Terme und Gleichungen

Darum geht's

In der 5./6. Klasse hast du erste Terme aufgestellt und ganz einfache Gleichungen gelöst. Auf dieser Stufe wird die Algebra ernst: Du lernst, Terme zu umformen, mit Exponenten zu rechnen, Klammern systematisch aufzulösen, auszuklammern — und Gleichungen nicht mehr durch Raten, sondern durch Äquivalenzumformungen zu lösen.

Das klingt technisch, ist aber die wichtigste Disziplin der Mittelstufe. Wer hier sauber arbeitet, löst in der 9. Klasse auch quadratische Gleichungen mit links — und hat fürs Gymnasium eine solide Grundlage.

Worum geht es?

Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Eine Gleichung setzt zwei Terme mit dem Gleichheitszeichen in Beziehung. Die zentrale Idee dieses Kapitels: Ein Term kann auf viele äquivalente Arten geschrieben werden. $3x + 6$ und $3(x+2)$ sind derselbe Term, nur in anderer Form.

Diese Umformungen folgen festen Regeln — vor allem dem Distributivgesetz $a(b+c) = ab + ac$, den Rechenregeln für Exponenten $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, und der grundlegenden Symmetrie der Gleichheit: Was du auf einer Seite einer Gleichung tust, musst du auf der anderen auch tun.

Damit wird das Lösen einer Gleichung zu einem mechanischen Verfahren: Ziel ist immer, $x$ allein auf einer Seite zu isolieren. Jeder Schritt dorthin ist eine Äquivalenzumformung (dasselbe auf beiden Seiten), die die Lösungsmenge nicht verändert.

Bei Ungleichungen ($<, \le, >, \ge$) gelten fast dieselben Regeln — mit einer Ausnahme, die gerne vergessen wird: Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Was du schon können solltest

Für dieses Kapitel brauchst du:

• die Grundrechenarten mit sicherem Umgang mit Vorzeichen (auch bei ganzen Zahlen),
• den Termbegriff und einfache Variablengleichungen aus der 5./6. Klasse,
• sicheres Rechnen mit Brüchen — Gleichungen mit Brüchen sind Standardfutter in Prüfungen.

Was du in diesem Kapitel lernst

Sieben Lektionen, die aufeinander aufbauen:

1. Terme — Variablenbegriff vertieft, Koeffizienten, gleichartige Terme, erste Vereinfachungen wie $3x + 2x = 5x$.
2. Exponenten — Potenzrechenregeln: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, $x^0 = 1$, und der Umgang mit negativen Exponenten.
3. Termumformungen — Terme gleicher Bedeutung erkennen und die geschickteste Form wählen; Grundlage für alles Weitere.
4. Klammern auflösen — Distributivgesetz systematisch einsetzen: $a(b+c) = ab + ac$, und aufpassen, wenn ein Minus vor der Klammer steht ($-(a+b) = -a-b$).
5. Ausklammern — die Umkehrung: $6x + 9 = 3(2x + 3)$. Besonders wichtig für das Faktorisieren und später für quadratische Gleichungen.
6. Lösen von Gleichungen (Äquivalenzumformungen) — das Standardverfahren: beide Seiten identisch verändern, bis $x$ allein steht.
7. Lösen von Ungleichungen — fast wie bei Gleichungen, mit der Vorzeichenregel als Stolperstein beim Umgang mit Negativem.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Term — mathematischer Ausdruck mit Zahlen, Variablen und Operationen.
• Koeffizient — die Zahl vor einer Variablen. In $7x$ ist $7$ der Koeffizient.
• Gleichartige Terme — haben denselben Variablenteil, z. B. $3x$ und $-5x$. Nur diese darf man zusammenfassen.
• Distributivgesetz — $a(b+c) = ab + ac$. Die Regel, die Klammern öffnet.
• Äquivalenzumformung — Schritt, der die Lösungsmenge einer Gleichung nicht ändert: Addition, Subtraktion, Multiplikation/Division mit einer Zahl $\neq 0$ auf beiden Seiten.
• Ungleichung — Aussage mit $<, \le, >, \ge$ statt $=$.

Häufige Denkfehler

Achtung

Algebra lebt von Sauberkeit. Kurze Wege sind fast immer falsche Wege — ein Schritt pro Zeile, sauber notiert, verhindert $80\,\%$ aller Fehler.

1. ”$-(x - 3) = -x - 3$.” Nein. Das Minus verteilt sich auf alle Summanden: $-(x - 3) = -x + 3$. Das Vorzeichen jeder Zahl in der Klammer wird umgedreht.
2. “Ich darf nur auf einer Seite der Gleichung rechnen.” Falsch. Eine Äquivalenzumformung ist immer beidseitig. Wenn du links $+3$ rechnest, musst du rechts auch $+3$ rechnen.
3. “Bei $-2x > 6$ ist $x > -3$.” Falsch. Wenn du durch $-2$ dividierst, dreht sich das Zeichen: $x < -3$. Diese Regel ist der häufigste Einzelfehler bei Ungleichungen.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Terme und Gleichungen sind das Herzstück von MA.1 – Zahl und Variable, 3. Zyklus:

• MA.1.A.4 – Mit Termen arbeiten, vereinfachen, umformen.
• MA.1.A.5 – Lineare Gleichungen und Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen.
• MA.1.C.1 – Sachprobleme in Terme und Gleichungen übersetzen.

Termumformungen (Klammern auflösen, Ausklammern) und das Lösen linearer Gleichungen gelten als Grundanspruch für den 3. Zyklus. Ungleichungen und komplexere Umformungen sind Teil der Erweiterung.

Die Themen im Überblick

• Terme
• Exponenten
• Termumformungen
• Klammern auflösen
• Ausklammern
• Lösen von Gleichungen (Äquivalenzumformungen)
• Lösen von Ungleichungen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport