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Umkehrfunktionen

Von ·Zuletzt aktualisiert:

Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 1 Kompetenz
  • MA.3.A.3.gFunktionswerte aufgrund von Funktionsgraphen bestimmen; indirekt proportionale Beziehungen berechnen; Prozentangaben als proportionale Zuordnungen verstehen

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Umkehrfunktionen: die Idee

Abschnitt betitelt „Umkehrfunktionen: die Idee“

Eine Funktion nimmt einen Eingabewert und verwandelt ihn in einen Ausgabewert. Die Umkehrfunktion dreht diesen Prozess um. Sie nimmt den Ausgabewert und liefert den ursprünglichen Eingabewert zurück.

Stell dir eine Maschine vor. Du wirfst eine Zahl hinein. Heraus kommt ein anderer Wert. Die Umkehrfunktion ist eine zweite Maschine. Du wirfst den Ausgabewert der ersten Maschine hinein. Heraus kommt wieder deine ursprüngliche Zahl.

Mathematisch gilt: Wenn ff den Wert xx auf yy abbildet, bildet die Umkehrfunktion f−1f^{-1} den Wert yy zurück auf xx.

Das hochgestellte −1-1 bedeutet nicht “eins durch ff”. Es ist ein Symbol für die Umkehrung. Lies es als ”ff invers” oder ”ff umgekehrt”.

Wann existiert eine Umkehrfunktion?

Nicht jede Funktion ist umkehrbar. Eine Funktion muss bijektiv sein. Das bedeutet: Jeder Ausgabewert stammt von genau einem Eingabewert. Wenn zwei verschiedene Eingaben zum gleichen Ausgabewert führen, weiss die Umkehrfunktion nicht, welchen Wert sie zurückgeben soll.

Man nennt diese Eigenschaft auch umkehrbar eindeutig oder eins-zu-eins.

Den Definitionsbereich und Wertebereich tauschen ff und f−1f^{-1} miteinander: Was bei ff der Definitionsbereich ist, wird bei f−1f^{-1} der Wertebereich – und umgekehrt.

Umkehrfunktionen: der Rechenweg

Abschnitt betitelt „Umkehrfunktionen: der Rechenweg“

Das Bestimmen einer Umkehrfunktion folgt immer dem gleichen Schema. Diese Methode funktioniert für alle Funktionstypen.

Warum funktioniert dieser Trick?

Das Vertauschen von xx und yy entspricht geometrisch einer Spiegelung. Jeder Punkt (a,b)(a, b) wird zu (b,a)(b, a). Beide Punkte liegen symmetrisch zur Geraden y=xy = x.

Diese Gerade ist die Spiegelachse. Sie trennt den Graphen von ff und den Graphen von f−1f^{-1}. Zeichnest du beide in ein Koordinatensystem, siehst du diese Symmetrie sofort.

Ein wichtiger Hinweis zum Definitionsbereich

Manchmal musst du den Definitionsbereich einschränken. Das passiert, wenn eine Funktion auf ihrem natürlichen Definitionsbereich nicht bijektiv ist. Du wählst dann einen Teil des Definitionsbereichs, auf dem die Funktion eins-zu-eins ist.

Der neue Definitionsbereich von f−1f^{-1} ist dann der Wertebereich des eingeschränkten ff. Das klingt kompliziert, wird aber in den Beispielen klar.

Beispiel:

Eine lineare Funktion umkehren

Abschnitt betitelt „Eine lineare Funktion umkehren“

Gegeben ist f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3. Bestimme die Umkehrfunktion.

Lösung:

Schritt 1: Schreibe die Gleichung auf.

y=2x+3y = 2x + 3

Schritt 2: Vertausche xx und yy.

x=2y+3x = 2y + 3

Schritt 3: Löse nach yy auf.

x−3=2y  ⟹  y=x−32x - 3 = 2y \implies y = \frac{x - 3}{2}

Ergebnis: f−1(x)=x−32f^{-1}(x) = \dfrac{x - 3}{2}

Probe: Berechne f(1)=2⋅1+3=5f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5. Dann muss gelten: f−1(5)=5−32=1f^{-1}(5) = \dfrac{5-3}{2} = 1. Stimmt!

Fazit: Lineare Funktionen haben immer eine Umkehrfunktion, sofern sie nicht konstant sind. Die Umkehrfunktion ist wieder linear.

Beispiel:

Eine Quadratfunktion mit eingeschränktem Definitionsbereich

Abschnitt betitelt „Eine Quadratfunktion mit eingeschränktem Definitionsbereich“

Gegeben ist f(x)=x2f(x) = x^2 mit x≥0x \geq 0. Bestimme die Umkehrfunktion.

Lösung:

Schritt 1: Schreibe die Gleichung auf.

y=x2(x≥0)y = x^2 \quad (x \geq 0)

Schritt 2: Vertausche xx und yy.

x=y2x = y^2

Schritt 3: Löse nach yy auf. Da y≥0y \geq 0 gelten muss:

y=xy = \sqrt{x}

Ergebnis: f−1(x)=xf^{-1}(x) = \sqrt{x} mit x≥0x \geq 0.

Probe: f(3)=9f(3) = 9, dann f−1(9)=9=3f^{-1}(9) = \sqrt{9} = 3. Stimmt!

Fazit: Quadrat- und Wurzelfunktion sind Umkehrfunktionen voneinander (bei passendem Definitionsbereich). Sie heben sich gegenseitig auf: x2=x\sqrt{x^2} = x für x≥0x \geq 0. Der Definitionsbereich von f−1f^{-1} ist [0;+∞)[0; +\infty), weil das der Wertebereich von ff ist.

Typische Fehler bei Umkehrfunktionen

Abschnitt betitelt „Typische Fehler bei Umkehrfunktionen“

Beim Arbeiten mit Umkehrfunktionen schleichen sich typische Fehler ein. Hier erfährst du, welche es gibt – und wie du sie vermeidest.

Umkehrfunktionen in Aufgaben

Abschnitt betitelt „Umkehrfunktionen in Aufgaben“
Beispiel:

Eine Bruchfunktion umkehren

Abschnitt betitelt „Eine Bruchfunktion umkehren“

Gegeben ist f(x)=2x+1x−3f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3} mit x≠3x \neq 3. Bestimme die Umkehrfunktion.

Lösung:

Schritt 1:

y=2x+1x−3y = \frac{2x + 1}{x - 3}

Schritt 2: Vertausche xx und yy.

x=2y+1y−3x = \frac{2y + 1}{y - 3}

Schritt 3: Löse nach yy auf. Multipliziere beide Seiten mit (y−3)(y - 3):

x(y−3)=2y+1x(y - 3) = 2y + 1xy−3x=2y+1xy - 3x = 2y + 1xy−2y=3x+1xy - 2y = 3x + 1y(x−2)=3x+1y(x - 2) = 3x + 1y=3x+1x−2y = \frac{3x + 1}{x - 2}

Ergebnis: f−1(x)=3x+1x−2f^{-1}(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2} mit x≠2x \neq 2.

Probe: f(5)=112f(5) = \dfrac{11}{2}. Dann f−1 ⁣(112)=332+1112−2=35272=5f^{-1}\!\left(\dfrac{11}{2}\right) = \dfrac{\frac{33}{2}+1}{\frac{11}{2}-2} = \dfrac{\frac{35}{2}}{\frac{7}{2}} = 5. Stimmt!

Beispiel:

Textaufgabe – Temperaturumrechnung

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Die Formel zur Umrechnung von Celsius in Fahrenheit lautet:

F(c)=95⋅c+32F(c) = \frac{9}{5} \cdot c + 32

Wie rechnet man Fahrenheit in Celsius um?

Lösung: Gesucht ist die Umkehrfunktion.

Schritt 1: f=95⋅c+32f = \dfrac{9}{5} \cdot c + 32

Schritt 2: Vertausche die Variablen: c=95⋅f+32c = \dfrac{9}{5} \cdot f + 32

Schritt 3: Löse nach ff auf:

c−32=95⋅f  ⟹  f=59⋅(c−32)c - 32 = \frac{9}{5} \cdot f \implies f = \frac{5}{9} \cdot (c - 32)

Ergebnis:

C(f)=59⋅(f−32)C(f) = \frac{5}{9} \cdot (f - 32)

Probe: 77°F77°F entsprechen:

C(77)=59⋅(77−32)=59⋅45=25°CC(77) = \frac{5}{9} \cdot (77 - 32) = \frac{5}{9} \cdot 45 = 25°C

Das ist korrekt. Diese Umrechnung nutzt du täglich, wenn du internationale Wetterberichte liest.

Umkehrfunktionen genauer betrachtet

Abschnitt betitelt „Umkehrfunktionen genauer betrachtet“

Umkehrfunktionen hängen mit mehreren anderen Konzepten zusammen. Diese Verbindungen helfen dir, tiefer zu verstehen, was beim Umkehren wirklich passiert.

Spiegelung am Graphen

Die geometrische Deutung ist zentral. Der Graph von f−1f^{-1} entsteht durch Spiegelung des Graphen von ff an der Geraden y=xy = x. Das liegt daran, dass beim Umkehren die Koordinaten vertauscht werden. Jeder Punkt (a,b)(a, b) auf ff wird zum Punkt (b,a)(b, a) auf f−1f^{-1}.

Die Gerade y=xy = x ist die Spiegelachse, weil sie alle Punkte der Form (a,a)(a, a) enthält. Solche Punkte bleiben bei der Spiegelung fest.

Zusammenhang mit der Monotonie

Streng monotone Funktionen sind immer bijektiv auf ihrem Definitionsbereich. Sie haben also immer eine Umkehrfunktion. Das erleichtert die Überprüfung: Ist eine Funktion streng monoton steigend oder fallend, existiert die Umkehrfunktion garantiert.

Zusammenhang mit der Ableitung

In der Analysis (Klasse 11/12) lernst du eine elegante Formel. Sie verknüpft die Ableitungen von ff und f−1f^{-1}. Am Punkt (a,b)(a, b) gilt:

(f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}

Das bedeutet: Die Steigung von f−1f^{-1} an einem Punkt ist der Kehrwert der Steigung von ff am gespiegelten Punkt.

Verknüpfte Umkehrfunktionen

Was passiert, wenn du ff und f−1f^{-1} hintereinander anwendest? Du gelangst wieder zum Ausgangswert. Das ist gerade die definierende Eigenschaft. Mathematiker schreiben dafür: f−1∘f=idf^{-1} \circ f = \text{id}, wobei id\text{id} die Identitätsfunktion ist.

Beispiel:

Vertiefung – Umkehrfunktion mit Ableitung prüfen

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Gegeben ist f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1. Die Umkehrfunktion ist f−1(x)=x+13f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{3}.

Überprüfe den Zusammenhang der Steigungen.

Lösung:

Die Steigung von ff ist f′(x)=3f'(x) = 3. Das gilt überall.

Die Steigung von f−1f^{-1} ist (f−1)′(x)=13(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{3}.

Prüfe die Formel: (f−1)′(b)=1f′(a)(f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}.

Setze a=2a = 2. Dann ist b=f(2)=5b = f(2) = 5.

(f−1)′(5)=13und1f′(2)=13(f^{-1})'(5) = \frac{1}{3} \quad \text{und} \quad \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{3}

Die Formel stimmt. Die Steigungen sind Kehrwerte voneinander.

Geometrisch: Wenn ff die Steigung 33 hat, hat f−1f^{-1} die Steigung 13\dfrac{1}{3}. Bei der Spiegelung an y=xy = x werden steile Geraden zu flachen Geraden.

Übungen

Abschnitt betitelt „Übungen“

Löse die folgenden Aufgaben. Sie sind nach steigendem Schwierigkeitsgrad geordnet.

Niveau 1 – Grundlagen

Aufgabe 1: Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=x+7f(x) = x + 7.

Aufgabe 2: Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=4xf(x) = 4x.

Aufgabe 3: Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=3x−9f(x) = 3x - 9.

Niveau 2 – Anwendung

Aufgabe 4: Gegeben ist f(x)=x5+2f(x) = \dfrac{x}{5} + 2. Bestimme f−1(x)f^{-1}(x).

Aufgabe 5: Gegeben ist f(x)=x3f(x) = x^3. Bestimme die Umkehrfunktion. Hinweis: Die Kubikwurzel schreibt man als x3\sqrt[3]{x}.

Aufgabe 6: Gegeben sind die Punkte (1,4)(1, 4), (2,7)(2, 7) und (3,10)(3, 10) auf dem Graphen von ff. Nenne drei Punkte auf dem Graphen von f−1f^{-1}.

Niveau 3 – Transfer

Aufgabe 7: Gegeben ist g(x)=x+42x−1g(x) = \dfrac{x + 4}{2x - 1} mit x≠12x \neq \dfrac{1}{2}. Bestimme g−1(x)g^{-1}(x).

Aufgabe 8: Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet U(r)=2πrU(r) = 2\pi r. Bestimme die Umkehrfunktion r(U)r(U), die den Radius aus dem Umfang berechnet.

Aufgabe 9: Gegeben ist h(x)=x−2h(x) = \sqrt{x - 2} mit x≥2x \geq 2. Bestimme h−1(x)h^{-1}(x) und gib den Definitionsbereich an.

Niveau 4 – Knobelaufgabe

Aufgabe 10: Gegeben ist f(x)=x1−xf(x) = \dfrac{x}{1 - x} mit x≠1x \neq 1. Zeige, dass ff ihre eigene Umkehrfunktion ist, das heisst f−1=ff^{-1} = f.

Das Wichtigste in Kürze

Abschnitt betitelt „Das Wichtigste in Kürze“

Eine Umkehrfunktion macht eine Funktion rückgängig. Sie führt Ausgabewerte zurück zu ihren Eingabewerten.

Um eine Umkehrfunktion zu bestimmen, schreibst du y=f(x)y = f(x), vertauschst xx und yy, und löst nach yy auf.

Der Graph von f−1f^{-1} entsteht durch Spiegelung des Graphen von ff an der Geraden y=xy = x.

Nicht jede Funktion hat eine Umkehrfunktion. Die Funktion muss bijektiv sein. Bei nicht bijektiven Funktionen hilft eine Einschränkung des Definitionsbereichs.

Der Definitionsbereich von f−1f^{-1} ist der Wertebereich von ff – und umgekehrt. Diese Bereiche werden beim Umkehren vertauscht. Mache immer eine Probe mit einem konkreten Wert.

❓ Frage:Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=3x−6f(x) = 3x - 6.
Lösung anzeigen

Lösung:

  1. Schreibe: y=3x−6y = 3x - 6
  2. Vertausche: x=3y−6x = 3y - 6
  3. Löse auf: x+6=3yx + 6 = 3y, also y=x+63y = \dfrac{x + 6}{3} Die Umkehrfunktion ist f−1(x)=x+63f^{-1}(x) = \dfrac{x + 6}{3}. Probe: f(2)=0f(2) = 0. Dann f−1(0)=0+63=2f^{-1}(0) = \dfrac{0+6}{3} = 2. Stimmt!
❓ Frage:Der Punkt (5,2)(5, 2) liegt auf dem Graphen von ff. Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von f−1f^{-1}?
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Lösung: Der Punkt (2,5)(2, 5) liegt auf dem Graphen von f−1f^{-1}. Bei der Umkehrfunktion werden die Koordinaten jedes Punktes vertauscht. Der xx-Wert und der yy-Wert tauschen ihre Rollen.

❓ Frage:Warum hat f(x)=x2f(x) = x^2 auf ganz R\mathbb{R} keine Umkehrfunktion?
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Lösung: Die Funktion ist auf R\mathbb{R} nicht bijektiv. Verschiedene Eingaben führen zur gleichen Ausgabe: f(3)=9f(3) = 9 und f(−3)=9f(-3) = 9. Die Umkehrfunktion könnte nicht entscheiden, ob sie 33 oder −3-3 zurückgeben soll. Erst mit der Einschränkung x≥0x \geq 0 oder x≤0x \leq 0 wird ff bijektiv und damit umkehrbar.

❓ Frage:Was gilt für den Definitionsbereich und den Wertebereich von ff und f−1f^{-1}?
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Lösung: Definitionsbereich und Wertebereich werden vertauscht.

  • Der Definitionsbereich von f−1f^{-1} ist gleich dem Wertebereich von ff.
  • Der Wertebereich von f−1f^{-1} ist gleich dem Definitionsbereich von ff. Das liegt daran, dass die Umkehrfunktion die Rollen von Eingabe und Ausgabe tauscht.
❓ Frage:Gegeben ist f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1. Berechne f−1(7)f^{-1}(7), ohne die Umkehrfunktion vollständig zu bestimmen.
Lösung anzeigen

Lösung: Gesucht ist der Wert xx mit f(x)=7f(x) = 7.

2x+1=7  ⟹  2x=6  ⟹  x=32x + 1 = 7 \implies 2x = 6 \implies x = 3

Also ist f−1(7)=3f^{-1}(7) = 3. Zur Kontrolle: f(3)=2⋅3+1=7f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7. Stimmt! Das zeigt: Bei einfachen Gleichungen kannst du direkt die Gleichung f(x)=Wertf(x) = \text{Wert} lösen, anstatt zuerst f−1f^{-1} zu bestimmen.

Ausblick

Abschnitt betitelt „Ausblick“

Das Konzept der Umkehrfunktion begleitet dich durch deine gesamte mathematische Laufbahn.

In der Analysis lernst du die Ableitungsregel für Umkehrfunktionen. Sie verbindet die Steigungen von ff und f−1f^{-1} elegant miteinander.

In der Trigonometrie begegnest du Arkusfunktionen: arcsin⁡\arcsin, arccos⁡\arccos und arctan⁡\arctan sind Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen – allerdings nur auf eingeschränkten Definitionsbereichen.

In der Stochastik kehrst du Verteilungsfunktionen um. In der Kryptographie stecken Umkehrfunktionen in jedem Verschlüsselungsalgorithmus.

Das Vertauschen von Ursache und Wirkung – genau das ist die Kraft der Umkehrfunktion.

Lösungen

Abschnitt betitelt „Lösungen“

Aufgabe 1: f(x)=x+7f(x) = x + 7

  1. y=x+7y = x + 7
  2. x=y+7x = y + 7
  3. y=x−7y = x - 7

f−1(x)=x−7f^{-1}(x) = x - 7

Probe: f(3)=10f(3) = 10, f−1(10)=3f^{-1}(10) = 3. Stimmt!

Aufgabe 2: f(x)=4xf(x) = 4x

  1. y=4xy = 4x
  2. x=4yx = 4y
  3. y=x4y = \dfrac{x}{4}

f−1(x)=x4f^{-1}(x) = \dfrac{x}{4}

Probe: f(5)=20f(5) = 20, f−1(20)=5f^{-1}(20) = 5. Stimmt!

Aufgabe 3: f(x)=3x−9f(x) = 3x - 9

  1. y=3x−9y = 3x - 9
  2. x=3y−9x = 3y - 9
  3. x+9=3y  ⟹  y=x+93x + 9 = 3y \implies y = \dfrac{x + 9}{3}

f−1(x)=x+93f^{-1}(x) = \dfrac{x + 9}{3}

Probe: f(0)=−9f(0) = -9, f−1(−9)=03=0f^{-1}(-9) = \dfrac{0}{3} = 0. Stimmt!

Aufgabe 4: f(x)=x5+2f(x) = \dfrac{x}{5} + 2

  1. y=x5+2y = \dfrac{x}{5} + 2
  2. x=y5+2x = \dfrac{y}{5} + 2
  3. x−2=y5  ⟹  y=5(x−2)=5x−10x - 2 = \dfrac{y}{5} \implies y = 5(x - 2) = 5x - 10

f−1(x)=5x−10f^{-1}(x) = 5x - 10

Probe: f(10)=4f(10) = 4, f−1(4)=20−10=10f^{-1}(4) = 20 - 10 = 10. Stimmt!

Aufgabe 5: f(x)=x3f(x) = x^3

  1. y=x3y = x^3
  2. x=y3x = y^3
  3. y=x3y = \sqrt[3]{x}

f−1(x)=x3f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}

Die Kubikfunktion und die Kubikwurzelfunktion sind Umkehrfunktionen voneinander. Hier braucht man keine Einschränkung des Definitionsbereichs, da x3x^3 auf ganz R\mathbb{R} streng monoton steigend und damit bijektiv ist.

Aufgabe 6: Punkte (1,4)(1, 4), (2,7)(2, 7), (3,10)(3, 10) auf ff

Bei f−1f^{-1} werden die Koordinaten vertauscht:

(4,1)(4, 1), (7,2)(7, 2), (10,3)(10, 3) liegen auf dem Graphen von f−1f^{-1}.

Aufgabe 7: g(x)=x+42x−1g(x) = \dfrac{x + 4}{2x - 1}

  1. y=x+42x−1y = \dfrac{x + 4}{2x - 1}
  2. x=y+42y−1x = \dfrac{y + 4}{2y - 1}
  3. Multipliziere mit (2y−1)(2y - 1):
x(2y−1)=y+4x(2y - 1) = y + 4 2xy−x=y+42xy - x = y + 4 2xy−y=x+42xy - y = x + 4 y(2x−1)=x+4y(2x - 1) = x + 4 y=x+42x−1y = \frac{x + 4}{2x - 1}

g−1(x)=x+42x−1g^{-1}(x) = \dfrac{x + 4}{2x - 1} mit x≠12x \neq \dfrac{1}{2}

Diese Funktion ist ihre eigene Umkehrfunktion!

Aufgabe 8: U(r)=2πrU(r) = 2\pi r

  1. U=2πrU = 2\pi r
  2. Vertausche: r=2πUr = 2\pi U – warte, hier ist es sinnvoller, direkt nach rr aufzulösen, ohne Umbenennung.

Löse U=2πrU = 2\pi r nach rr auf:

r=U2πr = \frac{U}{2\pi}

r(U)=U2πr(U) = \dfrac{U}{2\pi}

Mit diesem Ausdruck berechnest du den Radius eines Kreises aus seinem Umfang. Beispiel: U=10πU = 10\pi cm ergibt r=5r = 5 cm.

Aufgabe 9: h(x)=x−2h(x) = \sqrt{x - 2} mit x≥2x \geq 2

  1. y=x−2y = \sqrt{x - 2}
  2. x=y−2x = \sqrt{y - 2}
  3. Quadriere beide Seiten: x2=y−2x^2 = y - 2, also y=x2+2y = x^2 + 2

h−1(x)=x2+2h^{-1}(x) = x^2 + 2

Definitionsbereich von h−1h^{-1}: Da der Wertebereich von hh gleich [0;+∞)[0; +\infty) ist, gilt x≥0x \geq 0.

Probe: h(6)=4=2h(6) = \sqrt{4} = 2. Dann h−1(2)=4+2=6h^{-1}(2) = 4 + 2 = 6. Stimmt!

Aufgabe 10: f(x)=x1−xf(x) = \dfrac{x}{1 - x} mit x≠1x \neq 1

Bestimme die Umkehrfunktion:

  1. y=x1−xy = \dfrac{x}{1 - x}
  2. x=y1−yx = \dfrac{y}{1 - y}
  3. x(1−y)=yx(1 - y) = y
x−xy=yx - xy = y x=y+xy=y(1+x)x = y + xy = y(1 + x) y=x1+xy = \frac{x}{1 + x}

Nun prüfe: Ist x1+x\dfrac{x}{1+x} gleich f(x)=x1−xf(x) = \dfrac{x}{1-x}?

Das sieht nicht gleich aus. Beachte aber: Die Umkehrfunktion ist f−1(x)=x1+xf^{-1}(x) = \dfrac{x}{1+x}.

Moment – prüfen wir, ob f(f(x))=xf(f(x)) = x gilt:

f(f(x))=f ⁣(x1−x)=x1−x1−x1−x=x1−x1−x−x1−x=x1−2xf(f(x)) = f\!\left(\frac{x}{1-x}\right) = \frac{\frac{x}{1-x}}{1 - \frac{x}{1-x}} = \frac{\frac{x}{1-x}}{\frac{1-x-x}{1-x}} = \frac{x}{1 - 2x}

Das ist nicht xx. Also ist ff nicht ihre eigene Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion lautet korrekt f−1(x)=x1+xf^{-1}(x) = \dfrac{x}{1+x}.

Quellen