Spezialfälle linearer Funktionen

Darum geht's

Stell dir vor, du gehst auf den Wochenmarkt und kaufst Äpfel. Ein Apfel kostet 50 Rappen. Zwei Äpfel kosten 1 Franken. Drei Äpfel kosten 1.50 Franken. Je mehr Äpfel, desto höher der Preis – ganz gleichmässig. Jetzt stell dir eine Flatrate vor. Du zahlst immer 15 Franken pro Monat – egal wie viel du nutzt. Der Preis ändert sich nie. Diese zwei Situationen sind Spezialfälle linearer Funktionen. Sie haben besondere Eigenschaften, die du in der Mathematik immer wieder antreffen wirst. In diesem Artikel lernst du sie gründlich kennen.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 3Kompetenzen

• MA.3.A.3.hGrundanspruchZu einer Funktionsgleichung Wertepaare bestimmen und in einem Koordinatensystem einzeichnen
• MA.3.A.3.kZu linearen Funktionen den Funktionsgraphen zeichnen; Steigung, y-Achsenabschnitt und Nullstelle bestimmen
• MA.3.C.2.fProportionale und lineare Zusammenhänge in Sachsituationen erkennen (Erw: indirekt proportionale); Wertepaare und Funktionsgraphen im Koordinatensystem darstellen; Alltagssituationen in mathematische Sprache übersetzen

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Lineare Funktionen begleiten die Menschheit seit Jahrtausenden. Lange bevor es Koordinatensysteme gab, rechneten Menschen mit proportionalen Beziehungen.

Die alten Ägypter kannten das Prinzip der Proportionalität sehr gut. Auf dem Rhind-Papyrus aus dem Jahr etwa 1650 v. Chr. finden sich Aufgaben, die wir heute als lineare Gleichungen bezeichnen würden. Die Ägypter nutzten diese Rechnungen zum Beispiel für die Verteilung von Brot und Bier unter Arbeitern. Wenn ein Arbeiter drei Brote bekommt, bekommen fünf Arbeiter fünfzehn Brote. Das ist Proportionalität – also das Prinzip der Ursprungsgeraden.

Die alten Griechen gingen einen Schritt weiter. Der Mathematiker Euklid beschrieb in seinen “Elementen” (300 v. Chr.) geometrisch, was wir heute als proportionale Funktionen kennen. Er formulierte das Verhältnis zwischen Grössen als geometrische Beziehungen, ohne die moderne Formelschreibweise zu nutzen.

Der Begriff “Funktion” selbst wurde viel später geprägt. Gottfried Wilhelm Leibniz verwendete das Wort “functio” erstmals um 1694. Er meinte damit eine mathematische Grösse, die von einer anderen abhängt. Leonhard Euler, der grosse Schweizer Mathematiker aus Basel (1707–1783), systematisierte die Schreibweise. Er führte die Notation $f(x)$ ein, die wir heute noch benutzen.

Das Koordinatensystem, in dem wir Funktionen zeichnen, geht auf René Descartes zurück. Der Franzose entwickelte es im 17. Jahrhundert. Die Legende erzählt, er habe eine Fliege an der Decke beobachtet und überlegt, wie er ihre Position beschreiben könnte. Ob die Geschichte stimmt, weiss niemand genau. Das Koordinatensystem aber existiert – und trägt seinen Namen: das kartesische Koordinatensystem.

Der Spezialfall $y = 0$, also die x-Achse, war für die frühen Mathematiker besonders bedeutsam. Die Nullstelle einer Funktion – also der Punkt, wo die Gerade die x-Achse schneidet – war ein zentrales Problem der Algebra. Die konstante Funktion hingegen schien zunächst trivial. Doch sie beschreibt viele Alltagssituationen präzise: Feste Preise, konstante Temperaturen, unveränderliche Grössen.

Die Grundlagen

Bevor du die Spezialfälle verstehst, musst du die allgemeine Form kennen. Jede lineare Funktion lässt sich in einer bestimmten Form schreiben.

Definition

Eine lineare Funktion hat die Form:

$y = m \cdot x + b$

Dabei gilt:

• $m$ ist die Steigung (wie steil die Gerade ist)
• $b$ ist der y-Achsenabschnitt (wo die Gerade die y-Achse schneidet)
• $x$ ist die unabhängige Variable (du setzt sie ein)
• $y$ ist die abhängige Variable (sie ergibt sich aus $x$)

Die Steigung $m$ und der y-Achsenabschnitt $b$ können alle möglichen Werte annehmen. Sie können positiv, negativ oder null sein.

Was passiert, wenn einer dieser Werte null ist? Dann entstehen Spezialfälle. Und genau das macht diese Fälle so interessant.

Zwei Spezialfälle gibt es:

Erstens: $b = 0$. Der y-Achsenabschnitt ist null. Die Gleichung vereinfacht sich zu $y = m \cdot x$. Das nennt man eine Ursprungsgerade oder proportionale Funktion.

Zweitens: $m = 0$. Die Steigung ist null. Die Gleichung vereinfacht sich zu $y = b$. Das nennt man eine konstante Funktion.

Es gibt sogar einen dritten Fall: Wenn sowohl $m = 0$ als auch $b = 0$ gilt, dann ist $y = 0$. Diese Gleichung beschreibt die x-Achse selbst.

Die Kernmethode

Jetzt lernst du beide Spezialfälle genau kennen. Fange mit dem ersten an.

Definition

Eine proportionale Funktion hat die Form:

$y = m \cdot x$

Sie hat folgende Eigenschaften:

• Der y-Achsenabschnitt ist $b = 0$
• Die Gerade geht durch den Koordinatenursprung $(0|0)$
• Der Wert $m$ heisst Proportionalitätsfaktor
• Wenn $x$ sich verdoppelt, verdoppelt sich auch $y$

Definition

Eine konstante Funktion hat die Form:

$y = b$

Sie hat folgende Eigenschaften:

• Die Steigung ist $m = 0$
• Der Funktionswert ändert sich nie
• Der Graph ist eine waagerechte Gerade
• Diese Gerade verläuft parallel zur x-Achse

So erkennst du die Spezialfälle:

Schreibe die Funktion in die Form $y = mx + b$. Dann prüfe:

1. Kein $+b$ am Ende? → Ursprungsgerade
2. Kein $x$ in der Gleichung? → Konstante Funktion
3. Nur $y = 0$? → Das ist die x-Achse (beide Spezialfälle zusammen)

Beispiel:

Beispiel 1: Ursprungsgerade erkennen und zeichnen

Gegeben ist $f(x) = 3x$.

Aufgabe: Bestimme den Typ, erstelle eine Wertetabelle und beschreibe den Graphen.

Lösung:

Schritt 1 – Typ bestimmen: Die Gleichung hat die Form $y = mx + b$ mit $m = 3$ und $b = 0$. Da $b = 0$ ist, handelt es sich um eine Ursprungsgerade.

Schritt 2 – Wertetabelle:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$-6$	$-3$	$0$	$3$	$6$

Schritt 3 – Probe: Setze $x = 0$ ein: $f(0) = 3 \cdot 0 = 0$ ✓ Die Gerade geht durch den Ursprung.

Beschreibung: Die Gerade ist steil und steigt von links unten nach rechts oben. Sie geht genau durch $(0|0)$.

Beispiel:

Beispiel 2: Konstante Funktion erkennen und analysieren

Gegeben ist $g(x) = -4$.

Aufgabe: Bestimme den Typ, erstelle eine Wertetabelle und beschreibe den Graphen.

Lösung:

Schritt 1 – Typ bestimmen: Die Gleichung hat kein $x$. Die Steigung ist $m = 0$ und $b = -4$. Das ist eine konstante Funktion.

Schritt 2 – Wertetabelle:

$x$	$-3$	$0$	$5$	$100$
$g(x)$	$-4$	$-4$	$-4$	$-4$

Egal welchen $x$-Wert du einsetzt – das Ergebnis ist immer $-4$.

Schritt 3 – Graphenbeschreibung: Der Graph ist eine waagerechte Linie auf Höhe $-4$. Sie verläuft unterhalb der x-Achse parallel zu ihr.

Besonderheit: Da $m = 0$ ist, ist die Steigung gleich null. Die Gerade “steigt” weder noch “fällt” sie.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Verwechslung von Faktor und Summand: Viele verwechseln $y = 2x$ und $y = x + 2$.

Bei $y = 2x$: Die 2 wird mit $x$ multipliziert. Der y-Achsenabschnitt ist 0. Das ist eine Ursprungsgerade.

Bei $y = x + 2$: Die 2 wird addiert. Der y-Achsenabschnitt ist 2. Das ist keine Ursprungsgerade.

Merke: Nur wenn die Zahl mit $x$ multipliziert wird und nichts addiert wird, liegt eine Ursprungsgerade vor.

Achtung

Unsichtbare Koeffizienten: Die Funktionen $y = x$ und $y = -x$ sind auch Ursprungsgeraden!

Bei $y = x$ schreibt man normalerweise nicht $y = 1 \cdot x$. Die 1 ist unsichtbar, aber vorhanden. Die Steigung ist $m = 1$.

Bei $y = -x$ ist die Steigung $m = -1$.

Prüfe immer: Wird etwas zu $x$ addiert? Wenn nein, ist es eine Ursprungsgerade.

Achtung

$y = 0$ ist ein Sonderfall: Die Funktion $y = 0$ ist gleichzeitig eine konstante Funktion und eine Ursprungsgerade.

Die Steigung ist $m = 0$ (konstante Funktion) und der y-Achsenabschnitt ist $b = 0$ (Ursprungsgerade). Der Graph ist die x-Achse selbst.

In der Praxis behandelst du $y = 0$ meist als konstante Funktion.

Achtung

Steigung null ≠ keine Steigung: Eine konstante Funktion hat die Steigung $m = 0$. Das ist nicht dasselbe wie “keine Steigung”.

“Steigung null” bedeutet: Die Gerade ist waagerecht. Sie wächst weder noch fällt sie.

Verwechsle das nicht mit senkrechten Geraden. Eine senkrechte Gerade hat eine undefinierte Steigung. Senkrechte Geraden beschreiben keine Funktionen!

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe – Handytarife vergleichen

Ein Mobilfunkanbieter bietet zwei Tarife an:

• Tarif A: Kein Grundpreis. Du zahlst 0.15 CHF pro Minute.
• Tarif B: Du zahlst 20 CHF pro Monat. Alle Gespräche sind gratis.

Aufgabe: Stelle beide Tarife als Funktion dar. Bestimme den Typ. Ab wie vielen Minuten ist Tarif B günstiger?

Lösung:

Tarif A als Funktion:

$K_A(x) = 0.15 \cdot x$

Kein Grundpreis bedeutet $b = 0$. Das ist eine Ursprungsgerade.

Tarif B als Funktion:

$K_B(x) = 20$

Die Kosten ändern sich nicht. Das ist eine konstante Funktion.

Schnittpunkt berechnen:

Setze beide Funktionen gleich: $0.15 \cdot x = 20$ $x = \dfrac{20}{0.15} \approx 133.3$

Antwort: Ab 134 Minuten pro Monat ist Tarif B günstiger. Wer weniger als 134 Minuten telefoniert, fährt mit Tarif A besser.

Beispiel:

Beispiel 4: Graphen lesen und Gleichungen bestimmen

Im Koordinatensystem sind zwei Geraden eingezeichnet:

• Gerade 1 geht durch die Punkte $(0|0)$ und $(3|6)$.
• Gerade 2 ist eine waagerechte Linie, die durch den Punkt $(0|4)$ geht.

Aufgabe: Bestimme die Funktionsgleichungen beider Geraden.

Lösung Gerade 1:

Da die Gerade durch den Ursprung $(0|0)$ geht, ist es eine Ursprungsgerade. Die Form ist $y = mx$.

Berechne die Steigung mit dem zweiten Punkt $(3|6)$: $m = \dfrac{6}{3} = 2$

Die Gleichung lautet: $f(x) = 2x$

Probe: $f(3) = 2 \cdot 3 = 6$ ✓

Lösung Gerade 2:

Die Gerade ist waagerecht. Damit ist sie eine konstante Funktion. Der y-Wert ist überall 4.

Die Gleichung lautet: $g(x) = 4$

Schnittpunkt der beiden Geraden: $2x = 4 \implies x = 2$

Die Geraden schneiden sich im Punkt $(2|4)$.

Vertiefung

Du kennst jetzt die beiden Spezialfälle. Jetzt geht es darum, sie tiefer zu verstehen und mit anderen Themen zu verbinden.

Proportionalität und Dreisatz: Ursprungsgeraden hängen direkt mit dem Dreisatz zusammen. Wenn $y = mx$ gilt, dann ist $y$ proportional zu $x$. Verdoppelst du $x$, verdoppelt sich auch $y$. Halbierst du $x$, halbiert sich auch $y$. Diese Eigenschaft nennt man direkte Proportionalität.

Die Umkehrfunktion: Jede Ursprungsgerade $y = mx$ mit $m \neq 0$ hat eine Umkehrfunktion. Du kannst nach $x$ auflösen:

$x = \dfrac{y}{m} = \dfrac{1}{m} \cdot y$

Das ist wieder eine Ursprungsgerade – diesmal mit der Steigung $\dfrac{1}{m}$.

Konstante Funktionen in der Physik: Konstante Funktionen beschreiben viele physikalische Phänomene. Ein Körper, der sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, hat eine konstante Geschwindigkeit. Wenn die Zeit variiert und die Geschwindigkeit gleich bleibt, ist die Geschwindigkeit eine konstante Funktion der Zeit.

Definition

Bei einer Ursprungsgeraden $y = mx$ ist $m$ der Proportionalitätsfaktor.

Er gibt an, wie viele Einheiten $y$ sich verändert, wenn $x$ um 1 Einheit steigt.

Beispiel: Bei $y = 0.15 \cdot x$ bedeutet $m = 0.15$: Pro Minute steigen die Kosten um 0.15 CHF.

Die Einheit von $m$ ergibt sich aus: $m = \dfrac{\text{Einheit von } y}{\text{Einheit von } x}$

Im Beispiel: $m = \dfrac{\text{CHF}}{\text{Minute}}$

Verbindung zur Gleichungslehre: Wenn du zwei Funktionen gleichsetzt, suchst du ihren Schnittpunkt. Das führt zu einer linearen Gleichung. Das Lösen dieser Gleichung ist ein zentrales Thema der Algebra.

Beispiel:

Beispiel 5: Vertiefung – Drei Tarife vergleichen

Drei Elektroauto-Ladetarife:

• Tarif X: $K_X(x) = 0.40 \cdot x$ (40 Rappen pro kWh, kein Grundpreis)
• Tarif Y: $K_Y(x) = 0.25 \cdot x + 8$ (25 Rappen pro kWh, 8 CHF Grundgebühr)
• Tarif Z: $K_Z(x) = 30$ (Flatrate, 30 CHF egal wie viel)

Aufgabe: Bestimme, wann Tarif X günstiger ist als Tarif Z. Wann ist Tarif Y günstiger als Tarif X?

Lösung – X vs. Z:

$0.40 \cdot x < 30 \implies x < 75$

Tarif X ist günstiger, wenn du weniger als 75 kWh lädst.

Lösung – Y vs. X:

$0.25x + 8 < 0.40x$ $8 < 0.15x$ $x > \dfrac{8}{0.15} \approx 53.3$

Tarif Y ist ab 54 kWh günstiger als Tarif X.

Fazit: Bei wenig Verbrauch (unter 53 kWh): Tarif X. Bei mittlerem Verbrauch (54–75 kWh): Tarif Y. Bei hohem Verbrauch (über 75 kWh): Tarif Z.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne bei Aufgabe 1 und arbeite dich vor. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1 (★☆☆): Entscheide: Ist $f(x) = 7x$ eine Ursprungsgerade, eine konstante Funktion oder keines von beidem?

Aufgabe 2 (★☆☆): Entscheide: Ist $g(x) = -12$ eine Ursprungsgerade, eine konstante Funktion oder keines von beidem?

Aufgabe 3 (★☆☆): Schreibe drei verschiedene Gleichungen für Ursprungsgeraden auf. Schreibe drei weitere Gleichungen für konstante Funktionen.

Aufgabe 4 (★★☆): Bestimme für jede Funktion: Typ, Steigung und y-Achsenabschnitt. a) $h(x) = -5x$ b) $k(x) = 0$ c) $p(x) = x$ d) $q(x) = 100$

Aufgabe 5 (★★☆): Erstelle für $f(x) = \dfrac{1}{2}x$ eine Wertetabelle mit den $x$-Werten $-4, -2, 0, 2, 4$. Um welchen Typ handelt es sich?

Aufgabe 6 (★★☆): Eine Gerade geht durch die Punkte $(0|0)$ und $(5|15)$. Bestimme die Funktionsgleichung.

Aufgabe 7 (★★☆): Eine waagerechte Gerade geht durch den Punkt $(-3|8)$. Bestimme die Funktionsgleichung.

Aufgabe 8 (★★★): Ein Taxiunternehmen verlangt 2.50 CHF pro Kilometer ohne Grundgebühr. Ein zweites Unternehmen verlangt 10 CHF Startgebühr und 1.80 CHF pro Kilometer. Ab wie vielen Kilometern ist das zweite Unternehmen teurer?

Aufgabe 9 (★★★): Zwei Geraden sind gegeben: $f(x) = 4x$ und $g(x) = 12$. Berechne den Schnittpunkt. In welchem Punkt schneiden sich die Geraden?

Aufgabe 10 (★★★): Ein Thermometer zeigt bei 0 °C genau 0 °F nicht an (das wäre 32 °F). Die Formel zur Umrechnung lautet: $F = 1.8 \cdot C + 32$. Warum ist das keine Ursprungsgerade? Bei welcher Temperatur in Celsius stimmen Celsius und Fahrenheit überein? (Hinweis: Setze $F = C$.)

Das Wichtigste in Kürze

Lineare Funktionen haben die Form $y = mx + b$. Wenn einer der Parameter null ist, entsteht ein Spezialfall.

Ursprungsgerade: Die Gleichung lautet $y = mx$. Der y-Achsenabschnitt ist $b = 0$. Die Gerade geht durch den Koordinatenursprung $(0|0)$. Diese Funktion beschreibt direkte Proportionalität. Verdoppelt sich $x$, verdoppelt sich auch $y$.

Konstante Funktion: Die Gleichung lautet $y = b$. Die Steigung ist $m = 0$. Der Graph ist eine waagerechte Gerade. Der Funktionswert ändert sich nie.

Sonderfall x-Achse: Die Gleichung $y = 0$ kombiniert beide Spezialfälle. Die Steigung ist null, und der y-Achsenabschnitt ist null.

Merke: Prüfe immer, ob etwas zu $x$ addiert wird und ob $x$ überhaupt in der Gleichung vorkommt.

Quiz

❓ Frage: Welcher Spezialfall liegt bei $f(x) = -3x$ vor?

Lösung anzeigen

Das ist eine Ursprungsgerade. Die Steigung ist $m = -3$ und der y-Achsenabschnitt ist $b = 0$. Da kein Wert addiert wird, geht die Gerade durch den Ursprung $(0|0)$. Die negative Steigung bedeutet: Die Gerade fällt von links nach rechts.

❓ Frage: Eine Gerade verläuft waagerecht durch den Punkt $(2|7)$. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Lösung anzeigen

Die Funktionsgleichung lautet $y = 7$. Begründung: Bei einer waagerechten Gerade ist die Steigung $m = 0$. Der $y$-Wert ist überall gleich. Am Punkt $(2|7)$ ist der $y$-Wert gleich 7. Also ist $y = 7$ für alle $x$-Werte. Das ist eine konstante Funktion.

❓ Frage: Ein Schwimmbad verlangt 5 CHF Eintritt und 2 CHF pro Stunde. Ist das eine Ursprungsgerade?

Lösung anzeigen

Nein, das ist keine Ursprungsgerade. Die Funktion lautet: $K(x) = 2x + 5$ Hier ist $b = 5 \neq 0$. Es gibt eine Grundgebühr. Deshalb geht die Gerade nicht durch den Ursprung. Bei 0 Stunden zahlst du trotzdem 5 CHF. Für eine Ursprungsgerade müsste der Eintritt 0 CHF betragen.

❓ Frage: Welche der folgenden Funktionen ist eine Ursprungsgerade? (a) $y = 5$ (b) $y = x - 3$ (c) $y = -2x$ (d) $y = 3x + 1$

Lösung anzeigen

Die Antwort ist (c) $y = -2x$. Prüfe alle Optionen:

• (a) $y = 5$: Konstante Funktion, keine Ursprungsgerade
• (b) $y = x - 3$: Der y-Achsenabschnitt ist $-3 \neq 0$, keine Ursprungsgerade
• (c) $y = -2x$: Der y-Achsenabschnitt ist $0$, das ist eine Ursprungsgerade ✓
• (d) $y = 3x + 1$: Der y-Achsenabschnitt ist $1 \neq 0$, keine Ursprungsgerade

❓ Frage: Was unterscheidet eine Ursprungsgerade von einer “normalen” linearen Funktion?

Lösung anzeigen

Der Unterschied liegt im y-Achsenabschnitt. Bei einer Ursprungsgeraden ist $b = 0$. Die Gerade schneidet die y-Achse genau im Ursprung $(0|0)$. Bei einer normalen linearen Funktion ist $b \neq 0$. Die Gerade schneidet die y-Achse an einem anderen Punkt. Ein weiterer Unterschied: Ursprungsgeraden beschreiben direkte Proportionalität. Wenn $x$ sich verdoppelt, verdoppelt sich auch $y$. Das gilt bei normalen linearen Funktionen nicht.

Ausblick

Du kennst jetzt die Spezialfälle linearer Funktionen. Als nächstes lernst du, wie man Schnittpunkte von zwei beliebigen Geraden berechnet. Dieses Thema baut direkt auf dem auf, was du hier gelernt hast. Später begegnest du quadratischen Funktionen. Diese haben eine Steigung, die sich ändert – das ist ein grosser Unterschied zu den linearen Funktionen. Die Ursprungsgerade bleibt dabei ein wichtiger Vergleichspunkt. Auch in der Physik, Wirtschaft und Statistik wirst du proportionale Zusammenhänge und konstante Grössen ständig antreffen.

Lösungen

Lösung Aufgabe 1:

$f(x) = 7x$ ist eine Ursprungsgerade.

Die Steigung ist $m = 7$ und der y-Achsenabschnitt ist $b = 0$. Da kein Wert addiert oder subtrahiert wird, geht die Gerade durch den Ursprung $(0|0)$.

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Lösung Aufgabe 2:

$g(x) = -12$ ist eine konstante Funktion.

Die Gleichung enthält kein $x$. Die Steigung ist $m = 0$. Der Graph ist eine waagerechte Linie auf Höhe $-12$, also unterhalb der x-Achse.

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Lösung Aufgabe 3:

Mögliche Ursprungsgeraden (unendlich viele Lösungen, Beispiele): $y = 3x$, $y = -x$, $y = \dfrac{1}{4}x$

Mögliche konstante Funktionen (Beispiele): $y = 2$, $y = -7$, $y = 100$

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Lösung Aufgabe 4:

a) $h(x) = -5x$: Ursprungsgerade, $m = -5$, $b = 0$

b) $k(x) = 0$: Konstante Funktion (und gleichzeitig Ursprungsgerade), $m = 0$, $b = 0$. Das ist die x-Achse.

c) $p(x) = x$: Ursprungsgerade, $m = 1$ (die 1 wird weggelassen), $b = 0$

d) $q(x) = 100$: Konstante Funktion, $m = 0$, $b = 100$

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Lösung Aufgabe 5:

Wertetabelle für $f(x) = \dfrac{1}{2}x$:

$x$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$
$f(x)$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$

Es handelt sich um eine Ursprungsgerade mit Steigung $m = \dfrac{1}{2}$ und y-Achsenabschnitt $b = 0$.

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Lösung Aufgabe 6:

Die Gerade geht durch $(0|0)$, also ist es eine Ursprungsgerade mit $b = 0$. Die Form ist $y = mx$.

Berechne die Steigung mit dem Punkt $(5|15)$:

$m = \dfrac{15}{5} = 3$

Die Funktionsgleichung lautet: $f(x) = 3x$

Probe: $f(5) = 3 \cdot 5 = 15$ ✓

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Lösung Aufgabe 7:

Eine waagerechte Gerade hat die Steigung $m = 0$. Sie ist eine konstante Funktion.

Der Punkt $(-3|8)$ zeigt: Der $y$-Wert ist überall $8$.

Die Funktionsgleichung lautet: $g(x) = 8$

Probe: Bei $x = -3$ ist $g(-3) = 8$ ✓

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Lösung Aufgabe 8:

Unternehmen 1: $K_1(x) = 2.50 \cdot x$ (Ursprungsgerade)

Unternehmen 2: $K_2(x) = 1.80 \cdot x + 10$

Frage: Ab wann ist $K_2 > K_1$?

$1.80x + 10 > 2.50x$ $10 > 0.70x$ $x < \dfrac{10}{0.70} \approx 14.3$

Das bedeutet: Unternehmen 2 ist billiger bei mehr als 14.3 km und teurer bei weniger als 14.3 km.

Präziser: Bei genau $\dfrac{10}{0.70} \approx 14.3$ km sind beide gleich teuer. Über 15 km (ganzzahlig) ist Unternehmen 2 günstiger.

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Lösung Aufgabe 9:

Gesucht ist der Schnittpunkt von $f(x) = 4x$ und $g(x) = 12$.

Setze gleich:

$4x = 12$ $x = 3$

Berechne den $y$-Wert:

$f(3) = 4 \cdot 3 = 12$

Schnittpunkt: $(3|12)$

Probe: $g(3) = 12$ ✓

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Lösung Aufgabe 10:

Die Formel $F = 1.8 \cdot C + 32$ ist keine Ursprungsgerade, weil der y-Achsenabschnitt $b = 32 \neq 0$ ist. Bei $C = 0$ (also 0 °C) ist $F = 32$ (nicht null). Der Gefrierpunkt von Wasser liegt bei 32 °F.

Wann sind Celsius und Fahrenheit gleich?

Setze $F = C$:

$C = 1.8 \cdot C + 32$ $C - 1.8C = 32$ $-0.8C = 32$ $C = \dfrac{32}{-0.8} = -40$

Bei $-40$ Grad sind Celsius und Fahrenheit gleich. Es gilt: $-40$ °C $= -40$ °F.

Probe: $F = 1.8 \cdot (-40) + 32 = -72 + 32 = -40$ ✓

Verwandte Themen

• Lineare Funktionen
• Parallele und senkrechte Geraden
• Proportionale Funktionen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport