Potenzen und Logarithmen

Darum geht's

Ein Bakterium teilt sich jede halbe Stunde. Nach $24$ Stunden sind aus einem $2^{48} \approx 2{,}8 \cdot 10^{14}$ Bakterien geworden. Wie lange dauert es, bis aus $1\,000\,\text{CHF}$ Startkapital bei $3\,\%$ Zinssatz $1\,000\,000\,\text{CHF}$ werden? Beide Fragen führen dich direkt in die Welt der Potenzen und Logarithmen.

In diesem Kapitel baust du die Potenzrechnung aus der 7./8. Klasse zu einer vollständigen Theorie aus und lernst den Logarithmus kennen — die Umkehrung der Potenz, die zum Werkzeug wird, sobald die Unbekannte im Exponenten steht.

Worum geht es?

Eine Potenz $a^n$ ist die Kurzschreibweise für $\underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n\text{ Faktoren}}$ — für natürliche $n$. Der eigentliche Sprung dieses Kapitels ist, den Exponenten systematisch auf ganze, rationale und reelle Zahlen zu erweitern:

• $a^0 = 1$ (für $a \neq 0$),
• $a^{-n} = \tfrac{1}{a^n}$ (Kehrwert),
• $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ (Wurzel als Potenz),
• $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ (rationale Exponenten).

Diese Erweiterungen sind nicht willkürlich — sie sind so gewählt, dass die Potenzgesetze weiterhin gelten:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}, \quad (ab)^n = a^n b^n$

Damit löst du Potenzgleichungen wie $x^4 = 81$ ($x = \pm 3$) und $x^3 = -8$ ($x = -2$). Steht die Variable aber im Exponenten wie in $2^x = 100$, brauchst du ein neues Werkzeug: den Logarithmus. $\log_a b$ ist die Antwort auf die Frage “Welche Potenz von $a$ ergibt $b$?” Also: $a^{\log_a b} = b$.

Dezimallogarithmus $\log = \log_{10}$, natürlicher Logarithmus $\ln = \log_\mathrm{e}$. Die Logarithmengesetze sind die Spiegelbilder der Potenzgesetze:

$\log(xy) = \log x + \log y, \quad \log \tfrac{x}{y} = \log x - \log y, \quad \log x^n = n \log x$

Den Abschluss bildet die wissenschaftliche Schreibweise $a \cdot 10^n$ (mit $1 \le a < 10$), mit der Physik und Chemie ihre sehr grossen ($6 \cdot 10^{23}$ Atome/Mol) und sehr kleinen Zahlen ($1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$ Elementarladung) handhaben.

Was du schon können solltest

Für dieses Kapitel brauchst du:

• die Potenzrechenregeln und Exponentenregeln aus Terme und Gleichungen,
• sicheres Rechnen mit Wurzeln und Brüchen,
• das Lösen linearer Gleichungen,
• ausreichenden Umgang mit dem Taschenrechner (Tasten $\log$, $\ln$, $x^y$).

Was du in diesem Kapitel lernst

Neun Lektionen, die vom ganzen Exponenten bis zum Logarithmus führen:

1. Potenzen mit ganzen Exponenten — Definition und Rechenregeln bei ganzen $n$, auch negativen.
2. Potenzen mit reellen Exponenten — was $2^\pi$ oder $3^{\sqrt{2}}$ bedeutet.
3. Potenzgesetze — die vier Regeln sauber begründet und angewendet.
4. Negative Exponenten — $a^{-n} = \tfrac{1}{a^n}$, Umgang mit Brüchen.
5. Gebrochene Exponenten — Wurzeln als Potenzen: $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$.
6. Potenzgleichungen — $x^n = a$ systematisch lösen.
7. Logarithmen — Definition, Dezimal- und natürlicher Logarithmus, Logarithmengesetze.
8. Höhere Potenzen und Überschlagsrechnung — schnelle Abschätzungen ohne Rechner.
9. Standardschreibweise — $a \cdot 10^n$: die Sprache für sehr grosse und sehr kleine Zahlen.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Potenz ($a^n$) — Basis $a$, Exponent $n$.
• Potenzgesetze — die vier Kernregeln für Produkt, Quotient, Potenz-einer-Potenz und Produkt-im-Exponenten.
• Logarithmus ($\log_a b$) — der Exponent, mit dem $a$ potenziert werden muss, um $b$ zu ergeben.
• Dezimaler Logarithmus ($\log$) — Basis $10$; Standard in Alltag und Technik.
• Natürlicher Logarithmus ($\ln$) — Basis $\mathrm{e}$; Standard in Analysis und Naturwissenschaften.
• Wissenschaftliche Schreibweise — $a \cdot 10^n$ mit $1 \le |a| < 10$.

Häufige Denkfehler

Achtung

Die Potenzgesetze gelten nur, wenn du dieselbe Basis multiplizierst oder dividierst. $2^3 \cdot 3^3 \neq 6^3$ — weil die Basen unterschiedlich sind. Aber $2^3 \cdot 2^3 = 2^6$ ist völlig richtig.

1. ”$(a+b)^2 = a^2 + b^2$.” Falsch — und in Prüfungen der beliebteste Fehler überhaupt. Richtig: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Die Potenz verteilt sich nicht auf eine Summe.
2. ”$2^{-3} = -8$.” Nein. Das Minus im Exponenten bildet den Kehrwert, nicht das Vorzeichen: $2^{-3} = \tfrac{1}{2^3} = \tfrac{1}{8}$.
3. ”$\log (a + b) = \log a + \log b$.” Falsch. Diese Gleichung stimmt für Produkte, nicht für Summen: $\log(a \cdot b) = \log a + \log b$.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Potenzen und Logarithmen gehören zu MA.1 – Zahl und Variable, 3. Zyklus:

• MA.1.A.7 – Mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen rechnen.
• MA.1.A.9 – Exponentialgleichungen mit Hilfe von Logarithmen lösen.
• MA.1.B.3 – Grössenordnungen mit wissenschaftlicher Schreibweise beschreiben.

Potenzen mit ganzzahligen und rationalen Exponenten sowie die Standardschreibweise gelten als Grundanspruch im 3. Zyklus. Logarithmen, Exponentialgleichungen und das Rechnen mit der eulerschen Zahl $\mathrm{e}$ gehören zur Erweiterung und sind im Gymnasium vorausgesetzt.

Die Themen im Überblick

• Potenzen mit ganzen Exponenten
• Potenzen mit reellen Exponenten
• Potenzgesetze anwenden
• Negative Exponenten verstehen
• Gebrochene Exponenten: Wurzeln als Potenzen
• Potenzgleichungen lösen
• Logarithmen: Die Umkehrung der Potenzrechnung
• Höhere Potenzen und Überschlagsrechnung
• Standardschreibweise: Grosse und kleine Zahlen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport