Masseinheiten umrechnen – Von Millimetern bis Kilometern sicher umrechnen

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Grössen und Einheiten”
• Vorwissen: Länge, Gewicht und Zeit
• Vertiefung: Grössen mit Komma
• Als Nächstes: Flächeneinheiten

Darum geht's

Stell dir vor, du planst eine Velotour. Die Karte zeigt die Strecke in Metern an, aber du denkst in Kilometern. Oder du backst einen Kuchen: Das Rezept verlangt drei Deziliter Milch, dein Messbecher zeigt nur Milliliter. In solchen Momenten brauchst du eine Fähigkeit, die dich täglich begleitet – das Umrechnen von Masseinheiten. Du vergleichst Preise pro Kilogramm, liest Paketgewichte ab oder rechnest aus, ob der Schulweg länger ist als der Weg zum Training. Die gute Nachricht: Hinter all diesen Umrechnungen steckt ein einziges System mit den Faktoren Zehn, Hundert und Tausend. Wer es einmal durchschaut hat, verschiebt nur noch das Komma – und rechnet schneller als jeder Taschenrechner tippt.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse) · 4Kompetenzen

• MA.3.A.1.fMasseinheiten Hohlmasse (l, dl, cl, ml), Gewicht (t, kg, g, mg), Zeit (h, min, s); Vorsätze Kilo, Dezi, Centi, Milli
• MA.3.A.2.eGrössen schätzen, messen, in benachbarte Masseinheiten umwandeln: l, dl; m, cm, mm; kg, g
• MA.3.A.2.gMit Längen, Gewichten, Volumen und Zeitangaben rechnen sowie Grössen in benachbarte Masseinheiten umwandeln
• MA.3.A.2.hGrössen (Geld, Längen, Gewicht/Masse, Zeit, Volumen) schätzen, bestimmen, vergleichen, runden, rechnen, in benachbarte Masseinheiten umwandeln und in zweifach benannten Einheiten schreiben

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der Masseinheiten ist so alt wie der Handel selbst. Bereits vor 5000 Jahren nutzten die Sumerer in Mesopotamien die Elle – den Abstand vom Ellbogen bis zur Fingerspitze – als Längenmass. Doch jeder Mensch hat unterschiedlich lange Arme. Diese Ungenauigkeit führte zu Streit auf jedem Marktplatz.

Die alten Ägypter verbesserten das System um 3000 vor Christus. Sie schufen die königliche Elle, einen standardisierten Messstab aus Granit, und verteilten Kopien im ganzen Reich. Für Gewichte verwendeten sie das Deben, etwa 91 Gramm, definiert durch einen Kupferring.

Im Mittelalter herrschte trotzdem Chaos. Jede Region hatte eigene Masse: Ein Fuss mass in Paris 32,5 Zentimeter, in Wien nur 31,6 Zentimeter. Händler mussten komplizierte Umrechnungstabellen auswendig lernen.

Die Wende kam mit der Französischen Revolution. Im Jahr 1791 beschloss die französische Nationalversammlung ein universelles Masssystem. Der Meter wurde als der zehnmillionste Teil der Strecke vom Nordpol zum Äquator definiert. Das Geniale daran: Alle Einheiten bauen auf Zehnerschritten auf. Damit war das Umrechnen plötzlich eine Sache der Kommaverschiebung.

Gefahr

Mathe-Fact: Von 1889 bis 1960 war der Meter durch das Urmeter definiert – einen Stab aus Platin und Iridium, der in einem Tresor bei Paris liegt. Heute gilt eine noch genauere Definition: Ein Meter ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in $\dfrac{1}{299\,792\,458}$ Sekunde zurücklegt. Diese Definition funktioniert überall im Universum.

1875 unterzeichneten 17 Staaten – darunter die Schweiz – die Meterkonvention in Paris. Seither wird das metrische System international gepflegt; 1960 wurde es zum Internationalen Einheitensystem (SI) erweitert. Nur die Zeit tanzt aus der Reihe: Die Einteilung in 60 Minuten und 60 Sekunden stammt von den Babyloniern, die mit einem Sechziger-System rechneten. Darum gelten beim Umrechnen von Zeitangaben andere Regeln – dazu später mehr.

Die Grundlagen

Eine Masseinheit gibt an, womit du etwas misst. Du kennst Meter für Längen, Gramm für Gewichte und Liter für Hohlmasse. Jede Einheit gehört zu einer bestimmten Grösse.

Definition

Eine Grösse ist eine messbare Eigenschaft, zum Beispiel Länge, Gewicht (Masse), Zeit oder Volumen. Eine Masseinheit ist die festgelegte Vergleichsgrösse dazu: Der Meter ist die Einheit der Länge, das Gramm die Einheit des Gewichts, der Liter die Einheit des Hohlmasses. Jede Angabe besteht aus Masszahl und Einheit: Bei $3{,}5 \text{ km}$ ist $3{,}5$ die Masszahl und km die Einheit.

Das metrische System baut auf Vorsätzen auf. Sie sagen dir, um welchen Faktor eine Einheit grösser oder kleiner ist als die Grundeinheit:

Vorsatz	Abkürzung	Bedeutung	Faktor
Kilo	k	das Tausendfache	$\times 1000$
Hekto	h	das Hundertfache	$\times 100$
Deka	da	das Zehnfache	$\times 10$
Dezi	d	ein Zehntel	$: 10$
Centi (Zenti)	c	ein Hundertstel	$: 100$
Milli	m	ein Tausendstel	$: 1000$

Ein Kilometer sind also 1000 Meter, ein Milliliter ist ein Tausendstel Liter. Für die Praxis brauchst du vor allem diese drei Einheitenreihen:

Grösse	Reihe	Faktor zwischen Nachbarn
Länge	km – m – dm – cm – mm	1000 – 10 – 10 – 10
Gewicht	t – kg – g – mg	je 1000
Hohlmass	l – dl – cl – ml	je 10

Bei den Längen springst du von km zu m mit dem Faktor 1000, danach geht es in Zehnerschritten weiter. Bei den Gewichten beträgt jeder Sprung 1000. Bei den Hohlmassen beträgt jeder Sprung 10 – darum sind $1 \text{ l} = 10 \text{ dl} = 100 \text{ cl} = 1000 \text{ ml}$.

Merke dir die wichtigste Grundbeobachtung: Rechnest du in eine kleinere Einheit um, wird die Masszahl grösser. Rechnest du in eine grössere Einheit um, wird die Masszahl kleiner. Zwei Meter sind 200 Zentimeter – dieselbe Länge, aber viel mehr kleine Schritte. Genau wie beim Geld: 5 Franken sind 500 Rappen.

Die Kernmethode

Jede Umrechnung folgt demselben Ablauf. Wenn du ihn beherrschst, kannst du jede Einheit in eine andere verwandeln.

Definition

Bestimme den Umrechnungsfaktor – also wie oft die kleinere Einheit in die grössere passt. Dann gilt:

• Von der grösseren zur kleineren Einheit: multipliziere mit dem Faktor.
• Von der kleineren zur grösseren Einheit: dividiere durch den Faktor.

Beispiel: $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$, also ist $3{,}5 \text{ m} = 3{,}5 \cdot 100 \text{ cm} = 350 \text{ cm}$.

So gehst du Schritt für Schritt vor:

1. Einheiten benennen: Von welcher Einheit startest du, bei welcher willst du ankommen?
2. Faktor bestimmen: Nutze die Einheitenreihen. Jeder Sprung in der Längenreihe m – dm – cm – mm bedeutet Faktor 10; km zu m bedeutet Faktor 1000.
3. Operation wählen: Grösser zu kleiner heisst multiplizieren, kleiner zu grösser heisst dividieren.
4. Rechnen: Bei den Faktoren 10, 100 und 1000 verschiebst du nur das Komma.
5. Kontrollieren: Rechne rückwärts und prüfe, ob das Ergebnis plausibel ist.

Schritt 4 ist der Schlüssel zum schnellen Rechnen. Weil alle Faktoren Zehnerpotenzen sind, brauchst du nie schriftlich zu multiplizieren:

Definition

Multiplizieren mit 10, 100 oder 1000 verschiebt das Komma um 1, 2 oder 3 Stellen nach rechts. Dividieren durch 10, 100 oder 1000 verschiebt es um 1, 2 oder 3 Stellen nach links. Fehlende Stellen füllst du mit Nullen auf: $3{,}5 \cdot 1000 = 3500$ und $7 : 100 = 0{,}07$.

Eine Stellenwerttafel macht das sichtbar. Trage die Masszahl so ein, dass jede Ziffer in der Spalte ihrer Einheit steht – dann liest du jede Umrechnung direkt ab:

km			m	dm	cm	mm
3	2	0	0

Die Tafel zeigt: $3{,}2 \text{ km} = 3200 \text{ m}$. Zwischen km und m liegen drei Spalten, also drei Kommaverschiebungen.

Beispiel:

Beispiel 1: Einstieg – Die Wand im Kinderzimmer

Sarah möchte ihr Zimmer neu streichen. Die Wand ist 4 Meter lang. Für die Bestellung der Malerfolie braucht sie die Länge in Zentimetern.

Gegeben: Wandlänge $4 \text{ m}$

Gesucht: Wandlänge in cm

Lösung:

Von Metern zu Zentimetern ist der Faktor 100, denn $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$. Du rechnest von der grösseren in die kleinere Einheit um, also multiplizierst du:

$$4 \text{ m} = 4 \cdot 100 \text{ cm} = 400 \text{ cm}$$

Die Masszahl ist von 4 auf 400 gewachsen. Das passt: Zentimeter sind kleiner als Meter, du brauchst mehr davon für dieselbe Länge.

Antwort: 4 Meter entsprechen 400 Zentimetern.

Kontrolle: Rückwärts gerechnet: $400 \text{ cm} : 100 = 4 \text{ m}$. ✓

Beispiel:

Beispiel 2: Aufbauend – Das Paket auf der Waage

Ein Paket wiegt 2500 Gramm. Die Post berechnet das Porto aber pro Kilogramm. Wie viele Kilogramm wiegt das Paket?

Gegeben: Paketgewicht $2500 \text{ g}$

Gesucht: Gewicht in kg

Lösung:

Von Gramm zu Kilogramm ist der Faktor 1000, denn $1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$. Diesmal rechnest du von der kleineren in die grössere Einheit um – also dividierst du:

$$2500 \text{ g} = 2500 : 1000 \text{ kg} = 2{,}5 \text{ kg}$$

Mit der Kommaverschiebung: Das Komma wandert drei Stellen nach links, aus $2500$ wird $2{,}5$.

Antwort: Das Paket wiegt $2{,}5$ Kilogramm.

Kontrolle: Rückwärts: $2{,}5 \text{ kg} \cdot 1000 = 2500 \text{ g}$. ✓ Plausibel ist es auch – ein Paket von zweieinhalb Kilogramm kannst du gut tragen.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Umrechnen passieren immer wieder dieselben Fehler. Wer sie kennt, vermeidet sie.

Achtung

Stolperstein 1: Multiplizieren statt dividieren – oder umgekehrt

Der häufigste Fehler ist die falsche Rechenoperation. Beispiel: 5000 Gramm sollen in Kilogramm umgerechnet werden. Falscher Gedanke: “Kilo heisst 1000, also $5000 \cdot 1000 = 5\,000\,000 \text{ kg}$.” Fünf Millionen Kilogramm für ein Paket – offensichtlich absurd. Richtig: Von der kleineren zur grösseren Einheit dividierst du: $5000 : 1000 = 5 \text{ kg}$. Prüfe immer die Richtung: In der kleineren Einheit muss die Masszahl grösser sein, in der grösseren Einheit kleiner.

Achtung

Stolperstein 2: Falscher Umrechnungsfaktor

In der Längenreihe km – m – dm – cm – mm ist fast jeder Sprung ein Zehnerschritt – nur zwischen km und m liegt der Faktor 1000. Wer pauschal mit 100 rechnet, liegt daneben: $2 \text{ km}$ sind nicht $200 \text{ m}$, sondern $2000 \text{ m}$. Auch beliebt: cm und mm verwechseln. Schreibe dir die Einheitenreihe hin und zähle die Sprünge – bei Unsicherheit nachschlagen statt raten.

Achtung

Stolperstein 3: Komma falsch verschoben

Bei Dezimalzahlen geht das Komma gern verloren. Beispiel: $3{,}45 \text{ m}$ in Zentimeter. Falsch: ”$3{,}45 \cdot 100 = 34{,}5$.” Hier wurde das Komma nur um eine Stelle verschoben. Richtig: Multiplizieren mit 100 verschiebt das Komma um zwei Stellen nach rechts: $3{,}45 \text{ m} = 345 \text{ cm}$. Zähle die Nullen des Faktors – so viele Stellen wandert das Komma. Fehlende Stellen füllst du mit Nullen auf: $3{,}5 \cdot 1000 = 3500$, nicht $35$.

Achtung

Stolperstein 4: Keine Plausibilitätskontrolle

Wer mechanisch rechnet, übersieht absurde Ergebnisse: ein Bleistift von 180 Metern Länge, ein Auto von $0{,}002$ Kilogramm. Entwickle ein Gefühl für Referenzgrössen: Ein Bleistift misst etwa 18 cm, ein Auto wiegt 1000 bis 2000 kg, eine PET-Flasche fasst $1{,}5$ l. Stelle dir nach jeder Umrechnung drei Fragen: Passt die Grössenordnung? Ist die Zahl realistisch? Stimmt die Richtung (grösser/kleiner)? Die zehn Sekunden für die Rückrechnung lohnen sich immer.

Beispiel:

Beispiel 3: Dezimalzahl – Mit dem Velo zur Schule

Luca fährt mit dem Velo zur Schule. Die Strecke beträgt $3{,}2$ Kilometer. Seine Fitness-App zählt aber in Metern. Wie viele Meter sind das?

Gegeben: Schulweg $3{,}2 \text{ km}$

Gesucht: Strecke in m

Lösung:

Von Kilometern zu Metern ist der Faktor 1000, denn $1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$. Grössere zu kleinerer Einheit – also multiplizieren:

$$3{,}2 \text{ km} = 3{,}2 \cdot 1000 \text{ m} = 3200 \text{ m}$$

Mit der Kommaverschiebung: Das Komma wandert drei Stellen nach rechts. Nach der 2 fehlen zwei Stellen – du füllst sie mit Nullen auf: aus $3{,}2$ wird $3200$.

Antwort: $3{,}2$ Kilometer entsprechen 3200 Metern.

Kontrolle: Rückwärts: $3200 \text{ m} : 1000 = 3{,}2 \text{ km}$. ✓ Plausibel: Ein Schulweg von gut drei Kilometern ist mit dem Velo in rund zehn Minuten machbar.

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Das Schwimmbecken

Ein Schwimmbecken ist 25 Meter lang, 10 Meter breit und 2 Meter tief. Es wird vollständig gefüllt. Wie viele Tonnen wiegt das Wasser? Hinweise: $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ l}$; 1 Liter Wasser wiegt 1 kg; $1 \text{ t} = 1000 \text{ kg}$.

Gegeben: Becken $25 \text{ m} \times 10 \text{ m} \times 2 \text{ m}$, vollständig gefüllt

Gesucht: Gewicht des Wassers in Tonnen

Lösung:

Zuerst das Volumen des Quaders:

$$V = 25 \cdot 10 \cdot 2 = 500 \text{ m}^3$$

Dann die Umrechnungskette: $500 \text{ m}^3 = 500 \cdot 1000 \text{ l} = 500\,000 \text{ l}$. Da jeder Liter 1 kg wiegt, sind das $500\,000 \text{ kg}$. Zum Schluss in Tonnen: $500\,000 : 1000 = 500 \text{ t}$.

Antwort: Das Wasser im Becken wiegt 500 Tonnen.

Kontrolle: Die zwei Faktoren 1000 heben sich auf – aus $500 \text{ m}^3$ Wasser werden direkt $500 \text{ t}$. ✓ Das entspricht dem Gewicht von rund 350 Autos; für ein 25-Meter-Becken realistisch.

Vertiefung

Zwei Themen heben dein Umrechnen auf die nächste Stufe: Zeitangaben und zweifach benannte Grössen.

Die Zeit folgt nicht dem Zehnersystem. Eine Stunde hat 60 Minuten, eine Minute 60 Sekunden, ein Tag 24 Stunden – ein Erbe der Babylonier. Hier funktioniert die Kommaverschiebung nicht: $1{,}5 \text{ h}$ sind nicht 1 Stunde 50 Minuten, sondern $1{,}5 \cdot 60 = 90$ Minuten, also 1 Stunde 30 Minuten.

Definition

Bei Zeitangaben rechnest du mit den Faktoren 60 und 24: $1 \text{ h} = 60 \text{ min}$, $\;1 \text{ min} = 60 \text{ s}$, $\;1 \text{ d} = 24 \text{ h}$. Von der grösseren zur kleineren Einheit multiplizierst du, umgekehrt dividierst du – wie immer. Nur der Faktor ist keine Zehnerpotenz, darum hilft die Kommaverschiebung hier nicht.

Das zweite Thema sind zweifach benannte Grössen wie 3 km 250 m oder 2 kg 75 g. Sie kombinieren zwei Einheiten in einer Angabe. Zum Rechnen wandelst du sie in die kleinere Einheit um: $3 \text{ km } 250 \text{ m} = 3000 \text{ m} + 250 \text{ m} = 3250 \text{ m}$. Umgekehrt zerlegst du $4725 \text{ g}$ in $4 \text{ kg } 725 \text{ g}$. Achtung beim Auffüllen mit Nullen: $2 \text{ kg } 75 \text{ g}$ sind $2075 \text{ g}$, nicht $275 \text{ g}$ – zwischen kg und g liegen drei Stellen.

Zweifach benannte Grössen begegnen dir ständig: Der Fahrplan zeigt 1 h 25 min, der Wanderwegweiser 2 km 300 m, das Rezept 1 kg 200 g Mehl. Wer sicher zwischen den Schreibweisen wechselt, kann solche Angaben direkt vergleichen und addieren.

Beispiel:

Beispiel 5: Vertiefung – Der Filmabend

Ein Film dauert 2 Stunden 25 Minuten. Mias Tablet-Akku reicht laut Anzeige noch für 150 Minuten. Reicht der Akku für den ganzen Film?

Gegeben: Filmdauer 2 h 25 min, Akkulaufzeit 150 min

Gesucht: Filmdauer in Minuten und Vergleich mit der Akkulaufzeit

Lösung:

Die zweifach benannte Zeitangabe wandelst du in Minuten um. Der Faktor zwischen Stunden und Minuten ist 60:

$$2 \text{ h } 25 \text{ min} = 2 \cdot 60 \text{ min} + 25 \text{ min} = 120 + 25 = 145 \text{ min}$$

Jetzt kannst du vergleichen: $145 \text{ min} < 150 \text{ min}$.

Antwort: Der Film dauert 145 Minuten. Der Akku reicht – mit 5 Minuten Reserve.

Kontrolle: Rückwärts: $145 : 60 = 2$ Rest $25$, also 2 h 25 min. ✓ Beachte: Mit der Kommaverschiebung gerechnet wäre $2{,}25 \text{ h} \cdot 100 = 225 \text{ min}$ herausgekommen – bei der Zeit gilt der Faktor 60, nicht 100.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Notiere bei jeder Umrechnung den Faktor und die Rechenoperation. Die vollständigen Lösungswege findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Rechne 8 Meter in Zentimeter um.

Aufgabe 2: Ein Apfel wiegt 150 Gramm. Wie viele Kilogramm sind das?

Aufgabe 3: Wandle 4500 Millimeter in Meter um.

Aufgabe 4: Eine Flasche enthält $0{,}75$ Liter Orangensaft. Wie viele Milliliter sind das?

Aufgabe 5: Ein Zugbillett gilt für eine Fahrt von 2 Stunden 40 Minuten. Wie viele Minuten sind das?

Aufgabe 6: Ein Lastwagen transportiert eine Ladung von $3{,}5$ Tonnen. Die Brücke erlaubt höchstens 3600 Kilogramm. Darf der Lastwagen die Brücke überqueren? Begründe.

Aufgabe 7: Sophia kauft $2{,}4$ kg Äpfel zu CHF $3{,}80$ pro Kilogramm und 850 g Trauben zu CHF $5{,}20$ pro Kilogramm. Wie viel bezahlt sie insgesamt? Runde auf Rappen genau.

Aufgabe 8: Ein Aquarium misst $50 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} \times 40 \text{ cm}$. Es wird zu drei Vierteln mit Wasser gefüllt. Wie viele Kilogramm wiegt das Wasser? (Hinweis: $1 \text{ l} = 1 \text{ dm}^3$; 1 Liter Wasser wiegt 1 kg.)

Aufgabe 9: Eine Baustelle erhält drei Kieslieferungen: $2{,}3$ Tonnen, 1850 Kilogramm und 950’000 Gramm. Wie viele Kilogramm Kies sind das insgesamt?

Aufgabe 10: Ein Marathon ist $42{,}195$ km lang. Lisa trainiert auf einer 400-Meter-Bahn. Wie viele vollständige Runden muss sie laufen, um die Marathondistanz zu erreichen? Wie viele Meter fehlen danach noch?

Das Wichtigste in Kürze

• Masseinheit: festgelegte Vergleichsgrösse einer Grösse; jede Angabe besteht aus Masszahl und Einheit.
• Vorsätze: Kilo ($\times 1000$), Hekto ($\times 100$), Deka ($\times 10$), Dezi ($: 10$), Centi ($: 100$), Milli ($: 1000$).
• Einheitenreihen: Länge km – m – dm – cm – mm (1000, dann je 10); Gewicht t – kg – g – mg (je 1000); Hohlmass l – dl – cl – ml (je 10).
• Umrechnungsregel: Grössere zu kleinerer Einheit multiplizieren, kleinere zu grösserer Einheit dividieren.
• Kommaverschiebung: Faktor 10, 100, 1000 verschiebt das Komma um 1, 2, 3 Stellen – nach rechts beim Multiplizieren, nach links beim Dividieren.
• Zeit ist anders: Faktoren 60 und 24 statt Zehnerpotenzen; $1{,}5 \text{ h} = 90 \text{ min}$.
• Kontrolle: Rückwärts rechnen und Plausibilität prüfen – kleinere Einheit heisst grössere Masszahl.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Rechne $5{,}6$ Meter in Zentimeter um. Beschreibe auch, wie das Komma wandert.

Lösung anzeigen

Von Metern zu Zentimetern ist der Faktor 100. Grössere zu kleinerer Einheit – also multiplizieren:

$$5{,}6 \text{ m} = 5{,}6 \cdot 100 \text{ cm} = 560 \text{ cm}$$

Das Komma wandert zwei Stellen nach rechts; die fehlende Stelle füllst du mit einer Null auf.

Kontrolle: $560 : 100 = 5{,}6$. ✓

❓ Frage:

Nenne die Bedeutung der Vorsätze Kilo, Dezi, Centi und Milli. Welche Einheiten der Hohlmass-Reihe gehören dazu?

Lösung anzeigen

Kilo bedeutet das Tausendfache, Dezi ein Zehntel, Centi ein Hundertstel und Milli ein Tausendstel der Grundeinheit.

In der Hohlmass-Reihe heisst das: $1 \text{ l} = 10 \text{ dl} = 100 \text{ cl} = 1000 \text{ ml}$. Der Deziliter ist ein Zehntel Liter, der Centiliter ein Hundertstel, der Milliliter ein Tausendstel. Dieselben Vorsätze findest du bei Längen (mm, cm, dm, km) und Gewichten (mg, kg) wieder – das System ist überall gleich.

❓ Frage:

Auf der Waage liegen 750 g Mehl. Dazu kommen $1{,}5$ kg Zucker. Wie viele Kilogramm wiegen beide Zutaten zusammen?

Lösung anzeigen

Vor dem Addieren bringst du beide Angaben auf dieselbe Einheit. Von Gramm zu Kilogramm dividierst du durch 1000:

$$750 \text{ g} = 750 : 1000 \text{ kg} = 0{,}75 \text{ kg}$$

Jetzt kannst du addieren:

$$0{,}75 \text{ kg} + 1{,}5 \text{ kg} = 2{,}25 \text{ kg}$$

Kontrolle: In Gramm: $750 + 1500 = 2250 \text{ g} = 2{,}25 \text{ kg}$. ✓

❓ Frage:

Jan behauptet: ”$1{,}5$ Stunden sind 1 Stunde 50 Minuten.” Stimmt das? Rechne nach.

Lösung anzeigen

Nein. Die Zeit folgt nicht dem Zehnersystem. Eine Stunde hat 60 Minuten, also gilt:

$$1{,}5 \text{ h} = 1{,}5 \cdot 60 \text{ min} = 90 \text{ min}$$

90 Minuten sind 1 Stunde 30 Minuten. Jans Fehler: Er hat die Dezimalstelle wie bei einer Kommaverschiebung gelesen. Bei Zeitangaben rechnest du immer mit dem Faktor 60, nie mit 10 oder 100.

❓ Frage:

Ein Wanderwegweiser zeigt 3 km 250 m bis zur Hütte. Wie viele Meter sind das? Schreibe die Strecke auch in Kilometern.

Lösung anzeigen

Die zweifach benannte Grösse wandelst du in die kleinere Einheit um. Zuerst die Kilometer: $3 \text{ km} = 3000 \text{ m}$. Dann addierst du den Rest:

$$3 \text{ km } 250 \text{ m} = 3000 \text{ m} + 250 \text{ m} = 3250 \text{ m}$$

In Kilometern: $3250 \text{ m} = 3{,}25 \text{ km}$ – das Komma wandert drei Stellen nach links.

Kontrolle: $3{,}25 \text{ km} \cdot 1000 = 3250 \text{ m}$. ✓

Ausblick

Mit dem sicheren Umrechnen von Längen, Gewichten, Hohlmassen und Zeitangaben hast du das Fundament für alles gelegt, was mit Grössen zu tun hat. Als Nächstes warten die Flächeneinheiten auf dich: Dort springt der Faktor zwischen benachbarten Einheiten plötzlich auf 100, weil Flächen in zwei Richtungen wachsen. Auch die zusammengesetzten Masse wie km/h bauen direkt auf deinem heutigen Wissen auf. Und beim Massstab auf Karten rechnest du Zentimeter in Kilometer um – ohne Kommaverschiebung geht dort gar nichts.

Lösungen

Lösung 1: Von Metern zu Zentimetern ist der Faktor 100. Grössere zu kleinerer Einheit – also multiplizieren:

$$8 \text{ m} = 8 \cdot 100 \text{ cm} = 800 \text{ cm}$$

Kontrolle: $800 : 100 = 8$. ✓ 8 Meter sind 800 Zentimeter.

Lösung 2: Von Gramm zu Kilogramm ist der Faktor 1000. Kleinere zu grösserer Einheit – also dividieren:

$$150 \text{ g} = 150 : 1000 \text{ kg} = 0{,}15 \text{ kg}$$

Das Komma wandert drei Stellen nach links; vorne füllst du mit einer Null auf. Der Apfel wiegt $0{,}15$ Kilogramm.

Lösung 3: Von Millimetern zu Metern ist der Faktor 1000, denn $1 \text{ m} = 1000 \text{ mm}$. Kleinere zu grösserer Einheit – also dividieren:

$$4500 \text{ mm} = 4500 : 1000 \text{ m} = 4{,}5 \text{ m}$$

Kontrolle: $4{,}5 \cdot 1000 = 4500$. ✓ 4500 Millimeter sind $4{,}5$ Meter.

Lösung 4: Von Litern zu Millilitern ist der Faktor 1000. Grössere zu kleinerer Einheit – also multiplizieren:

$$0{,}75 \text{ l} = 0{,}75 \cdot 1000 \text{ ml} = 750 \text{ ml}$$

Das Komma wandert drei Stellen nach rechts. Die Flasche enthält 750 Milliliter.

Kontrolle: Über die Reihe l – dl – cl – ml: $0{,}75 \text{ l} = 7{,}5 \text{ dl} = 75 \text{ cl} = 750 \text{ ml}$. ✓

Lösung 5: Bei der Zeit gilt der Faktor 60. Du wandelst zuerst die Stunden um und addierst dann die restlichen Minuten:

$$2 \text{ h } 40 \text{ min} = 2 \cdot 60 \text{ min} + 40 \text{ min} = 120 + 40 = 160 \text{ min}$$

Kontrolle: $160 : 60 = 2$ Rest $40$, also 2 h 40 min. ✓ Die Fahrt dauert 160 Minuten.

Lösung 6: Damit du vergleichen kannst, bringst du beide Angaben auf dieselbe Einheit. Von Tonnen zu Kilogramm ist der Faktor 1000:

$$3{,}5 \text{ t} = 3{,}5 \cdot 1000 \text{ kg} = 3500 \text{ kg}$$

Jetzt vergleichst du: $3500 \text{ kg} < 3600 \text{ kg}$. Die Ladung liegt 100 Kilogramm unter dem Limit.

Antwort: Ja, der Lastwagen darf die Brücke überqueren, denn 3500 kg sind weniger als die erlaubten 3600 kg.

Lösung 7: Zuerst rechnest du die Trauben in Kilogramm um, damit beide Posten zur Preisangabe “pro Kilogramm” passen:

$$850 \text{ g} = 850 : 1000 \text{ kg} = 0{,}85 \text{ kg}$$

Dann berechnest du beide Posten und addierst:

$$2{,}4 \cdot 3{,}80 = 9{,}12 \qquad 0{,}85 \cdot 5{,}20 = 4{,}42$$ $$9{,}12 + 4{,}42 = 13{,}54$$

Antwort: Sophia bezahlt insgesamt CHF $13{,}54$.

Kontrolle: Überschlag: rund $2{,}5 \cdot 4 = 10$ Franken für Äpfel und knapp $1 \cdot 5 = 5$ Franken für Trauben, zusammen etwa 15 Franken. $13{,}54$ passt zur Grössenordnung. ✓

Lösung 8: Damit das Volumen direkt in Litern herauskommt, rechnest du die Kantenlängen zuerst in Dezimeter um ($1 \text{ dm} = 10 \text{ cm}$):

$$50 \text{ cm} = 5 \text{ dm} \qquad 30 \text{ cm} = 3 \text{ dm} \qquad 40 \text{ cm} = 4 \text{ dm}$$

Das Volumen des Quaders:

$$V = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60 \text{ dm}^3 = 60 \text{ l}$$

Das Aquarium wird zu drei Vierteln gefüllt:

$$60 \cdot \frac{3}{4} = 45 \text{ l}$$

Da 1 Liter Wasser 1 kg wiegt, wiegt das Wasser 45 Kilogramm.

Kontrolle: Plausibel – ein mittelgrosses Aquarium ist gut gefüllt etwa so schwer wie ein Kind. ✓

Lösung 9: Du bringst alle drei Lieferungen auf Kilogramm. Erste Lieferung, Faktor 1000 von Tonnen zu Kilogramm:

$$2{,}3 \text{ t} = 2{,}3 \cdot 1000 \text{ kg} = 2300 \text{ kg}$$

Zweite Lieferung: 1850 kg, bleibt. Dritte Lieferung, Faktor 1000 von Gramm zu Kilogramm:

$$950\,000 \text{ g} = 950\,000 : 1000 \text{ kg} = 950 \text{ kg}$$

Jetzt addierst du:

$$2300 + 1850 + 950 = 5100 \text{ kg}$$

Antwort: Insgesamt wurden 5100 Kilogramm Kies geliefert – das sind $5{,}1$ Tonnen.

Lösung 10: Zuerst rechnest du die Marathondistanz in Meter um, Faktor 1000:

$$42{,}195 \text{ km} = 42{,}195 \cdot 1000 \text{ m} = 42\,195 \text{ m}$$

Dann teilst du durch die Rundenlänge: $42\,195 : 400 = 105{,}4875$. Lisa schafft also 105 vollständige Runden. Damit legt sie

$$105 \cdot 400 = 42\,000 \text{ m}$$

zurück. Die fehlende Strecke ist die Differenz:

$$42\,195 - 42\,000 = 195 \text{ m}$$

Antwort: Lisa muss 105 vollständige Runden laufen; danach fehlen noch 195 Meter bis zur Marathondistanz.

Kontrolle: $105 \cdot 400 + 195 = 42\,000 + 195 = 42\,195 \text{ m}$. ✓

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport