Terme mit einer Variablen – Der Platzhalter in der Mathematik

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Terme und Gleichungen”
• Vorwissen: Terme verstehen und richtig rechnen
• Als Nächstes: Terme aufstellen – Vom Alltag zur Formel
• Später: Gleichungen verstehen und lösen

Darum geht's

Stell dir vor, du organisierst eine Geburtstagsparty. Du weisst noch nicht genau, wie viele Gäste kommen. Trotzdem musst du planen: Jeder Gast bekommt 2 Stück Pizza und 1 Getränk.

Wie rechnest du die Gesamtmenge aus, wenn du die Gästezahl noch nicht kennst? Du könntest sagen: “Anzahl der Gäste mal 2 ergibt die Pizzastücke.” Die unbekannte Gästezahl ist dabei ein Platzhalter. Sobald du weisst, dass 8 Gäste kommen, setzt du die 8 ein.

Genau so funktioniert Mathematik mit Variablen. Du arbeitest mit einem Platzhalter, bis du den konkreten Wert kennst. Dieser Trick ist der Schlüssel zur Algebra – und öffnet dir die Tür zu Funktionen, Gleichungen und vielen Bereichen der Naturwissenschaft.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 8Kompetenzen

• MA.3.A.1.kGrundanspruchBegriffe absolute und relative Häufigkeit, x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Einheitsstrecke, Wahrscheinlichkeit; Masseinheiten Geschwindigkeit (km/h, m/s, kB/s, dpi)
• MA.3.A.3.hGrundanspruchZu einer Funktionsgleichung Wertepaare bestimmen und in einem Koordinatensystem einzeichnen
• MA.3.C.2.gGrundanspruchAbhängigkeit zweier Grössen mit Funktionsgraph darstellen; Graphenverläufe interpretieren (Erw: geeignete Skalierung wählen; lineare funktionale Zusammenhänge mit Term beschreiben)
• MA.3.A.1.jBegriffe Koordinatensystem, Währung, arithmetisches Mittel (Erw: indirekte Proportionalität); Masseinheiten Flächenmasse (km², ha, a, m², dm², cm², mm²), Geld (CHF, €, $)
• MA.3.A.1.mBegriffe (lineare) Funktion, sichere/mögliche/unmögliche Ereignisse, Flussdiagramm, Bit, Byte; Vorsätze Mikro, Nano; Masseinheiten Dichte (kg/dm³, g/cm³)
• MA.3.A.3.iFunktionswert zu einer gegebenen Zahl aus Wertetabelle, Graph und Funktionsgleichung bestimmen (z.B. y = 2x + 1, x = 7 → y = 15); Rechner/Software für Funktionswerte nutzen; Sachaufgaben mit Prozentangaben lösen (Steigung, Zins)
• MA.3.C.2.fProportionale und lineare Zusammenhänge in Sachsituationen erkennen (Erw: indirekt proportionale); Wertepaare und Funktionsgraphen im Koordinatensystem darstellen; Alltagssituationen in mathematische Sprache übersetzen
• MA.3.C.2.hWertetabellen, Diagramme, Sachtexte, Terme und Graphen einander zuordnen und interpretieren; Sachsituationen nach funktionalen, statistischen und probabilistischen Gesichtspunkten bearbeiten

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee, Zahlen durch Buchstaben zu ersetzen, ist erstaunlich jung. Bis ins 16. Jahrhundert schrieben Mathematikerinnen und Mathematiker ihre Rechnungen in ganzen Sätzen. Anstelle von $2 \cdot x + 5$ stand dort etwa: “Nimm die unbekannte Zahl doppelt und füge fünf hinzu.” Diese Schreibweise heisst rhetorische Algebra.

Einen ersten grossen Sprung machte der persische Gelehrte Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi um das Jahr 820. Sein Buch “Al-kitab al-muchtasar fi hisab al-dschabr wa-l-muqabala” gab der Algebra ihren Namen. Das Wort al-dschabr bedeutet so viel wie “Ergänzen” oder “Zusammenfügen”. Noch heute steckt es im Wort “Algebra”. Al-Chwarizmi arbeitete zwar ohne Buchstaben, beschrieb aber schon systematisch, wie man mit unbekannten Grössen rechnet.

Der entscheidende Fortschritt kam 1591 mit dem Franzosen François Viète. Er hatte eine geniale Idee: Er verwendete Vokale für unbekannte Grössen und Konsonanten für bekannte Zahlen. Zum ersten Mal konnte man ganze Gleichungen als kurze Formeln schreiben.

Der deutsche Mathematiker René Descartes verfeinerte das System 1637 in seinem Werk “La Géométrie”. Er führte die Konvention ein, die wir heute noch benutzen: Die Buchstaben $a$, $b$, $c$ stehen für bekannte Werte. Die Buchstaben $x$, $y$, $z$ stehen für Unbekannte. Warum ausgerechnet $x$? Angeblich hatte sein Drucker nicht mehr genug andere Buchstaben im Setzkasten.

Seitdem hat sich die Variable als Herzstück der Algebra durchgesetzt. Jede Gleichung in Physik, Wirtschaft oder Informatik nutzt diesen Gedanken. Wenn du heute mit $x$ rechnest, stehst du in einer Tradition, die mehr als tausend Jahre alt ist.

Die Grundlagen

Bevor wir rechnen, klären wir die Bausteine. Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck. Er kann aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen bestehen. Beispiele für Terme sind: $5$, $x$, $3 + 7$ oder $2 \cdot x + 5$.

Ein Term hat keinen Vergleich mit einer anderen Seite. Sobald ein Gleichheitszeichen dazukommt, wird daraus eine Gleichung. Merke dir: Term steht allein, Gleichung verbindet zwei Seiten mit $=$.

Von der Party zur Formel

Zurück zur Party: Du brauchst 2 Pizzastücke pro Gast. Die Anzahl der Gäste nennst du $x$. Die Gesamtzahl der Pizzastücke ist dann $2 \cdot x$.

Das $x$ steht für eine Zahl, die du noch nicht kennst. Es ist die Variable. Die $2$ ist ein fester Wert, der Koeffizient. Der gesamte Ausdruck $2 \cdot x$ ist dein Term.

Definition

Ein Term mit einer Variablen hat die allgemeine Form:

$$a \cdot x + b$$

Dabei bedeuten:

• $x$ = die Variable (der Platzhalter für eine unbekannte Zahl)
• $a$ = der Koeffizient (die Zahl vor der Variablen)
• $b$ = die Konstante (eine feste Zahl ohne Variable)

Beispiel: Im Term $3 \cdot x + 5$ ist $a = 3$, $x$ die Variable und $b = 5$.

So stellst du dir Terme vor

Denk an die Variable als leere Schachtel. Auf der Schachtel steht ein Buchstabe, zum Beispiel $x$. Der Koeffizient sagt dir, wie viele solcher Schachteln du hast.

Bei $4 \cdot x$ hast du 4 Schachteln. Jede Schachtel enthält denselben unbekannten Wert. Wenn du erfährst, dass $x = 3$ ist, öffnest du die Schachteln. Du findest in jeder eine 3. Insgesamt hast du $4 \cdot 3 = 12$.

Die Kernmethode

Mit Termen arbeitest du in zwei Richtungen: Du stellst sie auf (von der Situation zum Term) oder du berechnest ihren Wert (von der Variablen zur Zahl). Beide Schritte sind Standardwerkzeuge in jeder algebraischen Aufgabe.

Einen Term aufstellen

1. Lies die Aufgabe genau durch.
2. Finde die unbekannte Grösse und gib ihr einen Buchstaben (meist $x$).
3. Übersetze die Rechenoperationen in mathematische Zeichen.
4. Schreibe den Term auf.

Einen Term berechnen (Wert einsetzen)

1. Schau dir den Term genau an.
2. Ersetze die Variable durch den gegebenen Zahlenwert. Setze den Wert in Klammern, wenn er negativ ist.
3. Rechne Punkt vor Strich.
4. Berechne das Ergebnis.

Definition

Der Termwert ist die Zahl, die du erhältst, wenn du für jede Variable einen konkreten Wert einsetzt und den Term ausrechnest.

Beispiel: Der Term $T(x) = 3 \cdot x + 2$ hat für $x = 4$ den Termwert:

$$T(4) = 3 \cdot 4 + 2 = 14$$

Für denselben Term kannst du unendlich viele verschiedene Termwerte berechnen – je nach Einsetzung von $x$.

Diese saubere Trennung zwischen Term (Vorschrift) und Termwert (Ergebnis) ist wichtig. Ein Term ist wie ein Rezept. Der Termwert ist das fertige Gericht, das du nach dem Rezept gekocht hast.

Beispiel:

Beispiel 1: Einfacher Term berechnen

Aufgabe: Berechne den Wert des Terms $3 \cdot x$ für $x = 4$.

Lösung:

Setze $4$ für $x$ ein:

$$3 \cdot x = 3 \cdot 4 = 12$$

Der Termwert ist $12$.

Kurze Probe: Wenn du 4 Schachteln hast und jede den Inhalt 3 enthält, dann besitzt du insgesamt 12 Einheiten. Das Ergebnis stimmt mit der Vorstellung überein.

Beispiel:

Beispiel 2: Term mit Konstante und negativer Zahl

Aufgabe: Berechne den Wert des Terms $5 \cdot x - 7$ für $x = -2$.

Lösung:

Setze $-2$ für $x$ ein. Die Klammer schützt das Vorzeichen vor Verwirrung:

$$5 \cdot x - 7 = 5 \cdot (-2) - 7$$

Berechne zuerst die Multiplikation (Punkt vor Strich):

$$5 \cdot (-2) = -10$$

Dann die Subtraktion:

$$-10 - 7 = -17$$

Der Termwert ist $-17$.

Tipp: Die Klammer um $(-2)$ ist kein Spielzeug. Sie zeigt dir, dass das Minuszeichen zur Zahl gehört und nicht ein eigenes Rechenzeichen ist.

Die häufigsten Stolpersteine

Bei Termen passieren immer wieder ähnliche Fehler. Wenn du sie kennst, gehst du ihnen aus dem Weg.

Achtung

Punkt vor Strich vergessen: Bei $2 + 3 \cdot x$ wird zuerst $3 \cdot x$ berechnet, nicht $2 + 3$. Für $x = 4$ lautet die Rechnung: $2 + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14$. Wer $2 + 3$ zuerst rechnet, erhält fälschlich $5 \cdot 4 = 20$.

Achtung

Vorzeichen übersehen: Bei $-2 \cdot x$ bleibt das Minuszeichen erhalten. Für $x = 3$ ergibt das $-2 \cdot 3 = -6$, nicht $6$. Schreibe den eingesetzten Wert im Zweifel in Klammern: $-2 \cdot (3) = -6$. Noch kniffliger ist $-x$ für $x = -5$: Hier ergibt sich $-(-5) = +5$.

Achtung

Koeffizient 1 oder 0 vergessen: Der Term $x$ bedeutet $1 \cdot x$. Bei $x = 5$ ist das Ergebnis $5$, nicht $1$. Umgekehrt: Der Term $0 \cdot x + 7$ ergibt für jeden Wert von $x$ immer $7$, weil $0 \cdot x = 0$ ist.

Achtung

Variable mit Exponent verwechseln: Der Term $2x$ ist nicht dasselbe wie $x^2$. Bei $2x$ wird $x$ mit $2$ multipliziert. Bei $x^2$ wird $x$ mit sich selbst multipliziert. Für $x = 3$ gilt: $2x = 6$, aber $x^2 = 9$.

Beispiel:

Beispiel 3: Term mit mehreren Rechenoperationen

Aufgabe: Berechne den Wert des Terms $4 \cdot x - 3 \cdot x + 8$ für $x = 5$.

Lösung:

Setze $5$ für $x$ ein:

$$4 \cdot 5 - 3 \cdot 5 + 8$$

Rechne Schritt für Schritt Punkt vor Strich:

$$\begin{aligned} &= 20 - 15 + 8 \\ &= 5 + 8 \\ &= 13 \end{aligned}$$

Der Termwert ist $13$.

Alternative: Du kannst den Term auch zuerst vereinfachen. $4x - 3x = 1x = x$. Der Term wird zu $x + 8$. Für $x = 5$ ergibt sich $5 + 8 = 13$. Gleiches Ergebnis, weniger Rechenaufwand.

Beispiel:

Beispiel 4: Textaufgabe – Term aufstellen

Aufgabe: Ein Schwimmbad verlangt 4 CHF Eintritt pro Person. Zusätzlich kostet ein Schliessfach 2 CHF (einmalig). Stelle einen Term für die Gesamtkosten auf, wenn $x$ die Anzahl der Personen ist.

Lösung:

Jede Person zahlt 4 CHF Eintritt. Bei $x$ Personen sind das $4 \cdot x$ CHF.

Das Schliessfach kostet einmalig 2 CHF – unabhängig davon, wie viele Personen kommen. Diese 2 CHF sind die Konstante.

Der Term für die Gesamtkosten lautet:

$$K(x) = 4 \cdot x + 2$$

Probe mit Zahlen:

• Für 3 Personen: $4 \cdot 3 + 2 = 14$ CHF
• Für 7 Personen: $4 \cdot 7 + 2 = 30$ CHF

Der Koeffizient $4$ zeigt, wie schnell die Kosten mit jeder zusätzlichen Person steigen.

Vertiefung

Terme mit einer Variablen sind die Brücke zu einem grossen mathematischen Konzept: der Funktion. Jeder Term der Form $a \cdot x + b$ beschreibt eine lineare Funktion. Das bedeutet: Wenn du den Termwert für viele verschiedene Werte von $x$ berechnest und die Punkte in ein Koordinatensystem zeichnest, ergibt sich eine Gerade.

Definition

Eine lineare Funktion hat die Form:

$$f(x) = a \cdot x + b$$

• $a$ ist die Steigung der Geraden. Sie gibt an, wie stark $f(x)$ wächst, wenn $x$ um 1 grösser wird.
• $b$ ist der y-Achsenabschnitt. Das ist der Wert, den $f(x)$ bei $x = 0$ annimmt.

Nimm den Schwimmbad-Term aus Beispiel 4: $K(x) = 4x + 2$. Die Steigung ist $4$ – pro zusätzlicher Person wachsen die Kosten um 4 CHF. Der y-Achsenabschnitt ist $2$ – bei null Personen zahlst du trotzdem 2 CHF für das Schliessfach (theoretisch).

Diese Sichtweise ist mächtig. Dasselbe Werkzeug, mit dem du Pizzapreise ausrechnest, hilft Physikern, Bewegungen zu beschreiben. Bei einem Auto, das mit konstanter Geschwindigkeit $v$ fährt, ist die zurückgelegte Strecke nach der Zeit $t$ gegeben durch:

$$s(t) = v \cdot t + s_0$$

Das ist wieder die Form $a \cdot x + b$. Nur heissen die Buchstaben anders. Die Variable ist die Zeit $t$, der Koeffizient die Geschwindigkeit $v$, die Konstante der Startpunkt $s_0$.

In der Wirtschaft beschreibt der Term $K(x) = k \cdot x + F$ die Produktionskosten: $k$ sind die Kosten pro Stück, $F$ sind die fixen Kosten. In der Informatik steht ein linearer Term oft für die Laufzeit eines einfachen Algorithmus, in der Biologie für Wachstum unter konstanten Bedingungen.

Wenn du also einen Term mit einer Variablen verstehst, beherrschst du automatisch ein Werkzeug, das in Hunderten von Anwendungen steckt.

Beispiel:

Beispiel 5: Wertetabelle erstellen

Aufgabe: Erstelle für den Term $T(x) = 2 \cdot x - 3$ eine Wertetabelle mit $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

Lösung:

Setze jeden Wert nacheinander ein:

$$\begin{aligned} T(-2) &= 2 \cdot (-2) - 3 = -4 - 3 = -7 \\ T(-1) &= 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5 \\ T(0) &= 2 \cdot 0 - 3 = 0 - 3 = -3 \\ T(1) &= 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1 \\ T(2) &= 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1 \\ T(3) &= 2 \cdot 3 - 3 = 6 - 3 = 3 \end{aligned}$$

Die Wertetabelle sieht so aus:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$T(x)$	$-7$	$-5$	$-3$	$-1$	$1$	$3$

Beobachtung: Wenn $x$ um $1$ wächst, wächst $T(x)$ um $2$. Das ist genau der Koeffizient. Bei $x = 0$ ist $T(x) = -3$ – das ist die Konstante.

Übungen

Arbeite diese Aufgaben selbstständig durch. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

1. Berechne den Wert des Terms $4 \cdot x$ für $x = 6$.

2. Berechne den Wert des Terms $x + 9$ für $x = 11$.

3. Berechne den Wert des Terms $3 \cdot x - 5$ für $x = 2$.

4. Berechne den Wert des Terms $-2 \cdot x + 4$ für $x = 3$.

5. Berechne den Wert des Terms $7 \cdot x - 1$ für $x = -4$.

6. Stelle einen Term auf: Du kaufst $x$ Stifte zu je 2 CHF und zahlst zusätzlich 1 CHF für die Tüte. Wie lautet der Term für die Gesamtkosten?

7. Ein Taxi verlangt 5 CHF Grundgebühr und 2 CHF pro gefahrenem Kilometer. Stelle einen Term für die Kosten bei $x$ Kilometern auf und berechne den Preis für 12 km.

8. Berechne den Wert des Terms $\dfrac{x}{2} + 7$ für $x = 10$.

9. Vereinfache den Term $5 \cdot x + 3 \cdot x - 2 \cdot x$ und berechne dann den Wert für $x = 4$.

10. Ein Rechteck hat die Breite $x$ cm und die Länge $(x + 3)$ cm. Stelle einen Term für den Umfang auf und berechne den Umfang für $x = 5$ cm.

Das Wichtigste in Kürze

Terme mit einer Variablen sind mathematische Ausdrücke mit einem Platzhalter. Die Variable $x$ steht für eine unbekannte Zahl. Der Koeffizient gibt an, wie oft die Variable vorkommt. Die Konstante ist ein fester Summand.

Um einen Termwert zu berechnen, setzt du eine Zahl für die Variable ein. Dabei gilt immer: Punkt vor Strich rechnen und auf Vorzeichen achten. Negative Werte schützt du mit Klammern.

Ein Term der Form $a \cdot x + b$ ist die Grundlage der linearen Funktion. Der Koeffizient ist dabei die Steigung, die Konstante der y-Achsenabschnitt. Dieses Muster taucht in Physik, Wirtschaft und Alltag immer wieder auf.

Quiz

❓ Frage:

Berechne den Wert des Terms $2 \cdot x + 3$ für $x = 5$.

Lösung anzeigen

Setze $5$ für $x$ ein:

$$2 \cdot 5 + 3 = 10 + 3 = 13$$

Der Termwert ist $13$.

❓ Frage:

Wie lautet der Koeffizient im Term $7 \cdot x - 4$?

Lösung anzeigen

Der Koeffizient ist die Zahl vor der Variablen. Im Term $7 \cdot x - 4$ ist der Koeffizient $7$.

❓ Frage:

Stelle einen Term auf: Du kaufst $x$ Hefte zu je 3 CHF. Wie lautet der Term für die Gesamtkosten?

Lösung anzeigen

Jedes Heft kostet 3 CHF. Bei $x$ Heften sind die Gesamtkosten:

$$3 \cdot x$$

Für 4 Hefte wären das zum Beispiel $3 \cdot 4 = 12$ CHF.

❓ Frage:

Berechne den Wert des Terms $-3 \cdot x + 10$ für $x = 2$.

Lösung anzeigen

Setze $2$ für $x$ ein:

$$-3 \cdot 2 + 10 = -6 + 10 = 4$$

Der Termwert ist $4$.

❓ Frage:

Welchen Termwert hat der Term $x^2 + x$ für $x = 3$?

Lösung anzeigen

Setze $3$ für $x$ ein. Rechne zuerst die Potenz:

$$3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$$

Der Termwert ist $12$. Achte darauf: $x^2$ bedeutet $x \cdot x$, also $3 \cdot 3 = 9$, nicht $2 \cdot 3 = 6$.

Ausblick

Wenn du Terme mit einer Variablen verstanden hast, öffnet sich dir die ganze Welt der Algebra. Als Nächstes lernst du, wie du Terme umformst: zusammenfassen, klammern auflösen, ausklammern. Danach setzt du zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen zusammen – und hast eine Gleichung. Mit ihr löst du die unbekannte Zahl auf. Später kommen Terme mit mehreren Variablen (z.B. $a \cdot x + b \cdot y$) und lineare Funktionen mit Graphen dazu. Jeder dieser Schritte baut direkt auf dem auf, was du hier gelernt hast.

Lösungen

Aufgabe 1: Setze $x = 6$ in $4 \cdot x$ ein:

$$4 \cdot 6 = 24$$

Der Termwert ist $24$.

Aufgabe 2: Setze $x = 11$ in $x + 9$ ein:

$$11 + 9 = 20$$

Der Termwert ist $20$.

Aufgabe 3: Setze $x = 2$ in $3 \cdot x - 5$ ein. Rechne Punkt vor Strich:

$$3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1$$

Der Termwert ist $1$.

Aufgabe 4: Setze $x = 3$ in $-2 \cdot x + 4$ ein. Achte auf das Minuszeichen:

$$-2 \cdot 3 + 4 = -6 + 4 = -2$$

Der Termwert ist $-2$.

Aufgabe 5: Setze $x = -4$ in $7 \cdot x - 1$ ein. Nimm die Klammer:

$$7 \cdot (-4) - 1 = -28 - 1 = -29$$

Der Termwert ist $-29$.

Aufgabe 6: Pro Stift zahlst du 2 CHF. Bei $x$ Stiften sind das $2 \cdot x$ CHF. Die Tüte ist eine Konstante von 1 CHF. Der Term lautet:

$$K(x) = 2 \cdot x + 1$$

Aufgabe 7: Die Grundgebühr ist 5 CHF, der Preis pro Kilometer ist 2 CHF. Für $x$ Kilometer lautet der Term:

$$P(x) = 2 \cdot x + 5$$

Für $x = 12$ ergibt sich:

$$P(12) = 2 \cdot 12 + 5 = 24 + 5 = 29 \text{ CHF}$$

Die Taxifahrt kostet 29 CHF.

Aufgabe 8: Setze $x = 10$ in $\dfrac{x}{2} + 7$ ein:

$$\dfrac{10}{2} + 7 = 5 + 7 = 12$$

Der Termwert ist $12$.

Aufgabe 9: Fasse zuerst die gleichartigen Glieder zusammen:

$$5 \cdot x + 3 \cdot x - 2 \cdot x = (5 + 3 - 2) \cdot x = 6 \cdot x$$

Setze dann $x = 4$ ein:

$$6 \cdot 4 = 24$$

Der Termwert ist $24$.

Aufgabe 10: Ein Rechteck hat zwei gleiche Breiten und zwei gleiche Längen. Der Umfang ist:

$$U(x) = 2 \cdot x + 2 \cdot (x + 3)$$

Löse die Klammer auf und fasse zusammen:

$$U(x) = 2x + 2x + 6 = 4x + 6$$

Für $x = 5$ cm:

$$U(5) = 4 \cdot 5 + 6 = 20 + 6 = 26 \text{ cm}$$

Der Umfang beträgt $26$ cm.

Verwandte Themen

• Terme verstehen und richtig rechnen
• Gleichungen verstehen und lösen
• Terme aufstellen – Vom Alltag zur Formel

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport