Masseinheiten umrechnen: mit 10, 100, 1000

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Grössen und Einheiten”
• Vorwissen: Länge, Gewicht und Zeit
• Auffrischen: Dezimalzahlen mit 10, 100, 1000 multiplizieren
• Weiter: Zusammengesetzte Masse umrechnen

Darum geht's

Am Sonntag backst du einen Zopf. Im Rezept stehen $0{,}5\,\text{kg}$ Mehl und $3\,\text{dl}$ Milch. Deine Küchenwaage zeigt aber Gramm an, und auf dem Messbecher stehen Milliliter. Wie viel Mehl kommt auf die Waage? Bis zu welchem Strich füllst du den Becher?

Du musst die Angaben in eine andere Einheit umrechnen: $0{,}5\,\text{kg}$ sind $500\,\text{g}$, und $3\,\text{dl}$ sind $300\,\text{ml}$. Solche Umrechnungen brauchst du ständig: beim Kochen, beim Messen mit dem Meterstab, beim Einkaufen oder wenn du prüfst, ob der Akku für einen Film reicht.

In dieser Lektion lernst du, warum fast alle Einheiten mit $10$, $100$ oder $1000$ zusammenhängen. Mit der Einheitentreppe findest du den richtigen Faktor. Du verstehst, warum dabei nur das Komma wandert. Zum Schluss kommt die Zeit, denn sie funktioniert anders.

Masseinheiten umrechnen: die Idee

Masszahl und Einheit

Definition

Eine Grösse ist etwas, das du messen kannst: eine Länge, ein Gewicht, einen Inhalt oder eine Zeitdauer.

Jede Grössenangabe hat zwei Teile. Bei $3{,}5\,\text{km}$ ist $3{,}5$ die Masszahl und $\text{km}$ die Einheit.

Die Einheit sagt, womit du misst. Die Masszahl sagt, wie oft diese Einheit hineinpasst.

Ohne Einheit ist eine Angabe wertlos. «Der Schrank ist 2 breit» hilft niemandem: Sind es $2\,\text{m}$ oder $2\,\text{cm}$? Darum gehört zu jeder Masszahl eine Einheit.

Beim Umrechnen bleibt die Grösse gleich. Der Schrank wird nicht breiter, wenn du $2\,\text{m}$ als $200\,\text{cm}$ schreibst. Es ändern sich nur Masszahl und Einheit, und zwar immer beide zusammen.

Warum gerade 10?

Teilst du einen Meter in zehn gleich lange Stücke, ist jedes Stück ein Dezimeter ($1\,\text{dm}$) lang. Ein Dezimeter besteht wieder aus zehn Zentimetern. Auf deinem Lineal siehst du zwischen zwei Zentimeterstrichen noch einmal zehn kleine Abstände: die Millimeter. Auf dem Meterstab sind die Zentimeter durchnummeriert. Alle $10\,\text{cm}$ beginnt ein neuer Dezimeter.

Abb. 1: Jedes blaue Stück wird im Streifen darunter vergrössert. Bei jedem Schritt passen genau zehn kleinere Stücke in das grössere.

Weil jeder Schritt «mal 10» ist, kannst du die grösseren Faktoren selbst herleiten:

$$\begin{align*} 1\,\text{m} &= 10\,\text{dm} = 10 \cdot 10\,\text{cm} = 100\,\text{cm} \\ 1\,\text{m} &= 100\,\text{cm} = 100 \cdot 10\,\text{mm} = 1000\,\text{mm} \end{align*}$$

Du musst also nicht jeden Faktor auswendig lernen. Es reicht zu wissen, wie viele Zehnerschritte zwischen zwei Einheiten liegen.

Die Vorsätze verraten den Faktor

Die Namen der Einheiten sind aus zwei Bausteinen zusammengesetzt. Hinten steht die Grundeinheit: Meter, Gramm oder Liter. Vorne steht ein Vorsatz. Er sagt dir, wie gross die Einheit im Vergleich zur Grundeinheit ist.

Definition

Vorsatz	Bedeutung	Beispiele
Kilo (k)	mal $1000$	$1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$, $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$
Hekto (h)	mal $100$	$1\,\text{hl} = 100\,\text{l}$
Deka (da)	mal $10$	im Alltag selten
Dezi (d)	durch $10$ (ein Zehntel)	$10\,\text{dm} = 1\,\text{m}$, $10\,\text{dl} = 1\,\text{l}$
Centi (c)	durch $100$ (ein Hundertstel)	$100\,\text{cm} = 1\,\text{m}$, $100\,\text{cl} = 1\,\text{l}$
Milli (m)	durch $1000$ (ein Tausendstel)	$1000\,\text{mm} = 1\,\text{m}$, $1000\,\text{mg} = 1\,\text{g}$

Ein Millimeter ist also ein Tausendstel Meter, ein Milliliter ein Tausendstel Liter. Wer die Vorsätze kennt, kennt auch die Faktoren. Pass beim Buchstaben «m» auf: Allein steht er für Meter, vor einer Einheit für Milli. $1\,\text{mm}$ heisst «ein Millimeter».

Kleinere Einheit, grössere Masszahl

$2\,\text{m}$ sind $200\,\text{cm}$. Die Länge ist dieselbe, aber die Masszahl ist viel grösser geworden. Der Grund: Ein Zentimeter ist viel kürzer als ein Meter. In einen Meter passen $100$ Zentimeter. Für $2\,\text{m}$ brauchst du darum $2 \cdot 100 = 200$ Zentimeter.

Beim Geld kennst du das schon: $5$ Franken sind $500$ Rappen. Ein Rappen ist weniger wert als ein Franken, also brauchst du mehr davon.

Tipp

Faustregel: Kleinere Einheit, grössere Masszahl. Grössere Einheit, kleinere Masszahl. Mit dieser Regel prüfst du nach jeder Rechnung, ob die Richtung stimmt.

Masseinheiten umrechnen: der Rechenweg

Die Einheitentreppe

Ordne die Einheiten einer Grösse wie eine Treppe an: oben die grösste, unten die kleinste. Zwischen zwei Stufen steht der Faktor.

Abb. 2: Die Einheitentreppe für Längen. Von km zu m ist der Faktor $1000$, alle anderen Stufen haben den Faktor $10$.

Gehst du die Treppe hinunter, wird die Einheit kleiner. Die Masszahl muss grösser werden, also rechnest du mal. Gehst du die Treppe hinauf, wird die Einheit grösser. Die Masszahl wird kleiner, also rechnest du geteilt.

Überspringst du Stufen, multiplizierst du die Faktoren. Von $\text{m}$ zu $\text{mm}$ sind es drei Stufen mit je $10$: $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$. Von $\text{km}$ zu $\text{cm}$ sind es $1000 \cdot 10 \cdot 10 = 100\,000$.

Zwischen $\text{km}$ und $\text{m}$ gäbe es noch den Hektometer und den Dekameter. Diese Einheiten braucht im Alltag kaum jemand. Darum springt die Treppe dort gleich um $1000$.

Gewicht und Hohlmass

Beim Gewicht heissen die Einheiten Tonne ($\text{t}$), Kilogramm ($\text{kg}$), Gramm ($\text{g}$) und Milligramm ($\text{mg}$). Auch hier lässt man Zwischenstufen weg, die man kaum braucht. Darum ist jede Stufe der Gewichtstreppe ein Faktor $1000$: $1\,\text{t} = 1000\,\text{kg}$, $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$ und $1\,\text{g} = 1000\,\text{mg}$.

Beim Hohlmass misst du, wie viel in ein Gefäss hineinpasst. Die Grundeinheit ist der Liter ($\text{l}$). Er hat dieselben Vorsätze wie der Meter: Dezi, Centi und Milli. Darum ist jede Stufe ein Faktor $10$. Also $1\,\text{l} = 10\,\text{dl} = 100\,\text{cl} = 1000\,\text{ml}$. Den Deziliter siehst du in der Schweiz oft, zum Beispiel in Rezepten und auf Getränkekarten.

Abb. 3: Beim Gewicht hat jede Stufe den Faktor $1000$, beim Hohlmass den Faktor $10$. Von l zu ml sind es drei Stufen: $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

Warum das Komma wandert

Schau dir $3{,}45\,\text{m}$ genauer an. Die Zahl bedeutet: $3$ ganze Meter, $4$ Dezimeter und $5$ Zentimeter. In einer Stellenwerttafel steht jede Ziffer in der Spalte ihrer Einheit. Das Komma steht direkt rechts von der Spalte der Einheit, die du hinter die Zahl schreibst.

Beim Umrechnen bleibt die Länge gleich. Darum bleiben auch alle Ziffern in ihren Spalten stehen. Es ändert sich nur die Einheit, die du hinschreibst, und damit die Stelle des Kommas.

Abb. 4: Die Ziffern bleiben in ihren Spalten. Nur die Einheit (blau) wechselt, und das Komma (rot) steht immer rechts von ihr. Ein Komma ganz am Ende lässt du weg. Eine leere Stelle füllst du mit einer Null (orange).

Von $\text{m}$ zu $\text{cm}$ sind es zwei Stufen, Faktor $100$. Das Komma rückt zwei Stellen nach rechts: $3{,}45\,\text{m} = 345\,\text{cm}$. Von $\text{cm}$ zu $\text{mm}$ ist es eine Stufe, Faktor $10$. Das Komma rückt noch eine Stelle weiter. Die mm-Spalte war leer, darum steht dort jetzt eine Null: $345\,\text{cm} = 3450\,\text{mm}$.

Definition

• Mal $10$, $100$ oder $1000$: Das Komma rückt um $1$, $2$ oder $3$ Stellen nach rechts.
• Geteilt durch $10$, $100$ oder $1000$: Das Komma rückt um $1$, $2$ oder $3$ Stellen nach links.
• Die Anzahl Stellen ist gleich der Anzahl Nullen im Faktor. Fehlen Stellen, füllst du sie mit Nullen auf.

Zwei Beispiele: $3{,}5 \cdot 1000 = 3500$ und $7 : 100 = 0{,}07$.

Damit hast du alles für das Umrechnen zusammen:

Definition

1. Einheiten benennen: Von welcher Einheit startest du, zu welcher willst du?
2. Faktor bestimmen: Lies ihn auf der Treppe ab. Über mehrere Stufen multiplizierst du die Faktoren.
3. Richtung wählen: Zur kleineren Einheit rechnest du mal, zur grösseren geteilt.
4. Komma verschieben: um so viele Stellen, wie der Faktor Nullen hat. Fehlende Stellen füllst du mit Nullen.
5. Kontrollieren: Rechne rückwärts. Prüfe mit der Faustregel, ob die Masszahl in die richtige Richtung gewachsen oder geschrumpft ist.

Beispiel:

Länge in eine kleinere Einheit

Für ein neues Regal misst du die Wand im Zimmer aus. Sie ist $4\,\text{m}$ lang. Die Schreinerei möchte die Masse in Zentimetern.

Gegeben: $4\,\text{m}$

Gesucht: die Länge in $\text{cm}$

Lösung:

1. Von $\text{m}$ zu $\text{cm}$: zwei Stufen hinunter.
2. Faktor: $10 \cdot 10 = 100$, also $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.
3. Zur kleineren Einheit: mal.
4. $4 \cdot 100 = 400$. Bei einer ganzen Zahl hängst du so viele Nullen an, wie der Faktor hat: hier zwei.

Antwort: Die Wand ist $400\,\text{cm}$ lang.

Kontrolle: Rückwärts: $400 : 100 = 4$ ✓. Die Einheit ist kleiner geworden, die Masszahl grösser ✓.

Beispiel:

Gewicht in eine grössere Einheit

Ein Paket wiegt $2500\,\text{g}$. Auf dem Formular der Post trägst du das Gewicht in Kilogramm ein.

Gegeben: $2500\,\text{g}$

Gesucht: das Gewicht in $\text{kg}$

Lösung:

1. Von $\text{g}$ zu $\text{kg}$: eine Stufe hinauf.
2. Faktor: $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$.
3. Zur grösseren Einheit: geteilt.
4. $2500 : 1000 = 2{,}5$. Das Komma rückt drei Stellen nach links: Aus $2500$ wird $2{,}500 = 2{,}5$.

Antwort: Das Paket wiegt $2{,}5\,\text{kg}$.

Kontrolle: $2{,}5 \cdot 1000 = 2500$ ✓. Grössere Einheit, kleinere Masszahl ✓.

Beispiel:

Über mehrere Stufen

Rechne $3{,}2\,\text{km}$ in Meter und in Zentimeter um.

Lösung:

Von $\text{km}$ zu $\text{m}$: eine Stufe hinunter, Faktor $1000$, also mal. Das Komma rückt drei Stellen nach rechts:

$$3{,}2 \cdot 1000 = 3200 \quad\Rightarrow\quad 3{,}2\,\text{km} = 3200\,\text{m}$$

Von $\text{m}$ zu $\text{cm}$: zwei Stufen hinunter, Faktor $100$, also mal:

$$3200 \cdot 100 = 320\,000 \quad\Rightarrow\quad 3200\,\text{m} = 320\,000\,\text{cm}$$

Du kannst auch direkt rechnen. Von $\text{km}$ zu $\text{cm}$ ist der Faktor $1000 \cdot 100 = 100\,000$. Also $3{,}2 \cdot 100\,000 = 320\,000$. Das Komma rückt fünf Stellen nach rechts.

Antwort: $3{,}2\,\text{km} = 3200\,\text{m} = 320\,000\,\text{cm}$

Kontrolle: $320\,000 : 100 = 3200$ und $3200 : 1000 = 3{,}2$ ✓

Typische Fehler bei Masseinheiten umrechnen

Achtung

Mal statt geteilt. $5000\,\text{g}$ in $\text{kg}$ ist nicht $5000 \cdot 1000$. Das wären $5\,000\,000\,\text{kg}$. Von g zu kg gehst du die Treppe hinauf, also rechnest du geteilt: $5000 : 1000 = 5$, also $5\,\text{kg}$. Frag dich vor dem Rechnen: Wird die Einheit grösser oder kleiner?

Achtung

Falscher Faktor. $2\,\text{km}$ sind $2000\,\text{m}$, nicht $200\,\text{m}$. Bei den Längen hat nur die Stufe von km zu m den Faktor $1000$. Die anderen Längenstufen haben den Faktor $10$. Beim Gewicht ist dagegen jede Stufe $1000$. Schau im Zweifel auf die Treppe.

Achtung

Komma zu wenig weit verschoben. $3{,}45\,\text{m}$ in $\text{cm}$: Faktor $100$, also zwei Stellen. $3{,}45 \cdot 100 = 345$, also $345\,\text{cm}$ und nicht $34{,}5\,\text{cm}$. Beim Teilen genauso: $7\,\text{cm}$ in $\text{m}$ ergibt $7 : 100 = 0{,}07$, also $0{,}07\,\text{m}$ und nicht $0{,}7\,\text{m}$. Zähle die Nullen des Faktors und verschiebe genau so viele Stellen.

Achtung

Zweifach benannte Grössen falsch zusammengesetzt. $2\,\text{kg}\;75\,\text{g}$ sind nicht $275\,\text{g}$. Rechne zuerst $2\,\text{kg} = 2000\,\text{g}$ und zähle dann dazu: $2000\,\text{g} + 75\,\text{g} = 2075\,\text{g}$.

Achtung

Zeit wie eine Dezimalzahl behandeln. $1{,}5\,\text{h}$ sind nicht $1\,\text{h}\;50\,\text{min}$. Eine Stunde hat $60$ Minuten, nicht $100$. Mehr dazu im Abschnitt zur Zeit weiter unten.

Tipp

Kontrolle mit Alltagsgrössen. Vergleiche dein Ergebnis mit Dingen, die du kennst: Ein Bleistift ist etwa $18\,\text{cm}$ lang, eine Tür etwa $2\,\text{m}$ hoch. Ein Apfel wiegt etwa $150\,\text{g}$, ein Auto etwa $1000$ bis $2000\,\text{kg}$. Eine grosse PET-Flasche fasst $1{,}5\,\text{l}$. Kommt bei dir ein Bleistift von $180\,\text{m}$ heraus, hast du dich verrechnet.

Masseinheiten umrechnen in Aufgaben

Beispiel:

Wie viele Gläser?

Für das Klassenfest hast du eine Flasche Apfelsaft mit $1{,}5\,\text{l}$. Ein Glas fasst $2\,\text{dl}$. Wie viele Gläser kannst du ganz füllen?

Gegeben: Flasche $1{,}5\,\text{l}$, Glas $2\,\text{dl}$

Gesucht: die Anzahl voller Gläser

Lösung:

Rechnen kannst du erst, wenn beide Angaben dieselbe Einheit haben. Rechne die Flasche in Deziliter um. Von $\text{l}$ zu $\text{dl}$: eine Stufe hinunter, Faktor $10$, also mal:

$$1{,}5 \cdot 10 = 15 \quad\Rightarrow\quad 1{,}5\,\text{l} = 15\,\text{dl}$$

Jetzt teilst du durch den Inhalt eines Glases:

$$15 : 2 = 7 \text{ Rest } 1$$

Antwort: Du kannst $7$ Gläser ganz füllen. Es bleibt $1\,\text{dl}$ übrig.

Kontrolle: $7 \cdot 2\,\text{dl} + 1\,\text{dl} = 15\,\text{dl} = 1{,}5\,\text{l}$ ✓

Beispiel:

Zweifach benannte Grössen

Schreibe $3\,\text{km}\;250\,\text{m}$ in Meter und in Kilometer. Schreibe $2\,\text{kg}\;75\,\text{g}$ in Gramm.

Lösung:

Eine Angabe mit zwei Einheiten heisst zweifach benannt. Rechne zuerst den Teil mit der grösseren Einheit in die kleinere Einheit um. Dann zählst du zusammen:

$$3\,\text{km} = 3000\,\text{m} \quad\Rightarrow\quad 3000\,\text{m} + 250\,\text{m} = 3250\,\text{m}$$

In Kilometer: $3250 : 1000 = 3{,}25$, also $3{,}25\,\text{km}$.

Beim Gewicht gehst du genauso vor:

$$2\,\text{kg} = 2000\,\text{g} \quad\Rightarrow\quad 2000\,\text{g} + 75\,\text{g} = 2075\,\text{g}$$

Antwort: $3\,\text{km}\;250\,\text{m} = 3250\,\text{m} = 3{,}25\,\text{km}$ und $2\,\text{kg}\;75\,\text{g} = 2075\,\text{g}$.

Kontrolle: Zwischen kg und g liegt der Faktor $1000$, also drei Stellen. Die $75\,\text{g}$ brauchen darum drei Stellen: $075$. So entsteht $2075$ und nicht $275$ ✓

Masseinheiten umrechnen genauer betrachtet

Zeit: Faktor 60 und 24

Bei Länge, Gewicht und Hohlmass hängen die Einheiten mit $10$, $100$ oder $1000$ zusammen. Bei der Zeit ist das anders. Eine Minute hat $60$ Sekunden, eine Stunde hat $60$ Minuten, ein Tag hat $24$ Stunden. Diese Einteilung ist sehr alt und gehört nicht zum Zehnersystem. Darum kannst du bei der Zeit nicht einfach das Komma verschieben. Du rechnest mit $60$ und $24$.

Definition

$$1\,\text{d} = 24\,\text{h} \qquad 1\,\text{h} = 60\,\text{min} \qquad 1\,\text{min} = 60\,\text{s}$$

Daraus folgt zum Beispiel: $1\,\text{h} = 60 \cdot 60\,\text{s} = 3600\,\text{s}$.

Die Treppe gilt auch hier: Zur kleineren Einheit rechnest du mal, zur grösseren geteilt. Nur die Faktoren heissen $24$ und $60$ statt $10$, $100$ oder $1000$.

Besonders aufpassen musst du bei Stunden mit Komma. $1{,}5\,\text{h}$ heisst «eineinhalb Stunden». Eine halbe Stunde hat $30$ Minuten. Also:

$$1{,}5\,\text{h} = 1{,}5 \cdot 60\,\text{min} = 90\,\text{min} = 1\,\text{h}\;30\,\text{min}$$

Abb. 5: $1{,}5\,\text{h}$ liegt bei $90\,\text{min}$. Die rote Marke $1\,\text{h}\;50\,\text{min}$ liegt $20$ Minuten weiter rechts. Das ist eine ganz andere Zeit.

Diese Werte lohnt es sich zu merken: $0{,}5\,\text{h} = 30\,\text{min}$, $0{,}25\,\text{h} = 15\,\text{min}$, $0{,}75\,\text{h} = 45\,\text{min}$ und $0{,}1\,\text{h} = 6\,\text{min}$.

Umgekehrt teilst du Minuten durch $60$ und behältst den Rest. Ein Beispiel: $200 : 60 = 3$ Rest $20$, denn $3 \cdot 60 = 180$ und $200 - 180 = 20$. Also sind $200\,\text{min} = 3\,\text{h}\;20\,\text{min}$.

Beispiel:

Reicht der Akku?

Du willst im Zug einen Film schauen. Der Film dauert $2\,\text{h}\;25\,\text{min}$. Das Tablet zeigt an: Der Akku reicht noch $150\,\text{min}$. Reicht das?

Lösung:

Rechne die Filmdauer in Minuten um. Von h zu min ist der Faktor $60$, also mal. Dann zählst du die $25$ Minuten dazu:

$$2 \cdot 60 + 25 = 120 + 25 = 145$$

Der Film dauert $145\,\text{min}$. Jetzt vergleichst du: $145\,\text{min} < 150\,\text{min}$.

Antwort: Der Akku reicht. Es bleiben $5$ Minuten Reserve.

Kontrolle: $145 : 60 = 2$ Rest $25$, also $2\,\text{h}\;25\,\text{min}$ ✓

Beispiel:

Wanderzeiten addieren

Auf dem gelben Wanderwegweiser steht bis zum See $1\,\text{h}\;40\,\text{min}$. Vom See sind es noch $55\,\text{min}$ bis zur Hütte. Wie lange wanderst du insgesamt?

Lösung:

Rechne alles in Minuten um: $1\,\text{h}\;40\,\text{min} = 60\,\text{min} + 40\,\text{min} = 100\,\text{min}$.

Zusammen: $100\,\text{min} + 55\,\text{min} = 155\,\text{min}$.

Zurück in Stunden und Minuten: $155 : 60 = 2$ Rest $35$.

Antwort: Du wanderst $2\,\text{h}\;35\,\text{min}$.

Rechne hier nicht $1{,}40 + 0{,}55 = 1{,}95$. Nach der $59$. Minute kommt keine $60$. oder $70$. Minute, sondern die nächste Stunde. Zeitangaben wie $1\,\text{h}\;40\,\text{min}$ sind keine Dezimalzahlen.

Kontrolle: $2 \cdot 60 + 35 = 155$ ✓

Übungen

Löse die Aufgaben zuerst selbst. Schreibe bei jeder Aufgabe den Faktor und die Rechenart auf: mal oder geteilt. Die Aufgaben werden nach unten schwieriger. Die Lösungen mit Rechenweg findest du am Ende der Seite.

Aufgabe 1 (Längen): Rechne um.

• a) $8\,\text{m}$ in $\text{cm}$
• b) $7\,\text{cm}$ in $\text{mm}$
• c) $4500\,\text{mm}$ in $\text{m}$
• d) $2{,}6\,\text{km}$ in $\text{m}$
• e) $35\,\text{cm}$ in $\text{m}$

Aufgabe 2 (Gewichte): Rechne um.

• a) $3\,\text{kg}$ in $\text{g}$
• b) Ein Apfel wiegt $150\,\text{g}$. Wie viele Kilogramm sind das?
• c) $4{,}2\,\text{t}$ in $\text{kg}$
• d) $2500\,\text{mg}$ in $\text{g}$

Aufgabe 3 (Hohlmasse): Rechne um.

• a) Eine Flasche enthält $0{,}75\,\text{l}$. Wie viele Milliliter sind das?
• b) $4\,\text{dl}$ in $\text{cl}$
• c) $250\,\text{ml}$ in $\text{dl}$
• d) $35\,\text{cl}$ in $\text{l}$

Aufgabe 4 (Zeit): Rechne um.

• a) Eine Fahrkarte gilt $2\,\text{h}\;40\,\text{min}$. Wie viele Minuten sind das?
• b) $3\,\text{min}\;15\,\text{s}$ in $\text{s}$
• c) $250\,\text{min}$ in Stunden und Minuten
• d) $3{,}5\,\text{h}$ in $\text{min}$
• e) $2\,\text{d}$ in $\text{h}$

Aufgabe 5 (Fehler finden): Leon hat umgerechnet. Welche Ergebnisse sind falsch? Verbessere sie und erkläre den Fehler.

• a) $2{,}5\,\text{m} = 25\,\text{cm}$
• b) $3\,\text{kg}\;40\,\text{g} = 340\,\text{g}$
• c) $1{,}2\,\text{h} = 1\,\text{h}\;20\,\text{min}$
• d) $600\,\text{ml} = 6\,\text{dl}$

Aufgabe 6 (Ordnen): Ordne die Längen der Grösse nach. Beginne mit der kleinsten.

$1{,}2\,\text{km}$; $\quad 1100\,\text{m}$; $\quad 125\,000\,\text{cm}$; $\quad 999\,\text{m}\;90\,\text{cm}$

Aufgabe 7 (Brücke): Ein Lieferwagen wiegt beladen $3{,}5\,\text{t}$. Eine kleine Brücke ist für höchstens $3600\,\text{kg}$ zugelassen. Darf der Lieferwagen über die Brücke fahren? Begründe.

Aufgabe 8 (Zugfahrt): Der Zug von Zürich nach Bern braucht $56\,\text{min}$. Lena fährt nach Bern, bleibt dort $2\,\text{h}\;45\,\text{min}$ und fährt mit einem gleich schnellen Zug zurück. Wie viel Zeit vergeht von der Abfahrt in Zürich bis zur Rückkehr nach Zürich? Gib das Ergebnis in Stunden und Minuten an.

Aufgabe 9 (Milch kaufen): Im Laden kostet eine Packung mit $1\,\text{l}$ Milch CHF 1,60. Eine kleine Flasche mit $5\,\text{dl}$ Milch kostet CHF 0,95. Du brauchst einen Liter Milch. Was ist günstiger, und um wie viel?

Aufgabe 10 (Früchte): Sophia kauft $2{,}4\,\text{kg}$ Äpfel zu CHF 3,80 pro kg und $850\,\text{g}$ Trauben zu CHF 5,20 pro kg. Wie viel bezahlt sie insgesamt? Rechne auf den Rappen genau.

Aufgabe 11 (Kieslieferungen): Drei Kieslieferungen wiegen $2{,}3\,\text{t}$, $1850\,\text{kg}$ und $950\,000\,\text{g}$. Wie viele Kilogramm sind das zusammen? Wie viele Tonnen?

Aufgabe 12 (Aquarium): Ein Aquarium ist innen $50\,\text{cm}$ lang, $30\,\text{cm}$ breit und $40\,\text{cm}$ hoch. Es wird zu drei Vierteln mit Wasser gefüllt. Wie viele Kilogramm wiegt das Wasser? Hinweis: $1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3$, und $1\,\text{l}$ Wasser wiegt etwa $1\,\text{kg}$.

Aufgabe 13 (Marathon): Ein Marathon ist $42{,}195\,\text{km}$ lang. Lisa läuft auf einer $400$-m-Bahn. Wie viele volle Runden muss sie laufen? Wie viele Meter fehlen danach noch bis zur ganzen Marathonstrecke?

Das Wichtigste in Kürze

• Eine Grösse hat eine Masszahl und eine Einheit. Beim Umrechnen ändern sich beide, die Grösse selbst bleibt gleich.
• Länge: $\text{km}$, $\text{m}$, $\text{dm}$, $\text{cm}$, $\text{mm}$. Von km zu m ist der Faktor $1000$, jede weitere Stufe hat den Faktor $10$.
• Gewicht: $\text{t}$, $\text{kg}$, $\text{g}$, $\text{mg}$. Jede Stufe hat den Faktor $1000$.
• Hohlmass: $\text{l}$, $\text{dl}$, $\text{cl}$, $\text{ml}$. Jede Stufe hat den Faktor $10$.
• Zur kleineren Einheit rechnest du mal, zur grösseren Einheit geteilt. Über mehrere Stufen multiplizierst du die Faktoren.
• Mal oder geteilt durch $10$, $100$, $1000$: Das Komma rückt um $1$, $2$ oder $3$ Stellen. Leere Stellen füllst du mit Nullen.
• Zeit ist anders: $1\,\text{d} = 24\,\text{h}$, $1\,\text{h} = 60\,\text{min}$, $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$. $1{,}5\,\text{h}$ sind $1\,\text{h}\;30\,\text{min}$.
• Kontrolliere jedes Ergebnis: Rechne rückwärts und vergleiche mit Grössen aus dem Alltag.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Wie viele Millimeter sind $6\,\text{cm}$?

Lösung anzeigen

Von cm zu mm ist eine Stufe hinunter, Faktor $10$, also mal: $6 \cdot 10 = 60$. Also $6\,\text{cm} = 60\,\text{mm}$.

❓ Frage:

Schreibe $750\,\text{g}$ in Kilogramm.

Lösung anzeigen

Von g zu kg ist eine Stufe hinauf, Faktor $1000$, also geteilt: $750 : 1000 = 0{,}75$. Das Komma rückt drei Stellen nach links. Also $750\,\text{g} = 0{,}75\,\text{kg}$.

❓ Frage:

Wie viele Deziliter sind $2{,}5\,\text{l}$?

Lösung anzeigen

Von l zu dl ist eine Stufe hinunter, Faktor $10$, also mal: $2{,}5 \cdot 10 = 25$. Also $2{,}5\,\text{l} = 25\,\text{dl}$.

❓ Frage:

Wie viele Stunden und Minuten sind $2{,}25\,\text{h}$?

Lösung anzeigen

Die $2$ ganzen Stunden bleiben. Den Rest rechnest du in Minuten um: $0{,}25 \cdot 60 = 15$. Also $2{,}25\,\text{h} = 2\,\text{h}\;15\,\text{min}$ und nicht $2\,\text{h}\;25\,\text{min}$.

❓ Frage:

Was ist länger: $1{,}05\,\text{km}$ oder $1050\,\text{m}\;5\,\text{cm}$?

Lösung anzeigen

Rechne in Meter um: $1{,}05 \cdot 1000 = 1050$, also $1{,}05\,\text{km} = 1050\,\text{m}$. Die zweite Länge ist $1050\,\text{m}$ und dazu noch $5\,\text{cm}$. Sie ist also um $5\,\text{cm}$ länger.

Ausblick

Als Nächstes übst du zusammengesetzte Masse wie $1\,\text{m}\;35\,\text{cm}$ oder $2\,\text{h}\;15\,\text{min}$ noch gründlicher. Danach kommen Flächen und Volumen. Dort werden die Faktoren grösser. Ein Quadratmeter ist $10\,\text{dm}$ lang und $10\,\text{dm}$ breit, also gilt $1\,\text{m}^2 = 100\,\text{dm}^2$ (Flächeneinheiten). Bei den Volumeneinheiten hat jede Stufe den Faktor $1000$. Dort triffst du auch den Liter wieder: $1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3$.

Lösungen

Aufgabe 1:

a) Von m zu cm: zwei Stufen hinunter, Faktor $100$, mal. $8 \cdot 100 = 800$. Also $8\,\text{m} = 800\,\text{cm}$.

b) Von cm zu mm: eine Stufe hinunter, Faktor $10$, mal. $7 \cdot 10 = 70$. Also $7\,\text{cm} = 70\,\text{mm}$.

c) Von mm zu m: drei Stufen hinauf, Faktor $1000$, geteilt. $4500 : 1000 = 4{,}5$. Also $4500\,\text{mm} = 4{,}5\,\text{m}$.

d) Von km zu m: eine Stufe hinunter, Faktor $1000$, mal. $2{,}6 \cdot 1000 = 2600$. Das Komma rückt drei Stellen nach rechts. Zwei Stellen füllst du mit Nullen auf. Also $2{,}6\,\text{km} = 2600\,\text{m}$.

e) Von cm zu m: zwei Stufen hinauf, Faktor $100$, geteilt. $35 : 100 = 0{,}35$. Also $35\,\text{cm} = 0{,}35\,\text{m}$.

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Aufgabe 2:

a) Von kg zu g: Faktor $1000$, mal. $3 \cdot 1000 = 3000$. Also $3\,\text{kg} = 3000\,\text{g}$.

b) Von g zu kg: Faktor $1000$, geteilt. $150 : 1000 = 0{,}15$. Der Apfel wiegt $0{,}15\,\text{kg}$.

c) Von t zu kg: Faktor $1000$, mal. $4{,}2 \cdot 1000 = 4200$. Also $4{,}2\,\text{t} = 4200\,\text{kg}$.

d) Von mg zu g: Faktor $1000$, geteilt. $2500 : 1000 = 2{,}5$. Also $2500\,\text{mg} = 2{,}5\,\text{g}$.

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Aufgabe 3:

a) Von l zu ml: drei Stufen hinunter, Faktor $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$, mal. $0{,}75 \cdot 1000 = 750$. Die Flasche enthält $750\,\text{ml}$. Stufe für Stufe sieht das so aus: $0{,}75\,\text{l} = 7{,}5\,\text{dl} = 75\,\text{cl} = 750\,\text{ml}$.

b) Von dl zu cl: eine Stufe hinunter, Faktor $10$, mal. $4 \cdot 10 = 40$. Also $4\,\text{dl} = 40\,\text{cl}$.

c) Von ml zu dl: zwei Stufen hinauf, Faktor $100$, geteilt. $250 : 100 = 2{,}5$. Also $250\,\text{ml} = 2{,}5\,\text{dl}$.

d) Von cl zu l: zwei Stufen hinauf, Faktor $100$, geteilt. $35 : 100 = 0{,}35$. Also $35\,\text{cl} = 0{,}35\,\text{l}$.

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Aufgabe 4:

a) $2\,\text{h} = 2 \cdot 60\,\text{min} = 120\,\text{min}$. Dazu kommen $40\,\text{min}$: $120 + 40 = 160$. Die Fahrkarte gilt $160\,\text{min}$.

b) $3\,\text{min} = 3 \cdot 60\,\text{s} = 180\,\text{s}$. Dazu kommen $15\,\text{s}$: $180 + 15 = 195$. Also $3\,\text{min}\;15\,\text{s} = 195\,\text{s}$.

c) $250 : 60 = 4$ Rest $10$, denn $4 \cdot 60 = 240$ und $250 - 240 = 10$. Also $250\,\text{min} = 4\,\text{h}\;10\,\text{min}$.

d) $3{,}5 \cdot 60 = 210$. Also $3{,}5\,\text{h} = 210\,\text{min}$. Kontrolle: $3\,\text{h} = 180\,\text{min}$, dazu eine halbe Stunde mit $30\,\text{min}$ ergibt $210\,\text{min}$ ✓.

e) Von d zu h: Faktor $24$, mal. $2 \cdot 24 = 48$. Also $2\,\text{d} = 48\,\text{h}$.

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Aufgabe 5:

a) Falsch. Von m zu cm ist der Faktor $100$, das Komma rückt also zwei Stellen: $2{,}5 \cdot 100 = 250$. Richtig ist $2{,}5\,\text{m} = 250\,\text{cm}$. Leon hat das Komma nur um eine Stelle verschoben.

b) Falsch. $3\,\text{kg} = 3000\,\text{g}$, dazu kommen $40\,\text{g}$: $3000 + 40 = 3040$. Richtig ist $3\,\text{kg}\;40\,\text{g} = 3040\,\text{g}$. Leon hat die Zahlen einfach nebeneinander geschrieben.

c) Falsch. $1{,}2\,\text{h}$ sind $1\,\text{h}$ und $0{,}2\,\text{h}$. Es gilt $0{,}2 \cdot 60 = 12$, also $0{,}2\,\text{h} = 12\,\text{min}$. Richtig ist $1{,}2\,\text{h} = 1\,\text{h}\;12\,\text{min}$. Leon hat so gerechnet, als hätte eine Stunde $100$ Minuten.

d) Richtig. Von ml zu dl sind es zwei Stufen hinauf, Faktor $100$, geteilt: $600 : 100 = 6$.

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Aufgabe 6: Rechne alle Längen in Meter um:

• $1{,}2\,\text{km}$: $1{,}2 \cdot 1000 = 1200$, also $1200\,\text{m}$
• $1100\,\text{m}$ bleibt.
• $125\,000\,\text{cm}$: $125\,000 : 100 = 1250$, also $1250\,\text{m}$
• $999\,\text{m}\;90\,\text{cm}$: $90 : 100 = 0{,}9$, also $999\,\text{m} + 0{,}9\,\text{m} = 999{,}9\,\text{m}$

Die richtige Reihenfolge ist:

$$999\,\text{m}\;90\,\text{cm} < 1100\,\text{m} < 1{,}2\,\text{km} < 125\,000\,\text{cm}$$

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Aufgabe 7: Vergleichen kannst du nur in derselben Einheit. Von t zu kg: Faktor $1000$, mal. $3{,}5 \cdot 1000 = 3500$, also $3{,}5\,\text{t} = 3500\,\text{kg}$.

Vergleich: $3500\,\text{kg} < 3600\,\text{kg}$.

Antwort: Ja, der Lieferwagen darf über die Brücke. Er ist $100\,\text{kg}$ leichter als erlaubt.

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Aufgabe 8: Rechne alles in Minuten um. Der Aufenthalt: $2\,\text{h}\;45\,\text{min} = 2 \cdot 60 + 45 = 165\,\text{min}$.

Hinfahrt, Aufenthalt und Rückfahrt zusammen:

$$56 + 165 + 56 = 277$$

Zurück in Stunden und Minuten: $277 : 60 = 4$ Rest $37$, denn $4 \cdot 60 = 240$ und $277 - 240 = 37$.

Antwort: Es vergehen $4\,\text{h}\;37\,\text{min}$.

Kontrolle: $4 \cdot 60 + 37 = 240 + 37 = 277$ ✓

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Aufgabe 9: Vergleiche dieselbe Menge, nämlich einen Liter. Es gilt $1\,\text{l} = 10\,\text{dl}$. Für einen Liter brauchst du also $10 : 5 = 2$ kleine Flaschen.

Zwei kleine Flaschen kosten $2 \cdot 0{,}95 = 1{,}90$, also CHF 1,90. Die Literpackung kostet CHF 1,60.

Unterschied: $1{,}90 - 1{,}60 = 0{,}30$.

Antwort: Die Literpackung ist günstiger, und zwar um CHF 0,30.

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Aufgabe 10: Der Preis gilt pro Kilogramm. Darum rechnest du die Trauben zuerst in Kilogramm um. Von g zu kg: Faktor $1000$, geteilt. $850 : 1000 = 0{,}85$, also $0{,}85\,\text{kg}$.

Äpfel: $2{,}4 \cdot 3{,}80 = 9{,}12$, also CHF 9,12.

Trauben: $0{,}85 \cdot 5{,}20 = 4{,}42$, also CHF 4,42.

Zusammen: $9{,}12 + 4{,}42 = 13{,}54$.

Antwort: Sophia bezahlt CHF 13,54.

Ohne Umrechnung hättest du $850 \cdot 5{,}20 = 4420$ gerechnet. CHF 4420 für Trauben ergibt keinen Sinn. Daran erkennst du den Fehler sofort.

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Aufgabe 11: Rechne alles in Kilogramm um:

• $2{,}3\,\text{t}$: $2{,}3 \cdot 1000 = 2300$, also $2300\,\text{kg}$
• $1850\,\text{kg}$ bleibt.
• $950\,000\,\text{g}$: $950\,000 : 1000 = 950$, also $950\,\text{kg}$

Zusammen: $2300 + 1850 + 950 = 5100$, also $5100\,\text{kg}$.

In Tonnen: $5100 : 1000 = 5{,}1$, also $5{,}1\,\text{t}$.

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Aufgabe 12: Rechne die Masse in Dezimeter um. Von cm zu dm: Faktor $10$, geteilt.

$50\,\text{cm} = 5\,\text{dm}$, $\quad 30\,\text{cm} = 3\,\text{dm}$, $\quad 40\,\text{cm} = 4\,\text{dm}$

Volumen des ganzen Aquariums: $5 \cdot 3 \cdot 4 = 60$, also $60\,\text{dm}^3 = 60\,\text{l}$.

Drei Viertel davon: $60 : 4 = 15$ und $15 \cdot 3 = 45$, also $45\,\text{l}$.

Antwort: $45\,\text{l}$ Wasser wiegen etwa $45\,\text{kg}$.

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Aufgabe 13: Rechne zuerst in Meter um. Von km zu m: Faktor $1000$, mal. $42{,}195 \cdot 1000 = 42\,195$, also $42\,195\,\text{m}$.

Teile durch die Länge einer Runde:

$$42\,195 : 400 = 105 \text{ Rest } 195$$

denn $105 \cdot 400 = 42\,000$ und $42\,195 - 42\,000 = 195$.

Antwort: Lisa muss $105$ volle Runden laufen. Danach fehlen noch $195\,\text{m}$.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport