Ganze Zahlen

Darum geht's

Wenn du eine Temperatur von $-7\,°\text{C}$ im Wetterbericht siehst oder auf dem Kontoauszug steht, dass du $-20$ Franken im Minus bist, hast du es mit ganzen Zahlen zu tun. Sie sind die Erweiterung der natürlichen Zahlen um alles, was “unter null” liegt — und genau darum brauchen wir sie: ohne negative Zahlen liessen sich Kälte, Schulden oder Höhen unter dem Meeresspiegel gar nicht sauber beschreiben.

In diesem Kapitel lernst du, wie du mit ganzen Zahlen rechnest: addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren. Und du lernst die kleinen Vorzeichenregeln, die am Anfang ungewohnt wirken — dahinter steckt aber eine saubere Logik.

Worum geht es?

Die natürlichen Zahlen sind $0, 1, 2, 3, \ldots$ — das, womit du seit der Grundschule rechnest. Bei ihnen gibt es aber ein Problem: Rechnungen wie $3 - 7$ haben in den natürlichen Zahlen keine Lösung. Du kannst nicht “weniger als null” zählen.

Die ganzen Zahlen schliessen diese Lücke. Sie bestehen aus:

• den natürlichen Zahlen ($0, 1, 2, 3, \ldots$),
• und ihren Gegenzahlen (den negativen Zahlen $-1, -2, -3, \ldots$).

Auf dem Zahlenstrahl ordnest du sie so an, dass $0$ in der Mitte liegt, die positiven Zahlen nach rechts wachsen und die negativen nach links. Zwei Zahlen wie $+5$ und $-5$ haben denselben Abstand zur Null, nur die Richtung ist verschieden.

Was du schon können solltest

Bevor du mit ganzen Zahlen arbeitest, solltest du sicher sein im Umgang mit:

• den natürlichen Zahlen und den vier Grundrechenarten (Plus, Minus, Mal, Geteilt),
• dem Zahlenstrahl und der Ordnung $<, >, =$,
• dem Begriff Vorzeichen (das kleine Zeichen vor einer Zahl).

Falls eines dieser Themen noch wacklig ist: Schau dort zuerst vorbei. Der Rest baut direkt darauf auf.

Was du in diesem Kapitel lernst

Die vier Lektionen bauen aufeinander auf:

1. Was negative Zahlen sind und wie sie auf dem Zahlenstrahl liegen — der Grundbaustein.
2. Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen. Hier lernst du, warum “Minus mal Minus” gleich “Plus” werden kann und wie du Klammern auflöst.
3. Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen — die berühmten Vorzeichenregeln.
4. Rechenausdrücke mit gemischten Operationen. Punkt vor Strich gilt weiter, aber jetzt mit Vorzeichen.

Arbeite die Themen am besten der Reihe nach durch.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Vorzeichen — das $+$ oder $-$ vor einer Zahl. $+3$ (positiv) und $-3$ (negativ) sind verschiedene Zahlen.
• Gegenzahl — die Zahl mit entgegengesetztem Vorzeichen. Die Gegenzahl von $7$ ist $-7$, die Gegenzahl von $-12$ ist $12$.
• Betrag (Schreibweise $|a|$) — der Abstand einer Zahl zur Null. Es gilt $|{-5}| = 5$ und $|7| = 7$. Der Betrag ist nie negativ.
• Zahlenstrahl — die Gerade, auf der alle ganzen Zahlen der Reihe nach eingetragen sind.
• Ganze Zahlen als Menge schreibt man $\mathbb{Z}$ (für das deutsche Wort “Zahlen”, weil “Z” frei war; das $\mathbb{N}$ war schon für die natürlichen vergeben).

Häufige Denkfehler

Achtung

Diese drei Stolperfallen sehen wir in den Aufgaben immer wieder. Wenn du sie kennst, vermeidest du sie automatisch.

1. “Minus ist immer kleiner.” Stimmt für die Zahl selbst ($-5 < 3$), aber nicht für den Betrag: $-100$ ist kleiner als $-3$, obwohl die “reine Zahl” ohne Vorzeichen grösser wirkt. Merke: weiter links auf dem Zahlenstrahl = kleiner.
2. “Zwei Minus heben sich nie auf.” Doch — aber nur in bestimmten Fällen. $-(-5) = +5$, weil “die Gegenzahl der Gegenzahl” wieder die ursprüngliche Zahl ist. Bei einer Subtraktion wie $8 - 3$ darfst du die beiden Zeichen natürlich nicht streichen.
3. “Bei $-2 \cdot -3$ kommt $-6$ heraus.” Nein. Minus mal Minus ergibt Plus, also $+6$. Das ist keine Willkür, sondern folgt aus dem Distributivgesetz.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Die ganzen Zahlen gehören zum Kompetenzbereich MA.1 – Zahl und Variable, 2. Zyklus (5./6. Klasse) mit Übergang in den 3. Zyklus (7. Klasse):

• MA.1.A.1 – Begriffe wie “positive Zahlen”, “negative Zahlen”, “Vorzeichen”, “ganze Zahlen” verstehen.
• MA.1.A.2 – Positive und negative Zahlen auf dem Zahlenstrahl ordnen (Grundanspruch).
• MA.1.A.3 – Mit ganzen Zahlen rechnen: addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren.

Die ersten beiden Lektionen dieses Kapitels decken den Grundanspruch ab. Die Rechenausdrücke mit gemischten Operationen zählen zur Erweiterung und helfen dir, das Terrain für Terme und Gleichungen ab der 7. Klasse vorzubereiten.

Die Themen im Überblick

• Negative Zahlen — was sie sind, wo sie im Alltag auftauchen, wie man sie auf dem Zahlenstrahl ordnet.
• Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen — die Regeln für Plus und Minus mit Vorzeichen, inklusive Klammerauflösen.
• Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen — die Vorzeichenregel und warum Minus mal Minus Plus ergibt.
• Rechenausdrücke mit ganzen Zahlen — gemischte Terme sauber lösen, Punkt vor Strich, Klammern.

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport