Zahlen in Diagrammen darstellen – So werden Daten sichtbar

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Natürliche Zahlen und Grundrechenarten”
• Vorwissen: Addieren und Subtrahieren
• Vorwissen: Runden und Überschlagen
• Auch interessant: Grosse Zahlen

Darum geht's

Stell dir vor, du machst in deiner Klasse eine Umfrage: «Was ist dein Lieblingstier?» Acht Kinder sagen Hund, fünf sagen Katze, drei sagen Hamster und vier sagen Vogel. Jetzt willst du das Ergebnis der ganzen Schule zeigen. Du könntest alle Zahlen in einen langen Satz packen – aber wer liest den schon gerne? Viel stärker wirkt ein Bild, auf dem jeder sofort erkennt, welches Tier gewinnt. Genau das leisten Diagramme: Sie verwandeln Zahlenreihen in anschauliche Bilder. In diesem Artikel lernst du, wie du Daten sammelst, ordnest und in Säulen-, Balken-, Linien- und Kreisdiagrammen darstellst. Und du erfährst, wie du Diagramme entlarvst, die absichtlich täuschen.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse) · 4Kompetenzen

• MA.3.C.1.dGrundanspruchDaten in Tabellen und Diagrammen darstellen und interpretieren; Zufallsexperimente durchführen
• MA.3.C.2.dGrundanspruchZu Texten, Tabellen und Diagrammen Fragen stellen, Berechnungen ausführen, Ergebnisse interpretieren und überprüfen
• MA.3.A.1.hBegriffe Proportionalität, Flächeninhalt, Volumen, Mittelwert, Kreisdiagramm, Säulendiagramm, Liniendiagramm, Daten, Häufigkeit, Zufall, Speicher; Masseinheiten Flächenmasse, Zeit (d, h, min, s)
• MA.3.C.1.eDaten statistisch erfassen, ordnen, darstellen und interpretieren (z.B. Schulwege)

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Menschen zählen und notieren Daten seit Jahrtausenden. Schon vor über 20’000 Jahren ritzten Menschen Striche in Knochen, um Mengen festzuhalten – die Strichliste ist also eine der ältesten mathematischen Erfindungen überhaupt. Doch die Idee, Zahlen als Bild darzustellen, ist erstaunlich jung.

Der Erfinder der modernen Diagramme war der Schotte William Playfair. Er war Ingenieur, Kaufmann und ein ziemlich abenteuerlustiger Mensch. Im Jahr 1786 veröffentlichte er einen Atlas über den Handel Englands. Statt langer Zahlentabellen zeichnete er etwas völlig Neues: Linien, die zeigten, wie Importe und Exporte über die Jahre stiegen und fielen. Das erste Liniendiagramm der Geschichte war geboren. Im selben Buch erfand er auch das Säulendiagramm. Fünfzehn Jahre später, 1801, kam das Kreisdiagramm dazu. Playfair war überzeugt: Das Auge erfasst ein Bild viel schneller als eine Tabelle. Damit war er seiner Zeit weit voraus – viele Gelehrte hielten seine bunten Bilder zunächst für unseriös.

Richtig berühmt wurden Diagramme durch Florence Nightingale. Die britische Krankenpflegerin arbeitete in den 1850er-Jahren in einem Militärspital im Krimkrieg. Sie zählte akribisch, woran die Soldaten starben – und entdeckte: Die meisten starben nicht an ihren Wunden, sondern an Krankheiten wegen schlechter Hygiene. Um die Regierung in London zu überzeugen, schrieb sie keinen langen Bericht. Sie zeichnete ein Diagramm: ihr berühmtes «Rosendiagramm», eine Art Kreisdiagramm mit unterschiedlich grossen Sektoren. Das Bild wirkte. Die Spitäler wurden sauberer, und tausende Leben wurden gerettet.

Gefahr

Mathe-Fact: Florence Nightingale war die erste Frau, die in die britische Royal Statistical Society aufgenommen wurde. Ihr Rosendiagramm von 1858 gilt als eines der einflussreichsten Diagramme der Geschichte – es veränderte die Gesundheitspolitik eines ganzen Landes.

Heute begegnen dir Diagramme überall: in der Zeitung, in Wetter-Apps, in Spielstatistiken und in der Schule. Wer Diagramme lesen und zeichnen kann, versteht die Welt der Daten – und lässt sich nicht so leicht täuschen.

Die Grundlagen

Am Anfang jedes Diagramms stehen Daten. Daten sind Angaben, die du durch Zählen, Messen oder Befragen gewinnst: die Lieblingstiere deiner Klasse, die Temperatur am Mittag oder die Anzahl Velos auf dem Schulhof.

Definition

Daten sind gesammelte Angaben aus Zählungen, Messungen oder Umfragen. Mit einer Strichliste hältst du beim Zählen für jede Antwort einen Strich fest; je fünf Striche werden gebündelt. Die Häufigkeitstabelle fasst die Strichliste zusammen: Sie zeigt für jede Kategorie die Häufigkeit, also wie oft sie vorkommt.

So sieht das für die Lieblingstier-Umfrage aus. Während der Befragung führst du eine Strichliste; jeder fünfte Strich wird quer über das Bündel gesetzt:

Tier	Strichliste	Häufigkeit
Hund	ⅠⅠⅠⅠⅠ ⅠⅠⅠ	8
Katze	ⅠⅠⅠⅠⅠ	5
Hamster	ⅠⅠⅠ	3
Vogel	ⅠⅠⅠⅠ	4

Die Tabelle enthält bereits alle Informationen. Ein Diagramm macht sie sichtbar. Die vier wichtigsten Diagrammarten in deiner Stufe sind:

• Säulendiagramm: Senkrechte Säulen – die Höhe zeigt den Wert. Gut zum Vergleichen von Kategorien.
• Balkendiagramm: Der «liegende Bruder» des Säulendiagramms. Waagrechte Balken – praktisch bei langen Kategorienamen.
• Liniendiagramm: Punkte, die mit Linien verbunden sind. Es zeigt eine Entwicklung über die Zeit, etwa den Temperaturverlauf eines Tages.
• Kreisdiagramm: Ein Kreis wird in Sektoren («Tortenstücke») geteilt. Es zeigt Anteile an einem Ganzen.

Dazu kommt das Piktogramm: Statt Säulen verwendest du kleine Bilder, zum Beispiel ein Buchsymbol für je 4 ausgeliehene Bücher. Wichtig ist hier die Legende, die verrät, wie viel ein Symbol bedeutet.

Jedes vollständige Diagramm braucht vier Bestandteile: eine Überschrift (worum geht es?), beschriftete Achsen beziehungsweise eine Legende, eine gleichmässige Skala und die eigentlichen Datenwerte als Säulen, Balken, Punkte oder Sektoren. Fehlt eines davon, ist das Diagramm unvollständig – und niemand weiss, was es zeigen soll.

Die Kernmethode

Vom rohen Datensatz zum fertigen Diagramm führt immer derselbe Weg. Wenn du die Schritte in dieser Reihenfolge abarbeitest, gelingt jedes Diagramm.

Definition

1. Sammeln: Erhebe die Daten mit einer Strichliste.
2. Ordnen: Übertrage die Strichliste in eine Häufigkeitstabelle.
3. Diagrammart wählen: Kategorien vergleichen → Säulen oder Balken; Entwicklung über die Zeit → Linie; Anteile am Ganzen → Kreis.
4. Skala festlegen: Suche den grössten Wert. Die Skala beginnt bei 0, endet knapp über dem grössten Wert und hat gleichmässige Schritte.
5. Zeichnen und beschriften: Achsen, Werte, Überschrift – alle Säulen gleich breit, alle Abstände gleich gross.

Der wichtigste Schritt ist die Skala. Sie beginnt immer bei 0 und steigt in gleichen Schritten: $0, 2, 4, 6, \ldots$ oder $0, 10, 20, 30, \ldots$ Wähle die Schrittweite so, dass der grösste Wert gut hineinpasst. Beim grössten Wert 23 eignet sich eine Skala bis 25 mit Schritten von 5.

So sieht das Säulendiagramm der Lieblingstier-Umfrage als einfache Skizze aus:

Anzahl Kinder
 8 | █
 6 | █
 4 | █  █     █
 2 | █  █  █  █
 0 +-------------------
    Hund Katze Hamster Vogel

Die höchste Säule gehört dem Hund – das siehst du sofort, ohne eine einzige Zahl zu lesen. Genau das ist die Stärke eines Diagramms. Beim Lesen gehst du den umgekehrten Weg: Zuerst Überschrift und Achsenbeschriftungen studieren, dann die Skala prüfen, erst danach Werte ablesen und vergleichen.

Beispiel:

Beispiel 1: Einstieg – Ein Säulendiagramm lesen

In der Klasse 5a wurde gefragt: «Was ist dein Lieblingstier?» Das Säulendiagramm zeigt: Hund 8, Katze 5, Hamster 3, Vogel 4.

Gegeben:

Tier	Hund	Katze	Hamster	Vogel
Anzahl Kinder	8	5	3	4

Gesucht: Das beliebteste Tier, die Gesamtzahl der befragten Kinder und der Vorsprung des Hundes auf die Katze.

Lösung:

Das beliebteste Tier hat die höchste Säule. Mit dem Wert $8$ ist das der Hund.

Die Gesamtzahl ist die Summe aller Säulenwerte:

$$8 + 5 + 3 + 4 = 20$$

Der Vorsprung des Hundes auf die Katze ist die Differenz der beiden Werte: $8 - 5 = 3$.

Antwort: Der Hund ist am beliebtesten. Es wurden $20$ Kinder befragt, und der Hund liegt $3$ Stimmen vor der Katze.

Kontrolle: $20$ Kinder insgesamt, davon $8$ für den Hund – die übrigen $5 + 3 + 4 = 12$ Stimmen ergeben zusammen mit $8$ wieder $20$. ✓

Beispiel:

Beispiel 2: Aufbauend – Ein Säulendiagramm selbst erstellen

Familie Keller zählt eine Woche lang, wie viele Äpfel sie pro Tag isst.

Gegeben:

Tag	Mo	Di	Mi	Do	Fr
Äpfel	3	5	2	4	6

Gesucht: Ein vollständiges Säulendiagramm und die Gesamtzahl der Äpfel.

Lösung:

Du folgst den fünf Schritten der Kernmethode. Die Daten sind bereits geordnet (Schritte 1 und 2). Es sind Kategorien (Wochentage) zu vergleichen, also passt ein Säulendiagramm (Schritt 3). Der grösste Wert ist $6$, darum wählst du die Skala $0, 1, 2, \ldots, 6$ mit Schrittweite 1 (Schritt 4). Nun zeichnest du fünf gleich breite Säulen mit den Höhen $3, 5, 2, 4, 6$ und schreibst die Überschrift «Apfelverbrauch der Familie Keller pro Tag» (Schritt 5).

Die Gesamtzahl ist die Summe aller Werte:

$$3 + 5 + 2 + 4 + 6 = 20$$

Antwort: Das Diagramm zeigt fünf Säulen; am Freitag ist sie mit $6$ am höchsten, am Mittwoch mit $2$ am tiefsten. Die Familie isst $20$ Äpfel in der Woche.

Kontrolle: Überschlag: 5 Tage mit je etwa 4 Äpfeln ergeben rund $20$. ✓

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Zeichnen und Lesen von Diagrammen passieren immer wieder dieselben Fehler. Manche entstehen aus Versehen – manche werden absichtlich eingesetzt, um zu täuschen.

Achtung

Stolperstein 1: Abgeschnittene Achse – kleine Unterschiede wirken riesig

Beginnt die Skala nicht bei 0, sondern zum Beispiel bei 47, dann sieht der Unterschied zwischen den Werten $48$ und $50$ gewaltig aus: Die eine Säule wirkt dreimal so hoch wie die andere. In Wirklichkeit beträgt der Unterschied nur $2$. Prüfe bei jedem Diagramm zuerst, wo die Skala beginnt. Wenn du selbst zeichnest: Skala immer bei 0 starten.

Achtung

Stolperstein 2: Falsche Diagrammart für die Datenart

Ein Liniendiagramm verbindet Werte, die zeitlich zusammenhängen. Lieblingstiere sind aber getrennte Kategorien – eine Linie von «Hund» zu «Katze» ergibt keinen Sinn, denn dazwischen gibt es nichts. Umgekehrt eignet sich ein Kreisdiagramm nur, wenn die Daten zusammen ein Ganzes bilden, etwa alle 20 Stimmen einer Umfrage. Für einen Temperaturverlauf ist ein Kreisdiagramm unbrauchbar.

Achtung

Stolperstein 3: Ungleichmässige Skala oder ungleiche Breiten

Eine Skala mit den Schritten $0, 1, 2, 5, 10$ verzerrt jede Säule, weil gleiche Abstände plötzlich verschieden viel bedeuten. Dasselbe gilt für Säulen mit unterschiedlicher Breite oder Balken mit ungleichen Abständen: Breite Säulen wirken wichtiger, obwohl nur die Höhe zählt. Gleiche Schritte, gleiche Breiten, gleiche Abstände – ohne Ausnahme.

Achtung

Stolperstein 4: Fehlende Beschriftung und vergessene Legende

Ein Diagramm ohne Überschrift, ohne Achsenbeschriftung oder ohne Einheit ist wertlos: Niemand weiss, ob die Säule «7» sieben Kinder, sieben Franken oder sieben Grad bedeutet. Beim Piktogramm gehört der Symbolwert in die Legende. Steht dort «ein Symbol = 4 Bücher», dann bedeuten 6 Symbole nicht 6, sondern $24$ Bücher.

Beispiel:

Beispiel 3: Komplex – Von der Textaufgabe zum Diagramm

In der Schülerbibliothek wurden im März ausgeliehen: 15 Krimis, 22 Abenteuerbücher, 8 Sachbücher und 12 Comics.

Gegeben:

Buchsorte	Krimis	Abenteuer	Sachbücher	Comics
Anzahl	15	22	8	12

Gesucht: Eine geeignete Darstellung, die Gesamtzahl der Ausleihen und die unbeliebteste Buchsorte.

Lösung:

Es sind vier Kategorien zu vergleichen, also wählst du ein Säulendiagramm. Der grösste Wert ist $22$; eine Skala von $0$ bis $24$ in Zweierschritten passt gut: $0, 2, 4, \ldots, 24$. Du zeichnest vier gleich breite Säulen mit den Höhen $15$, $22$, $8$ und $12$ und setzt die Überschrift «Ausgeliehene Bücher im März».

Die Gesamtzahl ist die Summe aller Werte:

$$15 + 22 + 8 + 12 = 57$$

Die unbeliebteste Buchsorte hat die kleinste Säule: Sachbücher mit $8$.

Antwort: Insgesamt wurden $57$ Bücher ausgeliehen; Sachbücher waren mit $8$ Ausleihen am wenigsten gefragt.

Kontrolle: Schrittweises Addieren: $15 + 22 = 37$, dann $37 + 8 = 45$, dann $45 + 12 = 57$. ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Ein Liniendiagramm aus dem Alltag

Lara misst an einem Sommertag die Wassertemperatur im Badesee und trägt die Werte in ein Liniendiagramm ein.

Gegeben:

Uhrzeit	8 Uhr	10 Uhr	12 Uhr	14 Uhr	16 Uhr
Temperatur in °C	12	15	19	21	18

Gesucht: Der wärmste Messzeitpunkt und der Temperaturanstieg von 8 Uhr bis 14 Uhr.

Lösung:

Im Liniendiagramm liegt der höchste Punkt bei 14 Uhr mit $21$ °C. Danach fällt die Linie wieder – um 16 Uhr sind es noch $18$ °C.

Der Anstieg von 8 Uhr bis 14 Uhr ist die Differenz zwischen End- und Anfangswert:

$$21 - 12 = 9$$

Antwort: Am wärmsten war das Wasser um 14 Uhr mit $21$ °C. Von 8 Uhr bis 14 Uhr stieg die Temperatur um $9$ °C.

Kontrolle: Die Linie steigt in drei Abschnitten: $+3$ (8–10 Uhr), $+4$ (10–12 Uhr), $+2$ (12–14 Uhr). Zusammen: $3 + 4 + 2 = 9$. ✓

Vertiefung

Zwei Fähigkeiten heben dich vom blossen Ablesen ab: das Berechnen von Kreisdiagrammen und das Erkennen irreführender Diagramme.

Im Kreisdiagramm entspricht das Ganze dem vollen Kreis, also $360°$. Jeder Anteil bekommt einen Sektor, dessen Winkel zum Anteil passt: Die Hälfte des Ganzen erhält $180°$, ein Viertel $90°$.

Definition

Der Winkel eines Sektors berechnet sich aus dem Anteil an der Gesamtmenge:

$$\text{Winkel} = 360° \cdot \frac{\text{Anzahl der Kategorie}}{\text{Gesamtanzahl}}$$

Kontrolle: Die Winkel aller Sektoren ergeben zusammen $360°$.

Mindestens so wichtig ist der kritische Blick. Diagramme in Werbung und Medien sind nicht immer ehrlich. Die drei häufigsten Tricks:

1. Abgeschnittene Achse: Die Skala beginnt nicht bei 0 – kleine Unterschiede wirken dramatisch (Stolperstein 1).
2. Verzerrte Bilder: In Piktogrammen wird ein Symbol doppelt so hoch und doppelt so breit gezeichnet. Es wirkt dann viermal so gross, obwohl der Wert nur doppelt so gross ist. Auch 3D-Effekte lassen vordere Sektoren grösser erscheinen.
3. Geschönte Auswahl: Es werden nur die Jahre oder Kategorien gezeigt, die ins gewünschte Bild passen – der Rest wird weggelassen.

Stelle dir bei jedem Diagramm drei Prüffragen: Wo beginnt die Skala? Sind alle Schritte und Breiten gleich? Fehlen Daten? Wer diese Fragen stellt, lässt sich nicht täuschen.

Schliesslich die Wahl der Diagrammart – eine kurze Entscheidungshilfe:

Datenart	Beispiel	Passende Diagrammart
Kategorien vergleichen	Lieblingstiere	Säulen- oder Balkendiagramm
Entwicklung über die Zeit	Temperaturverlauf	Liniendiagramm
Anteile an einem Ganzen	Schulwege einer Klasse	Kreisdiagramm
Kleine Anzahlen anschaulich	Ausgeliehene Bücher	Piktogramm

Beispiel:

Beispiel 5: Vertiefung – Ein Kreisdiagramm berechnen

Die Klasse 6b mit 24 Kindern hat ihre Schulwege erfasst: 12 Kinder kommen zu Fuss, 6 mit dem Velo, 4 mit dem Bus und 2 mit dem Auto. Die Daten sollen als Kreisdiagramm dargestellt werden.

Gegeben:

Schulweg	zu Fuss	Velo	Bus	Auto
Anzahl Kinder	12	6	4	2

Gesucht: Die Winkel aller vier Sektoren.

Lösung:

Das Ganze sind $24$ Kinder, also entspricht der volle Kreis mit $360°$ genau $24$ Kindern. Pro Kind sind das $360° : 24 = 15°$.

• zu Fuss: $360° \cdot \dfrac{12}{24} = 180°$ – die Hälfte der Klasse, also der halbe Kreis
• Velo: $360° \cdot \dfrac{6}{24} = 90°$ – ein Viertel
• Bus: $360° \cdot \dfrac{4}{24} = 60°$
• Auto: $360° \cdot \dfrac{2}{24} = 30°$

Antwort: Die Sektoren haben die Winkel $180°$ (zu Fuss), $90°$ (Velo), $60°$ (Bus) und $30°$ (Auto).

Kontrolle: $180° + 90° + 60° + 30° = 360°$ – der Kreis ist vollständig. ✓

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Arbeite mit Bleistift, Lineal und – wo nötig – kariertem Papier. Die vollständigen Lösungswege findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Auf einer Strichliste stehen zwei volle Fünferbündel und drei einzelne Striche. Welche Häufigkeit zeigt die Strichliste?

Aufgabe 2: Die Klasse 5b zählt ihre Haustiere: Hund 9, Katze 7, Fisch 4, kein Haustier 6. Wie viele Kinder hat die Klasse insgesamt?

Aufgabe 3: Lies aus den Daten von Aufgabe 2 ab: Wie viele Kinder mehr haben einen Hund als einen Fisch?

Aufgabe 4: Mia würfelt 20-mal und notiert: 3, 1, 5, 3, 2, 6, 1, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 6, 5, 1, 2, 4, 6, 3. Erstelle eine Strichliste und eine Häufigkeitstabelle. Kontrolliere mit der Summe der Häufigkeiten.

Aufgabe 5: Der Hauswart zählt die Velos auf dem Schulhof: Mo 14, Di 18, Mi 9, Do 16, Fr 23. Wähle eine geeignete Skala für ein Säulendiagramm und berechne die Gesamtzahl der Velos in dieser Woche.

Aufgabe 6: Ein Liniendiagramm zeigt die Wassertemperatur eines Sees: 6 Uhr 14 °C, 9 Uhr 17 °C, 12 Uhr 22 °C, 15 Uhr 24 °C, 18 Uhr 20 °C. Um wie viel Grad ist das Wasser von 6 Uhr bis 15 Uhr wärmer geworden?

Aufgabe 7: In einem Piktogramm steht ein Buchsymbol für 4 ausgeliehene Bücher. Neben «Klasse 6a» sind 6 Symbole gezeichnet. Wie viele Bücher hat die Klasse 6a ausgeliehen?

Aufgabe 8: Von 24 Kindern einer Klasse fahren 6 mit dem Velo zur Schule. Welchen Winkel erhält der Velo-Sektor im Kreisdiagramm?

Aufgabe 9: Eine Werbung zeigt zwei Säulen: Produkt A mit dem Wert 48 und Produkt B mit dem Wert 50. Die Skala beginnt bei 47. Die Säule von B wirkt dreimal so hoch wie die von A. Erkläre die Täuschung und berechne den wirklichen Unterschied.

Aufgabe 10: Der Pausenkiosk nimmt an einem Tag ein: Sandwiches 30 CHF, Getränke 45 CHF, Früchte 15 CHF. Berechne die Gesamteinnahmen, entscheide, welche Diagrammart die Anteile am besten zeigt, und berechne den Winkel des Getränke-Sektors.

Das Wichtigste in Kürze

• Daten entstehen durch Zählen, Messen oder Befragen. Du ordnest sie mit Strichliste und Häufigkeitstabelle.
• Diagrammart nach Datenart wählen: Kategorien → Säulen/Balken, zeitliche Entwicklung → Linie, Anteile am Ganzen → Kreis, kleine Anzahlen → Piktogramm.
• Die fünf Schritte: sammeln, ordnen, Diagrammart wählen, Skala festlegen, zeichnen und beschriften.
• Skala: beginnt bei 0, gleichmässige Schritte, reicht knapp über den grössten Wert.
• Vollständigkeit: Überschrift, Achsenbeschriftung, Einheit und – beim Piktogramm – die Legende gehören immer dazu.
• Kreisdiagramm: Winkel $= 360° \cdot \dfrac{\text{Anzahl}}{\text{Gesamtanzahl}}$; alle Winkel zusammen ergeben $360°$.
• Kritischer Blick: Abgeschnittene Achsen, verzerrte Symbole und weggelassene Daten täuschen – prüfe zuerst die Skala.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

In einem Säulendiagramm zeigt eine Säule den Wert $12$, eine andere den Wert $7$. Um wie viel ist die erste Säule höher?

Lösung anzeigen

Du berechnest die Differenz der beiden Werte:

$$12 - 7 = 5$$

Die erste Säule ist um $5$ Einheiten höher als die zweite.

❓ Frage:

Ein Diagramm zeigt die verkauften Glacé-Kugeln eines Tages: Vanille $18$, Schokolade $24$, Erdbeere $15$, Zitrone $9$. Wie viele Kugeln wurden insgesamt verkauft, und welche Sorte war am beliebtesten?

Lösung anzeigen

Die Gesamtzahl ist die Summe aller Werte:

$$18 + 24 + 15 + 9 = 66$$

Es wurden $66$ Kugeln verkauft. Am beliebtesten war Schokolade mit $24$ Kugeln – der höchste Wert im Diagramm.

Kontrolle: Schrittweise: $18 + 24 = 42$, dann $42 + 15 = 57$, dann $57 + 9 = 66$. ✓

❓ Frage:

Warum soll die Skala eines Säulendiagramms bei $0$ beginnen? Begründe mit einem Beispiel.

Lösung anzeigen

Beginnt die Skala nicht bei $0$, werden Unterschiede optisch verzerrt. Beispiel: Bei den Werten $98$ und $100$ und einer Skala ab $95$ ist die eine Säule sichtbar nur $3$ Einheiten hoch, die andere $5$ – sie wirkt fast doppelt so hoch. In Wirklichkeit beträgt der Unterschied nur $2$ von rund $100$, also etwa zwei Hundertstel. Eine Skala ab $0$ zeigt die wahren Verhältnisse: Beide Säulen sind dann fast gleich hoch.

❓ Frage:

Welche Diagrammart passt? a) Der Temperaturverlauf einer Woche. b) Die Lieblingsfächer deiner Klasse. c) Die Anteile, wie 20 Kinder ihr Sackgeld ausgeben.

Lösung anzeigen

a) Liniendiagramm – die Temperatur entwickelt sich über die Zeit, die Punkte hängen zusammen.

b) Säulen- oder Balkendiagramm – Lieblingsfächer sind getrennte Kategorien, die du vergleichst. Eine Verbindungslinie zwischen den Fächern ergäbe keinen Sinn.

c) Kreisdiagramm – die Ausgaben aller 20 Kinder bilden zusammen ein Ganzes, und es geht um die Anteile daran.

❓ Frage:

Von $60$ befragten Kindern wünschen sich $20$ Pizza als Lagermenü. Welchen Winkel bekommt der Pizza-Sektor im Kreisdiagramm?

Lösung anzeigen

Das Ganze sind $60$ Kinder, der volle Kreis hat $360°$. Der Pizza-Anteil ist $\dfrac{20}{60}$, also ein Drittel:

$$360° \cdot \frac{20}{60} = 360° : 3 = 120°$$

Der Pizza-Sektor bekommt einen Winkel von $120°$.

Kontrolle: Ein Drittel des Kreises: $3 \cdot 120° = 360°$. ✓

Ausblick

Mit Strichliste, Häufigkeitstabelle und Diagramm beherrschst du das Handwerk der Datendarstellung. Im nächsten Schritt lernst du, Datensätze auszuwerten: Mittelwert, Maximum und Minimum verraten dir, was «typisch» für deine Daten ist. In Zyklus 3 kommen relative Häufigkeiten und die Wahrscheinlichkeitsrechnung dazu – auch dort sind Diagramme dein wichtigstes Werkzeug. Und weil du beim Auswerten oft grosse Summen abschätzen musst, lohnt sich ein Blick auf das Runden und Überschlagen. Wer Daten lesen kann, versteht Nachrichten, Statistiken und Werbung kritischer – eine Fähigkeit fürs Leben.

Lösungen

Lösung 1: Ein volles Fünferbündel zählt $5$ Striche. Zwei Bündel und drei einzelne Striche ergeben:

$$5 + 5 + 3 = 13$$

Die Strichliste zeigt die Häufigkeit $13$.

Lösung 2: Jedes Kind kommt in genau einer Kategorie vor – auch «kein Haustier» zählt. Du addierst alle Häufigkeiten:

$$9 + 7 + 4 + 6 = 26$$

Die Klasse 5b hat $26$ Kinder.

Kontrolle: Schrittweise: $9 + 7 = 16$, dann $16 + 4 = 20$, dann $20 + 6 = 26$. ✓

Lösung 3: Du vergleichst die beiden Werte Hund ($9$) und Fisch ($4$) und bildest die Differenz:

$$9 - 4 = 5$$

$5$ Kinder mehr haben einen Hund als einen Fisch.

Lösung 4: Du gehst die Liste Zahl für Zahl durch und machst für jedes Würfelergebnis einen Strich:

Augenzahl	Strichliste	Häufigkeit
1	ⅠⅠⅠⅠ	4
2	ⅠⅠⅠ	3
3	ⅠⅠⅠⅠⅠ	5
4	ⅠⅠ	2
5	ⅠⅠⅠ	3
6	ⅠⅠⅠ	3

Kontrolle: Die Summe der Häufigkeiten muss die Anzahl Würfe ergeben:

$$4 + 3 + 5 + 2 + 3 + 3 = 20$$

Mia hat 20-mal gewürfelt – die Tabelle ist vollständig. ✓ Die $3$ ist mit fünf Würfen das häufigste Ergebnis.

Lösung 5: Der grösste Wert ist $23$ (Freitag). Eine Skala von $0$ bis $25$ in Fünferschritten passt gut: $0, 5, 10, 15, 20, 25$. Die Säulen bekommen die Höhen $14, 18, 9, 16, 23$ – alle gleich breit, mit gleichen Abständen.

Die Gesamtzahl ist die Summe aller Tageswerte:

$$14 + 18 + 9 + 16 + 23 = 80$$

In dieser Woche standen insgesamt $80$ Velos auf dem Schulhof.

Kontrolle: Überschlag mit gerundeten Werten: $15 + 20 + 10 + 15 + 25 = 85$ – nahe bei $80$, die Grössenordnung stimmt. ✓

Lösung 6: Um 6 Uhr beträgt die Temperatur $14$ °C, um 15 Uhr $24$ °C. Die Erwärmung ist die Differenz:

$$24 - 14 = 10$$

Das Wasser ist um $10$ °C wärmer geworden.

Kontrolle: Abschnittsweise entlang der Linie: $+3$ (6–9 Uhr), $+5$ (9–12 Uhr), $+2$ (12–15 Uhr). Zusammen: $3 + 5 + 2 = 10$. ✓

Lösung 7: Die Legende verrät: Ein Symbol steht für $4$ Bücher. Bei $6$ Symbolen rechnest du:

$$6 \cdot 4 = 24$$

Die Klasse 6a hat $24$ Bücher ausgeliehen. Wer die Legende ignoriert und nur die Symbole zählt, kommt fälschlich auf $6$ – genau der Fehler aus Stolperstein 4.

Lösung 8: Das Ganze sind $24$ Kinder, der volle Kreis hat $360°$. Der Velo-Anteil ist $\dfrac{6}{24}$, also ein Viertel:

$$360° \cdot \frac{6}{24} = 360° : 4 = 90°$$

Der Velo-Sektor erhält einen Winkel von $90°$.

Kontrolle: Ein Viertel des Kreises ist ein rechter Winkel – das passt zu $\dfrac{6}{24} = \dfrac{1}{4}$. ✓

Lösung 9: Die Täuschung entsteht durch die abgeschnittene Achse. Sichtbar ist nur der Teil der Säulen oberhalb von $47$: Bei Produkt A ist das $48 - 47 = 1$ Einheit, bei Produkt B sind es $50 - 47 = 3$ Einheiten. Darum wirkt B dreimal so hoch. Der wirkliche Unterschied ist aber nur:

$$50 - 48 = 2$$

Bei einer ehrlichen Skala ab $0$ wären beide Säulen rund $50$ Einheiten hoch und sähen fast gleich aus. Der Unterschied von $2$ ist im Vergleich zu $48$ winzig.

Lösung 10: Zuerst die Gesamteinnahmen:

$$30 + 45 + 15 = 90$$

Der Kiosk nimmt $90$ CHF ein. Weil die drei Beträge zusammen ein Ganzes bilden und die Anteile interessieren, passt ein Kreisdiagramm am besten.

Für den Getränke-Sektor berechnest du den Winkel aus dem Anteil $\dfrac{45}{90}$, also der Hälfte:

$$360° \cdot \frac{45}{90} = 360° : 2 = 180°$$

Der Getränke-Sektor erhält $180°$ – einen halben Kreis.

Kontrolle: Die übrigen Sektoren: Sandwiches $360° \cdot \dfrac{30}{90} = 120°$ und Früchte $360° \cdot \dfrac{15}{90} = 60°$. Zusammen: $180° + 120° + 60° = 360°$ – der Kreis ist vollständig. ✓

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport