Abstände in der Geometrie – Punkt, Gerade, Parallele

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Geometrie”
• Senkrechte zu einer Geraden konstruieren
• Die Mittelsenkrechte verstehen und konstruieren
• Winkel an Geraden – Scheitel-, Neben-, Stufen- und Wechselwinkel

Darum geht's

Stell dir vor, du stehst auf einer Wiese und möchtest zum nächsten Zaun gelangen. Wie findest du den kürzesten Weg? Du läufst nicht schräg, nicht im Bogen – du gehst direkt und gerade auf den Zaun zu.

Dieser kürzeste Weg ist der Abstand. In der Geometrie messen wir Abstände auf genau diese Weise: immer den kürzesten Weg. Das klingt einfach, aber je nach Situation gibt es unterschiedliche Methoden. Manchmal messen wir zwischen zwei Punkten. Manchmal von einem Punkt zu einer Linie. Manchmal zwischen zwei parallelen Linien. In diesem Artikel lernst du alle drei Fälle sauber zu unterscheiden.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse), Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 7Kompetenzen

• MA.3.A.2.fGrundanspruchLängen, Gewichte, Inhalte, Zeitpunkte und Zeitdauern schätzen und messen
• MA.3.A.2.iGrundanspruchFlächeninhalte und Volumen (m³) schätzen, umwandeln; Grössen absolut und relativ vergleichen; Distanzen und Zeitdauern für Geschwindigkeitsberechnungen messen
• MA.3.B.1.eGrundanspruchZu Beziehungen zwischen Grössen Fragen formulieren, erforschen, funktionale Zusammenhänge überprüfen
• MA.3.B.1.iGrundanspruchErgebnisse zu funktionalen Zusammenhängen überprüfen, insbesondere durch Interpretation von Tabellen, Graphen und Diagrammen
• MA.3.C.2.dGrundanspruchZu Texten, Tabellen und Diagrammen Fragen stellen, Berechnungen ausführen, Ergebnisse interpretieren und überprüfen
• MA.3.C.2.gGrundanspruchAbhängigkeit zweier Grössen mit Funktionsgraph darstellen; Graphenverläufe interpretieren (Erw: geeignete Skalierung wählen; lineare funktionale Zusammenhänge mit Term beschreiben)
• MA.3.A.2.hGrössen (Geld, Längen, Gewicht/Masse, Zeit, Volumen) schätzen, bestimmen, vergleichen, runden, rechnen, in benachbarte Masseinheiten umwandeln und in zweifach benannten Einheiten schreiben

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee des Abstands ist uralt. Schon im alten Ägypten massen Feldvermesser nach jeder Nilflut die Abstände zwischen Grenzsteinen. Die Fluten hatten die Markierungen weggespült. Die sogenannten Seilspanner legten Seile mit Knoten als Massstab zwischen zwei Punkten an. So entstand eine der ersten praktischen Messkulturen der Menschheit.

Rund 300 v. Chr. fasste der griechische Mathematiker Euklid in seinen berühmten Elementen die Geometrie systematisch zusammen. Er formulierte als Grundsatz: Die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist die Strecke dazwischen. Dieser Satz wirkt heute selbstverständlich. Damals war er ein Meilenstein. Er machte den Abstand zu einer messbaren, eindeutigen Grösse.

Einige Jahrhunderte später entdeckte Pythagoras von Samos den Zusammenhang zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Sein Satz $a^2 + b^2 = c^2$ erlaubt es, Abstände zu berechnen, selbst wenn wir sie nicht direkt messen können. Ohne diesen Satz gäbe es keine moderne Abstandsformel im Koordinatensystem.

Im 17. Jahrhundert verband René Descartes Geometrie und Algebra. Er führte das Koordinatensystem ein, das wir heute nach ihm benennen: kartesisches Koordinatensystem. Mit seinen $x$- und $y$-Koordinaten wurde der Abstand zwischen zwei Punkten zur Rechenaufgabe.

Heute spielt der Abstand eine zentrale Rolle in unzähligen Gebieten. GPS-Geräte berechnen Abstände zwischen Satelliten und deiner Position. Computergrafiken nutzen Abstände, um Schatten und Perspektive zu erzeugen. Roboter orientieren sich im Raum über Abstandsmessungen mit Laser oder Ultraschall. Auch Apps wie Google Maps beruhen auf diesem Grundgedanken: Welcher Weg ist der kürzeste? Die Mathematik dahinter ist direkt aus der Geometrie der Schule gewachsen.

Die Grundlagen

Der Abstand ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Objekten. Keine Umwege, keine Kurven, nur die direkte Strecke. Diese Idee gilt in allen Fällen, die du in diesem Artikel kennenlernst.

In der Geometrie unterscheiden wir drei typische Abstandsarten:

1. Abstand zwischen zwei Punkten
2. Abstand von einem Punkt zu einer Geraden
3. Abstand zwischen zwei parallelen Geraden

Jeder Fall hat seine eigene Regel. Der Gedanke dahinter bleibt aber gleich: Wir suchen den kürzesten Weg. Diese Gemeinsamkeit ist wichtig, damit du den Überblick behältst.

Definition

Der Abstand $d$ zwischen zwei geometrischen Objekten ist die Länge der kürzesten Verbindung zwischen ihnen.

Die Einheit ist eine Längeneinheit, zum Beispiel $\text{cm}$, $\text{m}$ oder $\text{km}$.

Abstände sind immer positiv oder null:

$$d \geq 0$$

Ein Abstand von $0$ bedeutet, dass sich die Objekte berühren oder identisch sind.

Bei der Messung arbeitest du oft mit dem Lot. Das Lot ist eine Strecke, die senkrecht auf einer Geraden steht. Senkrecht bedeutet: Der Winkel zwischen Lot und Gerade beträgt genau $90^\circ$. Das Lot spielt bei den meisten Abstandsaufgaben die Hauptrolle. Wer das Lot beherrscht, beherrscht den Abstand.

Die Kernmethode

Der einfachste Fall: Du hast zwei Punkte $A$ und $B$. Der Abstand ist die Länge der Strecke, die sie verbindet. Diese Strecke ist automatisch der kürzeste Weg.

Definition

Der Abstand $d$ zwischen den Punkten $A$ und $B$ ist die Länge der Strecke $\overline{AB}$.

$$d(A, B) = |\overline{AB}|$$

Bei Koordinaten $A(x_1|y_1)$ und $B(x_2|y_2)$ gilt:

$$d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Diese Formel basiert auf dem Satz des Pythagoras. Die horizontale Differenz $(x_2 - x_1)$ und die vertikale Differenz $(y_2 - y_1)$ bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Der gesuchte Abstand ist die Hypotenuse.

Beim Abstand Punkt–Gerade sieht es anders aus. Hier gibt es unendlich viele mögliche Verbindungen. Nur eine davon ist die kürzeste: das Lot.

Definition

Der Abstand $d(P, g)$ zwischen dem Punkt $P$ und der Geraden $g$ ist die Länge des Lots von $P$ auf $g$.

Der Fusspunkt $F$ ist der Punkt, an dem das Lot die Gerade trifft.

$$d(P, g) = |\overline{PF}| \quad \text{mit} \quad \overline{PF} \perp g$$

Warum ist das Lot der kürzeste Weg? Jede andere Verbindung bildet mit dem Lot ein rechtwinkliges Dreieck. Das Lot ist eine Kathete, die andere Verbindung ist die Hypotenuse. Die Hypotenuse ist immer länger als jede Kathete. Das Lot gewinnt also immer.

Beispiel: Einstieg

Beispiel:

Beispiel 1: Abstand zweier Punkte berechnen

Die Punkte $A(2|1)$ und $B(5|5)$ sind im Koordinatensystem gegeben.

Aufgabe: Berechne den Abstand $d(A, B)$.

Lösung:

Wende die Abstandsformel an:

$$d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Setze die Koordinaten ein:

$$d(A, B) = \sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2}$$$$d(A, B) = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Der Abstand beträgt $5$ Längeneinheiten. Du hast ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten $3$ und $4$ aufgespannt. Die Hypotenuse ist der Abstand.

Beispiel: Aufbauend

Beispiel:

Beispiel 2: Abstand Punkt – horizontale Gerade

Der Punkt $P(4|7)$ liegt oberhalb der horizontalen Geraden $g$ mit der Gleichung $y = 3$.

Aufgabe: Bestimme den Abstand $d(P, g)$ und gib den Fusspunkt $F$ an.

Lösung:

Zuerst überlegst du dir die Geometrie. Die Gerade $g$ ist horizontal. Also verläuft sie waagrecht. Das Lot von $P$ auf $g$ steht senkrecht dazu, also vertikal.

Der Fusspunkt $F$ hat dieselbe $x$-Koordinate wie $P$. Denn das Lot geht gerade nach unten. Die $y$-Koordinate des Fusspunkts entspricht der Geradengleichung:

$$F(4|3)$$

Der Abstand ist die Differenz der $y$-Werte:

$$d(P, g) = |y_P - y_g| = |7 - 3| = 4$$

Der Abstand beträgt $4$ Längeneinheiten. Bei horizontalen oder vertikalen Geraden ist der Abstand also sehr einfach zu bestimmen. Du liest die Differenz direkt aus den Koordinaten ab.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Thema Abstände gibt es einige typische Fehler. Wenn du sie kennst, kannst du sie vermeiden.

Achtung

Stolperstein 1 – Schrägmessung statt Lot:

Viele zeichnen eine schräge Linie vom Punkt zur Geraden und nennen das den Abstand. Das ist falsch. Der Abstand ist IMMER das Lot. Also die senkrechte Verbindung mit Winkel $90^\circ$.

So vermeidest du den Fehler: Zeichne immer zuerst das rechtwinklige Zeichen (kleines Quadrat) am Fusspunkt. Ohne dieses Zeichen ist es kein Lot.

Achtung

Stolperstein 2 – Vorzeichen bei der Differenz:

Bei der Abstandsformel rechnest du $x_2 - x_1$. Das kann negativ sein. Weil wir aber quadrieren, verschwindet das Minuszeichen. Trotzdem vertauschen Lernende oft $A$ und $B$ und werden unsicher.

Merksatz: Die Reihenfolge spielt keine Rolle. $d(A, B) = d(B, A)$. Entscheidend ist nur das Quadrat.

Achtung

Stolperstein 3 – Fusspunkt falsch platzieren:

Der Fusspunkt liegt IMMER auf der Geraden. Nie daneben. Nie davor. Wenn dein Fusspunkt nicht auf $g$ liegt, hast du das Lot falsch gezeichnet.

Tipp: Lege ein Geodreieck an die Gerade, sodass die $90^\circ$-Markierung zu deinem Punkt zeigt. Der Berührungspunkt ist $F$.

Achtung

Stolperstein 4 – Abstand negativ angeben:

Ein Abstand ist nie negativ. Wenn du beim Rechnen eine negative Zahl erhältst, hast du den Betrag vergessen. Oder du hast das Minuszeichen vor dem Wurzelsymbol übernommen.

Kontrolle: Am Ende sollte immer $d \geq 0$ stehen. Die positive Wurzel und der Betrag sind deine Freunde.

Beispiel: Komplex

Beispiel:

Beispiel 3: Abstand zwischen parallelen Geraden

Zwei parallele Geraden sind gegeben. Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = 2$. Die Gerade $h$ hat die Gleichung $y = 9$.

Aufgabe: Bestimme den Abstand $d(g, h)$.

Lösung:

Beide Geraden sind horizontal. Sie verlaufen waagrecht. Zwischen ihnen ist der Abstand überall gleich. Das ist die Konstanz des Parallelenabstands.

Wähle einen beliebigen Punkt auf $g$, zum Beispiel $P(0|2)$. Fälle das Lot von $P$ auf $h$. Das Lot steht senkrecht auf $h$, also vertikal. Der Fusspunkt ist:

$$F(0|9)$$

Die Länge des Lots ist:

$$d(g, h) = |9 - 2| = 7$$

Der Abstand beträgt $7$ Längeneinheiten. Bei zwei parallelen horizontalen Geraden nimmst du einfach die Differenz der $y$-Werte. Bei vertikalen Parallelen nutzt du die $x$-Werte.

Wichtig: Nicht parallele Geraden schneiden sich. Dort hat ein Abstand keinen festen Wert.

Beispiel: Transfer

Beispiel:

Beispiel 4: Kürzester Weg vom Haus zur Strasse

Ein Haus steht bei Punkt $H(3|8)$. Eine gerade Strasse verläuft entlang der $x$-Achse. Die Strassengleichung lautet $y = 0$.

Aufgabe: Wie lang ist der kürzeste Fussweg vom Haus zur Strasse? Wo triffst du auf die Strasse?

Lösung:

Die Strasse ist horizontal. Das Lot vom Haus zur Strasse verläuft vertikal, also senkrecht nach unten. Du musst keine schräge Abkürzung nehmen. Der senkrechte Weg ist immer der kürzeste.

Der Fusspunkt $F$ hat dieselbe $x$-Koordinate wie $H$. Die $y$-Koordinate ist $0$:

$$F(3|0)$$

Du triffst die Strasse also beim Punkt mit $x = 3$.

Die Länge des Lots berechnest du als Differenz der $y$-Werte:

$$d(H, \text{Strasse}) = |8 - 0| = 8$$

Der kürzeste Weg ist $8$ Längeneinheiten lang. Diese Überlegung nutzt du auch in der Praxis: Beim Bauen eines Gartenwegs zur Strasse wählt man den senkrechten Weg. So spart man Material und Zeit.

Vertiefung

Die Abstandsformel lässt sich nicht nur für zwei Punkte in der Ebene verwenden. Sie funktioniert auch im dreidimensionalen Raum. Dort kommt eine dritte Koordinate $z$ dazu.

Definition

Für zwei Punkte $A(x_1|y_1|z_1)$ und $B(x_2|y_2|z_2)$ im Raum gilt:

$$d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Die Formel ist eine direkte Erweiterung des Satzes von Pythagoras auf drei Dimensionen.

Ein weiteres spannendes Konzept ist der Ortsbegriff. Alle Punkte, die von einem festen Punkt $M$ denselben Abstand $r$ haben, bilden einen Kreis (in der Ebene) oder eine Kugel (im Raum). Der Radius $r$ ist also ein fester Abstand. Das ist die Grundlage aller Kreis- und Kugelkonstruktionen.

Alle Punkte, die von zwei festen Punkten $A$ und $B$ denselben Abstand haben, bilden eine Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$. Die Mittelsenkrechte steht senkrecht auf der Strecke und geht durch deren Mittelpunkt. Sie ist ein zentraler Baustein vieler Konstruktionen, zum Beispiel beim Umkreis eines Dreiecks.

Alle Punkte, die von zwei sich schneidenden Geraden denselben Abstand haben, liegen auf der Winkelhalbierenden. Dieses Konzept verbindet Abstand und Winkel auf elegante Weise.

In modernen Anwendungen spielt der Abstand eine Schlüsselrolle. GPS berechnet deine Position aus Abständen zu Satelliten. Grafikprogramme sortieren Objekte nach Abstand zur Kamera, um Vordergrund und Hintergrund richtig darzustellen. Selbstfahrende Autos messen laufend Abstände zu anderen Fahrzeugen, Fussgängern und Hindernissen. Hinter all dem steckt dieselbe einfache Idee aus deinem Matheunterricht.

Beispiel: Vertiefung

Beispiel:

Beispiel 5: Abstand zweier Punkte im 3D-Raum

In einem Raum sind zwei Punkte gegeben: Eine Lampe hängt bei $L(2|3|5)$ an der Decke. Ein Tischchen steht bei $T(6|6|1)$ am Boden.

Aufgabe: Berechne den Abstand zwischen Lampe und Tischchen.

Lösung:

Verwende die 3D-Abstandsformel:

$$d(L, T) = \sqrt{(x_T - x_L)^2 + (y_T - y_L)^2 + (z_T - z_L)^2}$$

Setze die Werte ein:

$$d(L, T) = \sqrt{(6-2)^2 + (6-3)^2 + (1-5)^2}$$

Rechne die Differenzen aus:

$$d(L, T) = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-4)^2}$$$$d(L, T) = \sqrt{16 + 9 + 16} = \sqrt{41}$$

Der exakte Abstand ist $\sqrt{41}$ Längeneinheiten. Gerundet sind das etwa $6{,}40$ Längeneinheiten. Die Formel bleibt also genau gleich wie in der Ebene. Du addierst einfach ein drittes Quadrat unter der Wurzel.

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben der Reihe nach. Sie sind nach Schwierigkeit aufsteigend sortiert. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Berechne den Abstand zwischen $A(0|0)$ und $B(6|8)$.

Aufgabe 2: Bestimme den Abstand der Punkte $P(3|2)$ und $Q(3|10)$.

Aufgabe 3: Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = 1$. Wie gross ist der Abstand des Punkts $R(4|6)$ von $g$?

Aufgabe 4: Zwei parallele horizontale Geraden sind $g: y = -2$ und $h: y = 5$. Bestimme $d(g, h)$.

Aufgabe 5: Berechne den Abstand der Punkte $C(-2|3)$ und $D(4|-5)$.

Aufgabe 6: Die Gerade $g$ ist die $y$-Achse, also $x = 0$. Wie gross ist der Abstand von $S(7|3)$ zu $g$?

Aufgabe 7: Zwei vertikale Parallelen sind $g: x = -3$ und $h: x = 4$. Berechne den Abstand.

Aufgabe 8: Ein Flughafen liegt bei $F(10|2)$. Eine gerade Autobahn verläuft entlang der Geraden $y = 12$. Wie lang ist der kürzeste Weg zur Autobahn?

Aufgabe 9: Berechne den Abstand der Punkte im 3D-Raum: $A(1|2|3)$ und $B(4|6|3)$.

Aufgabe 10: Drei Punkte bilden ein Dreieck: $A(0|0)$, $B(6|0)$ und $C(3|4)$. Berechne alle drei Seitenlängen und prüfe, ob das Dreieck gleichschenklig ist.

Das Wichtigste in Kürze

Der Abstand ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Objekten. Bei zwei Punkten ist das die Strecke dazwischen. Die Abstandsformel folgt aus dem Satz des Pythagoras.

Beim Abstand zwischen Punkt und Gerade nutzt du das Lot. Das Lot steht senkrecht auf der Geraden. Der Fusspunkt liegt auf der Geraden. Die Länge des Lots ist der gesuchte Abstand.

Bei parallelen Geraden ist der Abstand überall gleich. Du kannst ihn an jeder Stelle messen. Bei horizontalen oder vertikalen Parallelen genügt die Differenz der Koordinaten.

Die Abstandsformel gilt auch im 3D-Raum. Du fügst einfach das Quadrat der $z$-Differenz hinzu. So berechnen Computer, Roboter und GPS-Systeme Entfernungen in der echten Welt.

Quiz

❓ Frage:

Wie heisst der Punkt, an dem das Lot auf die Gerade trifft?

Lösung anzeigen

Der Fusspunkt. Er liegt immer auf der Geraden und markiert das Ende des Lots.

❓ Frage:

Die Punkte $A(1|2)$ und $B(1|7)$ haben dieselbe $x$-Koordinate. Wie gross ist ihr Abstand?

Lösung anzeigen

Da die $x$-Koordinaten gleich sind, ist der Abstand $|7 - 2| = 5$ Längeneinheiten.

❓ Frage:

Zwei parallele Geraden haben an einer Stelle den Abstand $6 \, \text{cm}$. Wie gross ist ihr Abstand an einer anderen Stelle?

Lösung anzeigen

Ebenfalls $6 \, \text{cm}$. Der Abstand zwischen Parallelen ist überall gleich (konstant).

❓ Frage:

Auf welchem mathematischen Satz basiert die Abstandsformel im Koordinatensystem?

Lösung anzeigen

Auf dem Satz des Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$. Die Koordinatendifferenzen sind die Katheten, der Abstand ist die Hypotenuse.

❓ Frage:

Was ist der Abstand zwischen dem Punkt $P(5|5)$ und dem Punkt $P(5|5)$?

Lösung anzeigen

Der Abstand ist $0$. Es handelt sich um denselben Punkt. Ein Abstand von $0$ bedeutet, dass die Objekte identisch sind oder sich berühren.

Ausblick

Abstände sind ein Tor zu vielen weiteren Themen. Im nächsten Schritt lernst du, wie die Mittelsenkrechte als Ort aller Punkte mit gleichem Abstand zu zwei gegebenen Punkten funktioniert. Danach geht es zum Kreis, dessen Radius ein fester Abstand zum Mittelpunkt ist. Später nutzt du Abstände bei Dreieckskonstruktionen, bei der Berechnung von Flächen und beim Satz des Pythagoras. In höheren Klassen kommen Vektoren dazu, mit denen du Abstände noch flexibler berechnest.

Lösungen

Lösung Aufgabe 1:

$$d(A, B) = \sqrt{(6-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Der Abstand beträgt $10$ Längeneinheiten. Dies ist das bekannte $6$-$8$-$10$-Dreieck.

Lösung Aufgabe 2:

Die $x$-Koordinaten sind gleich, also $x = 3$. Der Abstand ist die Differenz der $y$-Werte:

$$d(P, Q) = |10 - 2| = 8$$

Der Abstand beträgt $8$ Längeneinheiten.

Lösung Aufgabe 3:

Die Gerade $y = 1$ ist horizontal. Das Lot steht vertikal. Der Fusspunkt ist $F(4|1)$.

$$d(R, g) = |6 - 1| = 5$$

Der Abstand beträgt $5$ Längeneinheiten.

Lösung Aufgabe 4:

Beide Geraden sind horizontal. Der Abstand ist die Differenz der $y$-Werte:

$$d(g, h) = |5 - (-2)| = |5 + 2| = 7$$

Der Abstand beträgt $7$ Längeneinheiten.

Lösung Aufgabe 5:

Setze in die Abstandsformel ein:

$$d(C, D) = \sqrt{(4-(-2))^2 + (-5-3)^2}$$ $$d(C, D) = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Der Abstand beträgt $10$ Längeneinheiten.

Lösung Aufgabe 6:

Die $y$-Achse ist die Gerade $x = 0$. Sie ist vertikal. Das Lot steht horizontal. Der Fusspunkt ist $F(0|3)$.

$$d(S, g) = |7 - 0| = 7$$

Der Abstand beträgt $7$ Längeneinheiten.

Lösung Aufgabe 7:

Beide Geraden sind vertikal. Der Abstand ist die Differenz der $x$-Werte:

$$d(g, h) = |4 - (-3)| = |4 + 3| = 7$$

Der Abstand beträgt $7$ Längeneinheiten.

Lösung Aufgabe 8:

Die Autobahn ist horizontal ($y = 12$). Das Lot vom Flughafen verläuft senkrecht. Der Fusspunkt ist $F(10|12)$.

$$d(F, \text{Autobahn}) = |12 - 2| = 10$$

Der kürzeste Weg beträgt $10$ Längeneinheiten.

Lösung Aufgabe 9:

Verwende die 3D-Abstandsformel:

$$d(A, B) = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (3-3)^2}$$ $$d(A, B) = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$$

Der Abstand beträgt $5$ Längeneinheiten. Da die $z$-Werte gleich sind, liegt der Fall effektiv wieder in einer Ebene.

Lösung Aufgabe 10:

Berechne die drei Seitenlängen einzeln.

Seite $\overline{AB}$:

$$d(A, B) = \sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{36} = 6$$

Seite $\overline{BC}$:

$$d(B, C) = \sqrt{(3-6)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Seite $\overline{AC}$:

$$d(A, C) = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Die Seiten $\overline{BC}$ und $\overline{AC}$ sind beide $5$ Längeneinheiten lang. Das Dreieck ist also gleichschenklig. Die Seite $\overline{AB}$ mit $6$ Längeneinheiten ist die Basis.

Verwandte Themen

• Zusammenhänge im Dreieck – Seiten, Winkel und besondere Linien
• Die Mittelsenkrechte verstehen und konstruieren
• Besondere Dreiecke erkennen und verstehen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport