Terme und Gleichungen

Darum geht's

Wenn du die Telefonnummer einer Freundin suchst, kennst du sie entweder oder nicht. In der Mathematik gibt es eine dritte Möglichkeit: du kennst sie noch nicht, aber du kannst sie ausrechnen. Genau darum geht es bei Termen und Gleichungen. Du gibst dem Unbekannten einen Namen wie $x$ und stellst eine Gleichung auf, die es dir verrät.

Dieses Kapitel ist dein erster Schritt in die Algebra — jenes Gebiet der Mathematik, das aus “Dinge ausrechnen” “Strukturen verstehen” macht.

Worum geht es?

Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen: $3x + 5$, $a \cdot b$, $\tfrac{n}{2}$. Er liefert einen Wert, sobald du für die Variablen Zahlen einsetzt.

Eine Gleichung setzt zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen in Beziehung: $3x + 5 = 20$. Sie ist erst einmal eine Behauptung — wahr für manche Werte von $x$, falsch für andere. Gleichungen zu lösen heisst: herausfinden, für welche Werte der Variablen die Behauptung stimmt. In diesem Beispiel: $x = 5$.

Mit dieser Idee kannst du plötzlich Alltagsprobleme wie “Drei Äpfel und ein Brot kosten zusammen $\text{CHF}\ 8$ — wie viel kostet ein Apfel, wenn das Brot $\text{CHF}\ 2$ kostet?” systematisch angehen.

Was du schon können solltest

Für einen guten Start brauchst du:

• die natürlichen Zahlen und die Grundrechenarten (inklusive Rechenreihenfolge),
• die wichtigsten Rechengesetze (Kommutativ, Assoziativ, Distributiv),
• ein Grundverständnis für Brüche — in Termen tauchen sie regelmässig auf.

Was du in diesem Kapitel lernst

Vier Lektionen, die dich vom Term bis zur gelösten Gleichung bringen:

1. Terme mit einer Variablen — was eine Variable ist, wie man sie einsetzt und welche Konventionen es gibt (zum Beispiel: $3x$ statt $3 \cdot x$).
2. Terme aufstellen — aus einem Textproblem einen Term machen. Das ist der schwierigste Teil, aber auch der nützlichste.
3. Grundregeln für das Rechnen mit Termen — Gleichartige Terme zusammenfassen, Klammern auflösen, Distributivgesetz anwenden.
4. Gleichungen: Grundlagen — was eine Lösung ist, wie du durch Äquivalenzumformungen beide Seiten gleich behandelst und die Variable isolierst.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Variable — ein Buchstabe, der für eine (noch unbekannte oder variable) Zahl steht. Häufig $x, y, n, a, b$.
• Term — mathematischer Ausdruck, der sich zu einer Zahl auswerten lässt, sobald alle Variablen Werte haben.
• Koeffizient — die Zahl vor einer Variablen. In $7x$ ist $7$ der Koeffizient.
• Gleichung — zwei Terme, verbunden mit einem Gleichheitszeichen.
• Lösung — ein Wert (oder mehrere), der die Gleichung wahr macht.
• Äquivalenzumformung — eine Operation, die beide Seiten einer Gleichung gleich verändert, ohne die Lösung zu ändern.

Häufige Denkfehler

Achtung

Algebra ist weniger rechnen als umformen. Die meisten Fehler entstehen, wenn man Schritte abkürzt, die eigentlich sauber getrennt gehören.

1. ”$x$ ist einfach $1$.” Nein. $x$ steht für irgendeine Zahl. In $5 + x = 12$ ist $x = 7$, in $3x = 12$ ist $x = 4$. Du liest $x$ nicht als Zahl, sondern als Platzhalter.
2. “Bei $3(x + 2)$ multipliziere ich nur den vorderen Summanden.” Das Distributivgesetz verlangt, dass du alle Summanden in der Klammer mit dem Faktor multiplizierst: $3(x + 2) = 3x + 6$.
3. “Ich kann bei einer Gleichung etwas nur auf einer Seite machen.” Nein. Jede Operation muss auf beiden Seiten durchgeführt werden, sonst ist die Gleichung nicht mehr äquivalent.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Terme und Gleichungen gehören zum Kompetenzbereich MA.1 – Zahl und Variable, 2. Zyklus mit Übergang zum 3. Zyklus:

• MA.1.A.4 – Mit Variablen und Termen arbeiten.
• MA.1.A.5 – Einfache Gleichungen durch Ausprobieren und durch Äquivalenzumformungen lösen.
• MA.1.C.1 – Textaufgaben in einen Term / eine Gleichung übersetzen.

Das Aufstellen und Auswerten von Termen gilt als Grundanspruch für den 2. Zyklus. Das Lösen von Gleichungen durch systematische Äquivalenzumformungen ist der Einstieg in den 3. Zyklus und wird in der 7./8. Klasse weiter vertieft.

Die Themen im Überblick

• Terme mit einer Variablen
• Terme aufstellen
• Grundregeln für das Rechnen mit Termen
• Gleichungen Grundlagen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport