Kongruenzsätze einfach erklärt: So beweist du, dass Dreiecke deckungsgleich sind

Weiterführend:

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• Kongruenz einfach erklärt: So erkennst du kongruente Figuren
• Kongruente Dreiecke einfach erklärt: Die 4 Kongruenzsätze verstehen und anwenden
• Kongruenz und Schnittfiguren einfach erklärt: So erkennst du deckungsgleiche Formen

Darum geht's

Stell dir vor, du arbeitest in einer Möbelschreinerei. Ein Kunde bestellt einen Tisch mit einer dreieckigen Platte. Du fertigst das Stück an und lieferst es aus. Zwei Wochen später ruft der Kunde an: Die Platte hat einen Kratzer. Er braucht eine exakt identische Ersatzplatte. Aber was bedeutet “exakt identisch”? Die neue Platte muss dieselbe Form und Grösse haben. Jede Seite und jeder Winkel muss perfekt übereinstimmen.

In der Mathematik heissen solche identischen Formen kongruent. Und hier kommt die spannende Frage: Musst du wirklich alle drei Seiten und alle drei Winkel vergleichen? Oder reichen weniger Angaben aus, um Kongruenz zu garantieren? Genau das verraten dir die Kongruenzsätze.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 6Kompetenzen

• MA.2.A.1.iGrundanspruchBegriffe Seitenhalbierende, Winkelhalbierende, Höhe, Lot, Grundlinie, Grundfläche, Mittelsenkrechte, Schenkel, Netz, Umkreis, Inkreis, Viereck, Vieleck, Rhombus, Parallelogramm, Drachenviereck, Trapez, gleichschenklig/gleichseitig, Punktspiegelung, Drehung, Originalpunkt, Bildpunkt, kongruent, Koordinatensystem, 2D, 3D; geometrische Objekte korrekt beschriften
• MA.2.B.1.hGrundanspruchBeim Erforschen geometrischer Beziehungen Vermutungen formulieren, überprüfen und allenfalls neue formulieren; auf Forschungsaufgaben einlassen
• MA.2.C.3.gGrundanspruchKörper in der Vorstellung verändern und Ergebnisse beschreiben (z.B. Ecken eines Würfels abschleifen); Operationen im Kopf ausführen und Ergebnisse skizzieren
• MA.2.A.1.jBegriffe x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Einheitsstrecke, Mantelfläche, Prisma, Zylinder; Drei- und Vierecke nach Winkel, Parallelität, Diagonalen, Seitenlängen charakterisieren
• MA.2.B.1.iComputer zur Erforschung geometrischer Beziehungen nutzen (z.B. Umkreismittelpunkt bei verschiedenen Dreiecken)
• MA.2.C.3.h

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Kongruenzsätze gehören zu den ältesten Ergebnissen der Mathematik. Schon vor mehr als 2300 Jahren beschäftigte sich ein griechischer Gelehrter mit der Frage, wann zwei Dreiecke deckungsgleich sind. Sein Name: Euklid von Alexandria.

Um 300 v. Chr. verfasste Euklid sein berühmtes Werk „Die Elemente”. Dieses Buch ist eines der einflussreichsten Lehrwerke der Weltgeschichte. Es wurde über 2000 Jahre lang als Standardwerk für den Geometrieunterricht verwendet. In den „Elementen” formulierte Euklid systematisch, wann zwei Dreiecke kongruent sind. Seine Sätze bilden noch heute die Grundlage deines Schulbuches.

Interessant ist, dass Euklid nicht alle heutigen Kongruenzsätze gleich behandelte. Den Satz SSS bewies er besonders sorgfältig, weil er Zirkel und Lineal zur Konstruktion einsetzte. Seine Methode nutzte Schnittpunkte von Kreisen. Daraus leitete er ab, dass drei feste Seitenlängen nur eine einzige Dreiecksform zulassen.

Doch warum waren diese Sätze so wichtig? In der Antike gab es noch keine Taschenrechner. Landvermesser, Baumeister und Astronomen brauchten verlässliche Methoden, um Entfernungen und Flächen zu bestimmen. Mit den Kongruenzsätzen konnten sie aus wenigen Messungen ganze Dreiecke rekonstruieren. Beim Bau der ägyptischen Pyramiden, bei der Vermessung von Äckern nach der Nilflut und bei der Berechnung von Sternpositionen waren kongruente Dreiecke unverzichtbar.

Im 19. Jahrhundert erlebten die Kongruenzsätze eine Renaissance. Der deutsche Mathematiker David Hilbert ordnete Euklids Geometrie neu und formulierte sie in seinem Werk „Grundlagen der Geometrie” (1899) präziser. Er zeigte, dass der Satz SWS ein grundlegendes Axiom ist. Heute werden die Kongruenzsätze in der Vermessungstechnik, im Maschinenbau und in der Computergrafik angewendet. Wenn du ein 3D-Modell am Computer siehst, basiert es oft auf Tausenden kongruenten Dreiecken.

Die Grundlagen

Bevor du die Kongruenzsätze anwenden kannst, musst du klar verstehen, was Kongruenz bedeutet. Zwei Dreiecke heissen kongruent, wenn sie exakt deckungsgleich sind. Das bedeutet: Wenn du das eine Dreieck ausschneidest und auf das andere legst, überdecken sie sich vollständig. Dabei darfst du das Dreieck drehen, spiegeln oder verschieben.

Denke nochmals an die Tischplatte. Die Original-Platte und die Ersatzplatte sind kongruent, wenn sie sich perfekt überdecken lassen. Die Lage im Raum spielt keine Rolle. Ob die Platte nach links oder rechts zeigt, ist egal. Entscheidend ist nur: Stimmen alle Masse überein?

Definition

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn alle entsprechenden Seiten gleich lang und alle entsprechenden Winkel gleich gross sind. Man schreibt dann:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Das Zeichen $\cong$ bedeutet „ist kongruent zu”.

Bei kongruenten Dreiecken gilt also:

• Alle drei Seiten sind gleich lang.
• Alle drei Winkel sind gleich gross.

Das sind insgesamt sechs Bedingungen. Doch hier kommt die gute Nachricht: Du musst nicht alle sechs überprüfen. Es reichen bestimmte Kombinationen aus drei Angaben. Diese Kombinationen nennen wir Kongruenzsätze. Sie sagen dir genau, welche drei Angaben ein Dreieck eindeutig festlegen.

Die Kernmethode

Die Kongruenzsätze sind dein Werkzeugkasten. Sie sagen dir, welche drei Angaben ausreichen, um ein Dreieck eindeutig zu konstruieren. Wenn zwei Dreiecke in diesen drei Angaben übereinstimmen, sind sie automatisch kongruent.

Definition

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer der folgenden Kombinationen übereinstimmen:

1. SSS – in allen drei Seitenlängen
2. SWS – in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
3. WSW – in zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite (auch WWS möglich)
4. SSW – in zwei Seiten und dem Winkel gegenüber der längeren Seite

Merke dir: Bei SWS liegt der Winkel zwischen den beiden Seiten. Bei WSW liegt die Seite zwischen den beiden Winkeln. Bei SSW liegt der Winkel gegenüber einer Seite und zwar gegenüber der längeren. Diese Position des Winkels ist entscheidend.

Da die Winkelsumme im Dreieck immer $180°$ beträgt, kannst du aus zwei Winkeln den dritten berechnen:

$$\gamma = 180° - \alpha - \beta$$

Deshalb ist WSW äquivalent zu WWS. Kennst du zwei Winkel und eine beliebige Seite, kannst du das Dreieck eindeutig rekonstruieren.

Beispiel:

Beispiel 1: Kongruenz mit SSS prüfen

Gegeben sind zwei Dreiecke mit folgenden Seitenlängen:

Dreieck $ABC$: $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 7 \, \text{cm}$, $c = 9 \, \text{cm}$

Dreieck $DEF$: $d = 5 \, \text{cm}$, $e = 7 \, \text{cm}$, $f = 9 \, \text{cm}$

Frage: Sind die Dreiecke kongruent?

Lösung:

Wir vergleichen die Seitenlängen:

• $a = d = 5 \, \text{cm}$ ✓
• $b = e = 7 \, \text{cm}$ ✓
• $c = f = 9 \, \text{cm}$ ✓

Alle drei Seiten stimmen überein. Nach dem Kongruenzsatz SSS sind die Dreiecke $ABC$ und $DEF$ kongruent.

Schreibweise: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (SSS)

Beispiel:

Beispiel 2: Kongruenz mit SWS prüfen

Gegeben sind zwei Dreiecke:

Dreieck $PQR$: $p = 6 \, \text{cm}$, $q = 8 \, \text{cm}$, $\angle R = 45°$

Dreieck $XYZ$: $x = 6 \, \text{cm}$, $y = 8 \, \text{cm}$, $\angle Z = 45°$

Der Winkel $\angle R$ liegt zwischen den Seiten $p$ und $q$. Ebenso liegt $\angle Z$ zwischen $x$ und $y$.

Frage: Sind die Dreiecke kongruent?

Lösung:

Wir prüfen die Bedingungen für SWS:

• Seite 1: $p = x = 6 \, \text{cm}$ ✓
• Eingeschlossener Winkel: $\angle R = \angle Z = 45°$ ✓
• Seite 2: $q = y = 8 \, \text{cm}$ ✓

Die beiden Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein. Nach dem Kongruenzsatz SWS sind die Dreiecke kongruent.

Schreibweise: $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ (SWS)

Merke: Der Winkel muss wirklich zwischen den beiden Seiten liegen. Läge er gegenüber einer der Seiten, wäre nicht SWS, sondern SSW relevant.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Arbeiten mit den Kongruenzsätzen gibt es einige Fallstricke. Wenn du diese kennst, vermeidest du typische Fehler.

Achtung

Stolperstein 1: SWS und SSW verwechseln

Bei SWS liegt der Winkel zwischen den beiden Seiten. Bei SSW liegt der Winkel gegenüber einer Seite. Zeichne dir immer eine kleine Skizze. Markiere die gegebenen Seiten und den gegebenen Winkel. So siehst du sofort, ob der Winkel eingeschlossen oder gegenüberliegend ist.

Achtung

Stolperstein 2: SSW ohne Grössenprüfung anwenden

Der Satz SSW gilt nur, wenn der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt. Liegt er der kürzeren Seite gegenüber, kann es zwei verschiedene Dreiecke mit diesen Angaben geben. Das ist der sogenannte „Zwei-Lösungs-Fall”. Prüfe also immer: Welche der beiden Seiten ist länger? Liegt der Winkel tatsächlich gegenüber dieser längeren Seite?

Achtung

Stolperstein 3: WWW als Kongruenzsatz verwenden

Drei gleiche Winkel bedeuten nur, dass die Dreiecke ähnlich sind. Sie haben dieselbe Form, können aber unterschiedliche Grössen haben. WWW ist also kein Kongruenzsatz. Ein Beispiel: Ein kleines und ein grosses gleichseitiges Dreieck haben beide Winkel von $60°$. Sie sind ähnlich, aber nicht kongruent.

Achtung

Stolperstein 4: Zuordnung der Seiten vergessen

Es reicht nicht, dass irgendwelche drei Seiten gleich lang sind. Die Seiten müssen einander entsprechen. Wenn im ersten Dreieck die längste Seite $a$ ist und im zweiten Dreieck die längste Seite $e$, dann entsprechen sich $a$ und $e$. Beschrifte deine Zeichnungen sorgfältig, damit du die Zuordnung nicht verwechselst.

Beispiel:

Beispiel 3: Fehlende Angaben berechnen und Kongruenz bestimmen

Gegeben sind zwei Dreiecke:

Dreieck $ABC$: $\alpha = 35°$, $\beta = 85°$, $c = 10 \, \text{cm}$

Dreieck $DEF$: $\delta = 35°$, $\varepsilon = 85°$, $f = 10 \, \text{cm}$

Die Seite $c$ liegt zwischen den Winkeln $\alpha$ und $\beta$. Ebenso liegt $f$ zwischen $\delta$ und $\varepsilon$.

Frage: Welcher Kongruenzsatz gilt hier?

Lösung:

Zunächst prüfen wir die Struktur. Wir haben zwei Winkel und die dazwischenliegende Seite:

• Winkel 1: $\alpha = \delta = 35°$ ✓
• Seite (eingeschlossen): $c = f = 10 \, \text{cm}$ ✓
• Winkel 2: $\beta = \varepsilon = 85°$ ✓

Die Anordnung ist Winkel-Seite-Winkel. Das ist der Kongruenzsatz WSW.

Zur Kontrolle berechnen wir den dritten Winkel:

$$\gamma = 180° - 35° - 85° = 60°$$$$\zeta = 180° - 35° - 85° = 60°$$

Die dritten Winkel stimmen ebenfalls überein.

Schreibweise: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (WSW)

Beispiel:

Beispiel 4: SSW kritisch prüfen

Gegeben sind zwei Dreiecke:

Dreieck $KLM$: $k = 4 \, \text{cm}$, $l = 6 \, \text{cm}$, $\angle K = 50°$

Dreieck $RST$: $r = 4 \, \text{cm}$, $s = 6 \, \text{cm}$, $\angle R = 50°$

Der Winkel $\angle K$ liegt der Seite $k$ gegenüber. Ebenso liegt $\angle R$ der Seite $r$ gegenüber.

Frage: Sind die Dreiecke kongruent?

Lösung:

Hier haben wir zwei Seiten und einen Winkel. Der Winkel liegt gegenüber einer Seite. Das deutet auf SSW hin.

Bei SSW müssen wir prüfen: Liegt der Winkel der längeren Seite gegenüber?

Die gegebenen Seiten sind $k = 4 \, \text{cm}$ und $l = 6 \, \text{cm}$. Die längere Seite ist $l = 6 \, \text{cm}$.

Der Winkel $\angle K = 50°$ liegt aber der Seite $k = 4 \, \text{cm}$ gegenüber. Das ist die kürzere Seite.

In diesem Fall ist SSW nicht anwendbar. Es könnten zwei verschiedene Dreiecke mit diesen Angaben existieren.

Antwort: Die Kongruenz kann mit den gegebenen Informationen nicht eindeutig festgestellt werden.

Vertiefung

Die Kongruenzsätze sind nicht nur ein Prüfwerkzeug. Sie sind das Fundament für viele geometrische Beweise. Wenn du zeigen willst, dass zwei Strecken gleich lang sind oder zwei Winkel gleich gross, kannst du das oft über Kongruenz beweisen.

Ein klassisches Beispiel: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich gross. Wie beweist man das? Man zieht die Winkelhalbierende vom Scheitelwinkel zur Basis. Dadurch entstehen zwei kleinere Dreiecke. Diese beiden Dreiecke haben zwei gleich lange Schenkel, einen gemeinsamen Schenkel (die Winkelhalbierende) und den gleichen eingeschlossenen Winkel. Nach SWS sind sie kongruent. Also müssen auch die Basiswinkel gleich gross sein.

Definition

Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, so sind alle entsprechenden Stücke gleich. Das heisst: Nicht nur die Seiten und Winkel, sondern auch Höhen, Seitenhalbierende, Umkreisradien und Flächeninhalte stimmen überein.

Eine weitere wichtige Anwendung: Konstruktionsaufgaben. Wenn du ein Dreieck aus gegebenen Stücken konstruieren sollst, sagen dir die Kongruenzsätze, ob das Dreieck eindeutig ist. Bei SSS, SWS und WSW gibt es immer genau eine Lösung. Bei SSW musst du prüfen, ob der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt. Erst dann weisst du, ob du eindeutig konstruieren kannst.

Die Kongruenzsätze verbinden sich zudem mit der Ähnlichkeitslehre. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in allen Winkeln übereinstimmen. Ähnlich zu SSS gibt es für Ähnlichkeit einen Satz mit drei proportionalen Seiten. Kongruenz ist gewissermassen der Sonderfall der Ähnlichkeit mit Streckungsfaktor $1$.

Beispiel:

Beispiel 5: Textaufgabe mit Alltagsbezug

Ein Vermesser misst ein dreieckiges Grundstück. Er notiert:

• Die Nordseite ist $120 \, \text{m}$ lang.
• Die Ostseite ist $85 \, \text{m}$ lang.
• Der Winkel zwischen Nord- und Ostseite beträgt $72°$.

Sein Kollege misst ein anderes Grundstück und erhält exakt dieselben Werte.

Frage: Haben die beiden Grundstücke dieselbe Form und Grösse?

Lösung:

Wir übersetzen die Angaben in mathematische Grössen:

• Seite 1 (Nordseite): $120 \, \text{m}$
• Seite 2 (Ostseite): $85 \, \text{m}$
• Eingeschlossener Winkel: $72°$

Der Winkel liegt zwischen den beiden gemessenen Seiten. Das entspricht der Struktur Seite-Winkel-Seite.

Da beide Grundstücke in diesen drei Angaben übereinstimmen, sind sie nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent.

Antwort: Ja, die beiden Grundstücke haben exakt dieselbe Form und Grösse. Sie sind kongruent (SWS). Der Vermesser könnte also die Berechnungen vom ersten Grundstück direkt übertragen.

Übungen

Arbeite dich durch die folgenden Aufgaben. Sie sind nach Schwierigkeit geordnet.

Aufgabe 1: Zwei Dreiecke haben die Seitenlängen $3 \, \text{cm}$, $4 \, \text{cm}$, $5 \, \text{cm}$. Welcher Kongruenzsatz liegt vor?

Aufgabe 2: Ein Dreieck hat die Seiten $a = 7 \, \text{cm}$, $b = 9 \, \text{cm}$ und den eingeschlossenen Winkel $\gamma = 60°$. Welcher Kongruenzsatz beschreibt diese Angaben?

Aufgabe 3: Dreieck $ABC$ hat $\alpha = 40°$, $\beta = 70°$ und die eingeschlossene Seite $c = 8 \, \text{cm}$. Bestimme den dritten Winkel $\gamma$.

Aufgabe 4: Zwei Dreiecke haben die Seiten $6 \, \text{cm}$ und $10 \, \text{cm}$. Der Winkel $35°$ liegt der Seite $10 \, \text{cm}$ gegenüber. Sind die Dreiecke kongruent?

Aufgabe 5: Zwei Dreiecke haben die Seiten $6 \, \text{cm}$ und $10 \, \text{cm}$. Der Winkel $35°$ liegt der Seite $6 \, \text{cm}$ gegenüber. Sind die Dreiecke kongruent?

Aufgabe 6: Warum ist WWW kein Kongruenzsatz? Gib ein Gegenbeispiel an.

Aufgabe 7: Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge $5 \, \text{cm}$. Ein zweites gleichseitiges Dreieck hat ebenfalls alle Seiten $5 \, \text{cm}$. Begründe, warum die beiden Dreiecke kongruent sind.

Aufgabe 8: Eine Leiter steht an einer Wand. Die Leiter ist $4 \, \text{m}$ lang. Sie berührt die Wand in $3{,}5 \, \text{m}$ Höhe. Der Winkel zwischen Boden und Leiter beträgt $61°$. Eine zweite Leiter liefert dieselben drei Werte. Welcher Kongruenzsatz garantiert, dass beide Leitersituationen kongruent sind?

Aufgabe 9: Im Dreieck $ABC$ ist $AB$ die Basis. Die Höhe $h_c$ halbiert die Basis. Zeige mit einem Kongruenzsatz, dass das Dreieck gleichschenklig ist.

Aufgabe 10: Ein Vierkant besteht aus zwei gleichseitigen Dreiecken, die an einer gemeinsamen Seite zusammengefügt sind. Begründe, warum die beiden Dreiecke kongruent sind und welcher Kongruenzsatz verwendet wird.

Das Wichtigste in Kürze

• Kongruente Dreiecke sind deckungsgleich. Alle Seiten und Winkel stimmen überein.
• Du brauchst nicht alle sechs Grössen zu kennen. Es reichen drei passende Angaben.
• Die vier Kongruenzsätze sind: SSS, SWS, WSW und SSW.
• Bei SWS liegt der Winkel zwischen den Seiten. Bei WSW liegt die Seite zwischen den Winkeln.
• Bei SSW muss der Winkel der längeren Seite gegenüberliegen. Sonst gilt der Satz nicht.
• WWW ist kein Kongruenzsatz! Drei gleiche Winkel garantieren nur Ähnlichkeit.
• Die Schreibweise für Kongruenz ist $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.
• Kongruenzsätze sind die Grundlage für geometrische Beweise und Konstruktionen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Welcher Kongruenzsatz liegt vor, wenn zwei Dreiecke in allen drei Seitenlängen übereinstimmen?

Lösung anzeigen

Der Kongruenzsatz SSS (Seite-Seite-Seite). Wenn alle drei Seiten gleich lang sind, sind die Dreiecke kongruent.

❓ Frage:

Ein Dreieck hat die Angaben: $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 7 \, \text{cm}$, $\gamma = 60°$. Der Winkel $\gamma$ liegt zwischen den Seiten $a$ und $b$. Welcher Kongruenzsatz beschreibt diese Situation?

Lösung anzeigen

Der Kongruenzsatz SWS (Seite-Winkel-Seite). Der Winkel liegt zwischen den beiden gegebenen Seiten.

❓ Frage:

Warum ist WWW (drei gleiche Winkel) kein Kongruenzsatz?

Lösung anzeigen

Drei gleiche Winkel bedeuten nur, dass die Dreiecke ähnlich sind. Sie haben dieselbe Form, können aber unterschiedliche Grössen haben. Zum Beispiel sind ein kleines und ein grosses gleichseitiges Dreieck ähnlich, aber nicht kongruent.

❓ Frage:

Bei welchem Kongruenzsatz musst du besonders auf die Lage des Winkels achten, weil er nur unter bestimmten Bedingungen gilt?

Lösung anzeigen

Beim Kongruenzsatz SSW. Der Winkel muss der längeren der beiden gegebenen Seiten gegenüberliegen. Liegt er der kürzeren Seite gegenüber, könnten zwei verschiedene Dreiecke die Angaben erfüllen.

❓ Frage:

Zwei Dreiecke stimmen in den Winkeln $\alpha = 50°$, $\beta = 60°$ und der zwischen ihnen liegenden Seite $c = 7 \, \text{cm}$ überein. Welcher Kongruenzsatz gilt und wie gross ist der dritte Winkel?

Lösung anzeigen

Es gilt der Kongruenzsatz WSW. Der dritte Winkel beträgt $\gamma = 180° - 50° - 60° = 70°$.

Ausblick

Du hast jetzt gelernt, wann zwei Dreiecke kongruent sind. Der nächste logische Schritt ist die Ähnlichkeit von Dreiecken. Dort haben zwei Dreiecke dieselbe Form, aber nicht unbedingt dieselbe Grösse. Statt Kongruenzsätzen lernst du dann die Ähnlichkeitssätze kennen.

Ausserdem wirst du die Kongruenzsätze bald in geometrischen Beweisen anwenden. Damit zeigst du, dass bestimmte Strecken gleich lang oder Winkel gleich gross sind. Die Kongruenzsätze sind dein Werkzeug, um logische Schlüsse in der Geometrie zu ziehen.

Lösungen

Lösung 1: Die drei Seitenlängen $3 \, \text{cm}$, $4 \, \text{cm}$ und $5 \, \text{cm}$ legen das Dreieck eindeutig fest. Es gilt der Kongruenzsatz SSS.

Lösung 2: Wir haben zwei Seiten ($a$ und $b$) und den dazwischenliegenden Winkel $\gamma$. Das entspricht dem Kongruenzsatz SWS.

Lösung 3: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180°$. Also gilt:

$$\gamma = 180° - \alpha - \beta = 180° - 40° - 70° = 70°$$

Der dritte Winkel ist $\gamma = 70°$. Die drei Angaben entsprechen dem Kongruenzsatz WSW, also sind zwei Dreiecke mit diesen Werten eindeutig kongruent.

Lösung 4: Der Winkel $35°$ liegt der Seite $10 \, \text{cm}$ gegenüber. Das ist die längere der beiden gegebenen Seiten. Damit ist die Bedingung für SSW erfüllt. Die Dreiecke sind kongruent (SSW).

Lösung 5: Hier liegt der Winkel $35°$ der Seite $6 \, \text{cm}$ gegenüber. Das ist die kürzere der beiden Seiten. Die Bedingung für SSW ist nicht erfüllt. Es könnten zwei verschiedene Dreiecke existieren. Die Kongruenz ist nicht garantiert.

Lösung 6: Drei gleiche Winkel bedeuten nur, dass die Dreiecke ähnlich sind. Ein Gegenbeispiel: Ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $2 \, \text{cm}$ und ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $5 \, \text{cm}$. Beide haben alle Winkel $60°$. Sie sind also winkelgleich, aber unterschiedlich gross. Damit sind sie nicht kongruent.

Lösung 7: Beide Dreiecke haben alle drei Seiten gleich lang ($5 \, \text{cm}$). Nach dem Kongruenzsatz SSS sind die Dreiecke kongruent. Zusätzlich weiss man, dass alle Winkel im gleichseitigen Dreieck $60°$ betragen.

Lösung 8: Wir haben die Hypotenuse (Leiter, $4 \, \text{m}$), die Höhe an der Wand ($3{,}5 \, \text{m}$) und den Winkel zwischen Boden und Leiter ($61°$). Der Winkel liegt der Wandhöhe gegenüber. Wir haben zwei Seiten und einen Winkel. Die Leiter ($4 \, \text{m}$) ist die längere Seite. Da der Winkel nicht dieser längeren Seite gegenüberliegt, sondern der kürzeren Wandhöhe, ist SSW hier streng genommen nicht anwendbar. Stattdessen liefert die Information der rechte Winkel am Boden: Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse und einem weiteren Winkel. Das legt das Dreieck über WSW eindeutig fest (zwei Winkel – $61°$ und $90°$ – und die eingeschlossene bzw. verbundene Seite).

Lösung 9: Wir betrachten die beiden Teildreiecke, die durch die Höhe $h_c$ entstehen. Sie teilen:

• Die Höhe $h_c$ als gemeinsame Seite.
• Je eine halbierte Basisseite gleicher Länge.
• Den rechten Winkel zwischen Höhe und Basis.

Damit haben wir zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SWS). Die beiden Teildreiecke sind kongruent. Daraus folgt, dass die beiden Schenkel des Ausgangsdreiecks gleich lang sind. Das Dreieck ist also gleichschenklig.

Lösung 10: Die beiden gleichseitigen Dreiecke haben die gemeinsame Seite als Basis und beide Dreiecke haben alle drei Seiten gleich lang (weil sie gleichseitig sind). Damit stimmen alle drei Seitenlängen überein. Nach dem Kongruenzsatz SSS sind die beiden Dreiecke kongruent.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport