Quadratwurzeln einfach erklärt: Dein Einstieg in die reellen Zahlen

Darum geht's

Stell dir vor, du möchtest ein quadratisches Beet anlegen. Es soll eine Fläche von 25 Quadratmetern haben. Aber wie lang muss eine Seite sein? Du suchst eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert genau 25 ergibt. Diese Zahl ist 5, denn $5 \cdot 5 = 25$. Genau dieses Rückwärtsrechnen vom Quadrat zur Seitenlänge nennen wir Quadratwurzel ziehen. In diesem Kapitel lernst du, was Quadratwurzeln sind und wie du sie berechnest. Du entdeckst ausserdem, warum sie uns in eine ganz neue Zahlenwelt führen: die reellen Zahlen.

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der Quadratwurzeln ist älter als du vielleicht denkst. Sie beginnt vor mehr als 3500 Jahren.

Babylonien, 1800 v. Chr.

Babylonische Mathematiker berechneten Quadratwurzeln auf Tontafeln. Eine der bekanntesten Tafeln heisst YBC 7289. Sie zeigt ein Quadrat mit Diagonale. Die eingeritzten Keilschriftzeichen ergeben die Näherung $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$. Das ist auf fünf Dezimalstellen genau. Diese Präzision ist bemerkenswert für eine Zeit ohne Taschenrechner.

Griechenland, 5. Jahrhundert v. Chr.

Die Pythagoreer glaubten an eine geordnete Welt aus ganzen Zahlen und Brüchen. Dann entdeckten sie etwas Verstörendes. Der Schüler Hippasus zeigte, dass $\sqrt{2}$ kein Bruch ist. Es gibt keine zwei ganzen Zahlen $p$ und $q$, sodass $\dfrac{p}{q} = \sqrt{2}$ gilt. Diese Entdeckung erschütterte die Pythagoreer tief. Die Legende besagt, Hippasus sei dafür ins Meer geworfen worden. Ob das stimmt, weiss man nicht. Die Mathematik liess sich jedenfalls nicht aufhalten.

Indien und der arabische Raum, 5.–12. Jahrhundert

Indische Mathematiker wie Brahmagupta entwickelten systematische Verfahren zur Wurzelberechnung. Arabische Gelehrte übernahmen und verfeinerten diese Methoden. Das Wort “Algebra” stammt aus dem Arabischen. Über diesen Weg gelangte das Wissen nach Europa.

Europa, 16. Jahrhundert

In der Renaissancemathematik etablierte sich das Wurzelzeichen $\sqrt{\phantom{x}}$ langsam. Es leitet sich vermutlich vom lateinischen Wort radix (Wurzel) ab. Die heutige Schreibweise wurde erst im 17. Jahrhundert durch René Descartes mit dem Querbalken vervollständigt.

Was bleibt?

Quadratwurzeln sind kein modernes Konzept. Sie begleiten die Menschheit seit Jahrtausenden. Ihr Verständnis war entscheidend für Architektur, Navigation und Astronomie. Heute brauchst du sie in der Geometrie, Physik und Informatik.

Die Grundlagen

Beim Quadrieren nimmst du eine Zahl und multiplizierst sie mit sich selbst. Aus $3$ wird $3^2 = 9$. Aus $7$ wird $7^2 = 49$. Die Quadratwurzel geht den umgekehrten Weg. Du hast das Ergebnis und suchst die ursprüngliche Zahl.

Definition

Die Quadratwurzel einer nicht-negativen Zahl $a$ ist diejenige nicht-negative Zahl $b$, die mit sich selbst multipliziert $a$ ergibt:

$\sqrt{a} = b \quad \Longleftrightarrow \quad b \geq 0 \text{ und } b^2 = a$

Die Zahl $a$ unter dem Wurzelzeichen heisst Radikand. Die Zahl $b$ heisst Wurzelwert.

Warum betonen wir “nicht-negativ”? Sowohl $5 \cdot 5 = 25$ als auch $(-5) \cdot (-5) = 25$. Beide Zahlen ergeben quadriert 25. Um Eindeutigkeit zu schaffen, legen wir fest: Die Quadratwurzel liefert stets den positiven Wert (oder Null). Daher gilt $\sqrt{25} = 5$ und nicht $-5$.

Diese Quadratzahlen und ihre Wurzeln solltest du auswendig kennen:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$n^2$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144

Diese Tabelle ist dein wichtigstes Werkzeug. Wenn du $\sqrt{64}$ berechnest, schaust du in der unteren Zeile nach 64. Die Antwort in der oberen Zeile lautet 8.

Zahlen wie 1, 4, 9, 16, 25 heissen vollständige Quadratzahlen. Ihre Wurzeln sind natürliche Zahlen. Bei allen anderen positiven Zahlen ist die Wurzel eine irrationale Zahl mit unendlich vielen, nicht-periodischen Nachkommastellen.

Die Kernmethode

Zwei Rechenregeln sind das Herzstück jeder Wurzelrechnung. Sie erlauben es dir, Wurzeln zu vereinfachen und umzuformen.

Definition

Für alle nicht-negativen Zahlen $a$ und $b$ (mit $b \neq 0$ bei der Division) gilt:

Produktregel: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Quotientenregel: $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Diese Regeln funktionieren in beide Richtungen. Du kannst eine gemeinsame Wurzel aufteilen. Du kannst aber auch zwei separate Wurzeln zusammenführen.

Produktregel anwenden: $\sqrt{36 \cdot 4} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{4} = 6 \cdot 2 = 12$

Probe: $12^2 = 144 = 36 \cdot 4$ ✓

Quotientenregel anwenden: $\sqrt{\dfrac{49}{25}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}} = \dfrac{7}{5}$

Probe: $\left(\dfrac{7}{5}\right)^2 = \dfrac{49}{25}$ ✓

Eine weitere wichtige Regel betrifft Wurzeln aus Quadraten:

$\sqrt{a^2} = |a|$

Das Ergebnis ist der Betrag von $a$. Denn die Wurzel liefert stets einen nicht-negativen Wert. Für $a = -3$ gilt: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$.

Mit diesen drei Regeln kannst du die meisten Aufgaben zu Quadratwurzeln lösen.

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Quadratwurzeln berechnen

Berechne $\sqrt{144}$ und $\sqrt{0{,}25}$.

Lösung für $\sqrt{144}$:

Aus der Tabelle der Quadratzahlen weisst du: $12 \cdot 12 = 144$.

$\sqrt{144} = 12$

Probe: $12^2 = 144$ ✓

Lösung für $\sqrt{0{,}25}$:

Schreibe die Dezimalzahl als Bruch:

$0{,}25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$

Wende die Quotientenregel an:

$\sqrt{0{,}25} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$

Probe: $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$ ✓

Merke: Dezimalzahlen lassen sich oft als Bruch schreiben. Dann kannst du die Quotientenregel bequem anwenden.

Beispiel:

Beispiel 2: Wurzeln vereinfachen mit der Produktregel

Vereinfache $\sqrt{72}$ so weit wie möglich.

Lösung:

Das Ziel ist, einen Faktor zu finden, der eine vollständige Quadratzahl ist.

Schritt 1: Zerlege 72 in ein Produkt mit einer Quadratzahl.

$72 = 36 \cdot 2$

36 ist eine Quadratzahl ($6^2 = 36$). Das ist der grösste Quadratzahl-Faktor von 72.

Schritt 2: Wende die Produktregel an.

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 3: Ziehe die Wurzel aus der Quadratzahl.

$\sqrt{72} = 6 \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Ergebnis: $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

Tipp: Nutze immer den grössten Quadratzahl-Faktor. Hättest du $72 = 4 \cdot 18$ gewählt, käme $2\sqrt{18}$ heraus. Das muss noch weiter vereinfacht werden: $2\sqrt{18} = 2 \cdot \sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. Du kommst zum gleichen Ergebnis, brauchst aber mehr Schritte.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Keine Summenregel für Wurzeln: Die Gleichung $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ist falsch. Gegenbeispiel: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, aber $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. Da $5 \neq 7$, gilt die Summenregel nicht. Du darfst eine Wurzel niemals auf einzelne Summanden verteilen.

Achtung

Negative Radikanden sind nicht erlaubt: Der Ausdruck $\sqrt{-4}$ ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist. Ein negatives Vorzeichen unter dem Wurzelzeichen führt zu einem Fehler. Solche Ausdrücke führen erst bei den komplexen Zahlen zu einem sinnvollen Ergebnis – das lernst du in späteren Klassen.

Achtung

Gleichung lösen vs. Wurzel ziehen: Die Gleichung $x^2 = 16$ hat zwei Lösungen: $x = 4$ und $x = -4$. Schreibe das als $x = \pm 4$. Aber der Ausdruck $\sqrt{16}$ allein ergibt nur $4$, den positiven Wert. Verwechsle nicht “eine Gleichung lösen” mit “eine Wurzel berechnen”. Bei Gleichungen brauchst du das $\pm$-Zeichen. Bei einer einzelnen Wurzel nicht.

Achtung

Wurzel aus einem Quadrat vergisst den Betrag: Es gilt $\sqrt{a^2} = |a|$, nicht $\sqrt{a^2} = a$. Für $a = -5$ gilt: $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$. Das Ergebnis ist immer nicht-negativ. Schreibe den Betrag, wenn du dir über das Vorzeichen von $a$ nicht sicher bist.

Beispiel:

Beispiel 3: Gleichungen mit Quadratwurzeln lösen

Löse die Gleichungen $x^2 = 81$ und $x^2 = 7$.

Lösung für $x^2 = 81$:

Welche Zahlen ergeben quadriert 81? Es gilt $9^2 = 81$ und $(-9)^2 = 81$.

$x = \pm\sqrt{81} = \pm 9$

Die Gleichung hat zwei Lösungen: $x_1 = 9$ und $x_2 = -9$.

Lösung für $x^2 = 7$:

7 ist keine vollständige Quadratzahl. Trotzdem gibt es Lösungen.

$x = \pm\sqrt{7}$

Die Gleichung hat zwei Lösungen: $x_1 = \sqrt{7} \approx 2{,}646$ und $x_2 = -\sqrt{7} \approx -2{,}646$.

Ergebnis: Bei der Gleichung $x^2 = a$ mit $a > 0$ gibt es immer zwei Lösungen: $x = \sqrt{a}$ und $x = -\sqrt{a}$. Schreibe das kompakt als $x = \pm\sqrt{a}$.

Beispiel:

Beispiel 4: Anwendung – Diagonale eines Quadrats

Ein quadratischer Bilderrahmen hat eine Seitenlänge von $6 \, \text{cm}$. Wie lang ist seine Diagonale?

Lösung:

Die Diagonale teilt das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke. Der Satz des Pythagoras lautet:

$d^2 = a^2 + a^2$

Beide Katheten sind gleich lang, weil es ein Quadrat ist.

$d^2 = 2a^2$

$d = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{a^2} = \sqrt{2} \cdot a$

Mit $a = 6 \, \text{cm}$:

$d = \sqrt{2} \cdot 6 \, \text{cm} = 6\sqrt{2} \, \text{cm}$

Als Dezimalzahl gerundet:

$d \approx 6 \cdot 1{,}414 \, \text{cm} = 8{,}49 \, \text{cm}$

Ergebnis: Die Diagonale ist $6\sqrt{2} \, \text{cm} \approx 8{,}49 \, \text{cm}$ lang.

Merke: Die exakte Form $6\sqrt{2} \, \text{cm}$ ist mathematisch präziser als der gerundete Dezimalwert.

Vertiefung

Du kennst jetzt die Grundlagen der Quadratwurzeln. Nun gehen wir einen Schritt weiter.

Irrationale Zahlen und reelle Zahlen

Was passiert bei $\sqrt{2}$? Du kannst es annähern:

• $1{,}4^2 = 1{,}96$ (zu klein)
• $1{,}5^2 = 2{,}25$ (zu gross)
• $1{,}41^2 = 1{,}9881$ (näher)
• $1{,}414^2 = 1{,}999396$ (sehr nah)

Du wirst niemals eine Dezimalzahl finden, die exakt $\sqrt{2}$ ergibt. Die Dezimaldarstellung ist unendlich lang und hat kein sich wiederholendes Muster. Solche Zahlen heissen irrational.

Definition

Die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ vereint alle rationalen und alle irrationalen Zahlen:

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \{\text{irrationale Zahlen}\}$

Rationale Zahlen sind Brüche der Form $\dfrac{p}{q}$ mit ganzen Zahlen $p, q$ ($q \neq 0$). Irrationale Zahlen wie $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ oder $\pi$ lassen sich nicht als solchen Bruch darstellen.

Schachtelung der Zahlenmengen

Die Zahlenmengen sind ineinander enthalten:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Natürliche Zahlen sind auch ganze Zahlen. Ganze Zahlen sind auch rationale Zahlen. Rationale Zahlen sind auch reelle Zahlen. Irrationale Zahlen sind reelle Zahlen, aber keine rationalen Zahlen.

Wurzeln in Potenzschreibweise

Es gibt eine elegante Verbindung zwischen Wurzeln und Potenzen:

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

Das lässt sich begründen: $(a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$. Also ist $a^{\frac{1}{2}}$ tatsächlich die Zahl, deren Quadrat $a$ ist. Diese Schreibweise vereinfacht viele Berechnungen. Du wirst ihr in der Oberstufe häufig begegnen.

Beispiel:

Beispiel 5: Wurzeln zusammenfassen

Vereinfache $\sqrt{98} + \sqrt{50}$.

Lösung:

Vereinfache beide Wurzeln einzeln mit der Produktregel.

Für $\sqrt{98}$:

$98 = 49 \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$

Für $\sqrt{50}$:

$50 = 25 \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Beide Terme enthalten $\sqrt{2}$ als gemeinsamen Faktor. Du kannst sie wie gleichartige Terme zusammenfassen:

$\sqrt{98} + \sqrt{50} = 7\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (7 + 5)\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

Ergebnis: $\sqrt{98} + \sqrt{50} = 12\sqrt{2}$

Merke: Wurzeln lassen sich nur addieren oder subtrahieren, wenn sie nach der Vereinfachung den gleichen Radikanden haben. $\sqrt{2}$ und $\sqrt{3}$ zum Beispiel lassen sich nicht weiter zusammenfassen.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne mit Aufgabe 1 und arbeite dich vor. Die vollständigen Lösungswege findest du am Ende des Artikels.

Grundlagen (Aufgaben 1–3)

Aufgabe 1: Berechne ohne Taschenrechner:

a) $\sqrt{49}$ b) $\sqrt{121}$ c) $\sqrt{0{,}04}$ d) $\sqrt{\dfrac{9}{16}}$

Aufgabe 2: Entscheide, ob der Ausdruck definiert ist. Wenn ja, berechne das Ergebnis.

a) $\sqrt{36}$ b) $\sqrt{-9}$ c) $\sqrt{0}$ d) $\sqrt{(-4)^2}$

Aufgabe 3: Berechne und mache die Probe:

a) $\sqrt{6^2}$ b) $\sqrt{(-7)^2}$ c) $\sqrt{13^2}$

Vereinfachen (Aufgaben 4–6)

Aufgabe 4: Vereinfache so weit wie möglich:

a) $\sqrt{45}$ b) $\sqrt{75}$ c) $\sqrt{108}$ d) $\sqrt{128}$

Aufgabe 5: Vereinfache:

a) $\sqrt{12} + \sqrt{27}$ b) $3\sqrt{8} - \sqrt{2}$ c) $\sqrt{48} + 2\sqrt{3}$

Aufgabe 6: Berechne mithilfe der Quotientenregel:

a) $\sqrt{\dfrac{16}{9}}$ b) $\sqrt{\dfrac{100}{49}}$ c) $\sqrt{0{,}09}$

Gleichungen und Anwendung (Aufgaben 7–10)

Aufgabe 7: Löse die Gleichungen. Beachte: Es kann zwei Lösungen geben.

a) $x^2 = 36$ b) $x^2 = 5$ c) $x^2 = 169$ d) $x^2 = 0{,}16$

Aufgabe 8: Ein quadratisches Schwimmbecken hat eine Fläche von $196 \, \text{m}^2$. Wie lang ist eine Seite?

Aufgabe 9: Ein rechtwinkliges Dreieck hat zwei Katheten der Länge $5 \, \text{cm}$ und $12 \, \text{cm}$. Wie lang ist die Hypotenuse? Schreibe das Ergebnis exakt und gerundet auf zwei Dezimalstellen.

Aufgabe 10 (Knobeln): Zeige, dass $\sqrt{75} - \sqrt{48} = \sqrt{3}$ gilt. Vereinfache dazu beide Wurzeln einzeln.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Quadratwurzel $\sqrt{a}$ ist die Umkehrung des Quadrierens. Sie gibt die nicht-negative Zahl an, deren Quadrat $a$ ist.

• Wurzeln aus vollständigen Quadratzahlen (1, 4, 9, 16, 25, …) ergeben natürliche Zahlen. Wurzeln aus anderen positiven Zahlen sind irrational.

• Die Produktregel $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ und die Quotientenregel $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ helfen beim Vereinfachen.

• Es gibt keine Summenregel: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

• Aus negativen Radikanden kann man im Bereich der reellen Zahlen keine Wurzel ziehen.

• Rationale und irrationale Zahlen zusammen bilden die reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

❓ Frage: Berechne $\sqrt{169}$.

Lösung anzeigen

$\sqrt{169} = 13$, denn $13 \cdot 13 = 169$. Probe: $13^2 = 169$ ✓

❓ Frage: Vereinfache $\sqrt{180}$ so weit wie möglich.

Lösung anzeigen

Suche den grössten Quadratzahl-Faktor von 180: $180 = 36 \cdot 5$ Wende die Produktregel an: $\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$

❓ Frage: Warum gilt $\sqrt{9 + 16} \neq \sqrt{9} + \sqrt{16}$? Rechne beide Seiten aus.

Lösung anzeigen

Linke Seite: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ Rechte Seite: $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ Da $5 \neq 7$, sind die Ausdrücke nicht gleich. Die Summenregel gilt nicht für Wurzeln. Du darfst eine Wurzel niemals auf einzelne Summanden verteilen.

❓ Frage: Löse die Gleichung $x^2 = 25$. Wie viele Lösungen gibt es?

Lösung anzeigen

Die Gleichung $x^2 = 25$ hat zwei Lösungen. $x = \pm\sqrt{25} = \pm 5$ Also $x_1 = 5$ und $x_2 = -5$. Probe: $5^2 = 25$ ✓ und $(-5)^2 = 25$ ✓ Achtung: Der Ausdruck $\sqrt{25}$ allein ergibt nur $5$. Das $\pm$-Zeichen entsteht beim Lösen der Gleichung.

❓ Frage: Zu welcher Zahlenmenge gehört $\sqrt{7}$? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

$\sqrt{7}$ gehört zu den irrationalen Zahlen und damit zu den reellen Zahlen $\mathbb{R}$. 7 ist keine vollständige Quadratzahl. Die Dezimaldarstellung von $\sqrt{7} \approx 2{,}6457513...$ ist unendlich lang und hat kein sich wiederholendes Muster. Deshalb lässt sich $\sqrt{7}$ nicht als Bruch $\dfrac{p}{q}$ schreiben. Es ist irrational.

Ausblick

Du hast die Quadratwurzel kennengelernt und bist in die Welt der reellen Zahlen eingetaucht. Als Nächstes begegnest du höheren Wurzeln: Die Kubikwurzel $\sqrt[3]{a}$ ist die Umkehrung von $x^3$. Die allgemeine $n$-te Wurzel $\sqrt[n]{a}$ verallgemeinert das Konzept weiter. Ausserdem lernst du die Potenzschreibweise für Wurzeln kennen: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$. Diese Darstellung verbindet Wurzeln und Potenzen elegant miteinander. Sie eröffnet dir ganz neue Rechenmöglichkeiten und ist eine wichtige Grundlage für die Analysis.

Lösungen

Lösung Aufgabe 1:

a) $\sqrt{49} = 7$, denn $7^2 = 49$.

b) $\sqrt{121} = 11$, denn $11^2 = 121$.

c) $\sqrt{0{,}04} = 0{,}2$. Schreibe $0{,}04 = \dfrac{4}{100}$. Dann gilt: $\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2$.

d) $\sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \dfrac{3}{4}$.

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Lösung Aufgabe 2:

a) $\sqrt{36} = 6$. Definiert, Ergebnis 6.

b) $\sqrt{-9}$: Nicht definiert im Bereich der reellen Zahlen. Kein negatives Vorzeichen unter dem Wurzelzeichen erlaubt.

c) $\sqrt{0} = 0$. Definiert, Ergebnis 0. Es gilt $0^2 = 0$.

d) $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4$. Alternativ: $\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$. Definiert, Ergebnis 4.

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Lösung Aufgabe 3:

a) $\sqrt{6^2} = \sqrt{36} = 6 = |6|$. Probe: $6^2 = 36$ ✓

b) $\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7 = |-7|$. Probe: $7^2 = 49$ ✓

c) $\sqrt{13^2} = \sqrt{169} = 13 = |13|$. Probe: $13^2 = 169$ ✓

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Lösung Aufgabe 4:

a) $\sqrt{45}$: Grösster Quadratzahl-Faktor ist 9. $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

b) $\sqrt{75}$: Grösster Quadratzahl-Faktor ist 25. $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

c) $\sqrt{108}$: Grösster Quadratzahl-Faktor ist 36. $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$.

d) $\sqrt{128}$: Grösster Quadratzahl-Faktor ist 64. $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$.

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Lösung Aufgabe 5:

a) $\sqrt{12} + \sqrt{27}$: Vereinfache einzeln. $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$. Zusammenfassen: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

b) $3\sqrt{8} - \sqrt{2}$: Vereinfache $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Dann: $3 \cdot 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = 6\sqrt{2} - \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

c) $\sqrt{48} + 2\sqrt{3}$: Vereinfache $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$. Dann: $4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

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Lösung Aufgabe 6:

a) $\sqrt{\dfrac{16}{9}} = \dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \dfrac{4}{3}$.

b) $\sqrt{\dfrac{100}{49}} = \dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{49}} = \dfrac{10}{7}$.

c) $\sqrt{0{,}09} = \sqrt{\dfrac{9}{100}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{100}} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$.

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Lösung Aufgabe 7:

a) $x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm\sqrt{36} = \pm 6$. Lösungen: $x_1 = 6$, $x_2 = -6$.

b) $x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5}$. Lösungen: $x_1 = \sqrt{5} \approx 2{,}24$, $x_2 = -\sqrt{5} \approx -2{,}24$.

c) $x^2 = 169 \Rightarrow x = \pm\sqrt{169} = \pm 13$. Lösungen: $x_1 = 13$, $x_2 = -13$.

d) $x^2 = 0{,}16 \Rightarrow x = \pm\sqrt{0{,}16} = \pm 0{,}4$. Probe: $0{,}4^2 = 0{,}16$ ✓

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Lösung Aufgabe 8:

Gegeben: Fläche $A = 196 \, \text{m}^2$. Gesucht: Seitenlänge $a$.

Es gilt $A = a^2$, also $a = \sqrt{A} = \sqrt{196}$.

$14^2 = 196$, also $a = 14 \, \text{m}$.

Ergebnis: Eine Seite ist $14 \, \text{m}$ lang.

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Lösung Aufgabe 9:

Gegeben: Katheten $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 12 \, \text{cm}$. Gesucht: Hypotenuse $c$.

Satz des Pythagoras:

$c^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$c = \sqrt{169} = 13 \, \text{cm}$

Ergebnis: Die Hypotenuse ist exakt $13 \, \text{cm}$ lang. Das ist ein sogenanntes pythagoreisches Tripel (5, 12, 13). Kein Runden notwendig.

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Lösung Aufgabe 10:

Vereinfache $\sqrt{75}$ und $\sqrt{48}$ einzeln.

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

Subtrahiere:

$\sqrt{75} - \sqrt{48} = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (5 - 4)\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Damit ist $\sqrt{75} - \sqrt{48} = \sqrt{3}$ bewiesen. ∎

Verwandte Themen

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport