Ähnliche Figuren

Darum geht's

Wenn du ein Bild am Handy mit zwei Fingern grösser ziehst, bleibt die Form gleich — nur die Grösse ändert sich. Wenn du eine Landkarte im Massstab $1 : 25\,000$ liest, rechnest du gedanklich den gleichen Streckfaktor rückwärts. Und wenn du die Höhe eines Baumes aus seinem Schatten bestimmst, nutzt du die Strahlensätze. All das sind Anwendungen ähnlicher Figuren — Figuren, die dieselbe Form haben, aber verschieden gross sind.

In diesem Kapitel baust du auf der Kongruenz der 7./8. Klasse auf und erweiterst sie: Bei Kongruenz müssen Figuren deckungsgleich sein, bei Ähnlichkeit reicht es, dass sie formgleich sind.

Worum geht es?

Zwei Figuren heissen ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung aufeinander abgebildet werden können — also durch eine Kombination aus Verschiebung, Drehung, Spiegelung und zentrischer Streckung. Konkret heisst das: Entsprechende Winkel sind gleich, und entsprechende Seitenlängen stehen im selben Verhältnis. Dieses Verhältnis nennt man Ähnlichkeitsfaktor $k$.

Die zentrische Streckung ist die zentrale neue Abbildung des Kapitels: Von einem Streckzentrum $Z$ aus wird jeder Punkt um den Faktor $k$ gestreckt. $k > 1$ vergrössert, $0 < k < 1$ verkleinert, $k < 0$ dreht zusätzlich um $180°$. Ist $k = 1$, bleibt alles gleich.

Zwei besonders wichtige Werkzeuge bauen darauf auf: die Strahlensätze (Längenverhältnisse an zwei Strahlen, die ein Parallelenpaar schneiden) und die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke (Dreiecke sind ähnlich, sobald zwei Winkel übereinstimmen — $WW$-Satz — oder wenn die Seitenverhältnisse gleich sind).

Eine oft unterschätzte Konsequenz: Beim Strecken mit Faktor $k$ wächst die Fläche mit $k^2$ und das Volumen mit $k^3$. Wenn du ein Modellhaus im Massstab $1 : 100$ baust, ist die Dachfläche $10\,000$-mal und das Raumvolumen $1\,000\,000$-mal kleiner als beim Original.

Was du schon können solltest

Für dieses Kapitel brauchst du:

• den Kongruenzbegriff und die Kongruenzsätze als Ausgangspunkt,
• sicheres Rechnen mit Brüchen und Verhältnissen,
• die Grundkonstruktionen aus der Geometrie der 7./8. Klasse (Zirkel, Lineal, parallele Geraden),
• Gleichungen mit einer Variablen — Strahlensätze führen oft zu linearen Gleichungen.

Was du in diesem Kapitel lernst

Fünf Lektionen, die Schritt für Schritt vom Begriff zur Anwendung führen:

1. Ähnlichkeitsabbildungen — was “ähnlich” exakt bedeutet, welche Abbildungen die Ähnlichkeit erhalten, und wie du den Ähnlichkeitsfaktor bestimmst.
2. Zentrische Streckung — die Konstruktion: Strahl durch $Z$ und den Urpunkt, Streckenlänge mit $k$ multiplizieren. Auch für $k < 0$ (Punktspiegelung mit Skalierung).
3. Ähnliche Dreiecke — die drei Ähnlichkeitssätze ($WW$, $SS$, $SWS$-Verhältnis) und wie man sie zur Berechnung unbekannter Längen nutzt.
4. Strahlensätze — der erste und zweite Strahlensatz: $\tfrac{ZA}{ZB} = \tfrac{ZC}{ZD}$ bzw. $\tfrac{AC}{BD}$ in der üblichen Anordnung. Klassisches Werkzeug der Mittelstufe.
5. Fläche und Volumen strecken — $A' = k^2 \cdot A$, $V' = k^3 \cdot V$. Diese quadratische/kubische Skalierung ist beim Massstäblichen unverzichtbar.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Ähnlich — formgleich: gleiche Winkel, proportionale Seiten.
• Ähnlichkeitsfaktor ($k$) — Verhältnis entsprechender Seiten.
• Zentrische Streckung — Abbildung mit einem festen Streckzentrum und Faktor $k$.
• Streckzentrum ($Z$) — der Fixpunkt der Streckung.
• Strahlensätze — Verhältnisregeln für Strecken, wenn zwei Strahlen von einem Punkt ausgehen und von Parallelen geschnitten werden.
• $WW$-Satz — zwei Winkel gleich ⇒ Dreiecke ähnlich (der dritte Winkel ergibt sich aus der Winkelsumme).
• Massstab — Ähnlichkeitsfaktor $k$ in der Form $1 : n$.

Häufige Denkfehler

Achtung

Der Klassiker: Beim Verdoppeln einer Figur verdoppelt sich die Fläche nicht. Sie vervierfacht sich. Fläche skaliert mit $k^2$, Volumen mit $k^3$.

1. “Ähnliche Figuren sind kongruente Figuren.” Nein — kongruent heisst deckungsgleich ($k = 1$). Ähnlich heisst formgleich, mit beliebigem $k > 0$. Jede Kongruenz ist eine Ähnlichkeit mit $k = 1$, aber nicht umgekehrt.
2. “Wenn ich die Seitenlängen verdoppele, verdoppelt sich die Fläche.” Falsch. Bei einer Streckung mit $k = 2$ wird die Fläche $4\,$-mal so gross: $A' = 2^2 \cdot A = 4 A$. Das merkst du sofort an einem Quadrat: aus $1 \times 1$ wird $2 \times 2$, also $1 \to 4$.
3. “Beim Strahlensatz darf ich beliebige Strecken ins Verhältnis setzen.” Nur die entsprechenden Strecken. Eine saubere Skizze mit gekennzeichneten Strahlen und Parallelen ist Pflicht, sonst schleicht sich genau dieser Fehler ein.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Ähnliche Figuren gehören zu MA.2 – Form und Raum, 3. Zyklus:

• MA.2.A.2 – Ähnliche Figuren erkennen, konstruieren und begründen.
• MA.2.A.3 – Strahlensätze zur Berechnung unbekannter Längen anwenden.
• MA.2.B.2 – Zusammenhänge zwischen Streckung, Fläche und Volumen darstellen.

Der Ähnlichkeitsbegriff und die zentrische Streckung gelten als Grundanspruch im 3. Zyklus. Die Strahlensätze und das Skalierungsverhalten von Fläche und Volumen gehören zu den erweiterten Anforderungen der 9./10. Klasse und sind in der Oberstufe und im Gymnasium vorausgesetzt.

Die Themen im Überblick

• Ähnlichkeitsabbildungen: Ähnliche Figuren erkennen und berechnen
• Zentrische Streckung: Figuren vergrössern und verkleinern
• Ähnliche Dreiecke: So erkennst du sie auf einen Blick
• Strahlensätze: So berechnest du ähnliche Figuren
• Fläche und Volumen strecken: So funktioniert es

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport