Grössen und Einheiten

Darum geht's

Beim Rezept für einen Kuchen steht ”$250\,\text{g}$ Mehl”, nicht "$0{,}25\,\text{kg}$". Beim Kilometerzähler im Auto sind es "$47\,\text{km}$", und nicht "$47\,000\,\text{m}$". Obwohl beide Angaben dasselbe bedeuten, wählt man immer die passende Einheit für die Situation — weil sich damit leichter rechnen und vorstellen lässt.

In diesem Kapitel lernst du, wie Grössen wie Länge, Gewicht, Zeit, Fläche und Volumen in verschiedenen Einheiten ausgedrückt werden, und wie du sicher zwischen ihnen umrechnest.

Worum geht es?

Eine Grösse ist etwas Messbares: die Länge eines Tisches, das Gewicht eines Apfels, die Dauer eines Films. Jede Grösse hat einen Zahlenwert und eine Einheit: $2{,}50\,\text{m}$, $150\,\text{g}$, $90\,\text{min}$. Ohne Einheit ist ein Zahlenwert wertlos — “die Tüte wiegt $200$” sagt gar nichts, "$200\,\text{g}$" oder "$200\,\text{kg}$" macht einen riesigen Unterschied.

Unser Alltag nutzt das metrische System: die Einheiten sind mit Faktoren $10, 100$ oder $1000$ miteinander verknüpft. $1\,\text{m} = 100\,\text{cm} = 1000\,\text{mm}$, $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$, $1\,\text{l} = 1000\,\text{ml}$. Das macht das Umrechnen zu einer reinen Kommaverschiebung — sobald du das Prinzip hast, wird es zur Routine.

Bei Flächen ($\text{m}^2$, $\text{cm}^2$) und Volumen ($\text{m}^3$, $\text{cm}^3$) ist aufzupassen: Hier quadrieren bzw. kubizieren sich die Umrechnungsfaktoren. $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$, aber $1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2$ und $1\,\text{m}^3 = 1\,000\,000\,\text{cm}^3$.

Was du schon können solltest

Bring mit in dieses Kapitel:

• sicheres Multiplizieren und Dividieren mit $10, 100, 1000$ — siehe natürliche Zahlen,
• den Umgang mit Dezimalzahlen, insbesondere das Verschieben des Kommas,
• ein Grundgefühl für Grössenordnungen im Alltag (ein Finger misst einige $\text{cm}$, ein Schulzimmer einige $\text{m}$).

Was du in diesem Kapitel lernst

Sechs Lektionen, die systematisch von den Basiseinheiten zu den zusammengesetzten Grössen führen:

1. Länge, Gewicht und Zeit — die drei wichtigsten Grössen im Alltag mit den gängigsten Einheiten ($\text{mm}$, $\text{cm}$, $\text{m}$, $\text{km}$; $\text{g}$, $\text{kg}$, $\text{t}$; $\text{s}$, $\text{min}$, $\text{h}$).
2. Masseinheiten umrechnen — die Kommaverschiebung als Standardverfahren. Grundlage: $1\,\text{m} = 10\,\text{dm} = 100\,\text{cm} = 1000\,\text{mm}$.
3. Zusammengesetzte Masse — Angaben wie ”$1\,\text{m}$ $35\,\text{cm}$” oder ”$2\,\text{h}$ $15\,\text{min}$”. Das Umwandeln in eine reine Einheit ist eine Schlüsseltechnik.
4. Grössen mit Komma — wie du Grössen als Dezimalzahlen schreibst ($1{,}35\,\text{m} = 135\,\text{cm}$) und warum beim Zeitrechnen Vorsicht gilt ($1{,}5\,\text{h}$ sind $90\,\text{min}$, nicht $1\,\text{h}$ $50\,\text{min}$).
5. Flächeneinheiten — $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{dm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{a}$ (Ar), $\text{ha}$ (Hektar), $\text{km}^2$. Die Umrechnungsfaktoren sind hier immer $100$ (statt $10$).
6. Volumeneinheiten — $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3 = 1\,\text{l}$, $\text{m}^3$. Umrechnungsfaktoren: immer $1000$ zwischen zwei benachbarten Einheiten.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Grösse — etwas Messbares, beschrieben durch Zahlenwert + Einheit.
• Einheit — die Messvorschrift, z. B. Meter für Längen, Kilogramm für Gewicht.
• Basiseinheit — die Standard-Einheit, auf die sich andere beziehen (bei Länge: der Meter).
• Vorsilbe (Präfix) — $\text{k}$ (Kilo = 1000), $\text{d}$ (Dezi = 0,1), $\text{c}$ (Zenti = 0,01), $\text{m}$ (Milli = 0,001).
• Zusammengesetzte Grösse — Angabe in mehreren Einheiten, etwa ”$2\,\text{kg}$ $350\,\text{g}$”.

Häufige Denkfehler

Achtung

Fast alle Einheiten-Fehler passieren, wenn man den Umrechnungsfaktor einer höheren Dimension übersieht — oder bei der Zeit, die nicht metrisch ist.

1. ”$1{,}5\,\text{h} = 1\,\text{h}$ $50\,\text{min}$.” Falsch. Die Zeit ist nicht dezimal. $1{,}5\,\text{h} = 1\,\text{h} + 0{,}5 \cdot 60\,\text{min} = 1\,\text{h}$ $30\,\text{min}$. Immer mit $60$ rechnen.
2. ”$1\,\text{m}^2 = 100\,\text{cm}^2$.” Nein. Beim Umrechnen von Flächen wird der Faktor quadriert: $1\,\text{m}^2 = (100\,\text{cm})^2 = 10\,000\,\text{cm}^2$.
3. “Einheit einfach weglassen, wenn klar ist, was gemeint ist.” In einer Textaufgabe vielleicht, aber im Ergebnis nie. Eine Antwort ohne Einheit ist in den meisten Prüfungen formal falsch.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Grössen und Einheiten sind der zentrale Inhalt von MA.3 – Grössen, Funktionen, Daten, 2. Zyklus:

• MA.3.A.1 – Grössen vergleichen, messen und in passenden Einheiten ausdrücken.
• MA.3.A.2 – Zwischen Einheiten umrechnen (metrisches System).
• MA.3.B.1 – Grössen schätzen und mit Überschlagsrechnungen kontrollieren.

Das Umrechnen zwischen Basis-Längeneinheiten, Gewichten und Zeiten gilt als Grundanspruch. Die Flächen- und Volumeneinheiten mit ihren quadrierten bzw. kubierten Faktoren sind teilweise Erweiterung und werden in der 7./8. Klasse weiter gefestigt.

Die Themen im Überblick

• Länge, Gewicht und Zeit
• Masseinheiten umrechnen
• Zusammengesetzte Masse
• Grössen mit Komma
• Flächeneinheiten
• Volumeneinheiten

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport