Erweitern und kürzen

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Bruchzahlen”
• Vorwissen: Bruchteile und Brüche verstehen
• Als Nächstes: Brüche vergleichen
• Danach: Brüche addieren und subtrahieren

Darum geht's

Stell dir vor, du schneidest eine Pizza in vier Stücke und nimmst zwei davon. Deine Freundin schneidet die gleiche Pizza in acht Stücke und nimmt vier. Wer hat mehr bekommen? Niemand – ihr habt beide genau gleich viel Pizza auf dem Teller. Nur die Anzahl der Stücke ist verschieden.

Genau dieses Prinzip steckt hinter dem Erweitern und Kürzen von Brüchen. Im Alltag begegnet es dir ständig: beim Kochen, beim Teilen von Kosten oder beim Abmessen von Mengen. Oft musst du erkennen, dass zwei unterschiedlich aussehende Brüche denselben Wert haben. In diesem Artikel lernst du, wie du Brüche gezielt veränderst, ohne ihren Wert zu verändern – und warum diese Fertigkeit das Fundament der ganzen Bruchrechnung ist.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse) · 3Kompetenzen

• MA.1.A.1.gBegriffe Bruch, Prozent, Teiler, Vielfache, Zähler, Nenner, überschlagen, runden; Symbole %, ≈; Dezimalzahlen und Brüche lesen und schreiben
• MA.1.A.3.fDezimalzahlen bis 5 Wertziffern addieren/subtrahieren; Brüche am Rechteckmodell kürzen, erweitern, addieren, subtrahieren; Grundoperationen mit Rechner
• MA.1.C.2.gGesetzmässigkeiten bei natürlichen Zahlen konkretisieren (z.B. Quadratzahlen); Brüche mit Nennern 2–10 darstellen; Zahlenfolgen mit positiven rationalen Zahlen

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der Bruchrechnung reicht weit zurück. Bereits die alten Ägypter rechneten vor über 4000 Jahren mit Brüchen. Sie verwendeten allerdings fast ausschliesslich Stammbrüche – also Brüche mit der Zahl 1 im Zähler. Wollten sie einen Anteil wie drei Viertel notieren, mussten sie ihn aus mehreren Stammbrüchen zusammensetzen. Das machte das Rechnen oft umständlich.

Die Babylonier entwickelten ein ausgeklügeltes Zahlensystem mit der Basis 60. Dieses System nutzen wir heute noch bei Zeitangaben und Winkeln. Die Babylonier erkannten bereits, dass man Brüche durch Multiplikation mit gleichen Zahlen umformen kann, ohne ihren Wert zu verändern – die Grundidee des Erweiterns.

Im antiken Griechenland beschäftigten sich Mathematiker wie Euklid intensiv mit Verhältnissen und Teilern. Euklid beschrieb um 300 v. Chr. den nach ihm benannten Algorithmus zur Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers. Dieser Algorithmus ist bis heute die Grundlage für das vollständige Kürzen von Brüchen.

Gefahr

Mathe-Fact: Der Papyrus Rhind, eine ägyptische Aufgabensammlung von etwa 1550 v. Chr., enthält eine riesige Tabelle, die Brüche in Summen von Stammbrüchen zerlegt. Die ägyptischen Schreiber mussten diese Zerlegungen auswendig lernen – du kommst heute mit Erweitern und Kürzen viel schneller ans Ziel.

Der indische Mathematiker Brahmagupta formulierte im 7. Jahrhundert erstmals klare Regeln für das Rechnen mit Brüchen. Er hielt fest, dass man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren oder durch dieselbe Zahl dividieren darf. Diese Erkenntnis ist exakt die Regel, die du in diesem Artikel lernst.

Im mittelalterlichen Europa brachte Leonardo Fibonacci die arabisch-indischen Kenntnisse nach Italien. Sein Buch „Liber Abaci” von 1202 machte die Bruchrechnung in Europa bekannt. Die moderne Schreibweise mit dem Bruchstrich setzte sich erst im 16. Jahrhundert durch. Heute ist das Erweitern und Kürzen eine fundamentale Fertigkeit: Du brauchst sie für die gesamte höhere Mathematik, von der Algebra bis zur Analysis, und ebenso in Naturwissenschaften, Technik und Wirtschaft.

Die Grundlagen

Ein Bruch besteht aus zwei Teilen: dem Zähler oben und dem Nenner unten. Der Bruch $\dfrac{3}{4}$ bedeutet: Du teilst ein Ganzes in 4 gleiche Teile und nimmst 3 davon. Der Nenner gibt an, in wie viele Teile du teilst. Der Zähler zeigt, wie viele dieser Teile du nimmst.

Das Pizza-Beispiel aus der Einleitung zeigt: $\dfrac{2}{4}$ und $\dfrac{4}{8}$ beschreiben dieselbe Menge. Solche Brüche heissen gleichwertig. Du kannst dir das am Rechteckmodell vorstellen: Zeichne ein Rechteck und teile es in 4 gleich breite Streifen. Färbe 2 davon – das ist $\dfrac{2}{4}$. Ziehst du nun eine waagrechte Linie durch die Mitte, hat das Rechteck 8 Felder, und 4 davon sind gefärbt – das ist $\dfrac{4}{8}$. Die gefärbte Fläche hat sich keinen Millimeter verändert. Nur die Einteilung ist feiner geworden.

Definition

Zwei Brüche heissen gleichwertig, wenn sie denselben Wert haben – also denselben Anteil eines Ganzen beschreiben. Beispiel:

$$\frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

Gleichwertige Brüche liegen auf dem Zahlenstrahl an genau derselben Stelle. Am Rechteckmodell bedecken sie genau dieselbe Fläche – nur die Anzahl und Grösse der Felder unterscheiden sich.

Zwei weitere Begriffe brauchst du immer wieder. Ein Teiler einer Zahl ist eine Zahl, durch die sie ohne Rest teilbar ist: Die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Ein Vielfaches entsteht durch Multiplizieren: Die Vielfachen von 5 sind 5, 10, 15, 20 und so weiter. Beim Erweitern arbeitest du mit Vielfachen des Nenners, beim Kürzen mit gemeinsamen Teilern von Zähler und Nenner.

Gleichnamige Brüche haben denselben Nenner. Um Brüche zu vergleichen oder später zu addieren, musst du sie oft gleichnamig machen. Das gelingt durch geschicktes Erweitern – mehr dazu in der Vertiefung.

Die Kernmethode

Erweitern und Kürzen sind zwei Richtungen derselben Idee. Beim Erweitern machst du die Einteilung feiner: mehr, aber kleinere Stücke. Beim Kürzen machst du sie gröber: weniger, aber grössere Stücke. In beiden Fällen bleibt der Wert des Bruchs unverändert.

Definition

Erweitern: Multipliziere Zähler und Nenner mit derselben Zahl $n \neq 0$:

$$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$$

Kürzen: Dividiere Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler $n \neq 0$:

$$\frac{a \cdot n}{b \cdot n} = \frac{a}{b}$$

Der Wert des Bruchs bleibt bei beiden Operationen gleich. Merksatz: Was du oben machst, machst du auch unten – immer mit derselben Zahl.

Erweitern – so gehst du vor:

1. Wähle die Erweiterungszahl. Oft ist sie durch den gewünschten Nenner vorgegeben.
2. Multipliziere den Zähler mit dieser Zahl.
3. Multipliziere den Nenner mit derselben Zahl.
4. Schreibe den neuen Bruch auf.

Kürzen – so gehst du vor:

1. Finde eine Zahl, die sowohl Zähler als auch Nenner teilt. Ideal ist der grösste gemeinsame Teiler.
2. Dividiere den Zähler durch diese Zahl.
3. Dividiere den Nenner durch dieselbe Zahl.
4. Prüfe, ob der neue Bruch weiter gekürzt werden kann.

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben ausser der 1. Der Bruch $\dfrac{3}{5}$ ist vollständig gekürzt, $\dfrac{6}{10}$ nicht. Wenn du den grössten gemeinsamen Teiler nicht sofort erkennst, kürze schrittweise: erst durch 2, dann vielleicht nochmals durch 3.

Beispiel:

Beispiel 1: Erweitern auf einen vorgegebenen Nenner

Erweitere den Bruch $\dfrac{2}{5}$ auf den Nenner 15.

Gegeben:

• Bruch $\dfrac{2}{5}$
• Zielnenner 15

Gesucht: Der erweiterte Bruch mit Nenner 15

Lösung:

Zuerst findest du heraus, mit welcher Zahl du den Nenner 5 multiplizieren musst, um 15 zu erhalten:

$$5 \cdot \, ? = 15 \quad \Rightarrow \quad ? = 15 : 5 = 3$$

Du erweiterst also mit 3. Zähler und Nenner werden mit 3 multipliziert:

$$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$$

Am Rechteckmodell: Du teilst jedes der 5 Felder in 3 kleinere Felder. Aus 2 gefärbten von 5 Feldern werden 6 gefärbte von 15 Feldern – die gefärbte Fläche bleibt gleich.

Antwort: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15}$

Kontrolle: Kürzt du $\dfrac{6}{15}$ durch 3, erhältst du wieder $\dfrac{2}{5}$. ✓

Beispiel:

Beispiel 2: Vollständig kürzen

Kürze den Bruch $\dfrac{18}{24}$ vollständig.

Gegeben: Bruch $\dfrac{18}{24}$

Gesucht: Der vollständig gekürzte Bruch

Lösung:

Du suchst gemeinsame Teiler von 18 und 24. Beide Zahlen sind durch 2 teilbar, beide auch durch 3. Der grösste gemeinsame Teiler ist 6. Du kürzt in einem Schritt:

$$\frac{18}{24} = \frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}$$

Alternativ kannst du schrittweise kürzen – erst durch 2, dann durch 3:

$$\frac{18}{24} = \frac{18 : 2}{24 : 2} = \frac{9}{12} = \frac{9 : 3}{12 : 3} = \frac{3}{4}$$

Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

Antwort: Der vollständig gekürzte Bruch ist $\dfrac{3}{4}$. Die Zahlen 3 und 4 haben keinen gemeinsamen Teiler ausser der 1.

Kontrolle: Erweiterst du $\dfrac{3}{4}$ mit 6, erhältst du wieder $\dfrac{18}{24}$. ✓

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Erweitern und Kürzen passieren bestimmte Fehler immer wieder. Wenn du sie kennst, vermeidest du sie leichter.

Achtung

Stolperstein 1: Addieren statt multiplizieren

Beim Erweitern multiplizierst du – du addierst nicht.

Falsch: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2+3}{5+3} = \dfrac{5}{8}$

Richtig: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \dfrac{6}{15}$

Addition verändert das Verhältnis zwischen Zähler und Nenner – und damit den Wert des Bruchs.

Achtung

Stolperstein 2: Nur einen Teil des Bruchs verändern

Wer nur den Zähler oder nur den Nenner multipliziert, verändert den Wert.

Falsch: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5}$ (nur der Zähler wurde mit 3 multipliziert)

Richtig: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15}$ (Zähler und Nenner mit 3 multipliziert)

Dasselbe gilt für verschiedene Zahlen oben und unten: $\dfrac{2 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \dfrac{6}{10}$ ist nicht gleichwertig zu $\dfrac{2}{5}$.

Achtung

Stolperstein 3: Nicht vollständig kürzen

$\dfrac{12}{18}$ durch 2 gekürzt ergibt $\dfrac{6}{9}$ – das ist richtig, aber noch nicht fertig. 6 und 9 sind beide durch 3 teilbar: $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$. Prüfe nach jedem Kürzungsschritt, ob Zähler und Nenner noch einen gemeinsamen Teiler haben. Erst wenn nur noch die 1 übrig bleibt, ist der Bruch vollständig gekürzt.

Achtung

Stolperstein 4: Aus Summen kürzen

Kürzen ist nur erlaubt, wenn Zähler und Nenner als Produkte vorliegen – nie bei einzelnen Summanden.

Falsch: $\dfrac{2+6}{4} = \dfrac{2+3}{2}$ (die 6 und die 4 wurden „gekürzt”)

Richtig: Erst die Summe ausrechnen, dann kürzen: $\dfrac{2+6}{4} = \dfrac{8}{4} = 2$

Merksatz: Aus Summen kürzen nur die Dummen. Dieser Spruch begleitet dich bis in die Algebra.

Beispiel:

Beispiel 3: Schrittweise kürzen bei grossen Zahlen

Kürze den Bruch $\dfrac{45}{105}$ vollständig.

Gegeben: Bruch $\dfrac{45}{105}$

Gesucht: Der vollständig gekürzte Bruch

Lösung:

Bei grösseren Zahlen ist der grösste gemeinsame Teiler schwerer zu erkennen. Du gehst systematisch vor. Beide Zahlen enden auf 5, sind also durch 5 teilbar:

$$\frac{45}{105} = \frac{45 : 5}{105 : 5} = \frac{9}{21}$$

Jetzt prüfst du den neuen Bruch. Die Quersumme von 9 ist 9, die von 21 ist 3 – beide Zahlen sind durch 3 teilbar:

$$\frac{9}{21} = \frac{9 : 3}{21 : 3} = \frac{3}{7}$$

Die Zahlen 3 und 7 sind Primzahlen und haben keinen gemeinsamen Teiler. Der Bruch ist vollständig gekürzt.

Antwort: $\dfrac{45}{105} = \dfrac{3}{7}$

Kontrolle: Erweitere zurück: $\dfrac{3 \cdot 15}{7 \cdot 15} = \dfrac{45}{105}$. ✓ Du hättest also auch direkt durch 15 kürzen können – der ggT von 45 und 105 ist 15.

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Das Kuchenrezept

Du backst Kuchen für ein Schulfest. Das Rezept verlangt $\dfrac{6}{8}$ Liter Milch. Dein Messbecher zeigt aber nur Viertelliter-Markierungen. Wie viel Milch misst du ab?

Gegeben:

• Benötigte Menge: $\dfrac{6}{8}$ Liter Milch
• Messbecher mit Markierungen in Vierteln

Gesucht: Die Menge als Bruch mit Nenner 4

Lösung:

Du kürzt den Bruch $\dfrac{6}{8}$. Beide Zahlen sind gerade, also durch 2 teilbar:

$$\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}$$

Am Rechteckmodell: Stell dir den Messbecher als Streifen mit 8 gleichen Feldern vor, von denen 6 gefüllt sind. Fasst du je 2 Felder zu einem zusammen, bleiben 3 gefüllte von 4 Feldern – dieselbe Milchmenge, gröber eingeteilt.

Antwort: Du misst $\dfrac{3}{4}$ Liter Milch ab – das ist die Dreiviertel-Markierung auf dem Messbecher.

Kontrolle: $\dfrac{3}{4}$ mit 2 erweitert ergibt $\dfrac{6}{8}$. ✓

Vertiefung

Bisher hast du gemeinsame Teiler durch Probieren gefunden. Mit dem grössten gemeinsamen Teiler (ggT) geht es schneller und sicherer: Kürzt du durch den ggT, erhältst du den vollständig gekürzten Bruch in einem einzigen Schritt.

Definition

Der ggT zweier Zahlen ist die grösste Zahl, die beide ohne Rest teilt.

Beispiel: Die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6, 12. Die Teiler von 18 sind 1, 2, 3, 6, 9, 18. Gemeinsame Teiler sind 1, 2, 3 und 6 – der grösste davon ist 6. Also gilt $\text{ggT}(12, 18) = 6$.

Kürzt du einen Bruch durch den ggT von Zähler und Nenner, ist das Ergebnis garantiert vollständig gekürzt.

Den ggT findest du auf zwei Wegen. Weg 1 – Teilerlisten: Schreibe alle Teiler beider Zahlen auf und wähle den grössten gemeinsamen. Das funktioniert gut bei kleinen Zahlen. Weg 2 – Primfaktorzerlegung: Zerlege beide Zahlen in Primfaktoren und multipliziere alle Faktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen. Bei grossen Zahlen ist dieser Weg deutlich schneller.

Das Erweitern hat ein ebenso wichtiges Ziel: das Gleichnamigmachen. Willst du Brüche vergleichen oder addieren, brauchen sie denselben Nenner. Dazu suchst du ein gemeinsames Vielfaches der Nenner – am besten das kleinste – und erweiterst beide Brüche darauf. Diese Technik ist die direkte Vorbereitung auf das Addieren und Subtrahieren von Brüchen.

Ein Ausblick auf die Algebra: In der Oberstufe kürzt du Brüche mit Variablen wie $\dfrac{6x}{9x}$. Die Regel bleibt exakt dieselbe – gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner dürfen gestrichen werden. Wer das Kürzen mit Zahlen sicher beherrscht, hat es später mit Termen leicht.

Beispiel:

Beispiel 5: Vollständig kürzen mit dem ggT

Kürze den Bruch $\dfrac{84}{126}$ in einem einzigen Schritt vollständig.

Gegeben: Bruch $\dfrac{84}{126}$

Gesucht: Der vollständig gekürzte Bruch, gekürzt durch den ggT

Lösung:

Du zerlegst beide Zahlen in Primfaktoren:

$$84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \qquad 126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$$

Gemeinsame Primfaktoren sind eine 2, eine 3 und eine 7:

$$\text{ggT}(84, 126) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$$

Jetzt kürzt du durch 42:

$$\frac{84}{126} = \frac{84 : 42}{126 : 42} = \frac{2}{3}$$

Antwort: $\dfrac{84}{126} = \dfrac{2}{3}$ – vollständig gekürzt in einem Schritt.

Kontrolle: $\dfrac{2 \cdot 42}{3 \cdot 42} = \dfrac{84}{126}$. ✓ Die Zahlen 2 und 3 haben keinen gemeinsamen Teiler ausser der 1.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Löse sie ohne Taschenrechner – beim Erweitern und Kürzen zählt das Kopfrechnen. Die vollständigen Lösungswege findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Erweitere $\dfrac{1}{3}$ auf den Nenner 12.

Aufgabe 2: Erweitere $\dfrac{3}{7}$ mit der Zahl 5.

Aufgabe 3: Kürze $\dfrac{6}{9}$ vollständig.

Aufgabe 4: Kürze $\dfrac{15}{25}$ vollständig.

Aufgabe 5: Kürze $\dfrac{36}{48}$ vollständig. Bestimme zuerst den ggT von 36 und 48.

Aufgabe 6: Erweitere die Brüche $\dfrac{2}{3}$ und $\dfrac{3}{4}$ so, dass beide den Nenner 12 haben.

Aufgabe 7: Ein Rezept für 4 Personen braucht $\dfrac{8}{12}$ kg Mehl. Schreibe den Bruch in der einfachsten Form.

Aufgabe 8: Du möchtest die Brüche $\dfrac{2}{5}$, $\dfrac{3}{10}$ und $\dfrac{1}{2}$ vergleichen. Erweitere alle drei auf den gemeinsamen Nenner 10 und ordne sie der Grösse nach.

Aufgabe 9: Kürze $\dfrac{60}{72}$ vollständig. Arbeite mit dem ggT.

Aufgabe 10: Bestimme die fehlende Zahl: $\dfrac{7}{9} = \dfrac{x}{63}$.

Das Wichtigste in Kürze

• Gleichwertige Brüche beschreiben denselben Anteil eines Ganzen – am Rechteckmodell bedecken sie dieselbe Fläche.
• Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren – $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot n}{b \cdot n}$.
• Kürzen: Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler dividieren – die Umkehrung des Erweiterns.
• Goldene Regel: Was du oben machst, machst du auch unten – immer mit derselben Zahl, immer multiplizieren oder dividieren, nie addieren.
• Vollständig gekürzt ist ein Bruch, wenn Zähler und Nenner nur noch die 1 als gemeinsamen Teiler haben.
• Der ggT kürzt in einem Schritt: Kürzt du durch den grössten gemeinsamen Teiler, ist das Ergebnis garantiert die einfachste Form.
• Gleichnamig machen durch Erweitern ist die Vorbereitung fürs Vergleichen und Addieren von Brüchen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Erweitere $\dfrac{3}{4}$ auf den Nenner 20.

Lösung anzeigen

Vom Nenner 4 zum Nenner 20: $20 : 4 = 5$, du erweiterst also mit 5.

$$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$$

Kontrolle: $\dfrac{15}{20}$ durch 5 gekürzt ergibt wieder $\dfrac{3}{4}$. ✓

❓ Frage:

Kürze $\dfrac{16}{40}$ vollständig. Welchen ggT verwendest du?

Lösung anzeigen

Die Teiler von 16 sind 1, 2, 4, 8, 16. Die Teiler von 40 sind 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. Der grösste gemeinsame Teiler ist 8.

$$\frac{16}{40} = \frac{16 : 8}{40 : 8} = \frac{2}{5}$$

Die Zahlen 2 und 5 sind teilerfremd – der Bruch ist vollständig gekürzt.

❓ Frage:

Ist der Bruch $\dfrac{21}{35}$ vollständig gekürzt? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Nein. Beide Zahlen sind durch 7 teilbar: $21 = 3 \cdot 7$ und $35 = 5 \cdot 7$.

$$\frac{21}{35} = \frac{21 : 7}{35 : 7} = \frac{3}{5}$$

Erst $\dfrac{3}{5}$ ist vollständig gekürzt, denn 3 und 5 haben keinen gemeinsamen Teiler ausser der 1.

❓ Frage:

Welchen Fehler enthält diese Rechnung: $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2+4}{3+4} = \dfrac{6}{7}$? Wie lautet die richtige Erweiterung mit 4?

Lösung anzeigen

Der Fehler: Es wurde addiert statt multipliziert. Addition verändert das Verhältnis zwischen Zähler und Nenner – $\dfrac{6}{7}$ ist deutlich grösser als $\dfrac{2}{3}$.

Richtig erweitert mit 4:

$$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$$

❓ Frage:

Nenne alle Brüche mit einem Nenner von 2 bis 10, die gleichwertig zu $\dfrac{1}{2}$ sind. Wie sehen sie am Rechteckmodell aus?

Lösung anzeigen

Du erweiterst $\dfrac{1}{2}$ der Reihe nach mit 2, 3, 4 und 5:

$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10}$$

Am Rechteckmodell ist immer genau die Hälfte der Fläche gefärbt – nur die Anzahl der Felder ändert sich: 2, 4, 6, 8 oder 10 Felder, davon jeweils die Hälfte gefärbt.

Ausblick

Jetzt beherrschst du das Erweitern und Kürzen von Brüchen. Damit bist du bereit für den nächsten Schritt: das Vergleichen von Brüchen und das Addieren und Subtrahieren. Dort wendest du deine neuen Fähigkeiten direkt an: Um Brüche zu addieren, machst du sie zuerst durch Erweitern gleichnamig. Das Kürzen brauchst du, um dein Endergebnis in der einfachsten Form anzugeben. Ohne sicheres Erweitern und Kürzen kommst du in der Bruchrechnung nicht weiter – mit ihnen hast du das Fundament gelegt.

Lösungen

Lösung 1: Um von Nenner 3 auf Nenner 12 zu kommen, rechnest du $12 : 3 = 4$. Du erweiterst also mit 4:

$$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$$

Kontrolle: $\dfrac{4}{12}$ durch 4 gekürzt ergibt wieder $\dfrac{1}{3}$. ✓

Lösung 2: Du multiplizierst Zähler und Nenner jeweils mit 5:

$$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{15}{35}$$

Lösung 3: Die Quersummen 6 und 9 zeigen: Beide Zahlen sind durch 3 teilbar. Das ist zugleich der ggT:

$$\frac{6}{9} = \frac{6 : 3}{9 : 3} = \frac{2}{3}$$

Die Zahlen 2 und 3 haben keinen gemeinsamen Teiler ausser der 1 – der Bruch ist vollständig gekürzt.

Lösung 4: Beide Zahlen enden auf 5 und sind durch 5 teilbar:

$$\frac{15}{25} = \frac{15 : 5}{25 : 5} = \frac{3}{5}$$

Die Zahlen 3 und 5 sind Primzahlen – der Bruch ist vollständig gekürzt.

Lösung 5: Du bestimmst den ggT über die Primfaktorzerlegung: $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ und $48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$. Gemeinsam sind zwei 2er und eine 3, also $\text{ggT}(36, 48) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$:

$$\frac{36}{48} = \frac{36 : 12}{48 : 12} = \frac{3}{4}$$

Alternativ kürzt du schrittweise: erst durch 2, nochmals durch 2, dann durch 3. Das Ergebnis ist dasselbe.

Lösung 6: Für $\dfrac{2}{3}$ erweiterst du mit 4, denn $3 \cdot 4 = 12$:

$$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$$

Für $\dfrac{3}{4}$ erweiterst du mit 3, denn $4 \cdot 3 = 12$:

$$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$$

Beide Brüche haben jetzt den Nenner 12: $\dfrac{8}{12}$ und $\dfrac{9}{12}$.

Lösung 7: Du kürzt $\dfrac{8}{12}$. Der ggT von 8 und 12 ist 4:

$$\frac{8}{12} = \frac{8 : 4}{12 : 4} = \frac{2}{3}$$

Das Rezept braucht also $\dfrac{2}{3}$ kg Mehl für 4 Personen.

Lösung 8: Für $\dfrac{2}{5}$ erweiterst du mit 2, denn $5 \cdot 2 = 10$:

$$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10}$$

$\dfrac{3}{10}$ hat bereits den Nenner 10. Für $\dfrac{1}{2}$ erweiterst du mit 5, denn $2 \cdot 5 = 10$:

$$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$$

Jetzt vergleichst du die Zähler: $\dfrac{3}{10} < \dfrac{4}{10} < \dfrac{5}{10}$, also gilt $\dfrac{3}{10} < \dfrac{2}{5} < \dfrac{1}{2}$.

Lösung 9: Primfaktorzerlegung: $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ und $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$. Gemeinsam sind zwei 2er und eine 3, also $\text{ggT}(60, 72) = 12$:

$$\frac{60}{72} = \frac{60 : 12}{72 : 12} = \frac{5}{6}$$

Kontrolle: $\dfrac{5 \cdot 12}{6 \cdot 12} = \dfrac{60}{72}$. ✓ Die Zahlen 5 und 6 sind teilerfremd.

Lösung 10: Vom Nenner 9 zum Nenner 63: $63 : 9 = 7$. Der Bruch wurde also mit 7 erweitert. Den Zähler musst du ebenfalls mit 7 multiplizieren:

$$x = 7 \cdot 7 = 49 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{7}{9} = \frac{49}{63}$$

Kontrolle: Kürze $\dfrac{49}{63}$ durch 7: $49 : 7 = 7$ und $63 : 7 = 9$, also $\dfrac{7}{9}$. ✓ Die fehlende Zahl ist $x = 49$.

Verwandte Themen

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport