} = 3\dfrac{2}{3}$. ✓

Beispiel:

Beispiel 2: Addition mit Übertrag

Berechne $3\dfrac{2}{5} + 2\dfrac{4}{5}$.

Gegeben: Die gemischten Zahlen $3\dfrac{2}{5}$ und $2\dfrac{4}{5}$.

Gesucht: Die Summe als gemischte Zahl.

Lösung:

Ganze Zahlen addieren:

$$3 + 2 = 5$$

Bruchteile addieren:

$$\frac{2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$$

Der Bruchteil $\dfrac{6}{5}$ ist ein unechter Bruch. Du wandelst ihn um:

$$\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$$

Das zusätzliche Ganze addierst du zum Zwischenergebnis:

$$5 + 1\frac{1}{5} = 6\frac{1}{5}$$

Antwort: Das Ergebnis ist $6\dfrac{1}{5}$ (als unechter Bruch: $\dfrac{31}{5}$).

Kontrolle: Über unechte Brüche: $\dfrac{17}{5} + \dfrac{14}{5} = \dfrac{31}{5} = 6\dfrac{1}{5}$. ✓

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Rechnen mit gemischten Zahlen passieren bestimmte Fehler immer wieder. Wer sie kennt, vermeidet sie.

Achtung

Stolperstein 1: Beim Multiplizieren die Ganzen separat multiplizieren

Viele rechnen bei der Multiplikation ganze Zahlen mal ganze Zahlen und Brüche mal Brüche. Das ist falsch.

Falsch: $2\dfrac{1}{2} \cdot 3 = 6\dfrac{1}{2}$

Richtig: zuerst umwandeln, dann multiplizieren: $\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{15}{2} = 7\dfrac{1}{2}$

Der Fehler ignoriert, dass auch der Bruchteil mit der ganzen Zahl multipliziert werden muss. Merke: Bei Multiplikation und Division immer zuerst in unechte Brüche umwandeln.

Achtung

Stolperstein 2: Subtraktion ohne Leihen erzwingen

Bei $4\dfrac{1}{6} - 1\dfrac{5}{6}$ ist der erste Bruchteil kleiner als der zweite. Manche subtrahieren dann einfach „verkehrt herum”: $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{6}$ statt $\dfrac{1}{6} - \dfrac{5}{6}$. Das Ergebnis ist falsch.

Richtig: Du leihst dir ein Ganzes und wandelst es um: $4\dfrac{1}{6} = 3\dfrac{7}{6}$. Jetzt funktioniert die Subtraktion: $3\dfrac{7}{6} - 1\dfrac{5}{6} = 2\dfrac{2}{6} = 2\dfrac{1}{3}$.

Achtung

Stolperstein 3: Umständlicher Hauptnenner

Beim Gleichnamigmachen multiplizieren viele einfach beide Nenner miteinander. Das funktioniert zwar, macht die Zahlen aber unnötig gross.

Umständlich: $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}$ mit Nenner 24 – am Ende musst du kürzen.

Besser: Das kgV von 4 und 6 ist 12, also $\dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}$.

Merke: Suche den kleinsten gemeinsamen Nenner (kgV).

Achtung

Stolperstein 4: Das Ergebnis nicht zurückwandeln oder kürzen

Nach der Rechnung bleibt oft ein unechter oder ungekürzter Bruch stehen. $\dfrac{23}{4}$ ist zwar korrekt, aber schwer zu lesen; $4\dfrac{2}{4}$ ist nicht vollständig gekürzt.

Besser: $\dfrac{23}{4} = 5\dfrac{3}{4}$ und $4\dfrac{2}{4} = 4\dfrac{1}{2}$.

Merke: Am Schluss kürzen und in eine gemischte Zahl umwandeln, ausser die Aufgabe verlangt etwas anderes.

Beispiel:

Beispiel 3: Subtraktion mit Leihen

Berechne $4\dfrac{2}{3} - 1\dfrac{5}{6}$.

Gegeben: Die gemischten Zahlen $4\dfrac{2}{3}$ und $1\dfrac{5}{6}$ mit verschiedenen Nennern.

Gesucht: Die Differenz als gemischte Zahl.

Lösung:

Gemeinsamen Nenner finden: Das kgV von 3 und 6 ist 6. Du erweiterst den ersten Bruchteil:

$$4\frac{2}{3} = 4\frac{4}{6}$$

Jetzt prüfst du die Bruchteile: $\dfrac{4}{6}$ ist kleiner als $\dfrac{5}{6}$. Direktes Subtrahieren geht nicht. Du leihst dir ein Ganzes und wandelst es in $\dfrac{6}{6}$ um:

$$4\frac{4}{6} = 3\frac{10}{6}$$

Nun subtrahierst du getrennt. Ganze Zahlen: $3 - 1 = 2$. Bruchteile:

$$\frac{10}{6} - \frac{5}{6} = \frac{5}{6}$$

Antwort: Das Ergebnis ist $2\dfrac{5}{6}$ (als unechter Bruch: $\dfrac{17}{6}$).

Kontrolle: Rückwärts addieren: $2\dfrac{5}{6} + 1\dfrac{5}{6} = 3\dfrac{10}{6} = 4\dfrac{4}{6} = 4\dfrac{2}{3}$. ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Die Laufstrecke

Lisa trainiert für den Schulsporttag. Am Montag läuft sie $3\dfrac{1}{2}$ Kilometer, am Mittwoch $2\dfrac{3}{4}$ Kilometer. Wie viele Kilometer ist sie insgesamt gelaufen?

Gegeben: Zwei Teilstrecken: $3\dfrac{1}{2}$ km und $2\dfrac{3}{4}$ km.

Gesucht: Die Gesamtstrecke, also die Summe $3\dfrac{1}{2} + 2\dfrac{3}{4}$.

Lösung:

Gemeinsamen Nenner finden: Das kgV von 2 und 4 ist 4. Du erweiterst den ersten Bruchteil:

$$3\frac{1}{2} = 3\frac{2}{4}$$

Ganze Zahlen addieren: $3 + 2 = 5$. Bruchteile addieren:

$$\frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$$

Beide Teile kombinieren:

$$5 + 1\frac{1}{4} = 6\frac{1}{4}$$

Antwort: Lisa ist insgesamt $6\dfrac{1}{4}$ Kilometer gelaufen, also 6 Kilometer und 250 Meter.

Kontrolle: Über Dezimalzahlen: $3{,}5 + 2{,}75 = 6{,}25 = 6\dfrac{1}{4}$. ✓

Vertiefung

Bei Addition und Subtraktion durftest du die Ganzen und die Bruchteile getrennt behandeln. Warum klappt das bei der Multiplikation nicht? Ein Blick auf die ausgeschriebene Form zeigt es. Eine gemischte Zahl ist eine Summe, und beim Multiplizieren von Summen entstehen mehrere Teilprodukte:

$$2\frac{1}{2} \cdot 3 = \left(2 + \frac{1}{2}\right) \cdot 3 = 2 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 3 = 6 + \frac{3}{2} = 7\frac{1}{2}$$

Wer nur $2 \cdot 3$ rechnet, unterschlägt das Teilprodukt $\dfrac{1}{2} \cdot 3$. Bei zwei gemischten Zahlen entstehen sogar vier Teilprodukte. Deshalb ist die Umwandlung in unechte Brüche der sichere Weg: Sie verpackt alle Teilprodukte automatisch in eine einzige Multiplikation.

Für die Division brauchst du zusätzlich den Kehrwert:

Definition

Wandle beide gemischten Zahlen in unechte Brüche um. Dann multiplizierst du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten:

$$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$$

Beispiel: $1\dfrac{1}{2} : \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{6} = 2$. Kürze vor dem Ausmultiplizieren, dann bleiben die Zahlen klein.

Ein nützlicher Querbezug: Gemischte Zahlen sind eine Brücke zu den Dezimalzahlen. $2\dfrac{1}{4}$ und $2{,}25$ bezeichnen dieselbe Zahl. Beim Vergleichen und Ordnen von Brüchen hilft dir die gemischte Schreibweise, weil du die Grössenordnung sofort siehst: $\dfrac{17}{6} = 2\dfrac{5}{6}$ liegt knapp unter 3, während $\dfrac{17}{5} = 3\dfrac{2}{5}$ schon darüber liegt. In Sachaufgaben mit Rezepten, Längen und Zeiten ist genau diese schnelle Einschätzung Gold wert.

Auch das Überschlagen wird damit zum starken Kontrollwerkzeug. Bei $3\dfrac{2}{5} \cdot 1\dfrac{1}{4}$ weisst du vor dem Rechnen: Das Ergebnis muss zwischen $3 \cdot 1 = 3$ und $4 \cdot 2 = 8$ liegen, vermutlich nahe bei $3{,}4 \cdot 1{,}25 \approx 4$. Erhältst du nach der Rechnung $4\dfrac{1}{4}$, passt das zur Erwartung. Erhältst du dagegen $42\dfrac{1}{2}$, ist beim Umwandeln etwas schiefgelaufen. Gewöhne dir diesen Überschlag an – er kostet zehn Sekunden und fängt die meisten Fehler ab, bevor sie auf dem Blatt landen.

Beispiel:

Beispiel 5: Vertiefung – Das Zopf-Rezept

Ein Rezept benötigt $2\dfrac{1}{4}$ Tassen Mehl. Du möchtest die doppelte Menge backen. Zusätzlich brauchst du $\dfrac{3}{4}$ Tassen Mehl, um den Teig auf dem Tisch auszuwallen. Wie viel Mehl benötigst du insgesamt?

Gegeben: Rezeptmenge $2\dfrac{1}{4}$ Tassen, Faktor 2, Zusatzmenge $\dfrac{3}{4}$ Tassen.

Gesucht: Die Gesamtmenge $2\dfrac{1}{4} \cdot 2 + \dfrac{3}{4}$.

Lösung:

Zuerst die Multiplikation – dafür wandelst du in einen unechten Bruch um:

$$2\frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$$

Dann addierst du die Zusatzmenge. Das kgV von 2 und 4 ist 4:

$$4\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = 4\frac{2}{4} + \frac{3}{4} = 4 + \frac{5}{4} = 4 + 1\frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}$$

Antwort: Du benötigst insgesamt $5\dfrac{1}{4}$ Tassen Mehl (als unechter Bruch: $\dfrac{21}{4}$).

Kontrolle: Über Dezimalzahlen: $2{,}25 \cdot 2 + 0{,}75 = 4{,}5 + 0{,}75 = 5{,}25 = 5\dfrac{1}{4}$. ✓

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Gib jedes Ergebnis als vollständig gekürzte gemischte Zahl an, wo das möglich ist. Die Lösungen mit vollständigem Rechenweg findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Wandle $3\dfrac{5}{8}$ in einen unechten Bruch um.

Aufgabe 2: Wandle $\dfrac{29}{6}$ in eine gemischte Zahl um.

Aufgabe 3: Berechne $1\dfrac{2}{5} + 2\dfrac{1}{5}$.

Aufgabe 4: Berechne $5\dfrac{3}{7} - 2\dfrac{1}{7}$.

Aufgabe 5: Berechne $2\dfrac{1}{3} + 1\dfrac{1}{2}$.

Aufgabe 6: Berechne $4\dfrac{1}{4} - 1\dfrac{2}{3}$.

Aufgabe 7: Berechne $2\dfrac{1}{2} \cdot 3$.

Aufgabe 8: Berechne $3\dfrac{2}{5} \cdot 1\dfrac{1}{4}$.

Aufgabe 9: Berechne $5\dfrac{1}{3} : 2\dfrac{2}{3}$.

Aufgabe 10: Ein Brett ist $3\dfrac{3}{4}$ Meter lang. Eine Schreinerin sägt daraus Regalbretter von je $1\dfrac{1}{4}$ Metern Länge. Wie viele Regalbretter erhält sie, und bleibt ein Rest übrig?

Das Wichtigste in Kürze

• Gemischte Zahl = ganze Zahl + echter Bruch: $3\dfrac{2}{5}$ bedeutet $3 + \dfrac{2}{5}$.
• Umwandlung in den unechten Bruch: $a\dfrac{b}{c} = \dfrac{a \cdot c + b}{c}$. Zurück geht es mit Division mit Rest.
• Addition und Subtraktion: Entweder über unechte Brüche oder getrennt rechnen (Ganze für sich, Bruchteile für sich). Gleiche Nenner sind Pflicht – nimm das kgV.
• Leihen bei der Subtraktion: Ist der erste Bruchteil zu klein, wandelst du ein Ganzes in einen Bruch um, z. B. $4\dfrac{1}{6} = 3\dfrac{7}{6}$.
• Multiplikation und Division: Immer zuerst in unechte Brüche umwandeln. Dividieren heisst: mit dem Kehrwert multiplizieren.
• Aufräumen am Schluss: Ergebnis kürzen und als gemischte Zahl angeben.
• Kontrolle: Rechne über einen zweiten Weg nach – etwa über Dezimalzahlen oder durch Rückwärtsrechnen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Wandle $4\dfrac{3}{5}$ in einen unechten Bruch um.

Lösung anzeigen

Antwort: $\dfrac{23}{5}$. Rechenweg: Ganze Zahl mal Nenner plus Zähler: $4 \cdot 5 + 3 = 23$. Der Nenner bleibt 5. Kontrolle: $23 : 5 = 4$ Rest $3$, also $4\dfrac{3}{5}$. ✓

❓ Frage:

Welche Zahl ist grösser: $\dfrac{7}{3}$ oder $2\dfrac{1}{4}$?

Lösung anzeigen

Antwort: $\dfrac{7}{3}$ ist grösser. Begründung: Wandle den unechten Bruch um: $\dfrac{7}{3} = 2\dfrac{1}{3}$. Jetzt vergleichst du die Bruchteile: $\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$ und $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$. Wegen $\dfrac{4}{12} > \dfrac{3}{12}$ gilt $2\dfrac{1}{3} > 2\dfrac{1}{4}$. Der Unterschied beträgt genau $\dfrac{1}{12}$.

❓ Frage:

Timo rechnet $2\dfrac{1}{2} \cdot 3 = 6\dfrac{1}{2}$. Wo liegt sein Fehler, und was ist das richtige Ergebnis?

Lösung anzeigen

Fehler: Timo hat nur die ganze Zahl mit 3 multipliziert und den Bruchteil unverändert übernommen. Das Teilprodukt $\dfrac{1}{2} \cdot 3$ fehlt. Richtig: Zuerst umwandeln, dann multiplizieren: $\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{15}{2} = 7\dfrac{1}{2}$. Kontrolle: $2{,}5 \cdot 3 = 7{,}5$. ✓

❓ Frage:

Berechne $1\dfrac{3}{4} + 2\dfrac{1}{2}$.

Lösung anzeigen

Antwort: $4\dfrac{1}{4}$. Rechenweg: Das kgV von 4 und 2 ist 4, also $2\dfrac{1}{2} = 2\dfrac{2}{4}$. Ganze: $1 + 2 = 3$. Bruchteile: $\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{4} = 1\dfrac{1}{4}$. Zusammen: $3 + 1\dfrac{1}{4} = 4\dfrac{1}{4}$.

❓ Frage:

Berechne $3\dfrac{1}{2} : 1\dfrac{3}{4}$.

Lösung anzeigen

Antwort: $2$. Rechenweg: In unechte Brüche umwandeln: $\dfrac{7}{2} : \dfrac{7}{4}$. Mit dem Kehrwert multiplizieren: $\dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{28}{14} = 2$. Kontrolle: $1\dfrac{3}{4} \cdot 2 = \dfrac{7}{4} \cdot 2 = \dfrac{14}{4} = 3\dfrac{1}{2}$. ✓

Ausblick

Du beherrschst jetzt alle vier Grundoperationen mit gemischten Zahlen. Als Nächstes warten die Dezimalzahlen auf dich. Dort lernst du, dass $2\dfrac{1}{4}$ und $2{,}25$ nur zwei Schreibweisen derselben Zahl sind. Die Umwandlung zwischen Bruch und gemischter Zahl, die du hier geübt hast, ist dafür die direkte Vorbereitung. Später baut auch die Prozentrechnung darauf auf: Ein Anteil wie $\dfrac{1}{4}$ wird dort zu 25 %. Wer gemischte Zahlen sicher umwandeln kann, hat für beide Themen den entscheidenden Vorsprung.

Lösungen

Lösung 1: Du multiplizierst die ganze Zahl mit dem Nenner und addierst den Zähler:

$$3\frac{5}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{24 + 5}{8} = \frac{29}{8}$$

Der unechte Bruch lautet $\dfrac{29}{8}$.

Lösung 2: Du teilst den Zähler durch den Nenner mit Rest:

$$29 : 6 = 4 \text{ Rest } 5 \quad \Rightarrow \quad \frac{29}{6} = 4\frac{5}{6}$$

Kontrolle: $4 \cdot 6 + 5 = 29$. ✓

Lösung 3: Die Nenner sind gleich, also rechnest du getrennt:

$$1\frac{2}{5} + 2\frac{1}{5} = (1 + 2) + \left(\frac{2}{5} + \frac{1}{5}\right) = 3 + \frac{3}{5} = 3\frac{3}{5}$$

Das Ergebnis ist $3\dfrac{3}{5}$.

Lösung 4: Gleiche Nenner, der erste Bruchteil ist grösser – kein Leihen nötig:

$$5\frac{3}{7} - 2\frac{1}{7} = (5 - 2) + \left(\frac{3}{7} - \frac{1}{7}\right) = 3 + \frac{2}{7} = 3\frac{2}{7}$$

Das Ergebnis ist $3\dfrac{2}{7}$.

Lösung 5: Das kgV von 3 und 2 ist 6. Du erweiterst beide Bruchteile:

$$2\frac{1}{3} + 1\frac{1}{2} = 2\frac{2}{6} + 1\frac{3}{6} = (2 + 1) + \left(\frac{2}{6} + \frac{3}{6}\right) = 3 + \frac{5}{6} = 3\frac{5}{6}$$

Das Ergebnis ist $3\dfrac{5}{6}$.

Lösung 6: Das kgV von 4 und 3 ist 12:

$$4\frac{1}{4} - 1\frac{2}{3} = 4\frac{3}{12} - 1\frac{8}{12}$$

Wegen $\dfrac{3}{12} < \dfrac{8}{12}$ leihst du dir ein Ganzes: $4\dfrac{3}{12} = 3\dfrac{15}{12}$. Jetzt subtrahierst du:

$$3\frac{15}{12} - 1\frac{8}{12} = (3 - 1) + \left(\frac{15}{12} - \frac{8}{12}\right) = 2 + \frac{7}{12} = 2\frac{7}{12}$$

Das Ergebnis ist $2\dfrac{7}{12}$.

Kontrolle: $2\dfrac{7}{12} + 1\dfrac{8}{12} = 3\dfrac{15}{12} = 4\dfrac{3}{12} = 4\dfrac{1}{4}$. ✓

Lösung 7: Bei der Multiplikation wandelst du zuerst um:

$$2\frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$$

Das Ergebnis ist $7\dfrac{1}{2}$ – und nicht $6\dfrac{1}{2}$, wie das separate Multiplizieren der Ganzen fälschlich ergeben würde.

Lösung 8: Beide Zahlen in unechte Brüche umwandeln, dann multiplizieren und kürzen:

$$3\frac{2}{5} \cdot 1\frac{1}{4} = \frac{17}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{17 \cdot 5}{5 \cdot 4} = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$$

Die 5 kürzt sich direkt weg. Das Ergebnis ist $4\dfrac{1}{4}$.

Lösung 9: Division bedeutet Multiplikation mit dem Kehrwert:

$$5\frac{1}{3} : 2\frac{2}{3} = \frac{16}{3} : \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{48}{24} = 2$$

Das Ergebnis ist $2$.

Kontrolle: $2\dfrac{2}{3} \cdot 2 = \dfrac{8}{3} \cdot 2 = \dfrac{16}{3} = 5\dfrac{1}{3}$. ✓

Lösung 10: Gesucht ist, wie oft $1\dfrac{1}{4}$ Meter in $3\dfrac{3}{4}$ Metern enthalten ist – eine Division:

$$3\frac{3}{4} : 1\frac{1}{4} = \frac{15}{4} : \frac{5}{4} = \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{60}{20} = 3$$

Die Division geht ohne Rest auf. Die Schreinerin erhält genau 3 Regalbretter, und es bleibt kein Rest übrig. Kontrolle: $3 \cdot 1\dfrac{1}{4} = 3 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{15}{4} = 3\dfrac{3}{4}$ Meter – das entspricht genau der Brettlänge. ✓

Verwandte Themen

• Brüche dividieren: Kehrwert-Methode einfach erklärt | Schritt für Schritt
• Brüche multiplizieren einfach erklärt – Schritt für Schritt zur Lösung
• Bruchteil einer Menge berechnen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport