Häufigkeiten & Tabellen

Weiterführend:

• Vorwissen: Grundlagen & Datenerhebung
• Als Nächstes: Daten visualisieren (Diagramme)
• Danach: Statistische Kennwerte (Lage- und Streumasse)

Darum geht's

Häufigkeiten und Tabellen bilden das Fundament jeder statistischen Auswertung. Wenn du Daten sammelst — zum Beispiel die Lieblingsfächer deiner Klasse oder die Schuhgrössen der Schulmannschaft — musst du diese Rohzahlen in eine übersichtliche Form bringen. Genau dafür gibt es Häufigkeitstabellen. In diesem Artikel lernst du, wie du aus einer chaotischen Strichliste eine saubere Tabelle machst. Du erfährst den Unterschied zwischen absoluter und relativer Häufigkeit. Ausserdem zeigt dir der Artikel, wie die kumulierte Häufigkeit funktioniert und warum sie in der Prüfung oft gefragt wird. Mit vielen Beispielen, Übungen und ausführlichen Lösungswegen wirst du sicher im Umgang mit Daten.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse), Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 9Kompetenzen

• MA.3.A.1.kGrundanspruchBegriffe absolute und relative Häufigkeit, x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Einheitsstrecke, Wahrscheinlichkeit; Masseinheiten Geschwindigkeit (km/h, m/s, kB/s, dpi)
• MA.3.C.1.dGrundanspruchDaten in Tabellen und Diagrammen darstellen und interpretieren; Zufallsexperimente durchführen
• MA.3.C.2.dGrundanspruchZu Texten, Tabellen und Diagrammen Fragen stellen, Berechnungen ausführen, Ergebnisse interpretieren und überprüfen
• MA.3.C.2.gGrundanspruchAbhängigkeit zweier Grössen mit Funktionsgraph darstellen; Graphenverläufe interpretieren (Erw: geeignete Skalierung wählen; lineare funktionale Zusammenhänge mit Term beschreiben)
• MA.3.C.1.eDaten statistisch erfassen, ordnen, darstellen und interpretieren (z.B. Schulwege)
• MA.3.C.1.fDatensätze nach Kriterien auswerten; Mittelwert, Maximum und Minimum bestimmen
• MA.3.C.1.gDaten mit dem Computer in Diagrammen darstellen; Wahrscheinlichkeit einzelner Ereignisse vergleichen
• MA.3.C.2.fProportionale und lineare Zusammenhänge in Sachsituationen erkennen (Erw: indirekt proportionale); Wertepaare und Funktionsgraphen im Koordinatensystem darstellen; Alltagssituationen in mathematische Sprache übersetzen
• MA.3.C.2.hWertetabellen, Diagramme, Sachtexte, Terme und Graphen einander zuordnen und interpretieren; Sachsituationen nach funktionalen, statistischen und probabilistischen Gesichtspunkten bearbeiten

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee, Daten systematisch zu zählen und in Tabellen zu ordnen, ist uralt. Schon vor rund 4000 Jahren führten die alten Ägypter und Babylonier Volkszählungen durch. Sie notierten Geburten, Todesfälle und Ernteerträge auf Tontafeln. Das Wort “Statistik” stammt vom lateinischen “status” ab, was “Zustand” oder “Staat” bedeutet. Lange ging es bei der Statistik also vor allem um den Zustand eines Landes.

Einen grossen Sprung machte die Statistik im 17. Jahrhundert. Der englische Kaufmann John Graunt untersuchte 1662 die Sterblichkeitslisten Londons. Er ordnete tausende Einträge nach Alter und Todesursache in Tabellen. Damit gelang ihm eine wichtige Erkenntnis: Die Zahl der Geburten und Todesfälle folgt gewissen Regelmässigkeiten. Graunt gilt deshalb als einer der Väter der modernen Statistik.

Die eigentliche Häufigkeitstabelle, wie wir sie heute kennen, entwickelte sich im 19. Jahrhundert. Der belgische Mathematiker Adolphe Quetelet wendete statistische Methoden auf gesellschaftliche Fragen an. Er zählte und verglich Körpergrössen, Kriminalitätsraten und Heiratszahlen. Seine Tabellen waren das Werkzeug, mit dem er das berühmte Konzept des “durchschnittlichen Menschen” einführte. Etwa zur gleichen Zeit legte Florence Nightingale mit übersichtlichen Häufigkeitsdarstellungen den Grundstein für moderne medizinische Statistik.

Im 20. Jahrhundert wurde die Statistik zu einer zentralen Wissenschaft. Mit der Erfindung von Computern liess sich jede grosse Datenmenge sortieren und auswerten. Heute ist die Häufigkeitstabelle der erste Schritt bei jeder datenbasierten Entscheidung — ob beim Wetterdienst, in der Medizin, in der Marktforschung oder im Sport.

Auch du nutzt statistische Denkweisen täglich. Wenn du in einer Umfrage schaust, welche Antwort am häufigsten vorkommt, bildest du im Kopf eine Häufigkeit. Die Tabelle bringt diese intuitive Idee in eine exakte mathematische Form. Sie macht Daten vergleichbar, lesbar und verständlich.

Die Grundlagen

Bevor du mit Häufigkeitstabellen rechnest, musst du die wichtigsten Begriffe kennen. In der Statistik nennt man jeden untersuchten Aspekt ein Merkmal. Die konkreten Werte, die ein Merkmal annehmen kann, heissen Merkmalsausprägungen.

Ein Beispiel: Du fragst in deiner Klasse nach der Lieblingsfarbe. Das Merkmal heisst “Lieblingsfarbe”. Die Merkmalsausprägungen sind etwa “Rot”, “Blau”, “Grün” oder “Gelb”. Jede Antwort eines Schülers ist ein Datenwert. Die Gesamtzahl aller Datenwerte nennt man $n$ oder Stichprobenumfang.

Definition

Die absolute Häufigkeit $H(x)$ gibt an, wie oft eine Merkmalsausprägung $x$ in einer Erhebung vorkommt. Sie ist immer eine ganze, nicht-negative Zahl. Die Summe aller absoluten Häufigkeiten ergibt den Stichprobenumfang $n$.

Definition

Die relative Häufigkeit $h(x)$ gibt den Anteil einer Merkmalsausprägung an der Gesamtheit an:

$h(x) = \dfrac{H(x)}{n}$

Dabei ist $n$ die Gesamtzahl aller Datenwerte. Die relative Häufigkeit liegt immer zwischen $0$ und $1$.

Die absolute Häufigkeit ist nützlich, wenn du eine konkrete Zahl nennen willst. Die relative Häufigkeit hilft beim Vergleichen. Wenn in deiner Klasse 12 von 24 Schülern Fussball mögen, sind das 50 Prozent. In einer anderen Klasse mit 30 Schülern sind 12 Fussballfans nur 40 Prozent. Obwohl die absolute Zahl gleich ist, ist der Anteil verschieden. Deshalb ist die relative Häufigkeit für faire Vergleiche entscheidend.

Die relative Häufigkeit lässt sich immer als Dezimalzahl, Bruch oder Prozentzahl darstellen. Alle drei Schreibweisen sind gleichwertig. Ein Anteil von $\dfrac{1}{4}$ entspricht $0{,}25$ und damit $25\%$.

Die Kernmethode

Um aus Rohdaten eine Häufigkeitstabelle zu erstellen, folgst du immer denselben Schritten. Diese systematische Vorgehensweise verhindert Fehler.

Definition

Für eine Häufigkeitstabelle gehst du in vier Schritten vor:

1. Merkmalsausprägungen auflisten: Notiere alle unterschiedlichen Werte, die in deinen Daten vorkommen.
2. Strichliste führen: Mache für jeden Datenwert einen Strich bei der entsprechenden Ausprägung.
3. Absolute Häufigkeit auszählen: Zähle die Striche pro Zeile zusammen.
4. Relative Häufigkeit berechnen: Teile die absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang $n$.

Bei vielen Aufgaben kommt ein fünfter Schritt dazu: die kumulierte Häufigkeit. Sie addiert alle Häufigkeiten bis zur aktuellen Zeile auf.

Definition

Die kumulierte absolute Häufigkeit $H_{\text{kum}}(x_k)$ ist die Summe der absoluten Häufigkeiten bis einschliesslich der Merkmalsausprägung $x_k$:

$H_{\text{kum}}(x_k) = \sum_{i=1}^{k} H(x_i)$

Analog funktioniert die kumulierte relative Häufigkeit $h_{\text{kum}}(x)$.

Die kumulierte Häufigkeit beantwortet Fragen wie: “Wie viele Schüler sind höchstens 165 cm gross?” Du summierst einfach die Häufigkeiten aller Grössen bis 165 cm. Dafür muss das Merkmal sortierbar sein — also Zahlen, keine Farbnamen.

Die Summe aller absoluten Häufigkeiten ergibt immer $n$. Die Summe aller relativen Häufigkeiten ergibt immer $1$ oder $100\%$. Diese Probe hilft dir, Rechenfehler sofort zu entdecken. Mache sie zur Gewohnheit — sie kostet dich nur wenige Sekunden.

Beispiel:

Beispiel 1: Lieblingsfrüchte der Klasse

In einer 9. Klasse mit 20 Schülern wurde nach der Lieblingsfrucht gefragt. Die Antworten lauten:

Apfel, Banane, Apfel, Birne, Kirsche, Apfel, Banane, Banane, Birne, Apfel, Kirsche, Apfel, Banane, Apfel, Birne, Apfel, Kirsche, Banane, Apfel, Banane.

Aufgabe: Erstelle eine Häufigkeitstabelle mit absoluter und relativer Häufigkeit.

Lösung:

Zähle die Vorkommen jeder Ausprägung und trage sie ein:

Frucht	Strichliste	$H$	$h$
Apfel	IIIII III	8	$0{,}40$
Banane	IIIII I	6	$0{,}30$
Birne	III	3	$0{,}15$
Kirsche	III	3	$0{,}15$
Summe		20	$1{,}00$

Die relative Häufigkeit berechnest du mit $h = \dfrac{H}{n}$. Für Apfel gilt $\dfrac{8}{20} = 0{,}40$, also $40\%$.

Probe: Die absoluten Häufigkeiten summieren sich zu $8 + 6 + 3 + 3 = 20 = n$. Die relativen Häufigkeiten ergeben $0{,}40 + 0{,}30 + 0{,}15 + 0{,}15 = 1{,}00$. Beide Kontrollen stimmen.

Beispiel:

Beispiel 2: Noten in der Mathearbeit

Die Noten einer Mathearbeit in einer Klasse mit 25 Schülern lauten:

4, 5, 6, 4, 5, 3, 5, 4, 6, 5, 4, 2, 5, 6, 4, 5, 5, 3, 4, 6, 5, 4, 5, 3, 6.

Aufgabe: Erstelle eine vollständige Häufigkeitstabelle mit absoluter, relativer und kumulierter absoluter Häufigkeit.

Lösung:

Zähle die Noten und sortiere sie aufsteigend, damit die kumulierte Häufigkeit sinnvoll ist:

Note	$H$	$h$	$H_{\text{kum}}$
2	1	$0{,}04$	1
3	3	$0{,}12$	4
4	7	$0{,}28$	11
5	9	$0{,}36$	20
6	5	$0{,}20$	25
Summe	25	$1{,}00$

Die kumulierte absolute Häufigkeit liest du so: $H_{\text{kum}}(4) = 11$ bedeutet, dass 11 Schüler eine Note von höchstens 4 haben.

Die Note 5 ist mit 9 Schülern am häufigsten. Insgesamt 4 Schüler haben die Prüfung nicht bestanden (Note 3 oder schlechter). Das entspricht einem Anteil von $\dfrac{4}{25} = 16\%$. Umgekehrt haben $25 - 4 = 21$ Schüler die Prüfung bestanden — das sind $84\%$.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Vergessene Probe: Schüler vergessen oft, die Summe der Häufigkeiten zu prüfen. Diese Probe ist der schnellste Fehlerfinder. Stimmt die Summe der absoluten Häufigkeiten nicht mit $n$ überein, hast du dich beim Zählen verzählt. Stimmt die Summe der relativen Häufigkeiten nicht $1$ oder $100\%$, hast du bei der Division einen Fehler gemacht. Plane diese Kontrolle als festen Schritt mit ein.

Achtung

Prozent und Dezimalzahl verwechseln: Die relative Häufigkeit $h = 0{,}25$ ist dasselbe wie $25\%$, aber nicht dasselbe wie $0{,}25\%$. Letzteres entspricht nur $0{,}0025$. Beim Umwandeln in Prozent musst du mit $100$ multiplizieren. Beim Rückumrechnen teilst du durch $100$.

Achtung

Kumulierte Häufigkeit falsch interpretieren: Die kumulierte Häufigkeit $H_{\text{kum}}(5) = 20$ bedeutet, dass 20 Werte kleiner oder gleich 5 sind. Es heisst nicht, dass 20 Werte genau 5 sind. Wer das verwechselt, zählt Daten doppelt oder dreifach.

Achtung

Reihenfolge bei numerischen Merkmalen: Numerische Merkmale (zum Beispiel Noten oder Schuhgrössen) müssen in der Tabelle aufsteigend sortiert sein. Sonst ergibt die kumulierte Häufigkeit keinen Sinn. Bei nicht-numerischen Merkmalen (zum Beispiel Farben) ist die Reihenfolge frei, aber eine Sortierung nach absteigender absoluter Häufigkeit sorgt für bessere Lesbarkeit.

Beispiel:

Beispiel 3: Körpergrössen einer Sportklasse

In einer Turnklasse wurden 30 Körpergrössen (in cm) gemessen:

158, 162, 165, 170, 158, 162, 165, 170, 175, 158, 162, 165, 170, 175, 180, 162, 165, 170, 175, 158, 165, 170, 175, 165, 170, 162, 165, 170, 175, 180.

Aufgabe: Bestimme die kumulierte relative Häufigkeit. Wie viele Prozent der Schüler sind höchstens 170 cm gross?

Lösung:

Zähle und sortiere die Werte aufsteigend:

Grösse	$H$	$h$	$H_{\text{kum}}$	$h_{\text{kum}}$
158	4	$0{,}133$	4	$0{,}133$
162	5	$0{,}167$	9	$0{,}300$
165	7	$0{,}233$	16	$0{,}533$
170	7	$0{,}233$	23	$0{,}767$
175	5	$0{,}167$	28	$0{,}933$
180	2	$0{,}067$	30	$1{,}000$

Die kumulierte relative Häufigkeit bei 170 cm beträgt $h_{\text{kum}}(170) = 0{,}767$. Das entspricht rund $76{,}7\%$. Also sind etwa 77 Prozent der Schüler höchstens 170 cm gross.

Umgekehrt sind $1 - 0{,}767 = 0{,}233$, also $23{,}3\%$, grösser als 170 cm. Solche Interpretationen in eine klare sprachliche Form zu bringen, ist ein häufiger Teil von Textaufgaben.

Beispiel:

Beispiel 4: Klassenarbeiten in zwei Klassen vergleichen

Zwei Klassen haben dieselbe Arbeit geschrieben. Die Ergebnisse:

Klasse A (20 Schüler): Note 6: 2, Note 5: 6, Note 4: 8, Note 3: 3, Note 2: 1.

Klasse B (25 Schüler): Note 6: 3, Note 5: 7, Note 4: 9, Note 3: 4, Note 2: 2.

Aufgabe: Welche Klasse hat anteilig mehr ungenügende Noten (Note 3 und schlechter)?

Lösung:

Eine Note gilt als ungenügend, wenn sie 3 oder tiefer liegt. Zähle die betroffenen Schüler:

Klasse A: $3 + 1 = 4$ ungenügende Noten bei $n_A = 20$.

$h_A = \dfrac{4}{20} = 0{,}20 = 20\%$

Klasse B: $4 + 2 = 6$ ungenügende Noten bei $n_B = 25$.

$h_B = \dfrac{6}{25} = 0{,}24 = 24\%$

Klasse B hat anteilig mehr ungenügende Noten, obwohl beide Klassen unterschiedlich gross sind. Der direkte Vergleich der absoluten Zahlen wäre irreführend: Sechs klingt nach mehr als vier, aber das liegt nur an der grösseren Klasse. Erst die relative Häufigkeit macht den fairen Vergleich möglich. Sie gehört deshalb in jede statistische Auswertung.

Vertiefung

Bei grossen Datenmengen werden Häufigkeitstabellen schnell unübersichtlich. Wenn du zum Beispiel die Körpergrössen von 500 Personen auf den Zentimeter genau erfasst, hast du vielleicht 60 verschiedene Ausprägungen. Eine Tabelle mit 60 Zeilen ist kaum lesbar.

Die Lösung heisst Klassenbildung. Du fasst benachbarte Werte zu Klassen zusammen. Statt “158 cm, 159 cm, 160 cm, …” schreibst du “zwischen 155 und 160 cm”.

Definition

Bei einer klassierten Häufigkeitstabelle wird der Wertebereich in Klassen (Intervalle) aufgeteilt. Die Klassenbreite ist meist konstant. Jeder Datenwert wird genau einer Klasse zugeordnet.

Beim Klassenbilden sind einige Regeln wichtig. Erstens dürfen sich die Klassen nicht überlappen. Die Intervalle $[155;\,160)$ und $[160;\,165)$ zeigen: Die 160 gehört zur zweiten Klasse, nicht zur ersten. Die runde Klammer bedeutet “exklusiv”, die eckige “inklusiv”. Zweitens sollten die Klassen gleich breit sein, damit der Vergleich fair bleibt. Drittens wählst du die Anzahl Klassen so, dass du zwischen 5 und 15 Klassen hast. Eine grobe Faustregel ist $k \approx \sqrt{n}$, wobei $k$ die Anzahl Klassen und $n$ der Stichprobenumfang ist.

Mit klassierten Daten lassen sich Histogramme zeichnen. Das Histogramm ist die grafische Darstellung einer Häufigkeitsverteilung. Jede Klasse wird durch einen Balken dargestellt. Die Höhe des Balkens entspricht der Häufigkeit der Klasse.

Auch die kumulierte Häufigkeit lässt sich bei klassierten Daten grafisch zeigen. Man nennt die Kurve dann Summenkurve oder empirische Verteilungsfunktion. Sie steigt von $0$ auf $1$ und hat an jeder Klassengrenze einen Sprung.

Durch die Klassenbildung verlierst du etwas Genauigkeit. Dafür gewinnst du Überblick. In der Praxis ist dieser Kompromiss fast immer sinnvoll — und er ist der Schritt, der dich von einer einfachen Strichliste zur professionellen Datenauswertung führt.

Beispiel:

Beispiel 5: Klassierte Häufigkeitstabelle

Die Gewichte (in kg) von 40 Sportlern wurden erfasst und in fünf Klassen eingeteilt:

Klasse (kg)	$H$
$[50;\,60)$	6
$[60;\,70)$	14
$[70;\,80)$	12
$[80;\,90)$	6
$[90;\,100)$	2

Aufgabe: Berechne die relative und die kumulierte relative Häufigkeit. Wie viele Prozent der Sportler wiegen weniger als 80 kg?

Lösung:

Prüfe zuerst die Summe: $6 + 14 + 12 + 6 + 2 = 40 = n$. Die Daten sind vollständig.

Klasse	$H$	$h$	$H_{\text{kum}}$	$h_{\text{kum}}$
$[50;\,60)$	6	$0{,}150$	6	$0{,}150$
$[60;\,70)$	14	$0{,}350$	20	$0{,}500$
$[70;\,80)$	12	$0{,}300$	32	$0{,}800$
$[80;\,90)$	6	$0{,}150$	38	$0{,}950$
$[90;\,100)$	2	$0{,}050$	40	$1{,}000$

Die kumulierte relative Häufigkeit bei der Grenze 80 kg beträgt $h_{\text{kum}} = 0{,}800$. Also wiegen $80\%$ der Sportler weniger als 80 kg.

Der Median liegt genau beim kumulierten Anteil $0{,}500$. Das ist in der Klasse $[60;\,70)$. Diese zweite Klasse ist also die Median-Klasse. Eine genauere Angabe ist ohne die Einzelwerte nicht möglich.

Übungen

Die Übungen sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne mit Aufgabe 1 und arbeite dich durch.

Aufgabe 1 (Einstieg): In einer Umfrage geben 15 Personen ihre Lieblingsfarbe an: Rot, Blau, Rot, Grün, Blau, Rot, Blau, Gelb, Rot, Grün, Blau, Rot, Blau, Grün, Rot. Erstelle eine Häufigkeitstabelle mit absoluter und relativer Häufigkeit.

Aufgabe 2: Berechne für die Datenreihe $3, 5, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 3, 2, 4, 5, 3, 4$ die absolute und relative Häufigkeit jeder Ausprägung.

Aufgabe 3: Die absolute Häufigkeit einer Ausprägung beträgt $H = 12$ bei $n = 50$. Wie gross ist die relative Häufigkeit in Prozent?

Aufgabe 4: In einer Klasse wurden die Schuhgrössen erfasst: $38, 39, 40, 38, 41, 40, 39, 38, 42, 40, 39, 41, 40, 38, 39$. Erstelle eine Häufigkeitstabelle inklusive kumulierter absoluter Häufigkeit.

Aufgabe 5: Von 80 Teilnehmern einer Umfrage mögen 18 Eishockey. Gib die relative Häufigkeit als Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl an.

Aufgabe 6: In einer Klasse haben $30\%$ der 20 Schüler ein Haustier. Wie viele Schüler sind das absolut?

Aufgabe 7: Die kumulierte relative Häufigkeit bei der Note 4 beträgt $0{,}60$. Was bedeutet das in Worten?

Aufgabe 8: Erstelle für die Noten $5, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 3, 4, 5, 2, 4, 5, 6, 3, 4, 5, 4, 5, 4$ eine vollständige Häufigkeitstabelle mit $H$, $h$, $H_{\text{kum}}$ und $h_{\text{kum}}$.

Aufgabe 9: Die Alter (in Jahren) von 50 Personen werden in Klassen der Breite 10 eingeteilt: $[0;\,10)$: 8, $[10;\,20)$: 12, $[20;\,30)$: 18, $[30;\,40)$: 7, $[40;\,50)$: 5. Berechne alle Häufigkeiten. Welcher Anteil ist jünger als 30?

Aufgabe 10 (Transfer): Klasse A mit 20 Schülern hat $h_A = 0{,}40$ für eine bestimmte Ausprägung. Klasse B mit 35 Schülern hat $h_B = 0{,}20$ für dieselbe Ausprägung. Wie gross ist die absolute Häufigkeit dieser Ausprägung in beiden Klassen zusammen? Und wie gross ist die gemeinsame relative Häufigkeit?

Das Wichtigste in Kürze

• Die absolute Häufigkeit $H(x)$ zählt, wie oft ein Wert vorkommt. Sie ist immer eine natürliche Zahl.
• Die relative Häufigkeit $h(x) = \dfrac{H(x)}{n}$ gibt den Anteil an. Sie liegt zwischen $0$ und $1$ und lässt sich als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentzahl schreiben.
• Die kumulierte Häufigkeit summiert die Häufigkeiten von der kleinsten bis zur aktuellen Ausprägung. Sie beantwortet Fragen wie “Wie viele sind höchstens …?”.
• Die Summe aller absoluten Häufigkeiten ergibt $n$. Die Summe aller relativen Häufigkeiten ergibt $1$. Diese Probe findet fast jeden Rechenfehler.
• Bei grossen Datenmengen hilft die Klassenbildung. Du fasst Werte zu Intervallen zusammen und gewinnst Übersicht.
• Die relative Häufigkeit macht den Vergleich zwischen unterschiedlich grossen Gruppen fair und ehrlich.

❓ Frage:

Was bedeutet der Begriff “absolute Häufigkeit”? a) Der Anteil einer Ausprägung an der Gesamtheit b) Wie oft eine Ausprägung in der Erhebung vorkommt c) Die Summe aller Datenwerte

Lösung anzeigen

b) Die absolute Häufigkeit $H(x)$ gibt an, wie oft eine Merkmalsausprägung $x$ in einer Erhebung vorkommt. Antwort a) beschreibt die relative Häufigkeit.

❓ Frage:

Von 40 Schülern bevorzugen 10 Pizza als Lieblingsessen. Wie gross ist die relative Häufigkeit? a) $10$ b) $0{,}40$ c) $0{,}25$

Lösung anzeigen

c) $h = \dfrac{10}{40} = 0{,}25 = 25\%$. Antwort a) nennt die absolute Häufigkeit, Antwort b) teilt falsch.

❓ Frage:

Welche Summe müssen alle relativen Häufigkeiten einer Tabelle ergeben? a) $n$ b) $1$ oder $100\%$ c) Das hängt von den Daten ab

Lösung anzeigen

b) Die Summe aller relativen Häufigkeiten ergibt immer $1$ oder gleichbedeutend $100\%$. Die Summe aller absoluten Häufigkeiten ergibt $n$. Stimmt diese Probe nicht, hast du dich verrechnet.

❓ Frage:

Die kumulierte Häufigkeit ist $H_{\text{kum}}(5) = 18$ bei $n = 30$. Was bedeutet das? a) 18 Werte sind genau 5 b) 18 Werte sind höchstens 5 c) 18 Werte sind grösser als 5

Lösung anzeigen

b) Die kumulierte Häufigkeit summiert alle Werte bis einschliesslich 5. Also sind 18 Werte höchstens 5. Entsprechend sind $30 - 18 = 12$ Werte grösser als 5.

❓ Frage:

Wann ist die relative Häufigkeit besser als die absolute, um zwei Gruppen zu vergleichen? a) Immer b) Nur wenn die Gruppen gleich gross sind c) Wenn die Gruppen unterschiedlich gross sind

Lösung anzeigen

c) Wenn die Gruppen unterschiedlich gross sind, ist der direkte Vergleich absoluter Zahlen irreführend. Die relative Häufigkeit normiert auf die Gruppengrösse und macht einen fairen Vergleich möglich.

Ausblick

Mit dem Werkzeug der Häufigkeitstabelle bist du für die nächsten Schritte der Statistik bereit. Im Artikel zu den Diagrammen lernst du, wie du deine Tabelle in Säulendiagramme, Kreisdiagramme und Histogramme umwandelst. Die Statistischen Kennwerte zeigen dir, wie du aus einer Tabelle Mittelwert, Median und Standardabweichung berechnest. Diese Werte bauen direkt auf der Häufigkeit auf. In der späteren Wahrscheinlichkeitsrechnung wirst du erkennen: Die relative Häufigkeit ist der praktische Zugang zur theoretischen Wahrscheinlichkeit. Je öfter du ein Zufallsexperiment durchführst, desto näher kommt die relative Häufigkeit dem wahren Wahrscheinlichkeitswert.

Lösungen

Lösung Aufgabe 1: Zähle die Farben: Rot: 6, Blau: 5, Grün: 3, Gelb: 1. Probe: $6 + 5 + 3 + 1 = 15 = n$.

Farbe	$H$	$h$
Rot	6	$0{,}400$
Blau	5	$0{,}333$
Grün	3	$0{,}200$
Gelb	1	$0{,}067$

Lösung Aufgabe 2: Die Ausprägungen sind 2, 3, 4, 5. Zähle: 2 kommt 2-mal vor, 3 kommt 5-mal, 4 kommt 4-mal, 5 kommt 4-mal. Probe: $2 + 5 + 4 + 4 = 15 = n$.

Wert	$H$	$h$
2	2	$0{,}133$
3	5	$0{,}333$
4	4	$0{,}267$
5	4	$0{,}267$

Lösung Aufgabe 3:

$h = \dfrac{12}{50} = 0{,}24 = 24\%$

Lösung Aufgabe 4: Zähle und sortiere aufsteigend:

Grösse	$H$	$H_{\text{kum}}$
38	4	4
39	4	8
40	4	12
41	2	14
42	1	15

Probe: $4 + 4 + 4 + 2 + 1 = 15 = n$.

Lösung Aufgabe 5:

$h = \dfrac{18}{80} = \dfrac{9}{40} = 0{,}225 = 22{,}5\%$

Lösung Aufgabe 6: Aus $h = 0{,}30$ und $n = 20$ folgt $H = 0{,}30 \cdot 20 = 6$. Also haben 6 Schüler ein Haustier.

Lösung Aufgabe 7: $60\%$ der Schüler haben eine Note von höchstens 4, also Note 2, 3 oder 4. Umgekehrt haben $40\%$ eine bessere Note als 4, also 5 oder 6.

Lösung Aufgabe 8: Zähle: 2 kommt 1-mal vor, 3 kommt 3-mal, 4 kommt 7-mal, 5 kommt 7-mal, 6 kommt 2-mal. Probe: $1 + 3 + 7 + 7 + 2 = 20 = n$.

Note	$H$	$h$	$H_{\text{kum}}$	$h_{\text{kum}}$
2	1	$0{,}05$	1	$0{,}05$
3	3	$0{,}15$	4	$0{,}20$
4	7	$0{,}35$	11	$0{,}55$
5	7	$0{,}35$	18	$0{,}90$
6	2	$0{,}10$	20	$1{,}00$

Lösung Aufgabe 9: Mit $n = 50$ ergibt sich:

Klasse	$H$	$h$	$H_{\text{kum}}$	$h_{\text{kum}}$
$[0;\,10)$	8	$0{,}16$	8	$0{,}16$
$[10;\,20)$	12	$0{,}24$	20	$0{,}40$
$[20;\,30)$	18	$0{,}36$	38	$0{,}76$
$[30;\,40)$	7	$0{,}14$	45	$0{,}90$
$[40;\,50)$	5	$0{,}10$	50	$1{,}00$

Der Anteil der Personen unter 30 Jahren beträgt $h_{\text{kum}}(30) = 0{,}76 = 76\%$.

Lösung Aufgabe 10: Berechne die absoluten Häufigkeiten getrennt und addiere sie.

$H_A = 0{,}40 \cdot 20 = 8$ $H_B = 0{,}20 \cdot 35 = 7$

Gemeinsame absolute Häufigkeit: $H = H_A + H_B = 8 + 7 = 15$.

Gemeinsamer Stichprobenumfang: $n = 20 + 35 = 55$.

$h = \dfrac{15}{55} \approx 0{,}273 = 27{,}3\%$

Beachte: Die gemeinsame relative Häufigkeit ist nicht der Durchschnitt von $h_A$ und $h_B$. Wer $\dfrac{0{,}40 + 0{,}20}{2} = 0{,}30$ rechnet, ignoriert die unterschiedlichen Gruppengrössen und erhält ein falsches Ergebnis.

Verwandte Themen

• Grundlagen & Datenerhebung
• Daten visualisieren (Diagramme)
• Statistische Erhebungen einfach erklärt

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport