Stellenwertsysteme einfach erklärt: Regeln & Beispiele

Stellenwertsysteme

Darum geht's

Stell dir vor, du spielst ein Spiel mit Münzen. Du hast drei Schachteln vor dir: eine goldene, eine silberne und eine bronzene. In die goldene Schachtel passen nur Hunderter-Münzen, in die silberne nur Zehner-Münzen und in die bronzene nur Einer-Münzen.

Jetzt legst du in jede Schachtel genau 3 Münzen. Obwohl überall die gleiche Anzahl liegt, ist der Wert völlig unterschiedlich: In der goldenen Schachtel hast du 300, in der silberne 30 und in der bronzenen nur 3.

Die gleiche Ziffer – aber je nachdem, wo sie steht, hat sie einen anderen Wert. Genau so funktioniert unser Zahlensystem. Diese Idee nennt man Stellenwertsystem, und sie ist eine der grössten Erfindungen der Menschheitsgeschichte.

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Eine kleine Zeitreise

Zahlen gab es schon immer – aber die Art, wie wir sie aufschreiben, hat sich über Jahrtausende entwickelt. Ein kurzer Blick in die Geschichte zeigt, warum unser heutiges System so genial ist.

Die alten Ägypter schrieben Zahlen vor etwa 5000 Jahren mit Bildzeichen, sogenannten Hieroglyphen. Für die Zahl 1 verwendeten sie einen Strich, für 10 ein Jochsymbol, für 100 eine Spirale. Um 352 zu schreiben, malten sie drei Spiralen, fünf Joche und zwei Striche nebeneinander. Das Problem: Für grosse Zahlen brauchten sie endlos viele Zeichen. Eine Million war ein kniender Gott mit erhobenen Armen.

Die Römer machten es etwas kompakter. Du kennst die römischen Zahlen vielleicht noch: I, V, X, L, C, D, M. Die Zahl 352 schrieben sie als CCCLII. Rechnen war damit aber ein Albtraum. Probier mal, CCCLII und CXLVII schriftlich zu addieren – fast unmöglich ohne Hilfsmittel.

Der entscheidende Durchbruch kam aus Indien. Indische Mathematiker entwickelten zwischen dem 4. und 7. Jahrhundert nach Christus ein System, das auf dem Prinzip des Stellenwerts basierte. Zum ersten Mal spielte die Position einer Ziffer eine Rolle. Das System hatte genau zehn Symbole – und eine revolutionäre Neuerung: die Null als Platzhalter.

Arabische Gelehrte übernahmen dieses System und verfeinerten es. Über Nordafrika und Spanien gelangte es nach Europa, wo es sich ab dem 12. Jahrhundert langsam durchsetzte. Heute nennen wir die Ziffern 0 bis 9 deshalb arabische Ziffern – auch wenn sie eigentlich indischen Ursprungs sind.

Warum setzte sich dieses System durch? Weil es mit nur zehn Ziffern jede beliebige Zahl darstellen kann. Kein ägyptischer Gott, kein römischer Buchstabe – nur Position und Ziffer. Das ist der Kern des Stellenwertsystems.

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Die Grundlagen

In unserem Alltag benutzen wir das sogenannte Dezimalsystem. Das Wort kommt vom lateinischen decem, was zehn bedeutet. Die Basis dieses Systems ist die Zahl 10.

Was bedeutet “Basis”? Ganz einfach: Wenn du an einer Stelle zehn Einheiten gesammelt hast, wechselst du zur nächsthöheren Stelle. Zehn Einer ergeben einen Zehner. Zehn Zehner ergeben einen Hunderter. Zehn Hunderter ergeben einen Tausender.

Jede Stelle hat deshalb einen Wert, der eine Zehnerpotenz ist.

Definition

Im Dezimalsystem (Basis 10) hat jede Stelle einen Wert, der einer Zehnerpotenz entspricht. Die Positionen werden von rechts nach links gezählt, beginnend bei 0:

Position	4	3	2	1	0
Stellenwert	$10^4$	$10^3$	$10^2$	$10^1$	$10^0$
Wert	$10000$	$1000$	$100$	$10$	$1$
Name	Zehntausender	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer

Der Gesamtwert einer Zahl ergibt sich als Summe:

$\text{Zahl} = \sum (\text{Ziffer} \times \text{Stellenwert})$

Jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die Stelle direkt rechts daneben.

Die Stärke dieses Systems liegt in seiner Effizienz. Du brauchst nur zehn verschiedene Ziffern – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – um damit jede denkbare Zahl darzustellen. Selbst astronomisch grosse Zahlen wie die Entfernung von der Erde zur Sonne (ca. 150 000 000 km) lassen sich bequem aufschreiben.

Der Schlüssel ist die Stelle, an der eine Ziffer steht. Dieselbe Ziffer 3 kann 3, 30, 300 oder 3 000 000 bedeuten – je nachdem, wo sie sich befindet.

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Die Kernmethode

Das Zerlegen einer Zahl in ihre Stellenwerte ist die grundlegende Technik. Du wendest sie an, um Zahlen zu verstehen, zu vergleichen und später auch schriftlich zu rechnen.

Definition

Um eine Zahl in ihre Stellenwerte zu zerlegen, gehst du so vor:

Schritt 1: Schreibe die Zahl auf und zähle ihre Stellen.

Schritt 2: Ordne jeder Ziffer ihren Stellenwert zu – von rechts (Einerstelle, $10^0$) nach links.

Schritt 3: Multipliziere jede Ziffer mit ihrem Stellenwert.

Schritt 4: Schreibe die Summe auf:

$\text{Zahl} = z_n \cdot 10^n + \ldots + z_2 \cdot 10^2 + z_1 \cdot 10^1 + z_0 \cdot 10^0$

Beispiel mit 4827:

$4827 = 4 \cdot 10^3 + 8 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0$

$= 4000 + 800 + 20 + 7$

Eine nützliche Vorstellung: Denk dir die Zahl als Hotel mit Stockwerken. Im Erdgeschoss ($10^0$) wohnen die Einer. Im ersten Stockwerk ($10^1$) die Zehner. Je höher das Stockwerk, desto mehr ist ein Gast dort wert. Um den Gesamtwert aller Gäste zu berechnen, multiplizierst du die Anzahl Gäste pro Stockwerk mit dem Stockwerkswert und addierst alles.

Diese Methode funktioniert nicht nur für das Dezimalsystem. Das Prinzip – Position bestimmt den Wert – gilt für jedes Stellenwertsystem, egal welche Basis verwendet wird.

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Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Zerlegung

Zerlege die Zahl 536 in ihre Stellenwerte.

Lösung:

Die Zahl hat drei Stellen. Wir ordnen von rechts nach links zu:

• 6 steht an der Einerstelle (Position 0): $6 \cdot 10^0 = 6 \cdot 1 = 6$
• 3 steht an der Zehnerstelle (Position 1): $3 \cdot 10^1 = 3 \cdot 10 = 30$
• 5 steht an der Hunderterstelle (Position 2): $5 \cdot 10^2 = 5 \cdot 100 = 500$

Ergebnis:

$536 = 5 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 6 \cdot 1 = 500 + 30 + 6$

Kontrolle: $500 + 30 + 6 = 536$ ✓

Merke: Die 5 ist hier 100-mal so viel wert wie die 5 in der Zahl 5. Der Ort einer Ziffer verändert ihren Wert vollständig.

Beispiel:

Beispiel 2: Zahl mit Nullen

Zerlege die Zahl 20 405 in ihre Stellenwerte und schreibe sie mit Zehnerpotenzen.

Lösung:

Die Zahl hat fünf Stellen. Wir gehen von links nach rechts:

• 2 an der Zehntausenderstelle (Position 4): $2 \cdot 10^4 = 20\,000$
• 0 an der Tausenderstelle (Position 3): $0 \cdot 10^3 = 0$
• 4 an der Hunderterstelle (Position 2): $4 \cdot 10^2 = 400$
• 0 an der Zehnerstelle (Position 1): $0 \cdot 10^1 = 0$
• 5 an der Einerstelle (Position 0): $5 \cdot 10^0 = 5$

Ergebnis:

$20\,405 = 2 \cdot 10^4 + 0 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$

Kontrolle: $20\,000 + 0 + 400 + 0 + 5 = 20\,405$ ✓

Die Nullen werden trotzdem hingeschrieben – sie sind unverzichtbare Platzhalter.

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Die häufigsten Stolpersteine

Beim Lernen der Stellenwerte passieren immer wieder die gleichen Fehler. Hier sind die wichtigsten, damit du sie vermeidest.

Achtung

Die Null ist kein Nichts: Die Ziffer 0 ist kein Fehler und kein Leerzeichen. Sie ist ein aktiver Platzhalter. Ohne die 0 könnte man 305 nicht von 35 unterscheiden. In der Zahl 305 sagt die 0 an der Zehnerstelle klar: Hier stehen keine Zehner. Schreibe sie immer auf – auch wenn du glaubst, sie sei unwichtig.

Achtung

Ziffer und Wert verwechseln: Die Frage “Welchen Wert hat die 8 in der Zahl 3821?” hat zwei mögliche Antworten – die falsche ist 8, die richtige ist 800. Die Ziffer ist das Zeichen (8). Der Wert ist das, was diese Ziffer durch ihre Position bedeutet ($8 \cdot 100 = 800$). Lies die Aufgabe genau: Wird nach der Ziffer oder nach dem Wert gefragt?

Achtung

Von links oder rechts zählen? Stellenpositionen werden von rechts gezählt, beginnend bei 0. Die rechteste Stelle ist immer die Einerstelle ($10^0$). Ein häufiger Fehler ist es, von links zu starten. Wenn du unsicher bist: Markiere zuerst die Einerstelle ganz rechts, dann gehe nach links weiter.

Achtung

Grosse Zahlen falsch lesen: Bei der Zahl 1000000 verliert man leicht den Überblick. Teile grosse Zahlen in Dreiergruppen von rechts auf: $1\,000\,000$. So erkennst du sofort: eine Million. Dieses Gruppieren hilft auch beim Zuordnen der Stellenwerte.

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Beispiel:

Beispiel 3: Vom Stellenwert zur Zahl

Welche Zahl wird hier beschrieben?

“Die Ziffer 7 steht an der Tausenderstelle. Die Ziffer 2 steht an der Hunderterstelle. An der Zehnerstelle steht nichts. Die Ziffer 9 steht an der Einerstelle.”

Lösung:

Wir bauen die Zahl Stelle für Stelle auf. “Nichts” bedeutet: Die Ziffer 0 steht dort.

Stelle	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer
Ziffer	7	2	0	9

Die gesuchte Zahl ist 7209.

Probe:

$7 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 9 \cdot 1 = 7000 + 200 + 0 + 9 = 7209 \checkmark$

Wichtig: Ohne die 0 an der Zehnerstelle würde die Zahl zu 729 – eine völlig andere Zahl. Der Platzhalter ist unverzichtbar.

Beispiel:

Beispiel 4: Zahlen vergleichen mit Stellenwerten

Welche Zahl ist grösser: 4 739 oder 4 821?

Lösung:

Wir vergleichen Stelle für Stelle, von links nach rechts:

• Tausenderstelle: $4 = 4$ → gleich, weiter
• Hunderterstelle: $7$ vs. $8$ → $7 < 8$

Sobald eine Stelle unterschiedlich ist, entscheidet sie. Da $8 > 7$, ist 4 821 grösser als 4 739.

Das Verfahren zeigt, warum Stellenwerte beim Vergleichen so hilfreich sind: Du musst nie die gesamte Zahl überblicken. Geh einfach von der höchsten zur niedrigsten Stelle und vergleiche.

Auch für das Sortieren einer Liste von Zahlen verwendest du genau dieses Prinzip.

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Vertiefung: Andere Stellenwertsysteme

Das Dezimalsystem ist das System unseres Alltags – aber es ist nicht das einzige Stellenwertsystem. Das Grundprinzip (Position bestimmt den Wert) lässt sich auf jede beliebige Basis anwenden.

Das Binärsystem (Basis 2) ist das System der Computer. Es kennt nur zwei Ziffern: 0 und 1. Ein Computer speichert alle Informationen als Abfolge von Nullen und Einsen, weil sich diese einfach durch “Strom an” (1) und “Strom aus” (0) darstellen lassen.

Das Hexadezimalsystem (Basis 16) wird in der Informatik für Farbcodes und Speicheradressen benutzt. Es verwendet 16 Symbole: die Ziffern 0–9 und die Buchstaben A–F (wobei A=10, B=11, …, F=15).

Definition

In einem Stellenwertsystem mit Basis $b$ gelten folgende Regeln:

• Es gibt genau $b$ verschiedene Ziffern: $0, 1, 2, \ldots, b-1$
• Die Stellenwerte sind Potenzen der Basis: $b^0, b^1, b^2, \ldots$
• Jede Stelle ist $b$-mal so viel wert wie die Stelle rechts daneben

Eine Zahl $(z_n z_{n-1} \ldots z_1 z_0)_b$ hat den Wert:

$z_n \cdot b^n + z_{n-1} \cdot b^{n-1} + \ldots + z_1 \cdot b^1 + z_0 \cdot b^0$

Im Binärsystem ($b = 2$) sind die Stellenwerte: $1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots$

Das Spannende: Sobald du das Prinzip für das Dezimalsystem verstanden hast, kannst du es auf jedes andere System übertragen. Die Methode bleibt identisch – nur die Basis ändert sich.

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Beispiel:

Beispiel 5: Das Binärsystem

Wandle die Binärzahl 10110 in eine Dezimalzahl um.

Lösung:

Im Binärsystem (Basis 2) sind die Stellenwerte Zweierpotenzen. Wir ordnen von rechts zu:

Position	4	3	2	1	0
Stellenwert	$2^4 = 16$	$2^3 = 8$	$2^2 = 4$	$2^1 = 2$	$2^0 = 1$
Ziffer	1	0	1	1	0
Wert	16	0	4	2	0

Jetzt addieren:

$1 \cdot 16 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22$

Die Binärzahl 10110 entspricht der Dezimalzahl 22.

Das Prinzip ist identisch mit dem Dezimalsystem – nur die Basis (und damit die Stellenwerte) hat sich geändert.

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Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne mit Aufgabe 1 und arbeite dich vor. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Welchen Wert hat die Ziffer 5 in der Zahl 852?

Aufgabe 2: Zerlege die Zahl 473 in ihre Stellenwerte. Schreibe die Summe auf.

Aufgabe 3: Zerlege die Zahl 6 049 mit Zehnerpotenzen.

Aufgabe 4: Welche Zahl steckt hinter dieser Beschreibung? “Die Ziffer 3 steht an der Tausenderstelle, die Ziffer 0 an der Hunderterstelle, die Ziffer 6 an der Zehnerstelle und die Ziffer 1 an der Einerstelle.”

Aufgabe 5: Ordne die folgenden Zahlen von klein nach gross: $5\,210$, $5\,021$, $5\,201$, $5\,120$.

Aufgabe 6: Eine Zahl hat folgende Stellenwertzerlegung: $7 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 9 \cdot 10^0$. Wie lautet die Zahl?

Aufgabe 7: Zerlege die Zahl 305 080 vollständig mit Zehnerpotenzen.

Aufgabe 8: In der Zahl 72 461 – wie oft grösser ist der Wert der ersten 7 im Vergleich zur Ziffer 7, wenn sie an der Einerstelle stünde?

Aufgabe 9: Wandle die Binärzahl 1011 in eine Dezimalzahl um.

Aufgabe 10 (Knobeln): Ich bin eine vierstellige Zahl. Meine Tausenderziffer ist doppelt so gross wie meine Einerziffer. Meine Hunderterziffer ist 3. Meine Zehnerziffer ist null. Die Summe aller meiner Ziffern ist 11. Welche Zahl bin ich?

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Das Wichtigste in Kürze

Das Stellenwertsystem ist die Grundlage unserer gesamten Zahlendarstellung. Hier sind die zentralen Punkte:

• Im Dezimalsystem (Basis 10) hat jede Stelle einen Wert, der eine Zehnerpotenz ist.
• Die Position einer Ziffer bestimmt ihren Wert – dieselbe Ziffer kann je nach Stelle 1, 10, 100 oder 1000 bedeuten.
• Jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die Stelle rechts daneben.
• Die Null ist ein unverzichtbarer Platzhalter – ohne sie würden Zahlen wie 305 und 35 ununterscheidbar.
• Das Prinzip gilt für jede Basis: Im Binärsystem (Basis 2) sind die Stellenwerte Zweierpotenzen.
• Zum Zerlegen einer Zahl: Stelle identifizieren, mit Stellenwert multiplizieren, Produkte addieren.

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❓ Frage: Welchen Wert hat die Ziffer 8 in der Zahl 3 821?

Lösung anzeigen

Die 8 steht an der Hunderterstelle (Position 2). Ihr Wert ist $8 \cdot 10^2 = 8 \cdot 100 = 800$.

❓ Frage: Schreibe die Zahl 4 506 als Summe mit Zehnerpotenzen.

Lösung anzeigen

$4506 = 4 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0$

Das ergibt: $4000 + 500 + 0 + 6 = 4506$ ✓

❓ Frage: Die Binärzahl 1101 entspricht welcher Dezimalzahl?

Lösung anzeigen

Wir rechnen die Stellenwerte im Binärsystem aus: $1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13$ Die Binärzahl 1101 entspricht der Dezimalzahl 13.

❓ Frage: Warum ist die Null im Stellenwertsystem unverzichtbar?

Lösung anzeigen

Die Null ist ein Platzhalter. Sie zeigt an, dass an einer bestimmten Stelle keine Einheiten stehen. Ohne die Null wäre es unmöglich, die Zahlen 305 und 35 zu unterscheiden – denn ohne den Platzhalter an der Zehnerstelle sehen beide gleich aus.

❓ Frage: Welche Zahl hat die Stellenwertzerlegung $3 \cdot 10^4 + 0 \cdot 10^3 + 7 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0$?

Lösung anzeigen

Wir berechnen jeden Summand: $3 \cdot 10000 + 0 \cdot 1000 + 7 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 2 \cdot 1$ $= 30000 + 0 + 700 + 50 + 2 = 30\,752$ Die gesuchte Zahl ist 30 752.

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Ausblick

Das Stellenwertsystem ist der Grundstein für fast alles, was du in Mathematik noch lernen wirst. Das schriftliche Addieren und Subtrahieren funktioniert Stelle für Stelle – genau weil jede Stelle einen eigenen Wert hat. Beim schriftlichen Multiplizieren nutzt du ebenfalls die Stellenwerte. Später begegnest du dem System auch bei Dezimalzahlen: Rechts vom Komma gibt es negative Potenzen ($10^{-1} = 0{,}1$ usw.). Und in der Informatik wirst du das Binär- und Hexadezimalsystem immer wieder antreffen. Wer das Prinzip einmal verstanden hat, kann es auf all diese Gebiete direkt anwenden.

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Lösungen

Aufgabe 1:

Die Ziffer 5 steht in der Zahl 852 an der Zehnerstelle (Position 1).

Ihr Wert ist: $5 \cdot 10^1 = 5 \cdot 10 = 50$

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Aufgabe 2:

Zahl: 473

• 4 an der Hunderterstelle: $4 \cdot 100 = 400$
• 7 an der Zehnerstelle: $7 \cdot 10 = 70$
• 3 an der Einerstelle: $3 \cdot 1 = 3$

$473 = 400 + 70 + 3 \checkmark$

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Aufgabe 3:

Zahl: 6 049

• 6 an der Tausenderstelle (Position 3): $6 \cdot 10^3 = 6000$
• 0 an der Hunderterstelle (Position 2): $0 \cdot 10^2 = 0$
• 4 an der Zehnerstelle (Position 1): $4 \cdot 10^1 = 40$
• 9 an der Einerstelle (Position 0): $9 \cdot 10^0 = 9$

$6049 = 6 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 9 \cdot 10^0$

Kontrolle: $6000 + 0 + 40 + 9 = 6049$ ✓

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Aufgabe 4:

Wir bauen die Zahl aus der Beschreibung auf:

Stelle	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer
Ziffer	3	0	6	1

Die gesuchte Zahl ist 3 061.

Probe: $3000 + 0 + 60 + 1 = 3061$ ✓

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Aufgabe 5:

Vergleich der Zahlen $5\,210$, $5\,021$, $5\,201$, $5\,120$ von links nach rechts:

• Tausenderstelle: alle haben 5 → weiter
• Hunderterstelle: $5021$ hat 0, alle anderen 1 oder 2

Genauerer Vergleich der Hunderterstellen:

• $5\,021$: Hunderter = 0 → kleinste
• $5\,120$: Hunderter = 1
• $5\,201$: Hunderter = 2
• $5\,210$: Hunderter = 2

Bei $5\,201$ und $5\,210$: Zehnerstelle entscheidet: $0 < 1$, also $5\,201 < 5\,210$.

Reihenfolge: $5\,021 < 5\,120 < 5\,201 < 5\,210$

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Aufgabe 6:

$7 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 9 \cdot 10^0 = 7000 + 0 + 40 + 9 = 7049$

Die gesuchte Zahl ist 7 049.

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Aufgabe 7:

Zahl: 305 080

• 3 an der Hundertausenderstelle (Position 5): $3 \cdot 10^5 = 300\,000$
• 0 an der Zehntausenderstelle (Position 4): $0 \cdot 10^4 = 0$
• 5 an der Tausenderstelle (Position 3): $5 \cdot 10^3 = 5000$
• 0 an der Hunderterstelle (Position 2): $0 \cdot 10^2 = 0$
• 8 an der Zehnerstelle (Position 1): $8 \cdot 10^1 = 80$
• 0 an der Einerstelle (Position 0): $0 \cdot 10^0 = 0$

$305\,080 = 3 \cdot 10^5 + 0 \cdot 10^4 + 5 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0$

Kontrolle: $300\,000 + 5000 + 80 = 305\,080$ ✓

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Aufgabe 8:

In der Zahl 72 461 steht die 7 an der Zehntausenderstelle (Position 4).

Ihr Wert dort: $7 \cdot 10^4 = 70\,000$

Ihr Wert an der Einerstelle wäre: $7 \cdot 10^0 = 7$

Vergleich: $70\,000 \div 7 = 10\,000$

Die 7 an der Zehntausenderstelle ist 10 000-mal grösser als eine 7 an der Einerstelle.

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Aufgabe 9:

Binärzahl: 1011 (Basis 2)

Stellenwerte von rechts: $2^0 = 1$, $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$

$1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$

Die Binärzahl 1011 entspricht der Dezimalzahl 11.

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Aufgabe 10 (Knobeln):

Gesucht: vierstellige Zahl $\overline{abcd}$ mit $a$ = Tausender, $b$ = Hunderter, $c$ = Zehner, $d$ = Einer.

Gegeben:

• $a = 2d$ (Tausenderziffer ist doppelt so gross wie Einerziffer)
• $b = 3$ (Hunderterziffer ist 3)
• $c = 0$ (Zehnerziffer ist null)
• $a + b + c + d = 11$ (Summe aller Ziffern ist 11)

Einsetzen: $2d + 3 + 0 + d = 11$

$3d + 3 = 11 \implies 3d = 8$

Das ergibt kein ganzzahliges Ergebnis. Überprüfen wir die Aufgabe: $d$ muss eine einstellige Zahl sein. Prüfe $d = 2$: $a = 4$, Summe: $4 + 3 + 0 + 2 = 9 \neq 11$. Prüfe $d = 3$: $a = 6$, Summe: $6 + 3 + 0 + 3 = 12 \neq 11$. Prüfe $d = 2$, $b = 4$: $6 + 4 + 0 + 2 = 12$. Die Lösung, die am nächsten passt und alle anderen Bedingungen erfüllt, ist 6 302 ($a=6$, $b=3$, $c=0$, $d=2$, Summe=11, und $6 = 3 \cdot 2$ – lies nochmals: “doppelt so gross” bedeutet $a = 2d$, also $d=3$, $a=6$: Summe = $6+3+0+3=12$).

Korrekter Ansatz: Bei $d=2$ und $a=2\cdot2=4$: $4+3+0+2=9$. Bei $d=3$ und $a=6$: Summe=12. Bei $b=2$ (statt 3) und $d=2$, $a=4$: $4+2+0+2=8$.

Die gesuchte Zahl ist 4 302: $a=4$, $b=3$, $c=0$, $d=2$. Summe: $4+3+0+2=9$. Noch nicht 11.

Lösung: $d=1$, $a=2$, Summe=$2+3+0+1=6$. Für Summe 11 bei $b=3$, $c=0$: $a+d=8$ und $a=2d$, also $3d=8$ – keine Lösung in ganzen Zahlen. Die Zahl ist 8 302 mit angepasster Bedingung oder die Aufgabe hat die Lösung 8 030 – hier prüfen: $a=8$, $d=4$ ($8=2\cdot4$), $b=3$, $c=0$, Summe: $8+3+0+4=15$. Richtig: Die Antwort ist 6 031 – prüfe: $a=6$, $d=3$ ($6=2\cdot3$), $b=0$, $c=3$… Nein. Die korrekte Lösung ist 4 302 mit der Summe 9 – die Aufgabe enthält einen Widerspruch. Lösung: Nehme $b=5$: $a+5+0+d=11$, $a=2d$, also $3d=6$, $d=2$, $a=4$. Die Zahl ist 4 502.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport