Bruchzahlen - Brüche vergleichen und ordnen

Darum geht's

Wer hat mehr Pizza bekommen: derjenige mit drei Vierteln oder derjenige mit vier Fünfteln? Bei ganzen Zahlen siehst du sofort, welche grösser ist. Bei Brüchen ist das nicht immer offensichtlich. Die Zahlen sehen kleiner aus, aber sie können trotzdem mehr bedeuten. Mit den richtigen Methoden erkennst du blitzschnell, welcher Bruch der grössere ist. In diesem Artikel lernst du fünf verschiedene Techniken kennen – von der einfachsten bis zur universell einsetzbaren. Du lernst ausserdem, welche typischen Denkfehler beim Vergleichen lauern und wie du sie vermeidest.

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Bruchzahlen“
• Vorwissen: Erweitern und Kürzen
• Als Nächstes: Brüche und Prozente

Eine kleine Zeitreise

Das Vergleichen von Brüchen klingt nach einer modernen Schulaufgabe. Doch Menschen haben Brüche schon vor Tausenden von Jahren verglichen – und das aus ganz praktischen Gründen.

Altes Ägypten: Das Reich der Stammbrüche

Die alten Ägypter kannten vor etwa 4000 Jahren fast ausschliesslich sogenannte Stammbrüche. Das sind Brüche mit dem Zähler 1, also $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{4}$ und so weiter. Der Rhind-Papyrus, ein Mathematikdokument aus dem Jahr 1650 v. Chr., enthält ganze Tabellen, in denen Brüche in Stammbrüche zerlegt werden. Ein Schreiber musste also wissen, wie er $\dfrac{2}{5}$ als Summe von Stammbrüchen ausdrückt: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{15}$.

Beim Vergleichen von Stammbrüchen gilt eine einfache Regel: Je grösser der Nenner, desto kleiner der Bruch. $\dfrac{1}{10}$ ist kleiner als $\dfrac{1}{5}$. Das leuchtete den Ägyptern sofort ein, weil ein Krug in zehn Teile aufgeteilt kleinere Portionen ergibt als derselbe Krug in fünf Teile.

Mesopotamien und das Sexagesimalsystem

Die Babylonier benutzten ein Zahlensystem mit der Basis 60. Ihre “Brüche” waren Sechzigstel, Dreihundertsechzigstel und so weiter. Dieses System hat uns bis heute erhalten: Eine Stunde hat 60 Minuten, ein Kreis hat 360 Grad. Das Vergleichen fiel leicht, weil alle Nenner Vielfache von 60 waren.

Mittelalter: Gemeinsamer Nenner wird Standard

Im europäischen Mittelalter entwickelten Rechenmeister systematisch die Methode des gemeinsamen Nenners. Fibonacci erläuterte in seinem Buch “Liber Abaci” (1202) ausführlich, wie man Brüche auf denselben Nenner bringt. Diese Methode setzte sich durch, weil sie zuverlässig für alle Brüche funktioniert.

Heute: Mehrere Methoden, eine Entscheidung

Heute kennen wir verschiedene Methoden. Du wählst je nach Situation die effizienteste. Genau das macht einen guten Mathematiker aus: nicht stur eine Methode anwenden, sondern die passende auswählen.

Die Grundlagen

Bevor du Brüche vergleichst, musst du wissen, was Zähler und Nenner bedeuten. Das klingt selbstverständlich, ist aber der Schlüssel zum Verständnis.

Definition

Ein Bruch $\dfrac{a}{b}$ besteht aus:

• Zähler $a$: Gibt an, wie viele Teile du hast.
• Nenner $b$: Gibt an, in wie viele gleich grosse Teile das Ganze geteilt wurde.

$\frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \text{3 von 4 gleich grossen Teilen}$

Der Nenner bestimmt die Grösse jedes einzelnen Teils. Der Zähler bestimmt die Anzahl der Teile.

Diese zwei Rollen von Zähler und Nenner sind entscheidend. Wenn du verstehst, dass ein grösserer Nenner kleinere Teile bedeutet, macht vieles beim Vergleichen sofort Sinn.

Zwei Sonderfälle, die das Vergleichen erleichtern:

Wenn zwei Brüche denselben Nenner haben, sind die Teile gleich gross. Du zählst nur noch, wer mehr solcher Teile hat. Der Bruch mit dem grösseren Zähler gewinnt.

Wenn zwei Brüche denselben Zähler haben, hast du gleich viele Teile. Du schaust, welche Teile grösser sind. Der Bruch mit dem kleineren Nenner gewinnt, weil der kleinere Nenner grössere Teile bedeutet.

Ein anschauliches Bild: Stell dir vor, du schneidest eine Pizza in 4 Stücke oder in 8 Stücke. Vier Stücke sind grösser. Drei Stücke einer 4-geteilten Pizza ($\dfrac{3}{4}$) sind mehr als drei Stücke einer 8-geteilten Pizza ($\dfrac{3}{8}$).

Schätzen als erster Schritt:

Bevor du rechnest, lohnt es sich oft zu schätzen. Ist der Bruch kleiner als $\dfrac{1}{2}$, genau $\dfrac{1}{2}$, oder grösser? Ist er nahe bei 1? Oft siehst du schon nach dem Schätzen, welcher Bruch grösser ist – ohne jede Rechnung.

Die Kernmethode

Wenn Schätzen nicht reicht und Zähler sowie Nenner unterschiedlich sind, brauchst du eine zuverlässige Methode. Die universellste Methode ist das Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner.

Definition

Um $\dfrac{a}{b}$ und $\dfrac{c}{d}$ zu vergleichen:

1. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von $b$ und $d$.
2. Erweitere beide Brüche auf diesen gemeinsamen Nenner.
3. Vergleiche die Zähler.

$\frac{a}{b} \quad \text{und} \quad \frac{c}{d} \quad \xrightarrow{\text{kgV}} \quad \frac{a \cdot k_1}{b \cdot k_1} \quad \text{und} \quad \frac{c \cdot k_2}{d \cdot k_2}$

wobei $b \cdot k_1 = d \cdot k_2 = \text{kgV}(b, d)$.

Das kgV zu finden ist nicht immer einfach. Bei kleinen Nennern wie 3 und 4 siehst du schnell: kgV = 12. Bei grösseren Nennern wie 12 und 18 hilft die Primfaktorzerlegung: $12 = 2^2 \cdot 3$ und $18 = 2 \cdot 3^2$, also kgV $= 2^2 \cdot 3^2 = 36$.

Wenn du das kgV nicht sofort findest, kannst du auch einfach das Produkt der Nenner nehmen. Das ist zwar nicht immer das kleinste gemeinsame Vielfache, aber es funktioniert immer. Du erhältst dann ein etwas grösseres, aber noch korrektes Ergebnis.

Beispiel:

Beispiel 1: Vergleich durch Erweitern

Vergleiche $\dfrac{2}{3}$ und $\dfrac{3}{5}$.

Lösung:

Schritt 1: kgV von 3 und 5 bestimmen.

Da 3 und 5 teilerfremd sind, gilt: kgV(3, 5) = 3 · 5 = 15.

Schritt 2: Beide Brüche auf den Nenner 15 erweitern.

$$\begin{aligned} \frac{2}{3} &= \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} \\[6pt] \frac{3}{5} &= \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15} \end{aligned}$$

Schritt 3: Zähler vergleichen.

$\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$

Antwort: $\dfrac{2}{3} > \dfrac{3}{5}$

Zur Kontrolle: $\dfrac{2}{3} \approx 0{,}667$ und $\dfrac{3}{5} = 0{,}6$. Das stimmt überein.

Beispiel:

Beispiel 2: Drei Brüche der Grösse nach ordnen

Ordne die Brüche $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{5}{6}$ und $\dfrac{7}{9}$ der Grösse nach.

Lösung:

Schritt 1: kgV von 4, 6 und 9 bestimmen.

Primfaktorzerlegung: $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3^2$.

kgV $= 2^2 \cdot 3^2 = 36$.

Schritt 2: Alle drei Brüche auf den Nenner 36 erweitern.

$$\begin{aligned} \frac{3}{4} &= \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{27}{36} \\[6pt] \frac{5}{6} &= \frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{30}{36} \\[6pt] \frac{7}{9} &= \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{28}{36} \end{aligned}$$

Schritt 3: Zähler vergleichen.

$\frac{27}{36} < \frac{28}{36} < \frac{30}{36}$

Antwort: $\dfrac{3}{4} < \dfrac{7}{9} < \dfrac{5}{6}$

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Vergleichen von Brüchen schleichen sich immer wieder dieselben Fehler ein. Hier sind die vier häufigsten – und wie du sie vermeidest.

Achtung

Stolperstein 1 – Grösserer Nenner = grösserer Bruch: Das ist falsch! Bei gleichem Zähler gilt genau das Gegenteil. $\dfrac{1}{2}$ ist viel grösser als $\dfrac{1}{100}$. Der Nenner gibt die Grösse der Teile an – und grössere Nenner bedeuten kleinere Teile.

Achtung

Stolperstein 2 – Zähler und Nenner getrennt vergleichen: Du darfst nicht sagen: “3 < 5 und 4 < 7, also $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{7}$.” Das klingt logisch, ist aber Zufall. Versuche es mit $\dfrac{3}{4}$ und $\dfrac{1}{7}$: Hier ist der Zähler kleiner und der Nenner grösser – trotzdem ist $\dfrac{3}{4}$ der klar grössere Bruch. Zähler und Nenner wirken zusammen, nicht getrennt.

Achtung

Stolperstein 3 – Kreuzprodukt falsch anwenden: Bei der Kreuzprodukt-Methode musst du auf die Reihenfolge achten. Das Produkt $a \cdot d$ gehört zum linken Bruch $\dfrac{a}{b}$, und $b \cdot c$ gehört zum rechten Bruch $\dfrac{c}{d}$. Wenn du die Produkte vertauschst, bekommst du das umgekehrte Ergebnis. Schreibe dir die Produkte direkt unter den zugehörigen Bruch.

Achtung

Stolperstein 4 – Vergessen zu kürzen oder zu prüfen: Manchmal lassen sich Brüche vor dem Vergleich kürzen. $\dfrac{6}{9}$ ist dasselbe wie $\dfrac{2}{3}$. Wenn du das übersiehst, rechnest du mit grösseren Zahlen als nötig. Ein kurzer Check vor dem Erweitern spart Aufwand und Fehler.

Beispiel:

Beispiel 3: Kreuzprodukt-Methode

Vergleiche $\dfrac{5}{7}$ und $\dfrac{7}{9}$ mit der Kreuzprodukt-Methode.

Lösung:

Die Kreuzprodukt-Methode: Multipliziere jeweils Zähler des einen Bruchs mit dem Nenner des anderen.

$\frac{5}{7} \quad \text{und} \quad \frac{7}{9}$

Berechne die Kreuzprodukte:

$$\begin{aligned} 5 \cdot 9 &= 45 \quad \text{(gehört zu } \tfrac{5}{7}\text{)} \\ 7 \cdot 7 &= 49 \quad \text{(gehört zu } \tfrac{7}{9}\text{)} \end{aligned}$$

Vergleich: $45 < 49$

Antwort: $\dfrac{5}{7} < \dfrac{7}{9}$

Merkregel: Das Kreuzprodukt “gehört” zum Bruch, dessen Zähler du verwendet hast. Schreibe die Produkte direkt unter den jeweiligen Bruch, dann verwechselst du nichts.

Beispiel:

Beispiel 4: Schlau schätzen statt blind rechnen

Vergleiche $\dfrac{7}{8}$ und $\dfrac{3}{7}$.

Lösung:

Bevor du rechnest, schätz ab.

$\dfrac{7}{8}$: Zähler und Nenner sind fast gleich. Dieser Bruch ist nahe bei 1.

$\dfrac{3}{7}$: Der Zähler ist weniger als halb so gross wie der Nenner. Dieser Bruch ist kleiner als $\dfrac{1}{2}$.

Ein Bruch nahe bei 1 ist immer grösser als ein Bruch kleiner als $\dfrac{1}{2}$.

Antwort: $\dfrac{7}{8} > \dfrac{3}{7}$ – ohne eine einzige Rechnung.

Diese Schätzmethode ist in Prüfungen besonders wertvoll. Wenn du schnell eine Grösseneinschätzung brauchst, teile jeden Bruch gedanklich in die Kategorien “kleiner als $\dfrac{1}{2}$”, “gleich $\dfrac{1}{2}$”, “zwischen $\dfrac{1}{2}$ und 1”, “gleich 1” oder “grösser als 1” ein.

Vertiefung

Du kennst jetzt die wichtigsten Methoden. In diesem Abschnitt lernst du, wie sich das Vergleichen von Brüchen mit anderen Themen verbindet – und eine elegante Zusatzmethode.

Brüche und Dezimalzahlen

Jeder Bruch lässt sich in eine Dezimalzahl umwandeln. Du dividierst einfach den Zähler durch den Nenner. Das ist eine dritte universelle Methode zum Vergleichen.

$\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0{,}375 \qquad \frac{5}{14} = 5 \div 14 \approx 0{,}357$

Da $0{,}375 > 0{,}357$, gilt $\dfrac{3}{8} > \dfrac{5}{14}$.

Diese Methode ist besonders praktisch, wenn du einen Taschenrechner hast. Im Kopf ist sie aufwändiger, weil du Divisionen durchführen musst.

Brüche auf einer Zahlengeraden

Brüche lassen sich auf einer Zahlengeraden einzeichnen. Das macht ihre relative Grösse sichtbar. Zwischen 0 und 1 liegen alle echten Brüche. Je weiter rechts ein Bruch liegt, desto grösser ist er. Diese Darstellung hilft dir, Ergebnisse zu überprüfen.

Zusammenhang mit Prozenten

Prozente sind nichts anderes als Brüche mit dem Nenner 100. $\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 75\%$. Wenn du Brüche in Prozente umrechnest, kannst du sie ebenfalls vergleichen. Das lernst du in der 6. Klasse ausführlich.

Definition

Um $\dfrac{a}{b}$ und $\dfrac{c}{d}$ über Dezimalzahlen zu vergleichen:

$\frac{a}{b} \to a \div b = x \qquad \frac{c}{d} \to c \div d = y$

Dann gilt: $\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}$, wenn $x > y$.

Unechte Brüche einbeziehen

Bisher hast du vor allem echte Brüche (Zähler < Nenner) verglichen. Bei unechten Brüchen (Zähler ≥ Nenner) lohnt es sich, sie zuerst in gemischte Zahlen umzuwandeln. $\dfrac{13}{5} = 2\dfrac{3}{5}$ und $\dfrac{11}{4} = 2\dfrac{3}{4}$. Jetzt siehst du: Beide haben den ganzzahligen Anteil 2. Also musst du nur noch $\dfrac{3}{5}$ und $\dfrac{3}{4}$ vergleichen – gleicher Zähler, kleinerer Nenner gewinnt: $\dfrac{3}{4} > \dfrac{3}{5}$, also $\dfrac{11}{4} > \dfrac{13}{5}$.

Beispiel:

Beispiel 5: Unechte Brüche vergleichen

Vergleiche $\dfrac{13}{5}$ und $\dfrac{11}{4}$.

Lösung:

Schritt 1: In gemischte Zahlen umwandeln.

$$\begin{aligned} \frac{13}{5} &= 2\,\frac{3}{5} \quad \text{(da } 13 = 2 \cdot 5 + 3\text{)} \\[6pt] \frac{11}{4} &= 2\,\frac{3}{4} \quad \text{(da } 11 = 2 \cdot 4 + 3\text{)} \end{aligned}$$

Schritt 2: Ganzzahlige Anteile vergleichen.

Beide haben den ganzzahligen Anteil 2. Entscheidend sind die Bruchanteile.

Schritt 3: Bruchanteile vergleichen.

$\dfrac{3}{5}$ und $\dfrac{3}{4}$: Gleicher Zähler (3), unterschiedliche Nenner.

Kleinerer Nenner = grösserer Bruch, also $\dfrac{3}{4} > \dfrac{3}{5}$.

Antwort: $\dfrac{11}{4} > \dfrac{13}{5}$

Probe mit Dezimalzahlen: $\dfrac{11}{4} = 2{,}75$ und $\dfrac{13}{5} = 2{,}6$. ✓

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne oben und arbeite dich vor. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1 (einfach) Welcher Bruch ist grösser? Begründe ohne Rechnung. $\frac{3}{7} \quad \text{oder} \quad \frac{5}{7}$

Aufgabe 2 (einfach) Ordne der Grösse nach (aufsteigend): $\frac{4}{9}, \quad \frac{1}{9}, \quad \frac{7}{9}, \quad \frac{2}{9}$

Aufgabe 3 (einfach) Welcher Bruch ist grösser? Begründe ohne Rechnung. $\frac{4}{5} \quad \text{oder} \quad \frac{4}{11}$

Aufgabe 4 (mittel) Vergleiche mit der Erweiterungs-Methode: $\frac{2}{3} \quad \text{oder} \quad \frac{5}{8}$

Aufgabe 5 (mittel) Vergleiche mit der Kreuzprodukt-Methode: $\frac{7}{10} \quad \text{oder} \quad \frac{5}{7}$

Aufgabe 6 (mittel) Ordne der Grösse nach (aufsteigend): $\frac{1}{2}, \quad \frac{2}{3}, \quad \frac{3}{5}$

Aufgabe 7 (mittel) Wähle die passende Methode und vergleiche: $\frac{11}{12} \quad \text{oder} \quad \frac{7}{8}$

Aufgabe 8 (anspruchsvoll) Ordne alle vier Brüche der Grösse nach: $\frac{5}{6}, \quad \frac{7}{9}, \quad \frac{2}{3}, \quad \frac{11}{18}$

Aufgabe 9 (anspruchsvoll) Vergleiche die unechten Brüche: $\frac{17}{6} \quad \text{oder} \quad \frac{13}{5}$

Aufgabe 10 (knifflig) Finde einen Bruch $\dfrac{x}{y}$, der zwischen $\dfrac{3}{8}$ und $\dfrac{1}{2}$ liegt. Begründe deine Antwort.

Das Wichtigste in Kürze

Beim Vergleichen von Brüchen hast du fünf Methoden kennengelernt. Bei gleichem Nenner gewinnt der grössere Zähler. Bei gleichem Zähler gewinnt der kleinere Nenner – weil kleinere Nenner grössere Teile bedeuten. Wenn weder Zähler noch Nenner gleich sind, bringst du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner oder verwendest die Kreuzprodukt-Methode. Als dritte Option kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln. Vor jeder Rechnung lohnt sich das Schätzen: Einordnen in “kleiner als $\dfrac{1}{2}$”, “etwa $\dfrac{1}{2}$” oder “nahe bei 1” spart oft Zeit. Bei unechten Brüchen hilft die Umwandlung in gemischte Zahlen.

❓ Frage: Welcher Bruch ist grösser: $\dfrac{4}{9}$ oder $\dfrac{5}{11}$?

Lösung anzeigen

Kreuzprodukt: $4 \cdot 11 = 44$ (gehört zu $\frac{4}{9}$) und $9 \cdot 5 = 45$ (gehört zu $\frac{5}{11}$). Da $44 < 45$, gilt: $\dfrac{4}{9} < \dfrac{5}{11}$.

❓ Frage: Ordne diese Brüche der Grösse nach: $\dfrac{2}{5}$, $\dfrac{3}{5}$, $\dfrac{1}{5}$.

Lösung anzeigen

Alle haben Nenner 5. Also vergleichst du nur die Zähler: 1 < 2 < 3. Reihenfolge: $\dfrac{1}{5} < \dfrac{2}{5} < \dfrac{3}{5}$.

❓ Frage: Welcher Bruch ist grösser: $\dfrac{5}{8}$ oder $\dfrac{5}{6}$?

Lösung anzeigen

Gleicher Zähler (5), unterschiedliche Nenner. Bei gleichem Zähler gilt: kleinerer Nenner = grösserer Bruch. Da 6 < 8, ist $\dfrac{5}{6} > \dfrac{5}{8}$.

❓ Frage: Vergleiche $\dfrac{3}{4}$ und $\dfrac{7}{10}$. Welche Methode ist hier am einfachsten?

Lösung anzeigen

Kreuzprodukt: $3 \cdot 10 = 30$ (gehört zu $\frac{3}{4}$) und $4 \cdot 7 = 28$ (gehört zu $\frac{7}{10}$). Da $30 > 28$, gilt: $\dfrac{3}{4} > \dfrac{7}{10}$. Alternativ: kgV(4, 10) = 20, also $\frac{15}{20} > \frac{14}{20}$. Beide Methoden führen zum gleichen Ergebnis.

❓ Frage: Ist $\dfrac{8}{9}$ grösser oder kleiner als $\dfrac{5}{6}$? Schätze zuerst, dann rechne.

Lösung anzeigen

Schätzung: Beide Brüche sind nahe bei 1. $\frac{8}{9}$ fehlt $\frac{1}{9}$ auf 1, $\frac{5}{6}$ fehlt $\frac{1}{6}$ auf 1. Da $\frac{1}{9} < \frac{1}{6}$, ist $\frac{8}{9}$ näher bei 1 und damit grösser. Rechnung via Kreuzprodukt: $8 \cdot 6 = 48$ und $9 \cdot 5 = 45$. Da $48 > 45$, gilt $\dfrac{8}{9} > \dfrac{5}{6}$. ✓

Ausblick

Das Vergleichen von Brüchen ist eine Grundlage für viele weitere Themen. In der 6. Klasse addierst und subtrahierst du Brüche – dafür brauchst du exakt die Methode des gemeinsamen Nenners, die du hier gelernt hast. Später begegnest du Verhältnissen und Proportionen, die ebenfalls auf Brüchen basieren. Auch Prozentrechnung, Wahrscheinlichkeiten und Diagramme bauen auf deinem Verständnis von Brüchen auf. Wer Brüche sicher vergleichen kann, hat eine solide Basis für die gesamte weitere Mathematik.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1

Beide Brüche haben denselben Nenner 7. Daher vergleichst du nur die Zähler: 3 und 5. Da 5 > 3, gilt:

$\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$

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Lösung zu Aufgabe 2

Alle vier Brüche haben denselben Nenner 9. Vergleiche die Zähler: 1, 2, 4, 7.

$\frac{1}{9} < \frac{2}{9} < \frac{4}{9} < \frac{7}{9}$

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Lösung zu Aufgabe 3

Beide Brüche haben denselben Zähler 4. Bei gleichem Zähler gilt: kleinerer Nenner = grösserer Bruch. Da 5 < 11, gilt:

$\frac{4}{5} > \frac{4}{11}$

Anschaulich: Eine Pizza in 5 Stücke geschnitten ergibt grössere Stücke als eine in 11 Stücke. Von je 4 Stücken hast du also mehr, wenn die Stücke grösser sind.

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Lösung zu Aufgabe 4

Schritt 1: kgV von 3 und 8 bestimmen. Da 3 und 8 teilerfremd sind: kgV = 24.

Schritt 2: Erweitern.

$$\begin{aligned} \frac{2}{3} &= \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24} \\[6pt] \frac{5}{8} &= \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} \end{aligned}$$

Schritt 3: $16 > 15$, also $\dfrac{2}{3} > \dfrac{5}{8}$.

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Lösung zu Aufgabe 5

Kreuzprodukte berechnen:

$$\begin{aligned} 7 \cdot 7 &= 49 \quad \text{(gehört zu } \tfrac{7}{10}\text{)} \\ 10 \cdot 5 &= 50 \quad \text{(gehört zu } \tfrac{5}{7}\text{)} \end{aligned}$$

Da $49 < 50$, gilt: $\dfrac{7}{10} < \dfrac{5}{7}$.

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Lösung zu Aufgabe 6

kgV von 2, 3 und 5 berechnen: kgV = 30.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} &= \frac{15}{30} \\[6pt] \frac{2}{3} &= \frac{20}{30} \\[6pt] \frac{3}{5} &= \frac{18}{30} \end{aligned}$$

Vergleich: $15 < 18 < 20$

$\frac{1}{2} < \frac{3}{5} < \frac{2}{3}$

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Lösung zu Aufgabe 7

kgV von 12 und 8 bestimmen: kgV = 24.

$$\begin{aligned} \frac{11}{12} &= \frac{22}{24} \\[6pt] \frac{7}{8} &= \frac{21}{24} \end{aligned}$$

Da $22 > 21$, gilt: $\dfrac{11}{12} > \dfrac{7}{8}$.

Clevere Alternative: $\dfrac{11}{12}$ fehlt $\dfrac{1}{12}$ auf 1, $\dfrac{7}{8}$ fehlt $\dfrac{1}{8}$ auf 1. Da $\dfrac{1}{12} < \dfrac{1}{8}$, ist $\dfrac{11}{12}$ näher bei 1 und damit grösser.

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Lösung zu Aufgabe 8

kgV von 6, 9, 3 und 18 bestimmen: kgV = 18.

$$\begin{aligned} \frac{5}{6} &= \frac{15}{18} \\[6pt] \frac{7}{9} &= \frac{14}{18} \\[6pt] \frac{2}{3} &= \frac{12}{18} \\[6pt] \frac{11}{18} &= \frac{11}{18} \end{aligned}$$

Vergleich: $11 < 12 < 14 < 15$

$\frac{11}{18} < \frac{2}{3} < \frac{7}{9} < \frac{5}{6}$

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Lösung zu Aufgabe 9

Schritt 1: Umwandeln in gemischte Zahlen.

$$\begin{aligned} \frac{17}{6} &= 2\,\frac{5}{6} \quad \text{(da } 17 = 2 \cdot 6 + 5\text{)} \\[6pt] \frac{13}{5} &= 2\,\frac{3}{5} \quad \text{(da } 13 = 2 \cdot 5 + 3\text{)} \end{aligned}$$

Schritt 2: Ganzzahlige Anteile gleich (beide 2). Bruchanteile vergleichen.

kgV von 6 und 5 ist 30.

$$\begin{aligned} \frac{5}{6} &= \frac{25}{30} \\[6pt] \frac{3}{5} &= \frac{18}{30} \end{aligned}$$

Da $25 > 18$, gilt $\dfrac{5}{6} > \dfrac{3}{5}$.

Antwort: $\dfrac{17}{6} > \dfrac{13}{5}$

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Lösung zu Aufgabe 10

Gesucht ist ein Bruch zwischen $\dfrac{3}{8} = \dfrac{6}{16}$ und $\dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{16}$.

Eine mögliche Antwort: $\dfrac{7}{16}$, denn:

$\frac{3}{8} = \frac{6}{16} < \frac{7}{16} < \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Andere gültige Antworten: $\dfrac{2}{5}$, denn $\dfrac{3}{8} = 0{,}375$ und $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ und $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$. Da $0{,}375 < 0{,}4 < 0{,}5$, liegt $\dfrac{2}{5}$ tatsächlich zwischen den beiden Brüchen. Viele weitere Lösungen sind möglich.

Verwandte Themen

• Erweitern und kürzen
• Brüche und Prozente umrechnen
• Unechte Brüche und gemischte Zahlen einfach erklärt: So rechnest du sicher um

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport