Kreisbogen und Kreissektor: Bogenlänge und Fläche berechnen

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Kreise und Körper”
• Vorwissen: Kreisumfang und Kreisfläche – Formeln, Herleitung, Umkehraufgaben
• Auffrischen: Alles über Winkel – Drehen, Messen und Verstehen
• Anwendung: Kegel – sein Mantel ist ein Kreissektor

Darum geht's

Ihr bestellt für einen Klassenabend eine riesige Pizza. Sie wird in acht gleich grosse Stücke geschnitten. Jedes Stück hat zwei gerade Kanten, die in der Mitte zusammenlaufen, und einen gebogenen Rand.

Wie viel Pizza bekommt jede Person, und wie lang ist der knusprige Rand eines Stücks? Du musst herausfinden, welchen Anteil ein Stück an der ganzen Pizza hat.

Genau das ist die Idee hinter dem Kreissektor (auch Kreisausschnitt genannt) und dem Kreisbogen. Du nimmst einen Teil vom ganzen Kreis, und wie gross dieser Teil ist, bestimmt der Winkel in der Mitte. In dieser Lektion berechnest du Fläche, Bogenlänge und Umfang eines Kreissektors – und du rechnest auch rückwärts, zum Beispiel von der Fläche zum Winkel.

Abb. 1: Acht gleich grosse Stücke: Jedes hat in der Mitte einen Winkel von $360° : 8 = 45°$.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 2 Kompetenzen

• MA.2.A.1.lBegriffe Tetraeder, Raumdiagonale, Körperhöhe, Seitenhöhe, Kreissektor, Scheitel, Ähnlichkeit, Hypotenuse, Kathete, Tangente, Sehne; Körper durch Eigenschaften beschreiben
• MA.2.A.3.iUmfang und Flächeninhalt von Kreisen; Kantenlängen, Flächen und Volumen an geraden Prismen und Zylindern; Volumen beliebiger Körper schätzen

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Kreisbogen und Kreissektor: die Idee

Ein Kreissektor ist immer ein Teil eines ganzen Kreises. Darum brauchst du zuerst die Formeln für den Vollkreis. Herleitung und Umkehraufgaben dazu findest du in der Lektion Kreisumfang und Kreisfläche. Hier die kurze Wiederholung.

Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die gleich weit vom Mittelpunkt $M$ entfernt sind. Diesen Abstand nennt man den Radius $r$. Der Durchmesser $d$ reicht durch den Mittelpunkt von einem Rand zum anderen. Es gilt also immer $d = 2 \cdot r$. Die Länge der Kreislinie ist der Kreisumfang.

Abb. 2: Die Grundbegriffe am Kreis. Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius.

Definition

Kreisumfang:

$$U = 2 \cdot \pi \cdot r$$

Kreisfläche:

$$A = \pi \cdot r^2$$

Dabei ist $r$ der Radius des Kreises und $\pi \approx 3{,}14159$.

Der Umfang beschreibt die Länge der Kreislinie. Die Fläche bezeichnet den gesamten Bereich innerhalb des Kreises. Beide Werte hängen ausschliesslich vom Radius ab.

Ein Kreissektor – oft auch Kreisausschnitt genannt – ist ein „Tortenstück” des Kreises. Er wird von zwei Radien und dem Kreisbogen dazwischen begrenzt. Der Winkel zwischen den beiden Radien heisst Mittelpunktswinkel $\alpha$ (Alpha).

Abb. 3: Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) wird von zwei Radien und dem Kreisbogen begrenzt. Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ bestimmt seine Grösse.

Der Winkel in der Mitte bestimmt, wie gross dein Stück ist. Der Vollkreis hat $360°$, jeder Sektor ist ein Bruchteil davon. Bei acht gleichen Stücken hat jedes einen Winkel von $45°$. Denn $360° : 8 = 45°$.

Je grösser der Winkel, desto mehr Kreis bekommst du. Bei $180°$ hättest du einen Halbkreis. Bei $90°$ einen Viertelkreis. Bei $60°$ ein Sechstel des Kreises.

Abb. 4: Der Winkel bestimmt den Anteil am ganzen Kreis: $\dfrac{\alpha}{360°}$.

Der Kreisbogen ist der gekrümmte Teil des Kreisrandes, der zum Sektor gehört. Du legst ein Stück Schnur entlang des Randes deines Pizzastücks. Genau das ist der Bogen. Seine Länge hängt vom Radius und vom Winkel ab.

Abb. 5: Der Bogen ist eine Länge und wird zum Beispiel in $\text{cm}$ gemessen. Die Fläche legst du mit Quadraten aus, sie hat die Einheit $\text{cm}^2$.

Kreisbogen und Kreissektor: der Rechenweg

Ein Kreissektor wird durch einen Mittelpunktswinkel $\alpha$ bestimmt. Dieser Winkel gibt an, welchen Anteil des vollen Kreises du betrachtest. Je grösser der Winkel, desto grösser der Anteil.

Definition

Fläche des Kreissektors:

$$A_{\text{Sektor}} = \dfrac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2$$

Länge des Kreisbogens:

$$b = \dfrac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r$$

Hierbei ist $\alpha$ der Mittelpunktswinkel in Grad und $r$ der Radius.

Der Bruch $\dfrac{\alpha}{360°}$ ist das Herzstück der Methode. Er gibt an, welchen Anteil vom ganzen Kreis du betrachtest. Bei $90°$ ist das $\dfrac{90°}{360°} = \dfrac{1}{4}$, also ein Viertel.

Diesen Anteil multiplizierst du mit der vollen Kreisfläche oder dem vollen Umfang. So erhältst du den entsprechenden Teil. Die Probe ist einfach: Bei $360°$ erhältst du den ganzen Umfang $2\pi r$, bei $180°$ genau die Hälfte $\pi r$.

In der Bogenformel kannst du den Bruch mit $2$ kürzen. Das liefert die gleichwertige Kurzform:

$$b = \dfrac{\alpha \cdot \pi \cdot r}{180°}$$

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Lies den Radius $r$ und den Winkel $\alpha$ aus der Aufgabe ab.
2. Berechne den Anteil $\dfrac{\alpha}{360°}$ und kürze den Bruch.
3. Für die Fläche: Multipliziere den Anteil mit $\pi \cdot r^2$.
4. Für den Bogen: Multipliziere den Anteil mit $2 \cdot \pi \cdot r$.
5. Runde das Ergebnis sinnvoll, meist auf zwei Dezimalstellen.

Mit diesem Vorgehen meisterst du jede Aufgabe zu Kreissektoren. Die Formeln sehen auf den ersten Blick komplex aus. In Wirklichkeit stecken nur zwei Ideen dahinter: Anteil und Multiplikation.

Beispiel:

Einfacher Kreissektor

Ein Kreis hat den Radius $r = 5 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche eines Kreissektors mit dem Winkel $\alpha = 72°$.

Abb. 6: $72°$ sind genau ein Fünftel des Vollkreises.

Lösung:

Berechne zuerst den Anteil am Kreis:

$$\dfrac{72°}{360°} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$$

Jetzt berechnest du die Fläche des Sektors:

$$A_{\text{Sektor}} = 0{,}2 \cdot \pi \cdot 5^2 = 0{,}2 \cdot \pi \cdot 25 = 5\pi \approx 15{,}71 \, \text{cm}^2$$

Der Kreissektor hat eine Fläche von etwa $15{,}71 \, \text{cm}^2$.

Zum Vergleich: Die volle Kreisfläche wäre $\pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 78{,}54 \, \text{cm}^2$. Der Sektor ist genau ein Fünftel davon. Die Kontrolle bestätigt unser Ergebnis.

Beispiel:

Bogenlänge berechnen

Ein Kreisbogen gehört zu einem Sektor mit Winkel $\alpha = 150°$. Der Radius beträgt $r = 3 \, \text{cm}$. Berechne die Bogenlänge.

Lösung:

Bestimme zuerst den Anteil am Kreis:

$$\dfrac{150°}{360°} = \dfrac{150}{360} = \dfrac{5}{12}$$

Der volle Kreisumfang wäre $U = 2 \cdot \pi \cdot 3 = 6\pi \, \text{cm}$. Davon betrachtest du nur fünf Zwölftel.

Berechne jetzt die Bogenlänge:

$$b = \dfrac{5}{12} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 3 = \dfrac{5}{12} \cdot 6\pi = \dfrac{30\pi}{12} = 2{,}5\pi$$

Mit $\pi \approx 3{,}14159$ erhältst du:

$$b \approx 2{,}5 \cdot 3{,}14159 \approx 7{,}85 \, \text{cm}$$

Der Kreisbogen ist etwa $7{,}85 \, \text{cm}$ lang. Er entspricht etwas mehr als $41\%$ des vollen Umfangs. Das passt, denn $150°$ sind etwas weniger als die Hälfte von $360°$.

Typische Fehler bei Kreisbogen und Kreissektor

Beim Rechnen mit Kreissektoren machen viele Lernende ähnliche Fehler. Hier kommen die wichtigsten Fallen. Wenn du sie kennst, vermeidest du sie leichter. Jede Warnung gehört zu einem typischen Missverständnis.

Achtung

Verwechslung von Fläche und Bogenlänge: Ein Kreisbogen wird in Längeneinheiten wie Zentimeter oder Meter gemessen. Eine Sektorfläche wird in Quadrateinheiten wie $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$ angegeben. Prüfe immer, was die Aufgabe wirklich fragt. Dann wählst du die richtige Formel.

Achtung

Falscher Bezug zum Vollkreis: Der volle Kreis hat $360°$, nicht $180°$ oder $100°$. Wenn du durch eine falsche Zahl teilst, stimmt der ganze Rechenweg nicht mehr. Merke dir fest: $360°$ ist die Runde.

Achtung

Radius mit Durchmesser verwechselt: In manchen Aufgaben ist der Durchmesser gegeben, nicht der Radius. Der Radius ist halb so lang wie der Durchmesser: $r = \dfrac{d}{2}$. Wer das übersieht, erhält viermal zu grosse Flächen oder doppelt so lange Bögen.

Achtung

Mehr als den Radius quadriert: In $\dfrac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2$ wird nur $r$ quadriert, samt Einheit: $(5 \, \text{cm})^2 = 25 \, \text{cm}^2$. Der Anteil $\dfrac{\alpha}{360°}$ und $\pi$ werden nicht quadriert.

Achtung

Zu früh runden: Runde nicht mitten in der Rechnung. Behalte $\pi$ so lange wie möglich als Symbol. Erst am Schluss setzt du den Näherungswert ein. So vermeidest du Rundungsfehler, die sich im Rechenweg aufschaukeln können.

Kreisbogen und Kreissektor in Aufgaben

Beispiel:

Durchmesser statt Radius

Ein Teich hat die Form eines Viertelkreises. Der Durchmesser des zugehörigen Kreises beträgt $d = 8 \, \text{m}$. Wie gross ist die Wasserfläche des Teichs?

Abb. 7: Der Durchmesser $d = 8 \, \text{m}$ gehört zum ganzen Kreis. Der Teich selbst hat den Radius $r = 4 \, \text{m}$.

Lösung:

Achte auf die Angabe: Hier ist der Durchmesser gegeben, nicht der Radius. Bestimme zuerst den Radius:

$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 \, \text{m}$$

Ein Viertelkreis entspricht einem Winkel von $\alpha = 90°$. Der Anteil am Kreis beträgt also:

$$\dfrac{90°}{360°} = \dfrac{1}{4}$$

Nun berechnest du die Fläche:

$$A_{\text{Sektor}} = \dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4^2 = \dfrac{1}{4} \cdot 16\pi = 4\pi$$

Mit $\pi \approx 3{,}14159$ ergibt sich:

$$A_{\text{Sektor}} \approx 12{,}57 \, \text{m}^2$$

Der Teich hat eine Wasserfläche von etwa $12{,}57 \, \text{m}^2$. Hätten wir versehentlich mit $r = 8$ gerechnet, wäre das Ergebnis $16\pi \approx 50{,}27 \, \text{m}^2$ – viermal zu gross.

Beispiel:

Rückwärts rechnen

Ein Kreissektor hat eine Fläche von $A_{\text{Sektor}} = 25\pi \, \text{cm}^2$. Der Radius beträgt $r = 10 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Mittelpunktswinkel $\alpha$?

Lösung:

Hier ist der Rechenweg umgekehrt: Die Fläche ist gegeben, der Winkel gesucht. Bestimme zuerst die volle Kreisfläche:

$$A = \pi \cdot 10^2 = 100\pi \, \text{cm}^2$$

Berechne den Anteil des Sektors am ganzen Kreis:

$$\dfrac{A_{\text{Sektor}}}{A} = \dfrac{25\pi}{100\pi} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$$

Das $\pi$ kürzt sich weg. Nun bestimmst du den Winkel:

$$\alpha = 0{,}25 \cdot 360° = 90°$$

Der Mittelpunktswinkel beträgt $90°$. Der Sektor ist also ein Viertelkreis.

Kontrolle: $\dfrac{1}{4} \cdot 100\pi = 25\pi$. Das Ergebnis passt.

Oft ist die Fläche oder die Bogenlänge als gewöhnliche Dezimalzahl gegeben. Dann kürzt sich $\pi$ nicht weg. Stelle die Formeln in diesem Fall allgemein nach $\alpha$ um:

$$\alpha = \dfrac{A_{\text{Sektor}} \cdot 360°}{\pi \cdot r^2} \qquad \text{bzw.} \qquad \alpha = \dfrac{b \cdot 360°}{2 \cdot \pi \cdot r}$$

Beispiel:

Winkel, wenn sich nicht wegkürzt

Ein Kreissektor mit Radius $r = 5 \, \text{cm}$ hat eine Fläche von $A_{\text{Sektor}} = 15 \, \text{cm}^2$. Wie gross ist der Mittelpunktswinkel $\alpha$?

Lösung:

Verwende die nach $\alpha$ umgestellte Flächenformel:

$$\alpha = \dfrac{A_{\text{Sektor}} \cdot 360°}{\pi \cdot r^2}$$

Setze die Werte ein:

$$\alpha = \dfrac{15 \cdot 360°}{\pi \cdot 5^2} = \dfrac{5400°}{25\pi} = \dfrac{216°}{\pi}$$

Erst jetzt rundest du:

$$\alpha = \dfrac{216°}{\pi} \approx 68{,}75°$$

Der Mittelpunktswinkel beträgt exakt $\dfrac{216°}{\pi}$, also etwa $68{,}75°$.

Plausibilität: Die ganze Kreisfläche ist $25\pi \approx 78{,}54 \, \text{cm}^2$. Der Sektor mit $15 \, \text{cm}^2$ ist knapp ein Fünftel davon. Ein Fünftel des Vollkreises wären $72°$, also passt ein Winkel etwas unter $72°$.

Kreisbogen und Kreissektor genauer betrachtet

Neben Fläche und Bogenlänge gibt es weitere Kenngrössen und Schreibweisen rund um den Kreissektor. Hier lernst du drei davon kennen: den Umfang des Sektors, eine Abkürzung von der Bogenlänge zur Fläche und das Bogenmass.

Der Umfang eines Kreissektors

Der Umfang des gesamten Sektors besteht aus zwei Radien und dem Bogen. Viele Aufgaben fragen nach diesem kompletten Rand.

Definition

Umfang eines Kreissektors:

$$U_{\text{Sektor}} = 2 \cdot r + b = 2 \cdot r + \dfrac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r$$

Dabei ist $r$ der Radius und $b$ die Bogenlänge.

Beispiel:

Umfang eines Kreissektors

Ein Kreissektor hat den Radius $r = 6 \, \text{cm}$ und den Winkel $\alpha = 60°$. Berechne den gesamten Umfang des Sektors.

Lösung:

Der Umfang setzt sich aus zwei Radien und dem Kreisbogen zusammen. Bestimme zuerst die Bogenlänge.

Der Anteil am Kreis:

$$\dfrac{60°}{360°} = \dfrac{1}{6}$$

Die Bogenlänge:

$$b = \dfrac{1}{6} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 6 = \dfrac{1}{6} \cdot 12\pi = 2\pi$$

Mit $\pi \approx 3{,}14159$ ergibt sich:

$$b \approx 6{,}28 \, \text{cm}$$

Nun berechnest du den gesamten Umfang des Sektors. Die zwei Radien zusammen ergeben $2 \cdot 6 = 12 \, \text{cm}$.

$$U_{\text{Sektor}} = 2 \cdot 6 + 2\pi = 12 + 2\pi$$

Mit Näherung:

$$U_{\text{Sektor}} \approx 12 + 6{,}28 = 18{,}28 \, \text{cm}$$

Der Umfang des Sektors beträgt etwa $18{,}28 \, \text{cm}$. Davon sind $12 \, \text{cm}$ die beiden Radien und etwa $6{,}28 \, \text{cm}$ der Bogen. Der gerade Teil ist hier länger als der gekrümmte Teil.

Abb. 8: Der Rand des Sektors: zwei Radien (grün) und der Bogen (rot), zusammen $6 + 6 + 6{,}28 = 18{,}28 \, \text{cm}$.

Fläche direkt aus der Bogenlänge

Bogenlänge und Sektorfläche hängen eng zusammen. Klammerst du in der Flächenformel geschickt aus, steckt darin die Bogenlänge:

$$A_{\text{Sektor}} = \dfrac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2 = \left(\dfrac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r\right) \cdot \dfrac{r}{2} = \dfrac{b \cdot r}{2}$$

Der Sektor verhält sich also wie ein Dreieck mit der Grundseite $b$ und der Höhe $r$. Kennst du die Bogenlänge schon, brauchst du den Winkel gar nicht.

Beispiel:

Vom Bogen zur Fläche

Ein Kreissektor hat den Radius $r = 10 \, \text{cm}$ und die Bogenlänge $b = 15 \, \text{cm}$. Berechne seine Fläche.

Lösung:

Mit der Formel $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{b \cdot r}{2}$ geht es ohne Umweg:

$$A_{\text{Sektor}} = \dfrac{15 \, \text{cm} \cdot 10 \, \text{cm}}{2} = \dfrac{150 \, \text{cm}^2}{2} = 75 \, \text{cm}^2$$

Der Sektor hat eine Fläche von $75 \, \text{cm}^2$.

Kontrolle über den Anteil: Der volle Umfang ist $20\pi \, \text{cm}$. Der Anteil beträgt $\dfrac{15}{20\pi} = \dfrac{3}{4\pi}$. Damit ist $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{3}{4\pi} \cdot 100\pi = 75 \, \text{cm}^2$. Beide Wege liefern dasselbe.

Winkel im Bogenmass

Interessant wird es, wenn der Winkel nicht mehr in Grad, sondern im Bogenmass angegeben wird. Das Bogenmass begegnet dir bei der Sinus- und Kosinusfunktion und später am Gymnasium oder an der Hochschule. Die Idee dahinter passt perfekt zu unserem Thema.

Beim Bogenmass gibt der Winkel direkt die Bogenlänge auf dem Einheitskreis an, also auf einem Kreis mit $r = 1$. Die Einheit heisst Radiant (kurz rad). Der volle Kreis entspricht dann $2\pi$ Radiant. Ein Halbkreis sind $\pi$ Radiant. Ein Viertelkreis sind $\dfrac{\pi}{2}$ Radiant. Allgemein rechnest du um mit $\alpha_{\text{Radiant}} = \alpha \cdot \dfrac{\pi}{180°}$. So entsprechen $60°$ genau $\dfrac{\pi}{3}$.

Abb. 9: Bei einem Winkel von $1$ Radiant ist der Bogen genau so lang wie der Radius. Das sind etwa $57{,}3°$.

Dadurch vereinfachen sich die Formeln. Für die Bogenlänge gilt dann $b = r \cdot \alpha_{\text{Radiant}}$. Für die Fläche gilt $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \alpha_{\text{Radiant}}$. Die lästigen $360°$ verschwinden.

Achtung

Grad und Bogenmass nicht mischen: Die Formeln mit $\dfrac{\alpha}{360°}$ verlangen den Winkel in Grad. Ist der Winkel im Bogenmass gegeben, rechne ihn zuerst in Grad um oder nimm direkt $b = r \cdot \alpha_{\text{Radiant}}$.

Beispiel mit $r = 6 \, \text{cm}$ und $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$: Richtig ist $b = 6 \cdot \dfrac{\pi}{3} = 2\pi \approx 6{,}28 \, \text{cm}$, genau wie bei $60°$ in Beispiel 6. Setzt du $\dfrac{\pi}{3}$ dagegen in $\dfrac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r$ ein, erhältst du nur etwa $0{,}11 \, \text{cm}$ – viel zu wenig.

Die Einstellung DEG oder RAD deines Taschenrechners spielt für diese Formeln keine Rolle, weil darin keine Winkelfunktion vorkommt. Wichtig wird sie erst bei $\sin$, $\cos$ und $\tan$, zum Beispiel wenn du später die Fläche eines Kreissegments berechnest.

Kreissektoren im Alltag

Im Alltag begegnen dir Kreissektoren überall. Der Lautsprecher einer Hifi-Anlage strahlt oft in einem bestimmten Winkel ab. Ein Scheibenwischer überstreicht beim Putzen einen grossen Kreissektor, aus dem ein kleiner fehlt, weil das Wischblatt erst ein Stück vom Drehpunkt entfernt beginnt. Ein Ventilator, ein Radarschirm oder ein Verkehrsschild können ebenfalls Kreissektoren bilden.

Auch in der Architektur spielen sie eine Rolle. Rosettenfenster in gotischen Kirchen sind oft aus Kreissektoren zusammengesetzt. In der Technik beschreibt man mit Kreissektoren den Schwenkbereich von Armen bei Kränen oder Robotern.

Die Formeln funktionieren also nicht nur für Pizza und Torte. Sie beschreiben jede Situation, in der ein Winkel einen Anteil an einer kreisförmigen Grösse bestimmt.

Beispiel:

Rasensprenger

Ein Rasensprenger spritzt $12 \, \text{m}$ weit. Er schwenkt dabei hin und her und überstreicht einen Winkel von $150°$. Welche Rasenfläche wird bewässert?

Lösung:

Die bewässerte Fläche ist ein Kreissektor mit $r = 12 \, \text{m}$ und $\alpha = 150°$.

Anteil am Vollkreis:

$$\dfrac{150°}{360°} = \dfrac{5}{12}$$

Fläche:

$$A_{\text{Sektor}} = \dfrac{5}{12} \cdot \pi \cdot 12^2 = \dfrac{5}{12} \cdot 144\pi = 60\pi \approx 188{,}50 \, \text{m}^2$$

Der Rasensprenger bewässert etwa $188{,}50 \, \text{m}^2$. Kontrolle: Ein Halbkreis wäre $72\pi \approx 226{,}19 \, \text{m}^2$. Da $150°$ etwas weniger als $180°$ sind, muss das Ergebnis etwas kleiner sein. Das stimmt.

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben der Reihe nach. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels. Verwende $\pi \approx 3{,}14159$ oder die $\pi$-Taste und runde am Schluss auf zwei Dezimalstellen.

Aufgabe 1: Ein Kreis hat den Radius $r = 7 \, \text{cm}$. Berechne den Umfang und die Fläche des ganzen Kreises.

Aufgabe 2: Berechne die Fläche eines Kreissektors mit $r = 8 \, \text{cm}$ und $\alpha = 45°$.

Aufgabe 3: Ein Halbkreis hat den Radius $r = 12 \, \text{cm}$. Wie lang ist sein Kreisbogen?

Aufgabe 4: Ein Kreissektor hat $r = 10 \, \text{cm}$ und $\alpha = 135°$. Berechne die Fläche und die Bogenlänge.

Aufgabe 5: Ein Viertelkreis gehört zu einem Kreis mit dem Durchmesser $d = 20 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fläche des Viertelkreises?

Aufgabe 6: Ein Kreissektor hat eine Fläche von $A_{\text{Sektor}} = 9\pi \, \text{cm}^2$ und einen Radius $r = 6 \, \text{cm}$. Bestimme den Mittelpunktswinkel $\alpha$.

Aufgabe 7: Ein Kreisbogen ist $4\pi \, \text{cm}$ lang. Der zugehörige Radius beträgt $r = 8 \, \text{cm}$. Bestimme den Mittelpunktswinkel.

Aufgabe 8: Berechne den gesamten Umfang eines Kreissektors mit $r = 5 \, \text{cm}$ und $\alpha = 120°$.

Aufgabe 9: Ein Faltfächer hat $25 \, \text{cm}$ lange Stäbe. Aufgeklappt bildet er einen Halbkreis ($\alpha = 180°$). Wie gross ist die Fläche des aufgeklappten Fächers?

Aufgabe 10: Ein Kreissektor hat eine Bogenlänge von $b = 10\pi \, \text{cm}$ und einen Mittelpunktswinkel von $\alpha = 150°$. Bestimme den Radius.

Aufgabe 11: Ein Scheibenwischer schwenkt um $110°$. Sein Wischblatt beginnt $15 \, \text{cm}$ vom Drehpunkt entfernt und endet $45 \, \text{cm}$ vom Drehpunkt entfernt. Wie gross ist die gewischte Fläche? Tipp: Ziehe vom grossen Sektor den kleinen ab.

Das Wichtigste in Kürze

Bei Kreissektoren dreht sich alles um Anteile. Der Winkel $\alpha$ bestimmt, welchen Bruchteil des ganzen Kreises du betrachtest.

Der Bruch $\dfrac{\alpha}{360°}$ ist dein universeller Multiplikator. Damit berechnest du sowohl die Fläche als auch die Bogenlänge eines Kreissektors.

Für den vollen Kreis gilt: $U = 2\pi r$ und $A = \pi r^2$. Für einen Kreissektor multiplizierst du diese Werte mit dem Anteil $\dfrac{\alpha}{360°}$. Der Umfang des Sektors ist $2r + b$.

Kennst du die Bogenlänge, gilt kurz $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{b \cdot r}{2}$. Ist der Winkel gesucht, stellst du die Formel nach $\alpha$ um. Im Bogenmass vereinfachen sich die Formeln zu $b = r \cdot \alpha_{\text{Radiant}}$ und $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{1}{2} r^2 \alpha_{\text{Radiant}}$.

Achte auf die Einheiten. Längen werden in $\text{cm}$ oder $\text{m}$ angegeben. Flächen entsprechend in $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$.

Prüfe jedes Ergebnis mit einer Überschlagsrechnung. Bei $\alpha = 180°$ muss die Fläche etwa der halben Kreisfläche entsprechen. So merkst du Rechenfehler schnell.

Quiz: Teste dein Wissen

❓ Frage:

Ein Kreis hat den Radius $r = 4 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fläche eines Kreissektors mit $\alpha = 90°$?

Lösung anzeigen

Der Anteil beträgt $\dfrac{90°}{360°} = \dfrac{1}{4}$. Die Fläche ist:

$$A_{\text{Sektor}} = \dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4^2 = \dfrac{1}{4} \cdot 16\pi = 4\pi \approx 12{,}57 \, \text{cm}^2$$

❓ Frage:

Ein Kreisbogen hat die Länge $b = 3\pi \, \text{cm}$. Der Radius beträgt $r = 6 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Winkel $\alpha$?

Lösung anzeigen

Der volle Umfang wäre $U = 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12\pi \, \text{cm}$. Der Anteil: $\dfrac{3\pi}{12\pi} = \dfrac{1}{4}$. Der Winkel: $\alpha = \dfrac{1}{4} \cdot 360° = 90°$.

❓ Frage:

Welchen Anteil am ganzen Kreis hat ein Sektor mit $\alpha = 60°$? Gib das Ergebnis als Bruch an.

Lösung anzeigen

$$\dfrac{60°}{360°} = \dfrac{1}{6}$$

Ein Winkel von $60°$ entspricht einem Sechstel des Kreises.

❓ Frage:

Wahr oder falsch? Wenn sich der Radius verdoppelt, verdoppelt sich auch die Fläche eines Kreissektors.

Lösung anzeigen

Falsch. Die Fläche enthält $r^2$ als Faktor. Bei doppeltem Radius wird die Fläche viermal so gross. Beispiel: Bei $r = 2$ und $\alpha = 90°$ ist $A = \dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4 = \pi$. Bei $r = 4$ und $\alpha = 90°$ ist $A = \dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 16 = 4\pi$. Das Verhältnis ist $4:1$, nicht $2:1$.

❓ Frage:

Ein Kreissektor hat $r = 10 \, \text{cm}$ und eine Bogenlänge von $b = 5\pi \, \text{cm}$. Wie gross ist seine Fläche?

Lösung anzeigen

Bestimme zuerst den Winkel. Der volle Umfang ist $U = 2\pi \cdot 10 = 20\pi \, \text{cm}$. Anteil: $\dfrac{5\pi}{20\pi} = \dfrac{1}{4}$. Winkel: $\alpha = \dfrac{1}{4} \cdot 360° = 90°$. Fläche: $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 10^2 = 25\pi \approx 78{,}54 \, \text{cm}^2$. Schneller geht es mit $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{b \cdot r}{2} = \dfrac{5\pi \cdot 10}{2} = 25\pi$.

❓ Frage:

Ein Kreisbogen ist $b = 10 \, \text{cm}$ lang, der Radius beträgt $r = 8 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Mittelpunktswinkel $\alpha$?

Lösung anzeigen

Die Bogenformel nach $\alpha$ umgestellt:

$$\alpha = \dfrac{b \cdot 360°}{2 \cdot \pi \cdot r} = \dfrac{10 \cdot 360°}{2 \cdot \pi \cdot 8} = \dfrac{3600°}{16\pi} = \dfrac{225°}{\pi} \approx 71{,}62°$$

❓ Frage:

Ein Kreissektor hat eine Fläche von $50 \, \text{cm}^2$ und einen Radius von $10 \, \text{cm}$. Wie lang ist der zugehörige Kreisbogen?

Lösung anzeigen

Stelle $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{b \cdot r}{2}$ nach $b$ um:

$$b = \dfrac{2 \cdot A_{\text{Sektor}}}{r} = \dfrac{2 \cdot 50 \, \text{cm}^2}{10 \, \text{cm}} = 10 \, \text{cm}$$

Ausblick

Der Kreissektor begegnet dir gleich wieder bei den Körpern. Schneidest du den Mantel eines Kegels entlang einer Mantellinie auf und legst ihn flach hin, erhältst du einen Kreissektor. Sein Radius ist die Mantellinie $s$, seine Bogenlänge ist der Umfang $2\pi r$ des Grundkreises. Mit der Formel „Bogenlänge mal Radius durch zwei” folgt sofort die Mantelfläche $A_M = \dfrac{2\pi r \cdot s}{2} = \pi r s$.

Ziehst du von einem Kreissektor mit $\alpha < 180°$ das Dreieck ab, das die beiden Radien mit der Sehne bilden, bleibt ein Kreissegment übrig: die Fläche zwischen Bogen und Sehne. Die Dreiecksfläche berechnest du dabei mit dem Sinus, wie in der Lektion Fläche eines Dreiecks.

Das Bogenmass brauchst du wieder, sobald du die Sinus- und Kosinusfunktion zeichnest. Und in der Physik beschreiben Kreise und Kreisbögen die Bewegung von Planeten, Rädern und Wellen. Der Kreissektor ist also nur der Anfang einer langen mathematischen Reise.

Lösungen

Aufgabe 1: Setze in die Formeln ein.

Umfang: $U = 2 \cdot \pi \cdot 7 = 14\pi \approx 43{,}98 \, \text{cm}$.

Fläche: $A = \pi \cdot 7^2 = 49\pi \approx 153{,}94 \, \text{cm}^2$.

Aufgabe 2: Berechne zuerst den Anteil, dann die Fläche.

Anteil: $\dfrac{45°}{360°} = \dfrac{1}{8}$.

Fläche: $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{1}{8} \cdot \pi \cdot 8^2 = \dfrac{1}{8} \cdot 64\pi = 8\pi \approx 25{,}13 \, \text{cm}^2$.

Aufgabe 3: Ein Halbkreis entspricht $\alpha = 180°$, also einem Anteil von $\dfrac{1}{2}$.

Bogenlänge: $b = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 12 = 12\pi \approx 37{,}70 \, \text{cm}$.

Aufgabe 4: Bestimme zuerst den Anteil.

Anteil: $\dfrac{135°}{360°} = \dfrac{3}{8}$.

Fläche: $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{3}{8} \cdot \pi \cdot 10^2 = \dfrac{300\pi}{8} = 37{,}5\pi \approx 117{,}81 \, \text{cm}^2$.

Bogenlänge: $b = \dfrac{3}{8} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 10 = \dfrac{60\pi}{8} = 7{,}5\pi \approx 23{,}56 \, \text{cm}$.

Aufgabe 5: Achte auf die Angabe des Durchmessers.

Radius: $r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{20}{2} = 10 \, \text{cm}$.

Viertelkreis: Anteil $\dfrac{90°}{360°} = \dfrac{1}{4}$.

Fläche: $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 10^2 = 25\pi \approx 78{,}54 \, \text{cm}^2$.

Aufgabe 6: Hier ist der Winkel gesucht.

Volle Fläche: $A = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \, \text{cm}^2$.

Anteil: $\dfrac{9\pi}{36\pi} = \dfrac{1}{4}$.

Winkel: $\alpha = \dfrac{1}{4} \cdot 360° = 90°$.

Aufgabe 7: Nutze den Umfang als Vergleich.

Voller Umfang: $U = 2 \cdot \pi \cdot 8 = 16\pi \, \text{cm}$.

Anteil: $\dfrac{4\pi}{16\pi} = \dfrac{1}{4}$.

Winkel: $\alpha = \dfrac{1}{4} \cdot 360° = 90°$.

Aufgabe 8: Der gesamte Umfang besteht aus zwei Radien und dem Bogen.

Anteil: $\dfrac{120°}{360°} = \dfrac{1}{3}$.

Bogenlänge: $b = \dfrac{1}{3} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 5 = \dfrac{10\pi}{3} \approx 10{,}47 \, \text{cm}$.

Gesamtumfang: $U_{\text{Sektor}} = 2 \cdot 5 + \dfrac{10\pi}{3} = 10 + \dfrac{10\pi}{3} \approx 20{,}47 \, \text{cm}$.

Aufgabe 9: Der aufgeklappte Fächer ist ein Halbkreis mit $r = 25 \, \text{cm}$.

Anteil: $\dfrac{180°}{360°} = \dfrac{1}{2}$.

Fläche: $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot 25^2 = \dfrac{625\pi}{2} \approx 981{,}75 \, \text{cm}^2$.

Das entspricht etwa $0{,}098 \, \text{m}^2$.

Aufgabe 10: Hier löst du die Bogenformel nach $r$ auf.

Anteil: $\dfrac{150°}{360°} = \dfrac{5}{12}$.

Ansatz: $10\pi = \dfrac{5}{12} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r = \dfrac{10\pi \cdot r}{12}$.

Auflösen: $10\pi \cdot 12 = 10\pi \cdot r$, also $r = 12 \, \text{cm}$.

Aufgabe 11: Die gewischte Fläche ist ein grosser Sektor mit $r = 45 \, \text{cm}$, aus dem ein kleiner Sektor mit $r = 15 \, \text{cm}$ fehlt. Beide haben denselben Winkel.

Anteil: $\dfrac{110°}{360°} = \dfrac{11}{36}$.

Grosser Sektor: $\dfrac{11}{36} \cdot \pi \cdot 45^2 = \dfrac{11}{36} \cdot 2025\pi = 618{,}75\pi \, \text{cm}^2$.

Kleiner Sektor: $\dfrac{11}{36} \cdot \pi \cdot 15^2 = \dfrac{11}{36} \cdot 225\pi = 68{,}75\pi \, \text{cm}^2$.

Gewischte Fläche: $618{,}75\pi - 68{,}75\pi = 550\pi \approx 1727{,}88 \, \text{cm}^2$, also etwa $0{,}17 \, \text{m}^2$.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport