Unechte Brüche und gemischte Zahlen einfach erklärt: So rechnest du sicher um

Darum geht's

Stell dir vor, du hast eine Geburtstagsparty und es gibt Pizza. Jede Pizza ist in 4 gleiche Stücke geschnitten. Am Ende wurden insgesamt 9 Stücke gegessen. Wie viele ganze Pizzen sind das? Du weisst: 4 Stücke ergeben eine ganze Pizza. Also sind 8 Stücke genau 2 Pizzen. Das neunte Stück ist ein Viertel mehr. Das sind $2\dfrac{1}{4}$ Pizzen.

Genau hier kommen zwei wichtige Begriffe ins Spiel: der unechte Bruch und die gemischte Zahl. Beide beschreiben dieselbe Menge – nur auf unterschiedliche Weise. Der unechte Bruch $\dfrac{9}{4}$ sagt: “9 Viertel”. Die gemischte Zahl $2\dfrac{1}{4}$ sagt: “2 Ganze und 1 Viertel”. Auf dieser Seite lernst du, was diese Begriffe bedeuten und wie du sicher zwischen ihnen wechselst.

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Bruchzahlen“
• Vorwissen: Bruchteile und Brüche
• Als Nächstes: Erweitern und Kürzen

Eine kleine Zeitreise

Brüche sind eine der ältesten mathematischen Erfindungen der Menschheit. Menschen mussten schon früh Dinge aufteilen – Getreide, Land, Zeit. Dabei entstanden zwangsläufig Werte zwischen ganzen Zahlen.

Die alten Ägypter nutzten vor über 4000 Jahren fast ausschliesslich sogenannte Stammbrüche. Das sind Brüche mit dem Zähler 1: $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{4}$. Wollten sie $\dfrac{3}{4}$ darstellen, schrieben sie stattdessen $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}$. Im berühmten Papyrus Rhind aus dem Jahr 1650 v. Chr. findet sich eine vollständige Tabelle solcher Zerlegungen.

Die Babylonier arbeiteten mit einem Sexagesimalsystem – also Brüchen auf Basis der Zahl 60. Daraus stammen unsere heutigen Zeiteinheiten: 60 Minuten pro Stunde, 60 Sekunden pro Minute.

Die Römer entwickelten ein zwölfteiliges Bruchsystem. Die Einheit “Uncia” entsprach $\dfrac{1}{12}$ eines Ganzen. Davon leiten sich noch heute die englischen Wörter “ounce” (Unze) und “inch” (Zoll) ab.

Arabische Mathematiker des Mittelalters führten die Bruchschreibweise mit Zähler, Bruchstrich und Nenner ein, die wir heute kennen. Der Mathematiker al-Hassar beschrieb diese Schreibweise im 12. Jahrhundert. Über arabische Übersetzungen griechischer Texte und die Handelsrouten durch Spanien gelangte dieses Wissen nach Europa.

Die gemischte Zahl als eigenständige Schreibform entstand dann in Europa. Händler und Handwerker brauchten eine schnelle, lesbare Darstellung von Werten über 1. “Zweieinviertel Meter Stoff” ist im Alltag greifbarer als ”$\dfrac{9}{4}$ Meter Stoff”.

Diese historische Doppelspurigkeit – zwei Schreibweisen für dieselbe Zahl – ist kein Fehler des Systems. Sie spiegelt zwei verschiedene Bedürfnisse wider: das Rechnen und das Kommunizieren.

Die Grundlagen

Jeder Bruch besteht aus zwei Teilen. Der Nenner (unten) gibt an, in wie viele gleiche Teile ein Ganzes aufgeteilt ist. Der Zähler (oben) gibt an, wie viele dieser Teile du hast.

Bei einem Bruch wie $\dfrac{3}{4}$ ist der Zähler kleiner als der Nenner. Du hast 3 von 4 Teilen – also weniger als ein Ganzes. Solche Brüche heissen echte Brüche. Auf dem Zahlenstrahl liegen sie immer zwischen 0 und 1.

Was passiert, wenn du mehr Teile hast als ein Ganzes enthält? Eine Schokoladentafel hat 8 Stücke. Wenn du 10 Stücke haben möchtest, brauchst du mehr als eine Tafel. Du hast $\dfrac{10}{8}$ – der Zähler ist grösser als der Nenner. Das ist ein unechter Bruch. Er ist immer mindestens 1 oder grösser.

Definition

Ein echter Bruch hat einen Zähler, der kleiner ist als der Nenner. Er ist immer kleiner als 1.

$\text{Echter Bruch: } \frac{a}{b} \text{ mit } a < b$

Ein unechter Bruch hat einen Zähler, der grösser oder gleich dem Nenner ist. Er ist mindestens 1.

$\text{Unechter Bruch: } \frac{a}{b} \text{ mit } a \geq b$

Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch. Sie bedeutet Addition, nicht Multiplikation:

$2\frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4}$

Der Sonderfall $\dfrac{n}{n}$ – wenn Zähler und Nenner gleich sind – entspricht genau 1. Auch er gilt als unechter Bruch, weil der Zähler nicht kleiner ist als der Nenner.

Die Kernmethode

Das Umwandeln zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen folgt zwei klaren Regeln. Beide basieren auf einem einfachen Prinzip: Division mit Rest in die eine Richtung, Multiplikation und Addition in die andere.

Definition

Unechter Bruch → Gemischte Zahl:

Teile den Zähler durch den Nenner. Das ganzzahlige Ergebnis wird die ganze Zahl. Der Rest wird der neue Zähler. Der Nenner bleibt gleich.

$\frac{a}{b} \rightarrow a : b = q \text{ Rest } r \rightarrow q\frac{r}{b}$

Gemischte Zahl → Unechter Bruch:

Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner. Addiere den Zähler. Das Ergebnis ist der neue Zähler. Der Nenner bleibt gleich.

$g\frac{z}{n} = \frac{g \cdot n + z}{n}$

Wichtig: Der Nenner ändert sich bei keiner der beiden Umwandlungen.

Der Nenner gibt die “Art der Teile” an. Viertel bleiben Viertel, egal ob du 3 oder 9 davon hast. Diese Tatsache ist der Kern beider Regeln.

Beispiel:

Beispiel 1: Unechten Bruch umwandeln – Einstieg

Wandle $\dfrac{7}{4}$ in eine gemischte Zahl um.

Lösung:

Schritt 1: Division durchführen

$7 : 4 = 1 \text{ Rest } 3$

Die 4 passt genau 1-mal in die 7 hinein, denn $1 \cdot 4 = 4$. Es bleiben $7 - 4 = 3$ übrig.

Schritt 2: Gemischte Zahl aufschreiben

Die ganze Zahl ist 1. Der Rest 3 wird der neue Zähler. Der Nenner 4 bleibt.

$\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$

Probe durch Rückrechnung:

$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4} \checkmark$

Auf dem Zahlenstrahl liegt $1\dfrac{3}{4}$ genau zwischen 1 und 2, drei Viertelschritte nach der 1.

Beispiel:

Beispiel 2: Gemischte Zahl umwandeln – Aufbauend

Wandle $3\dfrac{2}{5}$ in einen unechten Bruch um.

Lösung:

Schritt 1: Ganze Zahl mal Nenner

In 3 Ganzen stecken $3 \cdot 5 = 15$ Fünftel. Das macht Sinn: Jedes Ganze enthält 5 Fünftel, und du hast 3 Ganze.

Schritt 2: Zähler addieren

$15 + 2 = 17$

Zu den 15 Fünfteln aus den ganzen Zahlen kommen die 2 Fünftel aus dem Bruchteil hinzu.

Schritt 3: Nenner beibehalten

$3\frac{2}{5} = \frac{17}{5}$

Probe durch Rückrechnung:

$17 : 5 = 3 \text{ Rest } 2 \rightarrow 3\frac{2}{5} \checkmark$

Du siehst: Die Formel $g\dfrac{z}{n} = \dfrac{g \cdot n + z}{n}$ gibt exakt diesen Rechenweg wieder.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Stolperstein 1: Gemischte Zahl als Multiplikation lesen

Falsch: $2\dfrac{1}{4} = 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

Richtig: $2\dfrac{1}{4} = 2 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4}$

Die gemischte Zahl bedeutet Addition, nicht Multiplikation. Die Schreibweise ohne Pluszeichen ist nur eine Kurzform aus Bequemlichkeit.

Achtung

Stolperstein 2: Den Nenner bei der Umwandlung ändern

Falsch: $\dfrac{11}{4} = 2\dfrac{3}{2}$ (Nenner wurde fälschlicherweise halbiert)

Richtig: $\dfrac{11}{4} = 2\dfrac{3}{4}$ (Nenner bleibt 4)

Der Nenner gibt an, welche Art von Teilen du hast. Viertel bleiben Viertel. Der Nenner ändert sich niemals bei der Umwandlung.

Achtung

Stolperstein 3: Rest und Ergebnis verwechseln

Bei $\dfrac{14}{3}$: Falsch wäre $4\dfrac{3}{3}$ oder $2\dfrac{4}{3}$.

Richtig: $14 : 3 = 4$ Rest $2$, also $\dfrac{14}{3} = 4\dfrac{2}{3}$.

Das ganzzahlige Ergebnis der Division ($4$) wird die ganze Zahl. Der Rest ($2$) wird der neue Zähler. Nicht umgekehrt.

Achtung

Stolperstein 4: Bruchanteile nicht kürzen

Nach der Umwandlung sollte der Bruchteil immer vollständig gekürzt sein.

Beispiel: $\dfrac{10}{4} = 2\dfrac{2}{4}$, aber $\dfrac{2}{4}$ lässt sich noch zu $\dfrac{1}{2}$ kürzen.

Das vollständige Ergebnis ist: $\dfrac{10}{4} = 2\dfrac{1}{2}$.

Überprüfe nach jeder Umwandlung, ob der Bruchteil noch kürzbar ist.

Beispiel:

Beispiel 3: Spezialfall – Division geht glatt auf

Wandle $\dfrac{24}{6}$ in eine gemischte Zahl um.

Lösung:

Schritt 1: Division durchführen

$24 : 6 = 4 \text{ Rest } 0$

Die Division geht ohne Rest auf.

Schritt 2: Ergebnis aufschreiben

Wenn der Rest 0 ist, gibt es keinen Bruchteil. Das Ergebnis ist eine ganze Zahl.

$\frac{24}{6} = 4$

Das ergibt Sinn: 24 Sechstel sind genau 4 Ganze, weil $4 \cdot 6 = 24$.

Merke: Wenn der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist, ergibt sich immer eine ganze Zahl. Du erkennst solche Brüche daran, dass der Zähler durch den Nenner ohne Rest teilbar ist – also das kleine Einmaleins dir sofort das Ergebnis liefert.

Weitere Beispiele: $\dfrac{15}{5} = 3$, $\dfrac{21}{7} = 3$, $\dfrac{36}{9} = 4$.

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Alltagsaufgabe

Für ein Schulprojekt brauchst du Holzlatten. Jede Latte soll $\dfrac{3}{4}$ Meter lang sein. Du brauchst 7 Latten. Wie viel Meter Holz musst du insgesamt kaufen? Gib das Ergebnis als gemischte Zahl an.

Lösung:

Schritt 1: Gesamtlänge berechnen

$7 \cdot \frac{3}{4} = \frac{7 \cdot 3}{4} = \frac{21}{4}$

Schritt 2: Unechten Bruch umwandeln

$21 : 4 = 5 \text{ Rest } 1$

$\frac{21}{4} = 5\frac{1}{4}$

Antwort:

Du musst $5\dfrac{1}{4}$ Meter Holz kaufen – also etwas mehr als 5 Meter.

Probe:

$5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4} \checkmark$

Das Alltagsbeispiel zeigt: Beim Rechnen ist der unechte Bruch $\dfrac{21}{4}$ praktischer. Für die Angabe im Baumarkt ist die gemischte Zahl $5\dfrac{1}{4}$ verständlicher.

Vertiefung

Wer tiefer in das Thema einsteigen möchte, findet hier zwei fortgeschrittene Aspekte.

Brüche auf dem Zahlenstrahl vergleichen

Unechte Brüche und gemischte Zahlen lassen sich auf dem Zahlenstrahl darstellen. Teile dafür jeden Abschnitt zwischen zwei ganzen Zahlen in so viele gleiche Teile, wie der Nenner angibt.

Für Viertel teilst du jeden Abschnitt in 4 Teile. Die Markierungen zwischen 0 und 2 lauten dann: $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{2}{4}$, $\dfrac{3}{4}$, $1$, $\dfrac{5}{4}$, $\dfrac{6}{4}$, $\dfrac{7}{4}$, $2$.

Die Zahl $\dfrac{7}{4}$ und die Zahl $1\dfrac{3}{4}$ liegen an genau derselben Stelle – drei Viertelschritte rechts von der 1.

Brüche ordnen und vergleichen

Wenn du zwei gemischte Zahlen vergleichen möchtest, hilft der Zahlenstrahl. Du kannst sie auch in unechte Brüche umwandeln und dann vergleichen.

Definition

Um zwei Brüche mit demselben Nenner zu vergleichen, schaust du nur auf den Zähler: Der grössere Zähler ergibt die grössere Zahl.

$\frac{7}{4} < \frac{9}{4}, \text{ weil } 7 < 9$

Bei verschiedenen Nennern wandelst du zuerst in einen gemeinsamen Nenner um, bevor du vergleichst.

Warum die Formel funktioniert

Die Formel $g\dfrac{z}{n} = \dfrac{g \cdot n + z}{n}$ ist keine Zauberei. Sie folgt aus der Addition gleichnamiger Brüche:

$g\frac{z}{n} = g + \frac{z}{n} = \frac{g \cdot n}{n} + \frac{z}{n} = \frac{g \cdot n + z}{n}$

Jede ganze Zahl lässt sich als Bruch mit beliebigem Nenner schreiben: $g = \dfrac{g \cdot n}{n}$. Dann kann man die Brüche addieren, weil sie denselben Nenner haben.

Beispiel:

Beispiel 5: Vertiefung – Brüche der Grösse nach ordnen

Ordne die folgenden Zahlen von der kleinsten zur grössten:

$\frac{11}{5}, \quad 2\frac{1}{4}, \quad \frac{7}{3}, \quad 2\frac{2}{3}$

Lösung:

Schritt 1: Alle Zahlen in Dezimalzahlen umrechnen (zum Vergleich)

$\frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2{,}2$

$2\frac{1}{4} = 2{,}25$

$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2{,}33$

$2\frac{2}{3} \approx 2{,}67$

Schritt 2: Reihenfolge aufschreiben

$\frac{11}{5} < 2\frac{1}{4} < \frac{7}{3} < 2\frac{2}{3}$

Kontrolle: Alle vier Zahlen liegen zwischen 2 und 3. Die Ganzzahlen sind also gleich. Der Unterschied liegt allein im Bruchteil: $\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{3} < \dfrac{2}{3}$.

Übungen

Die folgenden 10 Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Löse sie zuerst selbst, bevor du in den Lösungen nachschaust.

Gruppe A: Erkennen (Aufgaben 1–2)

Aufgabe 1: Entscheide für jeden Bruch: echter Bruch, unechter Bruch oder ganze Zahl?

a) $\dfrac{3}{7}$ — b) $\dfrac{9}{4}$ — c) $\dfrac{12}{12}$ — d) $\dfrac{5}{11}$ — e) $\dfrac{18}{6}$

Aufgabe 2: Welche der folgenden Zahlen sind gemischte Zahlen, welche echte Brüche?

a) $3\dfrac{1}{2}$ — b) $\dfrac{2}{9}$ — c) $7\dfrac{4}{5}$ — d) $\dfrac{7}{8}$ — e) $1\dfrac{1}{10}$

Gruppe B: Umwandeln (Aufgaben 3–6)

Aufgabe 3: Wandle in gemischte Zahlen um.

a) $\dfrac{9}{2}$ — b) $\dfrac{13}{4}$ — c) $\dfrac{25}{7}$ — d) $\dfrac{20}{6}$

Aufgabe 4: Wandle in unechte Brüche um.

a) $3\dfrac{1}{2}$ — b) $2\dfrac{5}{6}$ — c) $4\dfrac{2}{5}$ — d) $7\dfrac{3}{8}$

Aufgabe 5: Wandle um und kürze wenn möglich.

a) $\dfrac{14}{4}$ — b) $\dfrac{15}{6}$ — c) $\dfrac{22}{8}$

Aufgabe 6: Welche unechten Brüche ergeben eine ganze Zahl?

a) $\dfrac{18}{6}$ — b) $\dfrac{20}{7}$ — c) $\dfrac{35}{5}$ — d) $\dfrac{24}{9}$

Gruppe C: Anwenden (Aufgaben 7–10)

Aufgabe 7: Ordne die Zahlen von klein nach gross.

$3\frac{1}{4}, \quad \frac{16}{5}, \quad 3\frac{2}{3}, \quad \frac{10}{3}$

Aufgabe 8: Ein Kuchen wird in 8 Stücke geschnitten. Bei einer Feier werden insgesamt 30 Stücke gegessen. Wie viele Kuchen wurden gebacken? Gib das Ergebnis als gemischte Zahl an.

Aufgabe 9: Ein Rezept für 4 Personen braucht $\dfrac{3}{4}$ Tassen Zucker. Du möchtest für 12 Personen backen. Wie viel Zucker brauchst du? Gib das Ergebnis als gemischte Zahl an.

Aufgabe 10: Ein Schüler behauptet: ”$2\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$, weil man die 2 einfach in den Zähler schreibt.” Erkläre in zwei Sätzen, warum er falsch liegt. Rechne das korrekte Ergebnis aus.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein echter Bruch hat einen kleineren Zähler als Nenner. Er ist kleiner als 1.
• Ein unechter Bruch hat einen Zähler, der mindestens so gross ist wie der Nenner. Er ist mindestens 1.
• Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch. Sie bedeutet Addition: $2\dfrac{1}{4} = 2 + \dfrac{1}{4}$.
• Unecht → Gemischt: Zähler durch Nenner teilen. Ergebnis = ganze Zahl, Rest = neuer Zähler, Nenner bleibt.
• Gemischt → Unecht: Ganze Zahl mal Nenner, dann Zähler addieren. Nenner bleibt.
• Der Nenner ändert sich niemals bei der Umwandlung.
• Nach der Umwandlung den Bruchteil immer kürzen, falls möglich.

❓ Frage: Wandle $\dfrac{19}{6}$ in eine gemischte Zahl um.

Lösung anzeigen

$19 : 6 = 3 \text{ Rest } 1$ $\frac{19}{6} = 3\frac{1}{6}$ Die ganze Zahl ist 3, der Rest 1 wird der neue Zähler, der Nenner 6 bleibt gleich.

❓ Frage: Wandle $4\dfrac{3}{7}$ in einen unechten Bruch um.

Lösung anzeigen

$4\frac{3}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{28 + 3}{7} = \frac{31}{7}$ Probe: $31 : 7 = 4$ Rest $3$, also $4\dfrac{3}{7}$ ✓

❓ Frage: Ein Schüler rechnet: $\dfrac{15}{4} = 3\dfrac{3}{4}$. Stimmt das?

Lösung anzeigen

Ja, die Rechnung ist korrekt. $15 : 4 = 3 \text{ Rest } 3 \rightarrow 3\frac{3}{4}$ Probe: $3\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \dfrac{15}{4}$ ✓

❓ Frage: Ist $5\dfrac{3}{5}$ grösser oder kleiner als $\dfrac{29}{5}$?

Lösung anzeigen

Wandle $5\dfrac{3}{5}$ in einen unechten Bruch um: $5\frac{3}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{28}{5}$ Vergleich: $\dfrac{28}{5}$ gegenüber $\dfrac{29}{5}$. Da $28 < 29$, gilt: $5\dfrac{3}{5} < \dfrac{29}{5}$. $\dfrac{29}{5}$ entspricht $5\dfrac{4}{5}$, also einer grösseren Zahl.

❓ Frage: Warum ergibt $\dfrac{30}{6}$ eine ganze Zahl, aber $\dfrac{29}{6}$ nicht?

Lösung anzeigen

$\dfrac{30}{6} = 5$, weil $30$ ein Vielfaches von $6$ ist: $5 \cdot 6 = 30$. Die Division geht ohne Rest auf. $\dfrac{29}{6} = 4\dfrac{5}{6}$, weil $29 : 6 = 4$ Rest $5$. Die Division geht nicht ohne Rest auf. Ein unechter Bruch ergibt genau dann eine ganze Zahl, wenn der Zähler durch den Nenner ohne Rest teilbar ist.

Ausblick

Du kannst jetzt sicher zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen wechseln. Diese Fähigkeit brauchst du bald beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen: Oft ist es einfacher, gemischte Zahlen zuerst in unechte Brüche umzuwandeln, zu rechnen und das Ergebnis zurückzuwandeln. Auch bei der Multiplikation und Division von Brüchen hilft dir diese Grundlage. Je sicherer du jetzt bist, desto weniger Energie kostet dich das spätere Bruchrechnen.

Lösungen

Aufgabe 1:

a) $\dfrac{3}{7}$: Zähler $3 <$ Nenner $7$ → echter Bruch

b) $\dfrac{9}{4}$: Zähler $9 >$ Nenner $4$ → unechter Bruch

c) $\dfrac{12}{12}$: Zähler $=$ Nenner → unechter Bruch (entspricht genau 1)

d) $\dfrac{5}{11}$: Zähler $5 <$ Nenner $11$ → echter Bruch

e) $\dfrac{18}{6}$: $18 : 6 = 3$ ohne Rest → ganze Zahl (ist technisch ein unechter Bruch, Ergebnis ist 3)

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Aufgabe 2:

a) $3\dfrac{1}{2}$: Ganze Zahl + echter Bruch → gemischte Zahl

b) $\dfrac{2}{9}$: Zähler $2 <$ Nenner $9$ → echter Bruch

c) $7\dfrac{4}{5}$: Ganze Zahl + echter Bruch → gemischte Zahl

d) $\dfrac{7}{8}$: Zähler $7 <$ Nenner $8$ → echter Bruch

e) $1\dfrac{1}{10}$: Ganze Zahl + echter Bruch → gemischte Zahl

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Aufgabe 3:

a) $\dfrac{9}{2}$: $9 : 2 = 4$ Rest $1$ → $4\dfrac{1}{2}$

b) $\dfrac{13}{4}$: $13 : 4 = 3$ Rest $1$ → $3\dfrac{1}{4}$

c) $\dfrac{25}{7}$: $25 : 7 = 3$ Rest $4$ (denn $3 \cdot 7 = 21$, $25 - 21 = 4$) → $3\dfrac{4}{7}$

d) $\dfrac{20}{6}$: $20 : 6 = 3$ Rest $2$ → $3\dfrac{2}{6} = 3\dfrac{1}{3}$ (nach dem Kürzen)

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Aufgabe 4:

a) $3\dfrac{1}{2} = \dfrac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \dfrac{7}{2}$

b) $2\dfrac{5}{6} = \dfrac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \dfrac{17}{6}$

c) $4\dfrac{2}{5} = \dfrac{4 \cdot 5 + 2}{5} = \dfrac{22}{5}$

d) $7\dfrac{3}{8} = \dfrac{7 \cdot 8 + 3}{8} = \dfrac{59}{8}$

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Aufgabe 5:

a) $\dfrac{14}{4}$: $14 : 4 = 3$ Rest $2$ → $3\dfrac{2}{4} = 3\dfrac{1}{2}$ (Kürzen: $\text{ggT}(2,4) = 2$)

b) $\dfrac{15}{6}$: $15 : 6 = 2$ Rest $3$ → $2\dfrac{3}{6} = 2\dfrac{1}{2}$ (Kürzen: $\text{ggT}(3,6) = 3$)

c) $\dfrac{22}{8}$: $22 : 8 = 2$ Rest $6$ → $2\dfrac{6}{8} = 2\dfrac{3}{4}$ (Kürzen: $\text{ggT}(6,8) = 2$)

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Aufgabe 6:

a) $\dfrac{18}{6}$: $18 : 6 = 3$ Rest $0$ → ganze Zahl ✓

b) $\dfrac{20}{7}$: $20 : 7 = 2$ Rest $6$ → keine ganze Zahl

c) $\dfrac{35}{5}$: $35 : 5 = 7$ Rest $0$ → ganze Zahl ✓

d) $\dfrac{24}{9}$: $24 : 9 = 2$ Rest $6$ → keine ganze Zahl

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Aufgabe 7:

Alle Zahlen in Dezimalzahlen umrechnen:

$3\frac{1}{4} = 3{,}25 \qquad \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5} = 3{,}2 \qquad 3\frac{2}{3} \approx 3{,}67 \qquad \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3{,}33$

Reihenfolge: $\dfrac{16}{5} < 3\dfrac{1}{4} < \dfrac{10}{3} < 3\dfrac{2}{3}$

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Aufgabe 8:

30 Stücke bei 8 Stücken pro Kuchen:

$\frac{30}{8}: \quad 30 : 8 = 3 \text{ Rest } 6 \rightarrow 3\frac{6}{8} = 3\frac{3}{4}$

Es wurden $3\dfrac{3}{4}$ Kuchen gegessen. Das heisst, 3 Kuchen wurden vollständig gegessen und von einem vierten Kuchen wurden 6 von 8 Stücken (also $\dfrac{3}{4}$) gegessen.

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Aufgabe 9:

Das Rezept für 4 Personen braucht $\dfrac{3}{4}$ Tassen. Für 12 Personen – also die dreifache Menge:

$3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$

Umwandeln: $9 : 4 = 2$ Rest $1$ → $\dfrac{9}{4} = 2\dfrac{1}{4}$

Du brauchst $2\dfrac{1}{4}$ Tassen Zucker.

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Aufgabe 10:

Der Schüler hat die ganze Zahl 2 fälschlicherweise als neuen Zähler verwendet. Er hat die Formel falsch angewendet.

Richtig ist: $2\dfrac{1}{3} = 2 + \dfrac{1}{3}$. Die ganze Zahl 2 muss erst in Drittel umgerechnet werden.

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Das korrekte Ergebnis ist $\dfrac{7}{3}$, nicht $\dfrac{2}{3}$.

Verwandte Themen

• Brüche verstehen: Bruchteile und Bruchzahlen Schritt für Schritt erklärt
• Erweitern und kürzen
• Bruchzahlen - Brüche vergleichen und ordnen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport