Prozent- und Zinsrechnung

Darum geht's

”$30\,\%$ Rabatt auf alle Schuhe!”, “Die Mieten sind um $4{,}2\,\%$ gestiegen”, ”$2\,\%$ Zins aufs Sparkonto”. Prozente sind die Sprache der modernen Welt — sobald es um Anteile, Veränderungen oder Geld geht, steht irgendwo ein Prozentzeichen. Wer Prozent- und Zinsrechnung sicher beherrscht, versteht Nachrichten besser, erkennt Werbetricks und verwaltet sein Geld cleverer.

In diesem Kapitel lernst du die drei zentralen Grössen der Prozentrechnung, rechnest im Kopf und rückwärts, verstehst Zinsen und Zinseszins — und siehst, warum Wachstum und Zerfall dieselbe Mathematik benutzen.

Worum geht es?

Ein Prozent ist nichts anderes als ein Bruch mit dem Nenner $100$: $25\,\% = \tfrac{25}{100} = \tfrac{1}{4} = 0{,}25$. Die drei Darstellungen — Prozent, Bruch, Dezimalzahl — beschreiben denselben Anteil und lassen sich jederzeit ineinander umwandeln.

Die Prozentrechnung arbeitet mit drei Grössen, die immer miteinander verknüpft sind:

• Grundwert ($G$) — das “Ganze”, der Bezugswert (z. B. der Originalpreis).
• Prozentsatz ($p\,\%$) — der Anteil in Prozent (z. B. $20\,\%$ Rabatt).
• Prozentwert ($W$) — der absolute Betrag dieses Anteils (z. B. $20\,\text{CHF}$ vom $100\,\text{CHF}$-Preis).

Die Beziehung: $W = G \cdot \tfrac{p}{100}$. Je nachdem welche zwei Grössen du kennst, löst du nach der dritten auf. Das ist die ganze Prozentrechnung in einer Formel.

Zinsen sind die Prozentrechnung der Banken: Das Kapital $K$ ist der Grundwert, der Zinssatz $p\,\%$ der Prozentsatz, die Zinsen $Z$ der Prozentwert. Der Unterschied zur gewöhnlichen Prozentrechnung: Zinsen wachsen über die Zeit. Und wenn bei Zinseszinsen die Zinsen des Vorjahres mitverzinst werden, wird aus linearem Rechnen exponentielles Wachstum — mit manchmal überraschenden Ergebnissen.

Was du schon können solltest

Dieses Kapitel baut direkt auf zwei Themen der 5./6. Klasse auf:

• Brüche und Dezimalzahlen — jedes Prozent lässt sich als Bruch oder Dezimalzahl schreiben,
• der Dreisatz — jede Prozentaufgabe ist im Grunde ein Dreisatz.

Ausserdem brauchst du Routine im Kopfrechnen mit $10, 100, 1000$ — das macht den Unterschied zwischen “fünf Minuten” und “fünf Sekunden” pro Aufgabe.

Was du in diesem Kapitel lernst

Dreizehn Lektionen, die dich vom Grundbegriff bis zu Zinseszinsen und Wachstumsprozessen führen:

1. Anteile und Prozente — was Anteile sind und wie du sie in Prozent umrechnest.
2. Grundbegriffe Prozentrechnung — Grundwert, Prozentsatz, Prozentwert und die zentrale Formel.
3. Prozentrechnen im Kopf — Tricks wie ”$10\,\%$ = Komma eins nach links” oder ”$25\,\%$ = durch $4$”.
4. Prozentwert — gegeben Grundwert und Prozentsatz, gesucht Prozentwert.
5. Grundwert — gegeben Prozentwert und Prozentsatz, gesucht Grundwert (Rückwärtsrechnen).
6. Prozentsatz — gegeben beide Werte, gesucht der Prozentsatz.
7. Prozentrechnung rückwärts — klassischer Typ: “Nach $20\,\%$ Rabatt kostet es $40\,\text{CHF}$ — was war der Originalpreis?”
8. Prozentuale Änderungen — Zunahme, Abnahme und die gefürchtete Frage “Wenn etwas zuerst um $20\,\%$ steigt und dann um $20\,\%$ fällt, hat es sich geändert?” (Ja — um $4\,\%$).
9. Zinsen als besondere Prozente — Kapital, Zinssatz, Jahreszins.
10. Kapital und Jahreszinsen — einfache Zinsrechnung für ein volles Jahr.
11. Zinsen in Abhängigkeit von der Zeit — Monats- und Tageszinsen.
12. Zinseszinsen — wenn Zinsen wieder verzinst werden: $K_n = K_0 \cdot (1 + \tfrac{p}{100})^n$.
13. Wachstum und Zerfall — dieselbe Formel angewendet auf Biologie, Physik, Finanz.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Grundwert ($G$) — der Bezugswert, das “Ganze”.
• Prozentsatz ($p\,\%$) — der Anteil in Prozent.
• Prozentwert ($W$) — der absolute Anteil: $W = G \cdot \tfrac{p}{100}$.
• Kapital ($K$) — beim Zinsen der Grundwert.
• Zinssatz ($p\,\%$) — Prozentsatz der Zinsen pro Jahr.
• Zinseszins — Zinsen, die auf bereits erhaltene Zinsen weiter verzinst werden.
• Wachstumsfaktor — der Faktor $(1 + \tfrac{p}{100})$ für Zunahme bzw. $(1 - \tfrac{p}{100})$ für Abnahme.

Häufige Denkfehler

Achtung

Die Hälfte aller Prozent-Fehler in Prüfungen entsteht beim Bestimmen des Grundwerts — also der Frage, auf welche Zahl sich der Prozentsatz eigentlich bezieht.

1. ”$100\,\text{CHF}$ um $20\,\%$ erhöht und dann um $20\,\%$ reduziert ergibt wieder $100\,\text{CHF}$.” Nein. $100 \to 120 \to 96$. Der zweite Prozentsatz bezieht sich auf den neuen Grundwert $120$, nicht auf den ursprünglichen.
2. ”$5\,\%$ von $200$ ist dasselbe wie $200\,\%$ von $5$.” Tatsächlich ja — beides ergibt $10$. Aber der Bezugswert ist völlig unterschiedlich. Bei Textaufgaben entscheidet der Bezug darüber, ob die Rechnung sinnvoll ist.
3. “Bei $4\,\%$ Zins pro Jahr verdoppelt sich das Geld in $25$ Jahren.” Mit einfachen Zinsen ja, mit Zinseszinsen schon nach etwa $18$ Jahren. Die $\textbf{72er-Faustregel}$: Verdopplungszeit in Jahren $\approx \tfrac{72}{p}$.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Prozent- und Zinsrechnung gehören zu MA.3 – Grössen, Funktionen, Daten, 3. Zyklus:

• MA.3.A.3 – Prozentrechnung anwenden; Prozentwert, Grundwert, Prozentsatz.
• MA.3.A.4 – Zinsen und Zinseszinsen berechnen.
• MA.3.C.3 – Wachstums- und Zerfallsprozesse mit Prozenten darstellen.

Die Berechnung von Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz gilt als Grundanspruch. Zinseszins und exponentielles Wachstum gehören zur Erweiterung und werden im 9. Schuljahr konsolidiert.

Die Themen im Überblick

• Anteile und Prozente
• Grundbegriffe Prozentrechnung
• Prozentrechnen im Kopf
• Prozentwert
• Grundwert
• Prozentsatz
• Prozentrechnung rückwärts
• Prozentuale Änderungen
• Zinsen als besondere Prozente
• Kapital und Jahreszinsen
• Zinsen in Abhängigkeit von der Zeit
• Zinseszinsen
• Wachstum und Zerfall

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport