Brüche verstehen: Bruchteile und Bruchzahlen Schritt für Schritt erklärt

Darum geht's

Stell dir vor, du teilst eine Pizza fair mit drei Freunden. Jeder bekommt ein Viertel. Oder du backst einen Kuchen und das Rezept verlangt dreiviertel Liter Milch. Solche Situationen begegnen dir täglich. Überall tauchen Teile von Ganzen auf. Genau diese Teile beschreibt die Mathematik mit Brüchen. In diesem Kapitel lernst du, was Zähler und Nenner bedeuten, wie du Bruchteile erkennst und berechnest, und warum Brüche eine der elegantesten Ideen der Mathematik sind. Am Ende beherrschst du Brüche sicher – von der Grundidee bis zur Berechnung von Bruchteilen.

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Bruchzahlen“
• Als Nächstes: Unechte Brüche und gemischte Zahlen
• Bruchteil von einer Menge berechnen

Eine kleine Zeitreise

Brüche sind keine moderne Erfindung. Menschen haben schon vor Tausenden von Jahren Teile von Ganzen beschreiben müssen.

Ägypten vor 4000 Jahren

Die alten Ägypter verwendeten Brüche bereits um 1800 vor Christus. Das beweist der berühmte Rhind-Papyrus, ein Mathematiklehrbuch aus jener Zeit. Die Ägypter schrieben Brüche aber ganz anders als wir. Sie verwendeten fast ausschliesslich Stammbrüche – also Brüche, bei denen der Zähler immer $1$ ist. Den Bruch $\dfrac{3}{4}$ hätten sie als Summe geschrieben: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}$.

Um einen Stammbruch darzustellen, schrieben sie ein Auge (das Hieroglyphen-Symbol für “Teil”) über die Zahl des Nenners. Das war eine clevere, aber auch umständliche Methode.

Die Babylonier und ihr Sexagesimalsystem

Die Babylonier in Mesopotamien gingen einen anderen Weg. Sie arbeiteten mit einem Zahlensystem auf der Basis $60$. Deshalb teilten sie den Tag in $24$ Stunden, jede Stunde in $60$ Minuten und jede Minute in $60$ Sekunden. Dieses System verwenden wir heute noch. Wenn du auf die Uhr schaust und “Viertel nach zwei” sagst, denkst du babylonisch.

Indien und die heutige Schreibweise

Die Schreibweise, die du heute kennst – Zähler über Nenner mit Bruchstrich – stammt aus Indien. Indische Mathematiker entwickelten sie etwa im 7. Jahrhundert nach Christus. Arabische Gelehrte übernahmen diese Notation und brachten sie nach Europa. Im 13. Jahrhundert verbreitete sich die Schreibweise durch den italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci in ganz Europa.

Der Bruchstrich, den du heute selbstverständlich benutzt, hat also eine Reise von Indien über Arabien nach Europa gemacht – über mehr als 1000 Jahre.

Brüche heute

Heute sind Brüche ein unverzichtbares Werkzeug in Mathematik, Naturwissenschaft und Alltag. Von der Prozentrechnung bis zur Wahrscheinlichkeitsrechnung – alles baut auf der einfachen Idee auf, die du in diesem Kapitel lernst.

Die Grundlagen

Kehren wir zur Pizza zurück. Du teilst sie in vier gleiche Stücke. Mathematisch hast du das Ganze in vier gleiche Teile zerlegt. Ein Stück davon ist ein von vier Teilen. Das schreibst du als:

$$\frac{1}{4}$$

Dieser Bruch besteht aus drei Elementen: dem Zähler oben, dem Bruchstrich in der Mitte und dem Nenner unten.

Der Nenner: Wie viele gleiche Teile?

Der Nenner steht unter dem Bruchstrich. Er gibt an, in wie viele gleich grosse Teile das Ganze zerlegt wird. Bei der Pizza mit vier Stücken ist der Nenner $4$.

Gleich grosse Teile sind entscheidend. Wenn du eine Pizza in unterschiedlich grosse Stücke schneidest, funktioniert der Bruch nicht.

Der Zähler: Wie viele Teile nimmst du?

Der Zähler steht über dem Bruchstrich. Er sagt dir, wie viele dieser gleichen Teile du betrachtest. Nimmst du zwei Pizzastücke, ist der Zähler $2$:

$$\frac{2}{4}$$

Das liest du als “zwei Viertel”.

Definition

Ein Bruch beschreibt einen oder mehrere gleich grosse Teile eines Ganzen.

$$\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}$$

• Der Zähler (oben) gibt an, wie viele Teile genommen werden.
• Der Nenner (unten) gibt an, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt wurde.

Der Bruchstrich ist ein Divisionszeichen:

$$\frac{a}{b} = a \div b$$

Merkhilfe: Der Nenner steht unten – beide Wörter enthalten den Buchstaben “n”.

Brüche richtig lesen

Brüche haben eigene Namen, die sich aus dem Nenner ableiten. Die wichtigsten Bruchnamen:

Bruch	Name	Bedeutung
$\dfrac{1}{2}$	ein Halb	1 von 2 gleichen Teilen
$\dfrac{1}{3}$	ein Drittel	1 von 3 gleichen Teilen
$\dfrac{1}{4}$	ein Viertel	1 von 4 gleichen Teilen
$\dfrac{1}{5}$	ein Fünftel	1 von 5 gleichen Teilen
$\dfrac{1}{8}$	ein Achtel	1 von 8 gleichen Teilen
$\dfrac{1}{10}$	ein Zehntel	1 von 10 gleichen Teilen

Ab Nenner $5$ hängst du einfach “-tel” an die Zahl. Aus “sechs” wird “Sechstel”, aus “zwölf” wird “Zwölftel”. Wenn der Zähler grösser als $1$ ist, sagst du die Anzahl davor: $\dfrac{3}{4}$ ist “drei Viertel”, $\dfrac{7}{8}$ ist “sieben Achtel”.

Die Kernmethode

Das Berechnen von Bruchteilen ist die wichtigste Fähigkeit in diesem Kapitel. Du brauchst sie beim Kochen, beim Einkaufen und in Textaufgaben. Die gute Nachricht: Es funktioniert immer nach demselben Schema.

Definition

Um $\dfrac{z}{n}$ einer Grösse $G$ zu berechnen, gehst du in zwei Schritten vor:

Schritt 1: Teile die Grösse durch den Nenner.

$$G \div n = \text{ein Teil}$$

Schritt 2: Multipliziere das Ergebnis mit dem Zähler.

$$(G \div n) \cdot z = \text{gesuchter Bruchteil}$$

Kurzformel:

$$\frac{z}{n} \text{ von } G = G \div n \cdot z$$

Warum funktioniert das? Im ersten Schritt findest du einen einzigen Teil (zum Beispiel ein Fünftel). Im zweiten Schritt nimmst du so viele dieser Teile, wie der Zähler angibt.

Echte, unechte Brüche und gemischte Zahlen

Je nach Grösse von Zähler und Nenner unterscheidest du drei Arten von Brüchen:

• Echter Bruch: Zähler ist kleiner als Nenner. Der Wert liegt zwischen $0$ und $1$. Beispiel: $\dfrac{3}{5}$
• Unechter Bruch: Zähler ist grösser oder gleich dem Nenner. Der Wert ist mindestens $1$. Beispiel: $\dfrac{7}{4}$
• Gemischte Zahl: Eine ganze Zahl und ein echter Bruch zusammen. Beispiel: $1\dfrac{3}{4}$

Unechte Brüche und gemischte Zahlen beschreiben denselben Wert. Um $\dfrac{11}{4}$ in eine gemischte Zahl umzuwandeln, rechnest du: $11 \div 4 = 2$ Rest $3$, also $2\dfrac{3}{4}$. Umgekehrt gilt: $2\dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \dfrac{11}{4}$.

Beispiel:

Beispiel 1: Bruchteile einer Figur bestimmen

Ein Rechteck ist in $8$ gleiche Teile geteilt. Davon sind $5$ Teile rot gefärbt. Welcher Bruchteil des Rechtecks ist rot?

Lösung:

Schritt 1: Bestimme den Nenner.

Das Rechteck wurde in $8$ gleiche Teile geteilt. Der Nenner ist $8$.

Schritt 2: Bestimme den Zähler.

Es sind $5$ Teile rot gefärbt. Der Zähler ist $5$.

Schritt 3: Schreibe den Bruch.

$$\frac{5}{8}$$

Antwort: $\dfrac{5}{8}$ des Rechtecks sind rot gefärbt.

Zur Kontrolle: Ist es ein echter Bruch? Ja, denn $5 < 8$. Der gefärbte Teil ist kleiner als das ganze Rechteck – das passt.

Beispiel:

Beispiel 2: Bruchteil einer Menge berechnen

Eine Klasse hat $30$ Schülerinnen und Schüler. $\dfrac{2}{5}$ der Klasse fahren mit dem Velo zur Schule. Wie viele Schülerinnen und Schüler sind das?

Lösung:

Schritt 1: Berechne ein Fünftel der Klasse.

$$30 \div 5 = 6 \text{ Schülerinnen und Schüler}$$

Schritt 2: Berechne zwei Fünftel.

$$6 \cdot 2 = 12 \text{ Schülerinnen und Schüler}$$

Antwort: $12$ Schülerinnen und Schüler fahren mit dem Velo zur Schule.

Kontrollrechnung:

$$\frac{2 \cdot 30}{5} = \frac{60}{5} = 12 \checkmark$$

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Zähler und Nenner verwechseln: Viele Schülerinnen und Schüler schreiben den Nenner oben und den Zähler unten. Merke dir: Der Nenner steht unten. Beide Wörter enthalten ein “n”. Der Nenner “nennt” die Anzahl der Teile – er steht unten und beschreibt die Grundaufteilung.

Achtung

Ungleiche Teile akzeptieren: Ein Bruch funktioniert nur, wenn alle Teile gleich gross sind. Wenn du eine Schokoladentafel in unterschiedlich grosse Stücke brichst, kannst du nicht einfach zählen und einen Bruch schreiben. Die Gleichheit der Teile ist die Grundbedingung jedes Bruchs.

Achtung

Den Bruchstrich als Minuszeichen lesen: Der Bruchstrich ist kein Minus. Er bedeutet “geteilt durch”. Der Bruch $\dfrac{3}{4}$ ist nicht $3 - 4 = -1$, sondern $3 \div 4 = 0{,}75$. Diese Verwechslung führt zu komplett falschen Ergebnissen.

Achtung

Bei gemischten Zahlen die Ganzen vergessen: Bei $3\dfrac{2}{5}$ musst du die $3$ ganzen Teile mitrechnen. Der unechte Bruch lautet $\dfrac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \dfrac{17}{5}$, nicht $\dfrac{2}{5}$. Ein häufiger Fehler ist, nur den Bruchteil umzurechnen und die ganze Zahl zu vergessen.

Beispiel:

Beispiel 3: Gemischte Zahl in unechten Bruch umwandeln

Wandle $3\dfrac{5}{8}$ in einen unechten Bruch um.

Lösung:

Schritt 1: Bestimme, wie viele Achtel die ganzen Teile ergeben.

$$3 \text{ Ganze} = 3 \cdot 8 \text{ Achtel} = 24 \text{ Achtel}$$

Schritt 2: Addiere die Achtel aus dem Bruchteil.

$$24 + 5 = 29 \text{ Achtel}$$

Schritt 3: Schreibe das Ergebnis als Bruch.

$$3\frac{5}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{29}{8}$$

Antwort: $3\dfrac{5}{8} = \dfrac{29}{8}$

Probe: $29 \div 8 = 3$ Rest $5$, also $3\dfrac{5}{8}$ ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Das Ganze aus einem Bruchteil berechnen

$\dfrac{3}{4}$ eines Weges sind $18 \, \text{km}$. Wie lang ist der gesamte Weg?

Lösung:

Schritt 1: Berechne ein Viertel des Weges.

Wenn $\dfrac{3}{4}$ des Weges $18 \, \text{km}$ sind, dann ist ein Viertel:

$$18 \, \text{km} \div 3 = 6 \, \text{km}$$

Schritt 2: Berechne das Ganze (vier Viertel).

$$6 \, \text{km} \cdot 4 = 24 \, \text{km}$$

Antwort: Der gesamte Weg ist $24 \, \text{km}$ lang.

Probe: $\dfrac{3}{4}$ von $24 \, \text{km}$ = $24 \div 4 \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18 \, \text{km}$ ✓

Vertiefung

Du weisst jetzt, was Brüche sind und wie du Bruchteile berechnest. Nun schauen wir uns zwei fortgeschrittene Ideen an, die direkt auf diesen Grundlagen aufbauen.

Brüche auf dem Zahlenstrahl

Brüche sind keine Ausnahme im Zahlensystem – sie sind vollwertige Zahlen mit einem festen Platz auf dem Zahlenstrahl. Der Bruch $\dfrac{3}{4}$ liegt zwischen $0$ und $1$, genau drei Viertel des Weges von $0$ nach $1$.

Um $\dfrac{3}{4}$ einzutragen: Teile die Strecke von $0$ bis $1$ in vier gleiche Abschnitte. Zähle drei Abschnitte von $0$ ab. Dort liegt $\dfrac{3}{4}$.

Der Zahlenstrahl hilft dir auch beim Vergleichen: Der Bruch, der weiter rechts liegt, ist grösser. So siehst du sofort, dass $\dfrac{3}{4}$ grösser ist als $\dfrac{1}{2}$, denn $\dfrac{3}{4}$ liegt weiter rechts.

Brüche in anderen Darstellungen

Brüche lassen sich auf drei Arten darstellen: als Kreisdiagramm, als Rechteckmodell und auf dem Zahlenstrahl. Jede Darstellung hat Stärken.

Das Kreisdiagramm ist anschaulich für kleine Nenner wie $2$, $3$, $4$, $6$, $8$. Das Rechteckmodell funktioniert auch bei ungeraden Nennern gut. Es lässt sich leicht in gleiche Streifen aufteilen. Der Zahlenstrahl zeigt dir, wo ein Bruch im Zahlensystem liegt.

Brüche im Alltag

Definition

Brüche begegnen dir in vielen Lebensbereichen:

• Zeit: $\dfrac{1}{4}$ Stunde = 15 Minuten, $\dfrac{3}{4}$ Stunde = 45 Minuten
• Kochen: $\dfrac{1}{2}$ Liter Milch, $\dfrac{3}{4}$ Tasse Mehl
• Musik: Halbe Note, Viertelnote, Achtelnote – alles Brüche der ganzen Note
• Einkaufen: ”$\dfrac{1}{3}$ Rabatt” bedeutet, du zahlst $\dfrac{2}{3}$ des Preises
• Sport: Halbzeit, Viertelfinale, Achtelfinale

Wenn du Brüche im Alltag erkennst, verstehst du die Sprache um dich herum besser.

Gleiche Werte, verschiedene Brüche

Ein wichtiges Prinzip: Verschiedene Brüche können denselben Wert haben. Die halbe Pizza lässt sich schreiben als $\dfrac{1}{2}$, aber auch als $\dfrac{2}{4}$ oder als $\dfrac{4}{8}$. Alle drei Brüche beschreiben dieselbe Menge. Man nennt sie gleichwertige Brüche.

Das wirst du im nächsten Kapitel ausführlich lernen – beim Erweitern und Kürzen von Brüchen.

Beispiel:

Beispiel 5: Bruchteil im Alltagskontext

Ein Rezept für $4$ Personen braucht $600 \, \text{g}$ Mehl. Du backst nur für $3$ Personen. Das entspricht $\dfrac{3}{4}$ der Menge. Wie viel Mehl brauchst du?

Lösung:

Schritt 1: Berechne ein Viertel der Mehlmenge.

$$600 \, \text{g} \div 4 = 150 \, \text{g}$$

Schritt 2: Berechne drei Viertel.

$$150 \, \text{g} \cdot 3 = 450 \, \text{g}$$

Antwort: Für $3$ Personen brauchst du $450 \, \text{g}$ Mehl.

Überlegung: Das macht Sinn. Drei Viertel von $600 \, \text{g}$ sind etwas weniger als die volle Menge. $450 \, \text{g}$ liegt zwischen $300 \, \text{g}$ (Hälfte) und $600 \, \text{g}$ (Ganzes) – das passt.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne bei Aufgabe 1 und arbeite dich vor. Aufgaben 1–4 sind Grundaufgaben. Aufgaben 5–7 sind mittelschwer. Aufgaben 8–10 sind anspruchsvoller.

Aufgabe 1 Schreibe den Bruch in Worten und bestimme Zähler und Nenner: a) $\dfrac{3}{7}$ b) $\dfrac{5}{12}$ c) $\dfrac{9}{10}$

Aufgabe 2 Ein Rechteck ist in $10$ gleiche Teile geteilt. $7$ Teile sind gelb. Welcher Bruchteil ist gelb? Welcher Bruchteil ist nicht gelb?

Aufgabe 3 Entscheide: Echter Bruch, unechter Bruch oder gemischte Zahl? a) $\dfrac{4}{9}$ b) $\dfrac{11}{6}$ c) $3\dfrac{1}{4}$ d) $\dfrac{7}{7}$ e) $\dfrac{2}{15}$

Aufgabe 4 Wandle um: a) $\dfrac{9}{4}$ in eine gemischte Zahl b) $\dfrac{13}{5}$ in eine gemischte Zahl c) $2\dfrac{3}{7}$ in einen unechten Bruch d) $4\dfrac{1}{6}$ in einen unechten Bruch

Aufgabe 5 Berechne den Bruchteil: a) $\dfrac{3}{4}$ von $20$ b) $\dfrac{2}{3}$ von $18 \, \text{km}$ c) $\dfrac{5}{6}$ von $48 \, \text{CHF}$

Aufgabe 6 In einer Schule gibt es $360$ Schülerinnen und Schüler. $\dfrac{5}{9}$ davon sind Mädchen. Wie viele Mädchen gibt es? Wie viele Knaben?

Aufgabe 7 Trage auf einem Zahlenstrahl von $0$ bis $2$ ein: $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{5}{4}$, $1\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{7}{4}$

Aufgabe 8 $\dfrac{2}{5}$ einer Strecke sind $14 \, \text{km}$. Wie lang ist die gesamte Strecke?

Aufgabe 9 In einem Korb liegen Äpfel und Birnen. $\dfrac{3}{8}$ sind Äpfel. Es gibt $15$ Äpfel. Wie viele Früchte liegen insgesamt im Korb? Wie viele Birnen sind es?

Aufgabe 10 Ein Wanderweg ist $36 \, \text{km}$ lang. Nach $\dfrac{1}{4}$ des Weges gibt es eine Rastbank. Nach $\dfrac{2}{3}$ des Weges gibt es eine Hütte. Wie viele Kilometer liegen zwischen Rastbank und Hütte?

Das Wichtigste in Kürze

Ein Bruch beschreibt Teile eines Ganzen. Der Zähler oben gibt an, wie viele Teile du nimmst. Der Nenner unten sagt, in wie viele gleich grosse Teile das Ganze geteilt wurde. Der Bruchstrich bedeutet “geteilt durch”.

Bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner – der Wert liegt zwischen $0$ und $1$. Bei unechten Brüchen ist der Zähler mindestens so gross wie der Nenner. Gemischte Zahlen bestehen aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch.

Um einen Bruchteil einer Grösse zu berechnen, teilst du durch den Nenner und multiplizierst mit dem Zähler. Diese Methode funktioniert immer.

Brüche begegnen dir überall im Alltag – bei Zeitangaben, Rezepten, Musik und beim Einkaufen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Eine Tafel Schokolade hat $24$ Stücke. Jana isst $\dfrac{3}{8}$ der Tafel. Wie viele Stücke isst Jana?

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Lösung: Jana isst $9$ Stücke. Rechnung: Schritt 1: Ein Achtel von $24$: $24 \div 8 = 3$ Stücke Schritt 2: Drei Achtel: $3 \cdot 3 = 9$ Stücke

❓ Frage: Wandle $\dfrac{11}{3}$ in eine gemischte Zahl um.

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Lösung: $\dfrac{11}{3} = 3\dfrac{2}{3}$ Rechnung: $11 \div 3 = 3$ Rest $2$ Die ganze Zahl ist $3$, der Rest $2$ wird zum neuen Zähler. Der Nenner bleibt $3$.

❓ Frage: $\dfrac{4}{5}$ eines Betrages sind $CHF\ 40$. Wie gross ist der gesamte Betrag?

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Lösung: Der gesamte Betrag ist $\text{CHF} \ 50$. Rechnung: Schritt 1: Ein Fünftel: $40 \div 4 = 10$ CHF Schritt 2: Das Ganze (fünf Fünftel): $10 \cdot 5 = 50$ CHF Probe: $\dfrac{4}{5}$ von $50 = 50 \div 5 \cdot 4 = 10 \cdot 4 = 40$ ✓

❓ Frage: Leon sagt: “Der Bruch $\dfrac{9}{4}$ ist kleiner als $1$, weil $4$ grösser als $9$ ist.” Stimmt das? Begründe deine Antwort.

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Lösung: Leon hat nicht recht. Bei einem echten Bruch muss der Zähler kleiner als der Nenner sein. Hier ist der Zähler $9$ grösser als der Nenner $4$. Deshalb ist $\dfrac{9}{4}$ ein unechter Bruch mit einem Wert grösser als $1$. Als gemischte Zahl: $\dfrac{9}{4} = 2\dfrac{1}{4}$ Leon hat Zähler und Nenner in seiner Begründung verwechselt.

❓ Frage: In einer Klasse mit $28$ Schülerinnen und Schülern tragen $\dfrac{3}{7}$ eine Brille. Wie viele Schülerinnen und Schüler tragen keine Brille?

Lösung anzeigen

Lösung: $16$ Schülerinnen und Schüler tragen keine Brille. Rechnung: Schritt 1: Ein Siebtel von $28$: $28 \div 7 = 4$ Schritt 2: Drei Siebtel (mit Brille): $4 \cdot 3 = 12$ Schritt 3: Ohne Brille: $28 - 12 = 16$ Alternativ: $\dfrac{4}{7}$ tragen keine Brille. $4 \cdot 4 = 16$ ✓

Ausblick

Du beherrschst jetzt die Grundlage aller Bruchrechnung. Im nächsten Schritt lernst du, Brüche zu erweitern und zu kürzen. Dabei veränderst du Zähler und Nenner so, dass der Wert gleich bleibt: $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{4}{8}$. Das ist die Grundlage für das Vergleichen, Addieren und Subtrahieren von Brüchen. Später baut darauf die gesamte Prozentrechnung auf – denn Prozente sind nichts anderes als Brüche mit dem Nenner $100$.

Lösungen

Aufgabe 1

a) $\dfrac{3}{7}$: “drei Siebtel” – Zähler $3$, Nenner $7$

b) $\dfrac{5}{12}$: “fünf Zwölftel” – Zähler $5$, Nenner $12$

c) $\dfrac{9}{10}$: “neun Zehntel” – Zähler $9$, Nenner $10$

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Aufgabe 2

Das Rechteck hat $10$ gleiche Teile. $7$ davon sind gelb.

Gelber Bruchteil: $\dfrac{7}{10}$

Nicht gelber Bruchteil: $10 - 7 = 3$ Teile, also $\dfrac{3}{10}$

Probe: $\dfrac{7}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{10}{10} = 1$ (das ganze Rechteck) ✓

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Aufgabe 3

a) $\dfrac{4}{9}$: echter Bruch (Zähler $4 <$ Nenner $9$)

b) $\dfrac{11}{6}$: unechter Bruch (Zähler $11 >$ Nenner $6$)

c) $3\dfrac{1}{4}$: gemischte Zahl

d) $\dfrac{7}{7}$: unechter Bruch (Zähler $=$ Nenner, Wert $= 1$)

e) $\dfrac{2}{15}$: echter Bruch (Zähler $2 <$ Nenner $15$)

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Aufgabe 4

a) $\dfrac{9}{4}$: $9 \div 4 = 2$ Rest $1$, also $\mathbf{2\dfrac{1}{4}}$

b) $\dfrac{13}{5}$: $13 \div 5 = 2$ Rest $3$, also $\mathbf{2\dfrac{3}{5}}$

c) $2\dfrac{3}{7}$: $\dfrac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \dfrac{14 + 3}{7} = \mathbf{\dfrac{17}{7}}$

d) $4\dfrac{1}{6}$: $\dfrac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \dfrac{24 + 1}{6} = \mathbf{\dfrac{25}{6}}$

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Aufgabe 5

a) $\dfrac{3}{4}$ von $20$: $20 \div 4 \cdot 3 = 5 \cdot 3 = \mathbf{15}$

b) $\dfrac{2}{3}$ von $18 \, \text{km}$: $18 \div 3 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = \mathbf{12 \, \text{km}}$

c) $\dfrac{5}{6}$ von $48 \, \text{CHF}$: $48 \div 6 \cdot 5 = 8 \cdot 5 = \mathbf{40 \, \text{CHF}}$

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Aufgabe 6

Ein Neuntel von $360$: $360 \div 9 = 40$

Mädchen ($\dfrac{5}{9}$): $40 \cdot 5 = \mathbf{200 \text{ Mädchen}}$

Knaben: $360 - 200 = \mathbf{160 \text{ Knaben}}$

Probe: $\dfrac{4}{9}$ sind Knaben: $40 \cdot 4 = 160$ ✓

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Aufgabe 7

Die Strecke von $0$ bis $2$ wird in Viertel eingeteilt (insgesamt $8$ Abschnitte).

$$\frac{1}{4} = 0{,}25 \quad \frac{3}{4} = 0{,}75 \quad \frac{5}{4} = 1{,}25 \quad 1\frac{1}{2} = \frac{6}{4} = 1{,}5 \quad \frac{7}{4} = 1{,}75$$

Reihenfolge auf dem Zahlenstrahl (von links nach rechts): $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{5}{4}$, $1\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{7}{4}$

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Aufgabe 8

$\dfrac{2}{5}$ der Strecke $= 14 \, \text{km}$

Ein Fünftel: $14 \div 2 = 7 \, \text{km}$

Gesamte Strecke (fünf Fünftel): $7 \cdot 5 = \mathbf{35 \, \text{km}}$

Probe: $\dfrac{2}{5}$ von $35 = 35 \div 5 \cdot 2 = 7 \cdot 2 = 14 \, \text{km}$ ✓

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Aufgabe 9

$\dfrac{3}{8}$ des Korbs $= 15$ Äpfel

Ein Achtel: $15 \div 3 = 5$ Früchte

Gesamtzahl (acht Achtel): $5 \cdot 8 = \mathbf{40 \text{ Früchte}}$

Birnen: $40 - 15 = \mathbf{25 \text{ Birnen}}$

Probe: $\dfrac{3}{8}$ von $40 = 40 \div 8 \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15$ ✓

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Aufgabe 10

Gesamte Weglänge: $36 \, \text{km}$

Rastbank nach $\dfrac{1}{4}$ des Weges: $36 \div 4 \cdot 1 = \mathbf{9 \, \text{km}}$

Hütte nach $\dfrac{2}{3}$ des Weges: $36 \div 3 \cdot 2 = 12 \cdot 2 = \mathbf{24 \, \text{km}}$

Abstand zwischen Rastbank und Hütte: $24 - 9 = \mathbf{15 \, \text{km}}$

Verwandte Themen

• Unechte Brüche und gemischte Zahlen einfach erklärt: So rechnest du sicher um
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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport