Häufigkeitsbäume einfach erklärt: So behältst du den Überblick bei mehrstufigen Zufallsexperimenten

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Wahrscheinlichkeit und Stochastik”
• Vorwissen: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit
• Als Nächstes: Pfadregeln bei mehrstufigen Zufallsexperimenten
• Weiterer Link: Vereinfachte Baumdiagramme

Darum geht's

Stell dir vor, du bist Trainer einer Fussballmannschaft. Du hast 20 Spieler im Kader. Einige sind Stürmer, andere Verteidiger. Manche Stürmer sind Rechtsfüsser, andere Linksfüsser. Wie behältst du den Überblick, wenn du wissen willst, wie viele linksfüssige Stürmer du hast?

Du könntest alle 20 Spieler einzeln durchgehen. Oder du zeichnest ein Diagramm, das die Gruppen sauber aufteilt. Genau das macht ein Häufigkeitsbaum in der Mathematik. Er hilft dir, absolute Häufigkeiten übersichtlich zu ordnen. Besonders wertvoll wird er, wenn du mehrere Merkmale gleichzeitig betrachtest. In diesem Artikel lernst du Schritt für Schritt, wie du mit Häufigkeitsbäumen arbeitest und Wahrscheinlichkeiten daraus ableitest.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 7Kompetenzen

• MA.3.A.1.kGrundanspruchBegriffe absolute und relative Häufigkeit, x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Einheitsstrecke, Wahrscheinlichkeit; Masseinheiten Geschwindigkeit (km/h, m/s, kB/s, dpi)
• MA.3.B.2.eGrundanspruchHäufigkeiten experimentell bestimmen und Vermutungen zu Wahrscheinlichkeiten formulieren; unbekannte Fragestellungen zu Kombinatorik/Wahrscheinlichkeit bearbeiten
• MA.3.A.1.lBegriffe Steigung in %, Zins, Zinssatz, Kapital, Rabatt, Brutto, Netto
• MA.3.B.2.fWahrscheinlichkeiten und statistische Angaben überprüfen und begründen
• MA.3.C.1.hMehrstufige Zufallsexperimente mit Würfeln, Münzen oder Karten durchführen und Baumdiagramm zeichnen
• MA.3.C.1.iErweiterungErw: Zufallsexperimente durchführen und Wahrscheinlichkeiten ermitteln; Wahrscheinlichkeit aus relativer Häufigkeit ableiten
• MA.3.C.2.hWertetabellen, Diagramme, Sachtexte, Terme und Graphen einander zuordnen und interpretieren; Sachsituationen nach funktionalen, statistischen und probabilistischen Gesichtspunkten bearbeiten

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee, Zahlen in Bäumen zu ordnen, ist viel älter als der moderne Stochastikunterricht. Schon im 18. Jahrhundert arbeitete der Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli mit Strukturen, die Ereignisse schrittweise aufspalten. Sein Werk Ars Conjectandi aus dem Jahr 1713 gilt als Gründungstext der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Bernoulli nutzte Diagramme, um die Aufteilung von Fällen bei Glücksspielen sichtbar zu machen.

Rund 100 Jahre später trieb Pierre-Simon Laplace die Idee weiter. In seinem Buch Théorie analytique des probabilités aus dem Jahr 1812 entwickelte er die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit. Günstige Fälle geteilt durch mögliche Fälle. Genau diese Logik steckt in jedem Häufigkeitsbaum.

Den Begriff des modernen Baumdiagramms prägte im 20. Jahrhundert der ungarische Mathematiker Alfréd Rényi. Er zeigte, wie sich komplexe mehrstufige Experimente sauber visualisieren lassen. Seine Darstellungen flossen später in die Schulbücher ein.

Ein entscheidender Schritt für den Unterricht kam durch den deutschen Didaktiker Heinrich Winter in den 1970er-Jahren. Winter plädierte dafür, Wahrscheinlichkeit nicht mit abstrakten Formeln einzuführen. Stattdessen sollten Schülerinnen und Schüler mit echten Anzahlen arbeiten. Der Häufigkeitsbaum wurde so zum didaktischen Einstieg. Er baut eine Brücke zwischen Alltagszählen und mathematischer Theorie.

Heute nutzen nicht nur Schulen diese Diagramme. Auch Mediziner setzen sie ein, um Testergebnisse zu bewerten. Versicherungen berechnen damit Risiken. Datenanalysten visualisieren mit ihnen Kundengruppen. Der Häufigkeitsbaum ist also ein Werkzeug, das weit über den Matheunterricht hinausreicht. Er hat den Sprung von der reinen Theorie in die angewandte Statistik geschafft.

Die Grundlagen

Bevor wir tiefer einsteigen, klären wir die Grundbegriffe. Ein Häufigkeitsbaum arbeitet immer mit absoluten Häufigkeiten. Das sind konkrete Anzahlen wie „8 Spieler” oder „140 Mitglieder”. Nicht mit Prozentangaben oder Brüchen.

Der Baum besteht aus drei Teilen. Die Wurzel ganz links zeigt die Gesamtzahl aller untersuchten Objekte. Die Äste führen zu den Knoten, an denen sich die Gruppe aufteilt. Die Blätter ganz rechts sind die Endpunkte. Sie zeigen die kleinsten Teilgruppen.

An jedem Knoten gilt eine strenge Regel. Die Summe der Kinder muss gleich dem Elternknoten sein. Wenn eine Wurzel 100 zeigt und sich in zwei Äste teilt, müssen die Zahlen an den Ästen zusammen 100 ergeben. Diese Regel nennt man Summenprobe.

Jede Ebene des Baums steht für ein Merkmal. In unserem Fussball-Beispiel ist die erste Ebene die Position. Stürmer oder Verteidiger. Die zweite Ebene ist der bevorzugte Fuss. Rechts oder links. Ein Baum kann auch drei oder vier Ebenen haben. In der Schule bleiben wir meist bei zwei bis drei Ebenen.

Definition

Ein Häufigkeitsbaum ist ein Baumdiagramm, das absolute Häufigkeiten darstellt. Er beginnt mit der Gesamtanzahl (Wurzel) und verzweigt sich nach einem oder mehreren Merkmalen in Teilgruppen. An jedem Knoten gilt:

$$\text{Summe der Kinder} = \text{Anzahl im Elternknoten}$$

Die Blätter zeigen die Häufigkeiten der kleinsten Teilgruppen.

Die Kernmethode

Wenn du einen Häufigkeitsbaum aus einer Aufgabe erstellen sollst, gehst du immer in der gleichen Reihenfolge vor. Diese Methode funktioniert bei jeder Aufgabe, egal wie komplex sie ist.

1. Gesamtzahl ermitteln. Lies die Aufgabe genau. Wie viele Objekte gibt es insgesamt? Diese Zahl kommt an die Wurzel.
2. Erstes Merkmal wählen. Welches Kriterium trennt die Gruppe am gröbsten? Zum Beispiel Geschlecht, Altersgruppe oder Herkunft.
3. Erste Verzweigung zeichnen. Trage die Häufigkeiten der ersten Aufteilung an die Äste.
4. Summenprobe der ersten Ebene. Addiere die Teilgruppen. Stimmt das Ergebnis mit der Wurzel überein?
5. Zweites Merkmal anwenden. Teile jede Teilgruppe nach dem zweiten Merkmal auf.
6. Summenprobe der zweiten Ebene. Prüfe jede Verzweigung einzeln.
7. Blätter beschriften. Notiere an jedem Blatt, was die Zahl bedeutet. Zum Beispiel „linksfüssiger Stürmer”.

Definition

Die Summenprobe ist die wichtigste Kontrolle im Häufigkeitsbaum. An jedem Knoten muss gelten:

$$\begin{align*} \text{Kind}_1 + \text{Kind}_2 + \ldots + \text{Kind}_n = \text{Elternknoten} \end{align*}$$

Stimmt die Summe nicht, hast du einen Rechen- oder Lesefehler gemacht. Die Probe musst du immer durchführen, sonst ist der Baum wertlos.

Aus dem fertigen Baum liest du Wahrscheinlichkeiten direkt ab. Du nimmst die Zahl am passenden Blatt und teilst sie durch die Gesamtzahl an der Wurzel. Das ergibt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis.

Beispiel:

Beispiel 1: Umfrage in einer Schulklasse

In einer Klasse mit 30 Schülerinnen und Schülern wird gefragt, ob sie ein Haustier haben. 18 Kinder haben eines, 12 nicht. Von den 18 mit Haustier haben 11 einen Hund und 7 ein anderes Tier.

Lösung:

Wurzel: 30 Kinder.

Erste Verzweigung nach Haustier ja/nein:

• Haustier: 18
• Kein Haustier: 12

Summenprobe: $18 + 12 = 30$ ✓

Zweite Verzweigung (nur bei „Haustier”):

• Hund: 11
• Anderes Tier: 7

Summenprobe: $11 + 7 = 18$ ✓

Frage: Wie viele Schüler haben einen Hund?

Antwort: 11 Schüler. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $P(\text{Hund}) = \dfrac{11}{30} \approx 36{,}7\%$.

Beispiel:

Beispiel 2: Qualitätskontrolle in einer Fabrik

Eine Fabrik produziert 500 Bauteile pro Tag. Davon stammen 300 von Maschine A und 200 von Maschine B. Bei Maschine A sind 15 Bauteile fehlerhaft. Bei Maschine B sind 20 Bauteile fehlerhaft.

Lösung:

Wurzel: 500 Bauteile.

Erste Ebene nach Maschine:

• Maschine A: 300
• Maschine B: 200

Summenprobe: $300 + 200 = 500$ ✓

Zweite Ebene nach Qualität:

• A, fehlerfrei: $300 - 15 = 285$, A, fehlerhaft: 15
• B, fehlerfrei: $200 - 20 = 180$, B, fehlerhaft: 20

Summenprobe A: $285 + 15 = 300$ ✓ Summenprobe B: $180 + 20 = 200$ ✓

Frage 1: Wie viele fehlerhafte Bauteile gibt es insgesamt? Antwort: $15 + 20 = 35$.

Frage 2: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Bauteil von Maschine B stammt und fehlerhaft ist?

$$P(\text{B und fehlerhaft}) = \dfrac{20}{500} = \dfrac{1}{25} = 4\%$$

Die häufigsten Stolpersteine

Der Häufigkeitsbaum sieht einfach aus. Trotzdem tappen viele Schüler in die gleichen Fallen. Wenn du diese Stolpersteine kennst, sparst du dir viele Punkte in der Prüfung.

Achtung

Summenprobe vergessen: An jeder Verzweigung muss die Summe der Teilgruppen gleich der Ausgangszahl sein. Wenn du bei $12 + 8 = 20$ plötzlich 21 herausbekommst, hast du dich verrechnet. Führe die Probe an jedem Knoten durch, auch wenn du dir sicher bist.

Achtung

Prozente mit Anzahlen verwechseln: Ein Häufigkeitsbaum arbeitet immer mit absoluten Zahlen. Wenn in der Aufgabe steht „30% der Schüler treiben Sport”, musst du diese Prozentangabe zuerst in eine Anzahl umrechnen. Bei 200 Schülern wären das $0{,}30 \cdot 200 = 60$ Schüler.

Achtung

Reihenfolge der Merkmale durcheinander: Wenn du in einem Ast zuerst nach Geschlecht teilst und im anderen zuerst nach Alter, wird der Baum unlesbar. Lege die Reihenfolge der Merkmale vorher fest und wende sie auf allen Ästen gleich an.

Achtung

Blätter falsch zuordnen: Bei der Frage nach einem kombinierten Ereignis (z. B. „linksfüssiger Stürmer”) musst du das richtige Blatt treffen. Verwechsle die Anzahl an einem Blatt nicht mit der Summe einer ganzen Ebene. Ein Blatt zeigt die Schnittmenge zweier Merkmale, nicht die Summe.

Beispiel:

Beispiel 3: Sportverein mit Mitgliederbefragung

Ein Sportverein hat 240 Mitglieder. 140 sind männlich, 100 weiblich. Von den männlichen Mitgliedern sind 90 aktive Wettkampfsportler und 50 Freizeitsportler. Von den weiblichen Mitgliedern sind 60 Wettkampfsportlerinnen und 40 Freizeitsportlerinnen.

Lösung:

Wurzel: 240 Mitglieder.

Erste Ebene:

• Männlich: 140
• Weiblich: 100

Summenprobe: $140 + 100 = 240$ ✓

Zweite Ebene:

• Männlich → Wettkampf: 90, Freizeit: 50
• Weiblich → Wettkampf: 60, Freizeit: 40

Summenproben: $90 + 50 = 140$ ✓, $60 + 40 = 100$ ✓

Frage 1: Wie viele Wettkampfsportler gibt es insgesamt? Antwort: $90 + 60 = 150$.

Frage 2: Wie wahrscheinlich ist eine weibliche Freizeitsportlerin?

$$P(\text{weiblich und Freizeit}) = \dfrac{40}{240} = \dfrac{1}{6} \approx 16{,}7\%$$

Frage 3: Unter allen Wettkampfsportlern wird zufällig einer gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Frau handelt?

Achtung: Die Grundgesamtheit wechselt auf 150.

$$P(\text{weiblich} \mid \text{Wettkampf}) = \dfrac{60}{150} = \dfrac{2}{5} = 40\%$$

Beispiel:

Beispiel 4: Medizinischer Test

In einer Studie werden 1000 Personen auf eine Krankheit getestet. 50 davon sind tatsächlich krank, 950 sind gesund. Von den 50 Kranken zeigen 45 ein positives Testergebnis. Von den 950 Gesunden zeigen 38 fälschlicherweise ein positives Ergebnis.

Lösung:

Wurzel: 1000 Personen.

Erste Ebene nach Gesundheit:

• Krank: 50
• Gesund: 950

Zweite Ebene nach Testergebnis:

• Krank, positiv: 45, Krank, negativ: 5
• Gesund, positiv: 38, Gesund, negativ: 912

Summenproben: $45 + 5 = 50$ ✓, $38 + 912 = 950$ ✓

Frage: Jemand erhält ein positives Testergebnis. Wie wahrscheinlich ist eine tatsächliche Erkrankung?

Gesamtzahl der positiven Tests: $45 + 38 = 83$.

$$P(\text{krank} \mid \text{positiv}) = \dfrac{45}{83} \approx 54{,}2\%$$

Überraschend: Trotz positivem Test ist nur etwa jede zweite Person wirklich krank.

Vertiefung: Vom Häufigkeitsbaum zum Wahrscheinlichkeitsbaum

Der Häufigkeitsbaum ist ein wunderbarer Einstieg. Doch manchmal kennst du die absoluten Zahlen gar nicht. Stattdessen hast du nur Prozentangaben oder direkt Wahrscheinlichkeiten. Dann brauchst du den Wahrscheinlichkeitsbaum.

Der Unterschied ist klein, aber entscheidend. Im Häufigkeitsbaum stehen an den Ästen Anzahlen wie 8 oder 140. Im Wahrscheinlichkeitsbaum stehen dort Wahrscheinlichkeiten wie $0{,}4$ oder $0{,}75$. Die Struktur bleibt identisch.

Aus einem Häufigkeitsbaum kannst du jederzeit einen Wahrscheinlichkeitsbaum bauen. Du teilst einfach jede Häufigkeit durch die Anzahl des Elternknotens. Das ergibt die bedingte Wahrscheinlichkeit entlang des Astes.

Definition

Die Wahrscheinlichkeit an einem Ast zeigt, wie sich die Gruppe aufteilt. Sie ist das Verhältnis des Kindes zum Elternknoten:

$$\begin{align*} p(\text{Ast}) = \dfrac{\text{Häufigkeit des Kindes}}{\text{Häufigkeit des Elternknotens}} \end{align*}$$

Diese Wahrscheinlichkeit gilt unter der Bedingung, dass man bereits im Elternknoten angekommen ist.

Der Zusammenhang mit der Vierfeldertafel wird in der Vertiefung ebenfalls klarer. Während der Baum eine Reihenfolge vorgibt (erst Merkmal A, dann Merkmal B), zeigt die Tafel beide Merkmale gleichwertig. Du kannst die Merkmale am Baum auch vertauschen. Das ergibt einen zweiten Baum mit denselben Blättern in anderer Anordnung. Manchmal wird die Aufgabe dadurch leichter lösbar.

Ein Häufigkeitsbaum kann auch dreistufig sein. Dann hast du drei Merkmale. Zum Beispiel Schule, Geschlecht, Lieblingsfach. Die Regeln bleiben gleich. Die Summenprobe gilt an jeder einzelnen Verzweigung.

Beispiel:

Beispiel 5: Dreistufiger Baum mit Schülerdaten

Eine Schule hat 400 Lernende. 220 sind auf der Oberstufe, 180 auf der Unterstufe. In der Oberstufe sind 110 weiblich, 110 männlich. In der Unterstufe sind 95 weiblich, 85 männlich. Von den 110 Oberstufen-Mädchen spielen 44 ein Instrument.

Lösung (nur relevanter Pfad):

Wurzel: 400.

• Oberstufe: 220 → weiblich: 110 → Instrument: 44, kein Instrument: 66
• Unterstufe: 180

Summenproben: $220 + 180 = 400$ ✓, $110 + 110 = 220$ ✓, $44 + 66 = 110$ ✓

Frage 1: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person ein Oberstufen-Mädchen ist, das ein Instrument spielt?

$$P = \dfrac{44}{400} = 0{,}11 = 11\%$$

Frage 2: Unter den Oberstufen-Mädchen wird eine gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ein Instrument spielt?

$$P = \dfrac{44}{110} = 0{,}4 = 40\%$$

Der Pfad zeigt: $0{,}55 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}11$. Der Produktpfad liefert dasselbe Ergebnis.

Übungen

Die folgenden zehn Aufgaben führen dich von einfach zu anspruchsvoll. Bearbeite sie in Reihenfolge. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

1. Eine Klasse hat 28 Kinder. 16 tragen eine Brille, 12 nicht. Zeichne die erste Ebene eines Häufigkeitsbaums.
2. Von 50 Kunden bestellen 30 einen Kaffee und 20 einen Tee. Von den Kaffeetrinkern nehmen 18 Zucker. Wie viele Kaffeetrinker nehmen keinen Zucker?
3. In einer Umfrage sagen 120 von 200 Personen, sie fahren gern Velo. Davon sind 75 weiblich. Wie viele Velofahrer sind männlich?
4. Ein Supermarkt prüft 80 Äpfel. 56 sind reif, der Rest unreif. Von den reifen sind 14 beschädigt. Wie viele reife unbeschädigte Äpfel gibt es?
5. Eine Schule mit 600 Lernenden zählt 340 Primarschüler und 260 Sekundarschüler. In der Primarschule tragen 255 einen Schulranzen, in der Sekundarstufe 65. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person aus der Sekundarstufe stammt und keinen Schulranzen trägt?
6. Ein Verein hat 180 Mitglieder. Die Hälfte ist weiblich. Von den weiblichen Mitgliedern sind 60 % aktiv, von den männlichen 40 %. Wie viele Mitglieder sind aktiv?
7. In einer Stadt werden 500 Fahrräder registriert. 320 sind gebraucht, der Rest neu. Von den gebrauchten sind 80 defekt, von den neuen 10. Berechne die Wahrscheinlichkeit, ein defektes Fahrrad zu ziehen.
8. Eine Firma hat 750 Angestellte in drei Abteilungen: 300 im Verkauf, 250 in der Produktion, 200 im Service. Je 60 % in jeder Abteilung sind Frauen. Wie viele Frauen arbeiten in der Firma?
9. Unter 1000 Testpersonen sind 120 allergisch gegen Pollen. Bei 90 dieser 120 Personen zeigt ein Test richtig positiv. Bei 70 der 880 Gesunden zeigt er falsch positiv. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei positivem Test tatsächlich allergisch zu sein?
10. In einer Klasse mit 24 Kindern mögen 18 Mathematik, 14 Deutsch und 10 beide Fächer. Zeichne einen Häufigkeitsbaum, der diese Angaben zeigt, und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind weder Mathe noch Deutsch mag.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein Häufigkeitsbaum zeigt absolute Häufigkeiten als Baumdiagramm von links nach rechts.
• Die Wurzel enthält die Gesamtanzahl. Die Äste führen zu den Blättern, die die kleinsten Teilgruppen darstellen.
• An jedem Knoten gilt die Summenprobe: Die Teilgruppen addieren sich zur Anzahl des Elternknotens.
• Wahrscheinlichkeiten berechnest du als Anzahl der günstigen Blätter geteilt durch die Gesamtzahl an der Wurzel.
• Für bedingte Wahrscheinlichkeiten wechselt die Grundgesamtheit. Teile dann nur durch die Anzahl der relevanten Zwischenebene.
• Häufigkeitsbaum und Vierfeldertafel enthalten dieselben Informationen in unterschiedlicher Darstellung.
• Die Reihenfolge der Merkmale beeinflusst nicht das Endergebnis, muss aber konsequent durchgehalten werden.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

In einer Schule gibt es 400 Schüler. 250 davon sind in der Oberstufe, 150 in der Unterstufe. Wie lautet die Zahl an der Wurzel des Häufigkeitsbaums?

Lösung anzeigen

Die Wurzel enthält immer die Gesamtzahl: 400. Summenprobe: $250 + 150 = 400$ ✓

❓ Frage:

Von 200 Befragten trinken 120 regelmässig Kaffee. Von diesen 120 Kaffeetrinkern bevorzugen 80 Filterkaffee. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig befragte Person Filterkaffee-Trinker ist?

Lösung anzeigen

Die Anzahl der Filterkaffee-Trinker ist 80. Die Gesamtzahl der Befragten ist 200.

$$P(\text{Filterkaffee}) = \dfrac{80}{200} = \dfrac{2}{5} = 40\%$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 40 %.

❓ Frage:

Ein Händler hat 60 Äpfel und 40 Birnen. Von den Äpfeln sind 12 bio, von den Birnen sind 8 bio. Wie viele konventionelle Äpfel hat der Händler?

Lösung anzeigen

Du rechnest die fehlenden Werte an den Blättern aus:

• Äpfel konventionell: $60 - 12 = 48$
• Birnen konventionell: $40 - 8 = 32$ Summenprobe: $12 + 48 = 60$ ✓. Es gibt 48 konventionelle Äpfel.

❓ Frage:

In einer Stadt leben 2000 Menschen. 1200 arbeiten, 800 nicht. Von den Arbeitenden pendeln 720. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine arbeitende, nicht pendelnde Person zu ziehen?

Lösung anzeigen

Arbeitende, die nicht pendeln: $1200 - 720 = 480$.

$$P(\text{arbeitend und nicht pendelnd}) = \dfrac{480}{2000} = 0{,}24 = 24\%$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 24 %.

❓ Frage:

Unter 500 Touristen sind 300 Deutsche, 200 aus anderen Ländern. 90 der Deutschen reisen mit Kind. 40 der anderen ebenfalls. Unter den Reisenden mit Kind wird einer zufällig ausgewählt. Wie wahrscheinlich ist es, dass dieser Deutscher ist?

Lösung anzeigen

Gesamtzahl der Reisenden mit Kind: $90 + 40 = 130$.

$$P(\text{deutsch} \mid \text{mit Kind}) = \dfrac{90}{130} = \dfrac{9}{13} \approx 69{,}2\%$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 69,2 %.

Ausblick

Du beherrschst jetzt Häufigkeitsbäume mit absoluten Zahlen. Der nächste Schritt führt dich zum Wahrscheinlichkeitsbaum mit den Pfadregeln. Dort lernst du die Produktregel entlang eines Pfades und die Summenregel über mehrere Pfade. Danach gehst du weiter zur bedingten Wahrscheinlichkeit und zum Satz von Bayes. Mit diesen Werkzeugen löst du auch Aufgaben ohne konkrete Anzahlen. Du kannst medizinische Tests, Wettereignisse und Spielstrategien mathematisch analysieren.

Lösungen

Aufgabe 1: Wurzel: 28. Äste: Brille ja (16), Brille nein (12). Summenprobe: $16 + 12 = 28$ ✓. Der Baum endet hier, weil nur ein Merkmal vorliegt.

Aufgabe 2: Wurzel: 50. Kaffee: 30, Tee: 20. Kaffee mit Zucker: 18, also ohne Zucker: $30 - 18 = 12$. Summenprobe: $18 + 12 = 30$ ✓. Es gibt 12 Kaffeetrinker ohne Zucker.

Aufgabe 3: Wurzel: 200. Velo ja: 120, Velo nein: 80. Unter Velofahrern: weiblich 75, also männlich $120 - 75 = 45$. Summenprobe: $75 + 45 = 120$ ✓. Es sind 45 männliche Velofahrer.

Aufgabe 4: Wurzel: 80. Reif: 56, unreif: $80 - 56 = 24$. Reif und beschädigt: 14, reif und unbeschädigt: $56 - 14 = 42$. Summenprobe: $14 + 42 = 56$ ✓. Es gibt 42 reife unbeschädigte Äpfel.

Aufgabe 5: Wurzel: 600. Primar: 340, Sekundar: 260. Sekundar mit Ranzen: 65, Sekundar ohne Ranzen: $260 - 65 = 195$. Gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$$P = \dfrac{195}{600} = 0{,}325 = 32{,}5\%$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 32,5 %.

Aufgabe 6: Wurzel: 180. Weiblich: 90, männlich: 90. Aktive Frauen: $0{,}60 \cdot 90 = 54$. Aktive Männer: $0{,}40 \cdot 90 = 36$. Insgesamt aktiv: $54 + 36 = 90$. Es sind 90 Mitglieder aktiv.

Aufgabe 7: Wurzel: 500. Gebraucht: 320, neu: 180. Gebraucht und defekt: 80, neu und defekt: 10. Gesamt defekt: $80 + 10 = 90$.

$$P(\text{defekt}) = \dfrac{90}{500} = 0{,}18 = 18\%$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 18 %.

Aufgabe 8: Wurzel: 750. Verkauf: 300, Produktion: 250, Service: 200. Frauen je Abteilung: $0{,}60 \cdot 300 = 180$, $0{,}60 \cdot 250 = 150$, $0{,}60 \cdot 200 = 120$. Gesamt: $180 + 150 + 120 = 450$ Frauen. In der Firma arbeiten 450 Frauen.

Aufgabe 9: Wurzel: 1000. Allergisch: 120, nicht allergisch: 880. Positiv und allergisch: 90. Positiv und nicht allergisch: 70. Gesamt positiv: $90 + 70 = 160$.

$$P(\text{allergisch} \mid \text{positiv}) = \dfrac{90}{160} = \dfrac{9}{16} = 56{,}25\%$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 56,25 %.

Aufgabe 10: Wurzel: 24. Zwei Merkmale: Mathe (ja/nein), Deutsch (ja/nein). Gegeben sind 18 Mathe-Mögende, 14 Deutsch-Mögende, 10 beide. Daraus folgt: nur Mathe $= 18 - 10 = 8$, nur Deutsch $= 14 - 10 = 4$, beide $= 10$. Weder noch $= 24 - 8 - 4 - 10 = 2$. Summenprobe: $8 + 4 + 10 + 2 = 24$ ✓.

$$P(\text{weder noch}) = \dfrac{2}{24} = \dfrac{1}{12} \approx 8{,}3\%$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 8,3 %.

Verwandte Themen

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport