Winkel im Dreieck und Viereck – So findest du jeden fehlenden Winkel

Darum geht's

Stell dir vor, du baust ein Zelt auf. Die drei Stangen treffen sich oben in einer Spitze. Verschiebst du eine Stange, ändern sich automatisch auch die anderen Ecken. Kippst du sie zu weit nach aussen, passt das Zelt nicht mehr zusammen.

Bei einem Bilderrahmen ist es ähnlich. Die vier Ecken müssen genau stimmen. Ist eine Ecke zu spitz oder zu stumpf, klafft der Rahmen auseinander.

Dreiecke und Vierecke haben eine geheime Regel. Die Winkel in ihren Ecken ergeben zusammen immer dieselbe Summe. Diese Regel hilft dir, jeden fehlenden Winkel zu berechnen – egal wie das Dreieck oder Viereck aussieht.

Winkel im Dreieck/Viereck: die Idee

Bevor du Winkel berechnest, musst du die wichtigsten Begriffe kennen.

Ein Winkel entsteht zwischen zwei Strahlen, die vom gleichen Punkt ausgehen. Dieser Punkt heisst Scheitelpunkt. Die Grösse eines Winkels gibst du in Grad (°) an.

Ein Innenwinkel liegt im Innern einer geometrischen Figur. Bei einem Dreieck liegen alle drei Innenwinkel zwischen den Seiten des Dreiecks. Du erkennst sie daran, dass sie «nach innen» zeigen.

Winkel haben besondere Namen je nach ihrer Grösse:

• Ein spitzer Winkel ist kleiner als $90°$.
• Ein rechter Winkel beträgt genau $90°$. Er wird mit einem kleinen Quadrat markiert.
• Ein stumpfer Winkel liegt zwischen $90°$ und $180°$.
• Ein gestreckter Winkel beträgt genau $180°$. Das ist eine gerade Linie.

Die griechischen Buchstaben $\alpha$ (Alpha), $\beta$ (Beta), $\gamma$ (Gamma) und $\delta$ (Delta) stehen für die einzelnen Winkel in den Ecken einer Figur.

Definition

Winkelsumme im Dreieck:

$$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$

Winkelsumme im Viereck:

$$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°$$

Die drei Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen immer $180°$. Die vier Innenwinkel eines Vierecks ergeben zusammen immer $360°$. Diese Regel gilt für jedes beliebige Dreieck und jedes beliebige Viereck.

Stell dir die Winkelsumme als Kuchen vor, den du aufteilen musst. Im Dreieck hast du genau $180°$ zu verteilen. Im Viereck sind es $360°$. Die einzelnen Stücke können unterschiedlich gross sein. Ihre Summe bleibt aber immer gleich.

Winkel im Dreieck/Viereck: der Rechenweg

Die gute Nachricht: Der Rechenweg ist immer gleich. Egal ob Dreieck oder Viereck.

Definition

Im Dreieck – Schritt für Schritt:

1. Addiere alle bekannten Winkel.
2. Ziehe die Summe von $180°$ ab.
3. Das Ergebnis ist der fehlende Winkel.

$$\text{fehlender Winkel} = 180° - (\text{Summe der bekannten Winkel})$$

Im Viereck – Schritt für Schritt:

1. Addiere alle bekannten Winkel.
2. Ziehe die Summe von $360°$ ab.
3. Das Ergebnis ist der fehlende Winkel.

$$\text{fehlender Winkel} = 360° - (\text{Summe der bekannten Winkel})$$

Nach jeder Rechnung machst du eine Probe. Addiere alle Winkel einschliesslich deines Ergebnisses. Im Dreieck musst du $180°$ erhalten. Im Viereck $360°$. Stimmt die Probe nicht, liegt irgendwo ein Fehler.

Zähle vor dem Rechnen immer die Ecken der Figur. Drei Ecken bedeuten $180°$. Vier Ecken bedeuten $360°$. Das ist die häufigste Fehlerquelle.

Ein berechneter Winkel muss immer grösser als $0°$ und kleiner als $180°$ sein. Ein Winkel von $0°$ wäre kein Winkel. Ein Winkel von $180°$ wäre eine gerade Linie, keine Ecke.

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Beispiel:

Einfaches Dreieck

Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha = 60°$ und $\beta = 80°$. Berechne den dritten Winkel $\gamma$.

Lösung:

Schritt 1: Bekannte Winkel addieren.

$$60° + 80° = 140°$$

Schritt 2: Von der Winkelsumme abziehen.

$$\gamma = 180° - 140° = 40°$$

Antwort: Der dritte Winkel beträgt $\gamma = 40°$.

Probe: $60° + 80° + 40° = 180°$ ✓

Das Dreieck hat einen spitzen Winkel von $40°$, einen mittelgrossen von $60°$ und einen etwas grösseren von $80°$. Alle drei sind spitze Winkel (kleiner als $90°$). Das ergibt eine flache, streckte Form.

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Beispiel:

Viereck mit drei bekannten Winkeln

Ein Viereck hat die Winkel $\alpha = 70°$, $\beta = 110°$ und $\gamma = 85°$. Berechne den vierten Winkel $\delta$.

Lösung:

Schritt 1: Bekannte Winkel addieren.

$$70° + 110° + 85° = 265°$$

Schritt 2: Von der Winkelsumme abziehen.

$$\delta = 360° - 265° = 95°$$

Antwort: Der vierte Winkel beträgt $\delta = 95°$.

Probe: $70° + 110° + 85° + 95° = 360°$ ✓

Beachte: $\beta = 110°$ ist ein stumpfer Winkel. Er ist grösser als $90°$. Das ist erlaubt. Auch $\delta = 95°$ ist stumpf. Das Viereck hat also zwei stumpfe und zwei spitze Winkel.

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Typische Fehler bei Winkel im Dreieck/Viereck

Beim Rechnen mit Winkeln passieren immer wieder dieselben Fehler. Hier findest du die wichtigsten Fallen.

Achtung

Dreieck und Viereck verwechseln: Viele rechnen bei Vierecken versehentlich mit $180°$ statt $360°$. Zähle deshalb vor dem Rechnen immer die Ecken der Figur. Drei Ecken $\rightarrow$ $180°$. Vier Ecken $\rightarrow$ $360°$.

Achtung

Unsinniges Ergebnis nicht erkennen: Ein Winkel kann nicht $0°$ oder negativ sein. Er darf in einem Dreieck auch nicht grösser als $179°$ sein. Kontrolliere dein Ergebnis auf Plausibilität. Rechne ausserdem immer die Probe.

Achtung

Rechter Winkel vergessen: Siehst du ein kleines Quadrat in einer Ecke, beträgt dieser Winkel genau $90°$. Dieser Wert muss in deine Rechnung einfliessen. Viele Schüler übersehen dieses Symbol in der Zeichnung.

Achtung

Additionsfehler bei der Zwischensumme: Addierst du mehrere Winkel, passieren leicht Rechenfehler. Schreibe die Addition sorgfältig untereinander. Rechne zweimal. Erst dann ziehst du von der Winkelsumme ab.

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Winkel im Dreieck/Viereck in Aufgaben

Beispiel:

Gleichschenkliges Dreieck

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich gross. Der Winkel an der Spitze beträgt $50°$. Wie gross sind die Basiswinkel?

Lösung:

Überlegung: Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Winkel identisch. Nenne beide $\alpha$. Der dritte Winkel ist $50°$.

Schritt 1: Gleichung aufstellen.

$$\alpha + \alpha + 50° = 180°$$

Schritt 2: Zusammenfassen.

$$2 \cdot \alpha + 50° = 180°$$

Schritt 3: $50°$ subtrahieren.

$$2 \cdot \alpha = 130°$$

Schritt 4: Durch $2$ dividieren.

$$\alpha = 65°$$

Antwort: Beide Basiswinkel betragen jeweils $65°$.

Probe: $65° + 65° + 50° = 180°$ ✓

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Beispiel:

Textaufgabe mit Viereck

Ein Fensterrahmen ist ein Viereck. Drei seiner Winkel betragen $90°$, $85°$ und $95°$. Der vierte Winkel ist beschädigt und muss repariert werden. Welchen Winkel muss der Handwerker herstellen?

Lösung:

Schritt 1: Bekannte Winkel addieren.

$$90° + 85° + 95° = 270°$$

Schritt 2: Von der Winkelsumme des Vierecks abziehen.

$$\delta = 360° - 270° = 90°$$

Antwort: Der vierte Winkel muss $90°$ betragen.

Probe: $90° + 85° + 95° + 90° = 360°$ ✓

Überlegung: Der Fensterrahmen ist fast ein Rechteck. Zwei Winkel sind leicht verformt ($85°$ und $95°$), aber zusammen ergeben sie wieder $180°$. Deshalb müssen die anderen beiden Winkel zusammen ebenfalls $180°$ ergeben, also je $90°$.

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Winkel im Dreieck/Viereck genauer betrachtet

Du hast die Grundregel verstanden. Jetzt geht es einen Schritt weiter.

Warum gilt die Winkelsumme im Dreieck?

Es gibt einen einfachen Beweis ohne Algebra. Zeichne ein beliebiges Dreieck auf Papier. Reiße die drei Ecken ab. Lege die drei Winkelspitzen so zusammen, dass sie einen gemeinsamen Punkt berühren. Die drei Ecken bilden zusammen immer eine gerade Linie. Eine gerade Linie entspricht einem gestreckten Winkel von $180°$.

Viereck aus zwei Dreiecken

Jedes Viereck kannst du mit einer Diagonale in zwei Dreiecke aufteilen. Jedes Dreieck hat eine Winkelsumme von $180°$. Zwei Dreiecke ergeben also $2 \cdot 180° = 360°$. Das erklärt die Winkelsumme im Viereck.

Definition

Ein Vieleck mit $n$ Ecken lässt sich in $(n-2)$ Dreiecke aufteilen.

Die Winkelsumme eines Vielecks beträgt:

$$(n - 2) \cdot 180°$$

Für das Dreieck ($n = 3$): $(3 - 2) \cdot 180° = 1 \cdot 180° = 180°$

Für das Viereck ($n = 4$): $(4 - 2) \cdot 180° = 2 \cdot 180° = 360°$

Für das Fünfeck ($n = 5$): $(5 - 2) \cdot 180° = 3 \cdot 180° = 540°$

Besondere Dreiecke und Vierecke

Das gleichseitige Dreieck hat alle Seiten gleich lang. Deshalb sind auch alle Winkel gleich: $180° \div 3 = 60°$.

Das rechtwinklige Dreieck hat einen Winkel von $90°$. Die anderen beiden Winkel addieren sich immer zu $90°$.

Das Rechteck hat vier rechte Winkel à $90°$. Das Quadrat ist ein Sonderfall des Rechtecks.

Das Parallelogramm hat gegenüberliegende Winkel, die gleich gross sind. Benachbarte Winkel ergänzen sich immer zu $180°$.

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Beispiel:

Fünfeck

Ein regelmässiges Fünfeck hat fünf gleich grosse Innenwinkel. Wie gross ist jeder einzelne Winkel?

Lösung:

Schritt 1: Winkelsumme des Fünfecks berechnen.

$$(5 - 2) \cdot 180° = 3 \cdot 180° = 540°$$

Schritt 2: Da alle fünf Winkel gleich sind, teile durch 5.

$$\text{ein Winkel} = \frac{540°}{5} = 108°$$

Antwort: Jeder Innenwinkel eines regelmässigen Fünfecks beträgt $108°$.

Probe: $5 \cdot 108° = 540°$ ✓

Bemerkung: Das regelmässige Fünfeck kommt in der Natur vor, zum Beispiel als Form von Seesternen. Auch der Querschnitt einer Okraschote ist annähernd fünfeckig.

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Übungen

Löse die folgenden Aufgaben. Schreibe immer den vollständigen Rechenweg auf. Mache am Ende eine Probe.

Aufgabe 1 (einfach) Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha = 50°$ und $\beta = 70°$. Berechne $\gamma$.

Aufgabe 2 (einfach) Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha = 90°$ und $\beta = 35°$. Berechne $\gamma$.

Aufgabe 3 (einfach) Ein Viereck hat die Winkel $90°$, $90°$ und $90°$. Wie gross ist der vierte Winkel?

Aufgabe 4 (mittel) Ein Viereck hat die Winkel $\alpha = 75°$, $\beta = 105°$ und $\gamma = 80°$. Berechne $\delta$.

Aufgabe 5 (mittel) In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt ein Basiswinkel $55°$. Wie gross ist der Winkel an der Spitze?

Aufgabe 6 (mittel) Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha = 2 \cdot \beta$ und $\gamma = 3 \cdot \beta$. Berechne alle drei Winkel.

Aufgabe 7 (mittel) Ein Parallelogramm hat einen Winkel von $65°$. Wie gross sind die anderen drei Winkel? Tipp: Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm sind gleich gross.

Aufgabe 8 (schwer) Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha$, $2\alpha$ und $3\alpha$. Berechne alle drei Winkel.

Aufgabe 9 (schwer) Ein Viereck hat vier gleich grosse Winkel und einen weiteren Winkel, der $20°$ grösser als die anderen ist. Korrektur: Das Viereck hat drei gleich grosse Winkel von je $\beta$ und einen Winkel von $\beta + 20°$. Berechne $\beta$.

Aufgabe 10 (schwer) Ein Sechseck wird durch zwei Diagonalen in vier Dreiecke aufgeteilt. Erkläre, wie du damit die Winkelsumme des Sechsecks berechnest. Berechne ausserdem jeden Innenwinkel eines regelmässigen Sechsecks.

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Das Wichtigste in Kürze

Die Winkelsumme ist dein Werkzeug für fehlende Winkel. Im Dreieck nutzt du $180°$. Im Viereck nutzt du $360°$.

Der Rechenweg ist immer gleich. Zuerst zählst du die Ecken. Dann addierst du alle bekannten Winkel. Schliesslich ziehst du diese Summe von der Winkelsumme ab.

Vergiss die Probe nicht. Sie zeigt dir sofort, ob dein Ergebnis stimmt.

Kontrolliere jedes Ergebnis auf Sinnhaftigkeit. Ein Winkel muss grösser als $0°$ und kleiner als $180°$ sein. Sonst liegt ein Fehler vor.

Besondere Dreiecke haben besondere Eigenschaften. Beim gleichschenkligen Dreieck sind zwei Winkel identisch. Das vereinfacht die Rechnung. Beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel je $60°$.

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❓ Frage:Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha = 45°$ und $\beta = 90°$. Wie gross ist $\gamma$?

Lösung anzeigen

Rechenweg:

$$\gamma = 180° - 45° - 90° = 45°$$

Der dritte Winkel beträgt $\gamma = 45°$. Probe: $45° + 90° + 45° = 180°$ ✓ Das Dreieck ist rechtwinklig und gleichschenklig. Die beiden Katheten schliessen einen rechten Winkel ein. Die Basiswinkel sind je $45°$.

❓ Frage:Ein Viereck hat drei Winkel: $80°$, $100°$ und $90°$. Wie gross ist der vierte Winkel?

Lösung anzeigen

Rechenweg:

$$\delta = 360° - 80° - 100° - 90° = 90°$$

Der vierte Winkel beträgt $90°$. Probe: $80° + 100° + 90° + 90° = 360°$ ✓

❓ Frage:In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt ein Basiswinkel $70°$. Wie gross ist der Winkel an der Spitze?

Lösung anzeigen

Überlegung: Beide Basiswinkel sind gleich gross, also je $70°$. Rechenweg:

$$\text{Spitzenwinkel} = 180° - 70° - 70° = 40°$$

Der Winkel an der Spitze beträgt $40°$. Probe: $70° + 70° + 40° = 180°$ ✓

❓ Frage:Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha = \beta$ und $\gamma = 80°$. Wie gross sind $\alpha$ und $\beta$?

Lösung anzeigen

Rechenweg: Da $\alpha = \beta$, gilt:

$$2 \cdot \alpha + 80° = 180°$$$$2 \cdot \alpha = 100°$$$$\alpha = 50°$$

Beide Winkel $\alpha$ und $\beta$ betragen je $50°$. Probe: $50° + 50° + 80° = 180°$ ✓

❓ Frage:Wie gross ist die Winkelsumme in einem regelmässigen Sechseck?

Lösung anzeigen

Rechenweg mit der Formel:

$$(n - 2) \cdot 180° = (6 - 2) \cdot 180° = 4 \cdot 180° = 720°$$

Die Winkelsumme im Sechseck beträgt $720°$. Jeder einzelne Innenwinkel im regelmässigen Sechseck:

$$720° \div 6 = 120°$$

Jeder Innenwinkel beträgt $120°$.

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Ausblick

Du kennst jetzt die Winkelsumme in Dreiecken und Vierecken. Das ist ein wichtiges Fundament.

In der 7. und 8. Klasse lernst du Winkel an Geraden kennen. Dort treten Scheitelwinkel und Stufenwinkel auf. Auch der Satz des Thales wartet auf dich. Er verbindet Winkel mit Kreisen.

Später kommt die Trigonometrie. Sie berechnet Seiten und Winkel in rechtwinkligen Dreiecken. Daraus entstehen Sinus, Kosinus und Tangens.

Architekten, Ingenieure und Programmierer nutzen all das täglich. Was du heute lernst, ist kein abstraktes Schulwissen. Es ist ein echtes Handwerkszeug.

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Lösungen

Hier findest du die vollständigen Lösungswege zu allen Übungsaufgaben.

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Lösung zu Aufgabe 1

Gegeben: $\alpha = 50°$, $\beta = 70°$. Gesucht: $\gamma$.

$$\gamma = 180° - 50° - 70° = 60°$$

Der dritte Winkel beträgt $\gamma = 60°$.

Probe: $50° + 70° + 60° = 180°$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 2

Gegeben: $\alpha = 90°$, $\beta = 35°$. Gesucht: $\gamma$.

$$\gamma = 180° - 90° - 35° = 55°$$

Der dritte Winkel beträgt $\gamma = 55°$.

Probe: $90° + 35° + 55° = 180°$ ✓

Das ist ein rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel $\alpha = 90°$ ist der rechte Winkel.

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Lösung zu Aufgabe 3

Gegeben: Drei Winkel je $90°$. Gesucht: vierter Winkel.

$$\delta = 360° - 90° - 90° - 90° = 90°$$

Der vierte Winkel beträgt $90°$.

Probe: $90° + 90° + 90° + 90° = 360°$ ✓

Das Viereck ist ein Rechteck (oder Quadrat).

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Lösung zu Aufgabe 4

Gegeben: $\alpha = 75°$, $\beta = 105°$, $\gamma = 80°$. Gesucht: $\delta$.

Schritt 1: Bekannte Winkel addieren.

$$75° + 105° + 80° = 260°$$

Schritt 2: Von der Winkelsumme abziehen.

$$\delta = 360° - 260° = 100°$$

Der vierte Winkel beträgt $\delta = 100°$.

Probe: $75° + 105° + 80° + 100° = 360°$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 5

Gegeben: Gleichschenkliges Dreieck, ein Basiswinkel $= 55°$. Gesucht: Spitzenwinkel.

Beide Basiswinkel sind gleich gross, also je $55°$.

$$\text{Spitzenwinkel} = 180° - 55° - 55° = 70°$$

Der Winkel an der Spitze beträgt $70°$.

Probe: $55° + 55° + 70° = 180°$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 6

Gegeben: $\alpha = 2\beta$, $\gamma = 3\beta$. Gesucht: alle drei Winkel.

Gleichung aufstellen:

$$\beta + 2\beta + 3\beta = 180°$$ $$6\beta = 180°$$ $$\beta = 30°$$

Daraus folgt:

$$\alpha = 2 \cdot 30° = 60°$$ $$\gamma = 3 \cdot 30° = 90°$$

Die drei Winkel betragen $30°$, $60°$ und $90°$.

Probe: $30° + 60° + 90° = 180°$ ✓

Das ist ein rechtwinkliges Dreieck.

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Lösung zu Aufgabe 7

Gegeben: Parallelogramm, ein Winkel $= 65°$. Gesucht: alle anderen Winkel.

Im Parallelogramm gilt: Gegenüberliegende Winkel sind gleich gross. Benachbarte Winkel ergänzen sich zu $180°$.

• Gegenüberliegender Winkel: $65°$
• Benachbarter Winkel: $180° - 65° = 115°$
• Gegenüber vom benachbarten Winkel: $115°$

Die vier Winkel sind: $65°$, $115°$, $65°$, $115°$.

Probe: $65° + 115° + 65° + 115° = 360°$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 8

Gegeben: Winkel $\alpha$, $2\alpha$, $3\alpha$. Gesucht: alle drei Winkel.

$$\alpha + 2\alpha + 3\alpha = 180°$$ $$6\alpha = 180°$$ $$\alpha = 30°$$

Die drei Winkel sind:

$$\alpha = 30°, \quad 2\alpha = 60°, \quad 3\alpha = 90°$$

Probe: $30° + 60° + 90° = 180°$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 9

Gegeben: Drei gleiche Winkel $\beta$ und ein Winkel $(\beta + 20°)$. Gesucht: $\beta$.

$$\beta + \beta + \beta + (\beta + 20°) = 360°$$ $$4\beta + 20° = 360°$$ $$4\beta = 340°$$ $$\beta = 85°$$

Der vierte Winkel ist $85° + 20° = 105°$.

Die vier Winkel sind: $85°$, $85°$, $85°$, $105°$.

Probe: $85° + 85° + 85° + 105° = 360°$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 10

Ein Sechseck hat $n = 6$ Ecken.

Winkelsumme mit der Formel:

$$(6 - 2) \cdot 180° = 4 \cdot 180° = 720°$$

Erklärung über Dreiecke: Mit zwei nicht sich schneidenden Diagonalen teilst du ein Sechseck in vier Dreiecke auf. Jedes Dreieck hat eine Winkelsumme von $180°$. Vier Dreiecke ergeben $4 \cdot 180° = 720°$.

Innenwinkel des regelmässigen Sechsecks: Alle sechs Winkel sind gleich gross.

$$\text{ein Innenwinkel} = \frac{720°}{6} = 120°$$

Jeder Innenwinkel des regelmässigen Sechsecks beträgt $120°$.

Probe: $6 \cdot 120° = 720°$ ✓

Bemerkung: Das regelmässige Sechseck kommt in der Natur häufig vor. Bienenwaben haben diese Form. Der Grund: Das Sechseck füllt eine Fläche lückenlos aus, wie die Rechtecke eines Schachbretts. Dabei ist der Materialaufwand besonders gering.

Verwandte Themen

• Die Fläche eines Dreiecks berechnen
• Umfang und Fläche von Figuren verstehen und berechnen
• Parallelogramm: So berechnest du die Fläche

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport