Funktionen

Darum geht's

Das Handy-Abo kostet $25\,\text{CHF}$ Grundgebühr plus $0{,}20\,\text{CHF}$ pro SMS. Ein Sparbuch wächst jedes Jahr um denselben Prozentsatz. Die Temperatur im Tagesverlauf steigt und fällt. In allen drei Fällen hängt eine Grösse von einer anderen ab — und genau das ist der Kern des Funktionsbegriffs.

Funktionen sind das wichtigste mathematische Konzept des 3. Zyklus. Sie verbinden Algebra (Terme und Gleichungen) mit Geometrie (Graphen in der Ebene) und werden dich bis zur Analysis im Gymnasium begleiten. Auf dieser Seite bekommst du den Überblick.

Worum geht es?

Eine Funktion $f$ ordnet jedem Wert $x$ aus einer Menge (dem Definitionsbereich) genau einen Wert $y$ aus einer anderen Menge (dem Wertebereich) zu. Man schreibt $y = f(x)$ und spricht ”$y$ ist $f$ von $x$”. Das wichtigste Wort ist genau einen: einem $x$ darf nur ein $y$ zugeordnet sein.

In der 7./8. Klasse arbeitest du hauptsächlich mit zwei Funktionsfamilien:

• Proportionale Funktionen $y = a \cdot x$ — Graph ist eine Gerade durch den Ursprung. Der Faktor $a$ heisst Proportionalitätsfaktor.
• Lineare Funktionen $y = a \cdot x + b$ — Graph ist eine Gerade, die die $y$-Achse an $(0, b)$ schneidet. $a$ ist die Steigung, $b$ der y-Achsenabschnitt.

Darüber hinaus begegnen dir weitere Spezialfälle (konstante Funktionen, parallele und senkrechte Geraden) und Operationen mit Funktionen (Umkehrfunktion, Verkettung), die den Weg zu den quadratischen Funktionen und später zur Analysis ebnen.

Was du schon können solltest

Dieses Kapitel verlangt einiges an Vorwissen:

• Grundlagen aus Terme und Gleichungen — ohne Umformen keine Funktionsauswertung,
• der Umgang mit dem Koordinatensystem — jede Funktion braucht $x$- und $y$-Achse,
• Kenntnisse zu Zuordnungen und Dreisatz — proportionale Funktionen sind formalisierte proportionale Zuordnungen,
• die Rechengesetze für ganze Zahlen und Brüche (Steigungen können auch Brüche sein).

Was du in diesem Kapitel lernst

Sieben Lektionen, die systematisch aufbauen:

1. Funktionen – Grundlagen — was eine Funktion ist, wie man sie darstellt (Tabelle, Graph, Gleichung), und wie man die Eindeutigkeit prüft (vertikale Linie schneidet den Graphen höchstens einmal).
2. Proportionale Funktionen — die einfachste Form: Graph durch den Ursprung, Gleichung $y = a \cdot x$. Der Faktor $a$ bestimmt die Steigung.
3. Lineare Funktionen — $y = a \cdot x + b$. Hier kommen Steigung und $y$-Achsenabschnitt zusammen. Wie du sie aus einem Graphen abliest, und wie du aus zwei Punkten die Gleichung bestimmst.
4. Spezialfälle linearer Funktionen — konstante Funktionen ($a = 0$), vertikale “Gerade” (die eigentlich keine Funktion ist, weil $x$ = konst), und die Rolle der Nullstelle.
5. Parallele und senkrechte Geraden — zwei Geraden sind parallel genau dann, wenn sie dieselbe Steigung haben, und senkrecht genau dann, wenn das Produkt ihrer Steigungen $-1$ ergibt: $a_1 \cdot a_2 = -1$.
6. Umkehrfunktionen — wie du zu einer Funktion die Umkehrung findest. Geometrisch: Spiegelung des Graphen an der Winkelhalbierenden $y = x$.
7. Zusammengesetzte Funktionen — Funktionen nacheinander anwenden: $f(g(x))$. Der Einstieg in die Funktionsverkettung, die in der 9. Klasse und in der Analysis zentral wird.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Funktion ($f$) — eindeutige Zuordnung $x \mapsto y = f(x)$.
• Definitionsbereich ($D$) — die Menge der erlaubten $x$-Werte.
• Wertebereich ($W$) — die Menge der möglichen $y$-Werte.
• Graph — die Menge aller Punkte $(x, f(x))$ in der Ebene.
• Steigung ($a$) — wie stark der Graph pro $x$-Einheit steigt; $a = \tfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
• y-Achsenabschnitt ($b$) — der $y$-Wert bei $x = 0$; der Schnitt mit der $y$-Achse.
• Nullstelle — $x$-Wert, bei dem $f(x) = 0$; der Schnitt mit der $x$-Achse.
• Umkehrfunktion ($f^{-1}$) — macht die Zuordnung rückgängig.

Häufige Denkfehler

Achtung

Funktionen verwirren oft, weil mehrere Darstellungen für dasselbe Konzept stehen: Tabelle, Gleichung, Graph. Der häufigste Fehler: die Darstellung zu wechseln, ohne den Überblick zu behalten.

1. “Eine Funktion ist dasselbe wie ihr Graph.” Nicht ganz. Der Graph ist die Visualisierung der Funktion in der Ebene. Die Funktion selbst ist die Zuordnungsvorschrift — oft durch eine Gleichung beschrieben.
2. “Jede Gerade ist eine lineare Funktion.” Fast — bis auf die senkrechten Geraden der Form $x = c$. Sie sind keine Funktion, weil dem $x$-Wert $c$ unendlich viele $y$-Werte zugeordnet sind.
3. “Die Steigung ist wie stark es geht.” Vorsicht: die Steigung $a$ ist kein Winkel. $a = 1$ entspricht $45°$, $a = 2$ entspricht etwa $63°$, nicht $90°$. Der Winkel ist $\arctan(a)$ — erst in der 9. Klasse Thema.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Funktionen sind ein zentrales Anliegen von MA.3 – Grössen, Funktionen, Daten, 3. Zyklus:

• MA.3.A.3 – Lineare Funktionen als Funktionsgraph, mit Steigung, $y$-Achsenabschnitt und Nullstelle.
• MA.3.C.2 – Abhängigkeiten zwischen zwei Grössen mit Graphen darstellen.
• MA.3.B.2 – Funktionen anhand ihrer Darstellungen (Tabelle, Gleichung, Graph) vergleichen und interpretieren.

Proportionale und lineare Funktionen gelten als Grundanspruch für den 3. Zyklus. Umkehrfunktionen und Verkettungen sind Teil der Erweiterung.

Die Themen im Überblick

• Funktionen – Grundlagen
• Proportionale Funktionen
• Lineare Funktionen
• Spezialfälle linearer Funktionen
• Parallele und senkrechte Geraden
• Umkehrfunktionen
• Zusammengesetzte Funktionen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport