Senkrechte zu einer Geraden konstruieren

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Geometrie”
• Die Mittelsenkrechte verstehen und konstruieren
• Abstände in der Geometrie – Punkt, Gerade, Parallele
• Winkel an Geraden – Scheitel-, Neben-, Stufen- und Wechselwinkel

Darum geht's

Stell dir vor, du stehst auf einem langen, geraden Feldweg. In einiger Entfernung siehst du einen Brunnen. Du möchtest auf dem kürzesten Weg zum Brunnen gelangen. Wie würdest du laufen?

Instinktiv weisst du: Du läufst nicht schräg, sondern direkt auf den Brunnen zu. Dieser kürzeste Weg bildet mit dem Feldweg einen rechten Winkel. In der Mathematik nennen wir eine solche Linie, die im rechten Winkel auf eine andere trifft, eine Senkrechte. In diesem Artikel lernst du, wie du Senkrechte exakt mit Zirkel und Lineal konstruierst.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse), Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 9Kompetenzen

• MA.3.A.1.gGrundanspruchBegriffe (un)wahrscheinlich, (un)möglich, sicher
• MA.3.A.3.gGrundanspruchFunktionswerte aufgrund von Funktionsgraphen bestimmen; indirekt proportionale Beziehungen berechnen; Prozentangaben als proportionale Zuordnungen verstehen
• MA.3.C.3.fGrundanspruch
• MA.3.A.1.fMasseinheiten Hohlmasse (l, dl, cl, ml), Gewicht (t, kg, g, mg), Zeit (h, min, s); Vorsätze Kilo, Dezi, Centi, Milli
• MA.3.A.1.hBegriffe Proportionalität, Flächeninhalt, Volumen, Mittelwert, Kreisdiagramm, Säulendiagramm, Liniendiagramm, Daten, Häufigkeit, Zufall, Speicher; Masseinheiten Flächenmasse, Zeit (d, h, min, s)
• MA.3.A.3.fAnteile bestimmen und vergleichen
• MA.3.A.3.hZu einer Funktionsgleichung Wertepaare bestimmen und in einem Koordinatensystem einzeichnen
• MA.3.C.3.e
• MA.3.C.3.g

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee der Senkrechten ist uralt. Schon vor über $4000$ Jahren nutzten die Baumeister im alten Ägypten den rechten Winkel. Sie spannten Seile mit genau zwölf gleich langen Abschnitten. Ein Knoten, bei drei, vier und fünf Einheiten gespannt, erzeugte zuverlässig einen rechten Winkel. So standen Pyramiden und Tempelmauern exakt senkrecht auf dem Boden.

Die griechischen Geometer gingen einen Schritt weiter. Euklid von Alexandria fasste um $300$ v. Chr. das gesamte geometrische Wissen seiner Zeit in den Elementen zusammen. Im ersten Buch beschreibt er genau jene Konstruktionen, die du gleich lernen wirst. Euklid verlangte, dass jede geometrische Figur nur mit zwei Werkzeugen entsteht: einem Zirkel und einem ungraduierten Lineal.

Warum diese Einschränkung? Die Griechen wollten reine Geometrie. Ein Lineal mit Zentimetereinteilung hätte Messungen erlaubt. Messungen aber sind nie exakt. Nur die Konstruktion mit Zirkel und Lineal liefert theoretisch perfekte Ergebnisse. Dieses Prinzip nennt man heute euklidische Konstruktion.

Die Römer übernahmen das Wissen und verfeinerten es für ihre Ingenieure. Strassen, Aquädukte und Häuser entstanden nach präzisen rechten Winkeln. Das Werkzeug dafür hiess Groma. Es war ein Kreuz mit vier herabhängenden Lotschnüren und diente zur Absteckung senkrechter Linien im Gelände.

Im Mittelalter lebten diese Techniken in den Bauhütten der Kathedralen weiter. Die Steinmetze arbeiteten mit Zirkel, Winkelhaken und Lot. Ohne die Senkrechte hätte kein gotischer Turm seine Höhe erreicht. Sie ist das Rückgrat jeder Statik.

Auch heute nutzt jeder Handwerker dieses Prinzip. Die Wasserwaage zeigt die Waagrechte. Das Lot, ein an einer Schnur hängendes Gewicht, zeigt die Senkrechte zum Erdboden. Vom ägyptischen Seil bis zum modernen Lasergerät: Das Prinzip der Senkrechten verbindet $4000$ Jahre Baukunst.

Die Grundlagen

Der Feldweg aus der Einleitung entspricht einer Geraden $g$. Der Brunnen ist ein Punkt $P$, der nicht auf der Geraden liegt. Der kürzeste Weg vom Brunnen zum Weg ist die Senkrechte.

Zwei Geraden oder Strecken stehen senkrecht aufeinander, wenn sie sich im rechten Winkel schneiden. Dieser Winkel beträgt genau $90°$. Das kleine Quadrat in der Ecke zeigt dir in Zeichnungen, dass ein rechter Winkel vorliegt.

Definition

Eine Senkrechte zu einer Geraden $g$ ist eine Gerade $s$, die $g$ im rechten Winkel ($90°$) schneidet.

$$g \perp s \quad \Leftrightarrow \quad \text{Schnittwinkel} = 90°$$

Das Symbol $\perp$ bedeutet “steht senkrecht auf”.

Wichtige Eigenschaft: Durch jeden Punkt $P$ (egal ob auf $g$ oder nicht) gibt es genau eine Senkrechte zu $g$.

Die Senkrechte ist einzigartig. Du kannst nicht zwei verschiedene Senkrechten durch denselben Punkt zur selben Geraden zeichnen. Es gibt immer nur eine. Diese Eigenschaft macht die Senkrechte so nützlich: Sie ist eindeutig bestimmt.

Ein wichtiger Begriff ist das Lot. Das Lot ist der kürzeste Weg von einem Punkt zu einer Geraden. Liegt der Punkt nicht auf der Geraden, so ist das Lot eine Strecke. Sie beginnt beim Punkt und endet dort, wo die Senkrechte die Gerade trifft. Dieser Endpunkt heisst Fusspunkt des Lots.

Die Kernmethode

Je nachdem, wo der Punkt $P$ liegt, unterscheiden wir zwei Fälle. Erstens: $P$ liegt auf der Geraden. Zweitens: $P$ liegt neben der Geraden. Für beide Fälle gibt es eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal.

Definition

Fall 1: Senkrechte im Punkt errichten – Der Punkt $P$ liegt auf der Geraden $g$. Du konstruierst eine Senkrechte, die $g$ in $P$ schneidet.

Fall 2: Lot fällen – Der Punkt $P$ liegt neben der Geraden $g$. Du konstruierst die Senkrechte durch $P$. Ihr Schnittpunkt mit $g$ heisst Fusspunkt $F$.

Fall 1 – Schritt für Schritt:

1. Setze den Zirkel in $P$. Zeichne einen Kreisbogen, der $g$ links und rechts von $P$ schneidet. Die Schnittpunkte heissen $A$ und $B$.
2. Setze den Zirkel in $A$. Wähle eine Öffnung grösser als $|PA|$. Zeichne einen Bogen oberhalb der Geraden.
3. Setze den Zirkel mit derselben Öffnung in $B$. Zeichne einen zweiten Bogen, der den ersten schneidet. Der Schnittpunkt ist $S$.
4. Zeichne die Gerade durch $P$ und $S$. Das ist die Senkrechte.

Fall 2 – Schritt für Schritt:

1. Setze den Zirkel in $P$. Wähle die Öffnung so gross, dass der Kreis $g$ zweimal schneidet. Die Schnittpunkte heissen $A$ und $B$.
2. Setze den Zirkel in $A$. Zeichne einen Bogen auf der von $P$ abgewandten Seite.
3. Mit derselben Öffnung: Setze in $B$, zeichne einen Bogen. Er schneidet den vorherigen in $S$.
4. Die Gerade durch $P$ und $S$ ist die Senkrechte. Sie trifft $g$ im Fusspunkt $F$.

Beispiel:

Beispiel 1: Senkrechte erkennen

Zwei Geraden $g$ und $h$ schneiden sich. Der Schnittwinkel beträgt $90°$.

Aufgabe: Wie beschreibst du die Lage der Geraden zueinander?

Lösung:

Die Geraden stehen senkrecht aufeinander. In mathematischer Schreibweise:

$$g \perp h$$

Das kleine Quadrat im Schnittpunkt zeigt den rechten Winkel. Beachte, dass beim Schnitt zweier Geraden vier Winkel entstehen. Wenn einer davon $90°$ ist, sind automatisch alle vier $90°$. Man muss also nur einen Winkel prüfen, um Senkrechtheit festzustellen.

Beispiel:

Beispiel 2: Fusspunkt bestimmen

Eine Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A(1|2)$ und $B(5|2)$. Der Punkt $P(3|5)$ liegt oberhalb der Geraden.

Aufgabe: Bestimme den Fusspunkt $F$ des Lots von $P$ auf $g$. Berechne anschliessend den Abstand $d$ von $P$ zu $g$.

Lösung:

Zuerst analysierst du die Gerade. Beide Punkte haben $y = 2$. Die Gerade ist also horizontal. Das Lot von $P$ muss senkrecht zu einer waagrechten Linie sein – es verläuft also vertikal.

Der Fusspunkt $F$ hat dieselbe $x$-Koordinate wie $P$, also $x = 3$. Er liegt auf $g$, also ist $y = 2$. Somit:

$$F(3|2)$$

Der Abstand ist die Länge der Strecke $\overline{PF}$. Da $P$ und $F$ dieselbe $x$-Koordinate haben, gilt:

$$d = |5 - 2| = 3$$

Der Abstand beträgt also $3$ Längeneinheiten.

Die häufigsten Stolpersteine

Die Konstruktion der Senkrechten ist anspruchsvoll. Kleine Unachtsamkeiten führen zu grossen Fehlern. Hier sind die typischen Fallen und wie du sie umgehst.

Achtung

Stolperstein 1: Zirkelöffnung versehentlich verändern

Zwischen Schritt 2 und 3 darfst du die Zirkelöffnung nicht ändern. Viele Schülerinnen und Schüler öffnen den Zirkel beim Umsetzen leicht nach. Dadurch liegt der Schnittpunkt $S$ nicht mehr symmetrisch zu $A$ und $B$. Die Linie $PS$ steht dann nicht senkrecht auf $g$.

So vermeidest du den Fehler: Ziehe den Zirkel nur am Griff um, nie an den Schenkeln. Bewege ihn vorsichtig und prüfe die Öffnung mit einem Lineal, falls du unsicher bist.

Achtung

Stolperstein 2: Zirkel zu klein bei Fall 2

Wenn der Punkt $P$ weit von der Geraden entfernt liegt, muss die Zirkelöffnung gross genug sein. Der Kreis um $P$ muss die Gerade in zwei Punkten schneiden. Ist die Öffnung zu klein, trifft der Kreis die Gerade gar nicht.

So vermeidest du den Fehler: Wähle die Öffnung deutlich grösser als der Abstand $P$ zur Geraden. Sichtbare Schnittpunkte $A$ und $B$ müssen existieren, bevor du weitermachst.

Achtung

Stolperstein 3: Schnittpunkte verlieren

Nach vielen Kreisbögen wird das Blatt unübersichtlich. Wichtige Schnittpunkte verschwinden optisch in einem Netz aus Linien.

So vermeidest du den Fehler: Markiere $A$, $B$ und $S$ sofort mit einem kleinen, deutlichen Kreuz. Beschrifte sie mit Kleinbuchstaben direkt daneben. So verlierst du nie den Überblick.

Achtung

Stolperstein 4: Lineal verrutschen

Beim Zeichnen der Senkrechten legst du das Lineal an zwei Punkte. Rutscht es beim Zeichnen, verläuft die Linie schief.

So vermeidest du den Fehler: Drücke das Lineal fest mit der freien Hand auf das Papier. Ziehe den Strich in einem Zug und kontrolliere danach, ob Lineal und Punkte noch übereinstimmen.

Beispiel:

Beispiel 3: Senkrechte auf einer Schrägen

Gegeben ist eine Gerade $g$, die schräg auf dem Blatt verläuft. Ein Punkt $P$ liegt auf $g$.

Aufgabe: Konstruiere mit Zirkel und Lineal die Senkrechte $s$ zu $g$ durch $P$. Beschreibe jeden Schritt.

Lösung:

Schritt 1: Setze den Zirkel in $P$ ein. Wähle eine mittlere Öffnung, etwa $3$ cm. Zeichne einen Kreisbogen. Er schneidet $g$ in zwei Punkten. Nenne sie $A$ und $B$.

Schritt 2: Öffne den Zirkel grösser, etwa $5$ cm. Setze ihn in $A$ ein. Zeichne einen Bogen weit oberhalb der Geraden.

Schritt 3: Ohne die Öffnung zu verändern, setzt du in $B$ ein. Zeichne einen zweiten Bogen, der den ersten kreuzt. Der Schnittpunkt heisst $S$.

Schritt 4: Lege das Lineal an $P$ und $S$. Zeichne die Gerade $s$. Damit gilt:

$$s \perp g \quad \text{und} \quad P \in s$$

Kontrolliere mit dem Geodreieck: Der Winkel zwischen $g$ und $s$ in $P$ muss $90°$ betragen.

Beispiel:

Beispiel 4: Höhe eines Dreiecks einzeichnen

Ein Dreieck $ABC$ hat die Ecken $A$, $B$ und $C$. Du sollst die Höhe $h_c$ einzeichnen. Die Höhe $h_c$ verläuft senkrecht zur Seite $c = \overline{AB}$ und geht durch die gegenüberliegende Ecke $C$.

Aufgabe: Beschreibe, wie du $h_c$ konstruierst. Welche Konstruktion aus diesem Artikel nutzt du?

Lösung:

Die Seite $c$ ist eine Strecke. Sie liegt auf einer Geraden. Der Punkt $C$ liegt neben dieser Geraden. Du brauchst also Fall 2: Lot fällen.

Vorgehen: Setze den Zirkel in $C$. Öffne ihn so, dass der Kreis die Gerade durch $A$ und $B$ in zwei Punkten schneidet. Diese Punkte heissen $D$ und $E$. Mit gleicher Zirkelöffnung zeichnest du von $D$ und $E$ zwei Bögen auf der anderen Seite der Geraden. Sie schneiden sich in $S$. Die Gerade durch $C$ und $S$ ist die Senkrechte. Sie trifft die Gerade durch $A$ und $B$ im Fusspunkt $F$.

Die Strecke $\overline{CF}$ ist die gesuchte Höhe $h_c$. Sie liegt entweder ganz im Dreieck (bei spitzen Dreiecken) oder teilweise ausserhalb (bei stumpfen Dreiecken).

Vertiefung

Warum funktioniert die Konstruktion eigentlich? Das Prinzip beider Konstruktionen ist ähnlich und beruht auf Symmetrie. Die Punkte $A$ und $B$ liegen gleich weit von $P$ entfernt (Fall 1) oder werden symmetrisch erzeugt (Fall 2). Der Punkt $S$ entsteht als Schnittpunkt zweier gleich grosser Kreisbögen. Damit liegt $S$ gleich weit von $A$ und $B$ entfernt.

Definition

Die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$ ist die Senkrechte, die durch den Mittelpunkt von $\overline{AB}$ verläuft. Alle Punkte der Mittelsenkrechten haben von $A$ und $B$ denselben Abstand.

Im Konstruktionsprinzip gilt: Liegen $P$ und $S$ beide gleich weit von $A$ und $B$ entfernt, dann liegt die Gerade $PS$ auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$. Diese steht automatisch senkrecht auf $\overline{AB}$.

Die Senkrechte hat tiefe Verbindungen zu anderen geometrischen Begriffen. In einem Dreieck schneiden sich die drei Höhen in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt. Die Mittelsenkrechten der Seiten schneiden sich im Umkreismittelpunkt. Beide Punkte liegen gemeinsam mit dem Schwerpunkt auf der berühmten Euler-Geraden.

Im Koordinatensystem lässt sich die Senkrechte auch rechnerisch beschreiben. Haben zwei Geraden die Steigungen $m_1$ und $m_2$, so stehen sie genau dann senkrecht aufeinander, wenn:

$$m_1 \cdot m_2 = -1$$

Eine Gerade mit Steigung $2$ hat als Senkrechte eine Gerade mit Steigung $-\dfrac{1}{2}$. Diese Beziehung lernst du in höheren Klassen im Detail. Sie ist die Brücke zwischen Geometrie und Algebra.

Beispiel:

Beispiel 5: Konstruktion kontrollieren

Du hast eine Senkrechte konstruiert und möchtest überprüfen, ob sie wirklich senkrecht ist. Dir stehen Geodreieck, Zirkel und Lineal zur Verfügung.

Aufgabe: Beschreibe drei verschiedene Methoden zur Kontrolle der Konstruktion.

Lösung:

Methode 1 – Geodreieck: Lege das Geodreieck so an die Gerade $g$, dass die $0°$-Linie auf $g$ liegt. Prüfe, ob die konstruierte Senkrechte $s$ entlang der $90°$-Markierung verläuft. Abweichungen bis $\pm 1°$ sind durch Zeichenungenauigkeit normal.

Methode 2 – Zirkelprobe: Wähle zwei Punkte $X$ und $Y$ auf $s$, gleich weit von $g$ entfernt. Setze den Zirkel in einen beliebigen Punkt $Q$ auf $g$ ein. Miss die Abstände $|QX|$ und $|QY|$. Nur wenn $s$ senkrecht zu $g$ steht, sind diese gleich.

Methode 3 – Vierfach-Kontrolle: Beim Schnitt von $s$ und $g$ entstehen vier Winkel. Miss alle vier mit dem Geodreieck. Sind alle genau $90°$, ist die Konstruktion korrekt.

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben der Reihe nach. Die Schwierigkeit steigt allmählich an. Die Lösungen findest du am Ende.

Aufgabe 1: Zeichne eine Gerade $g$ und einen Punkt $P$ auf $g$. Konstruiere mit Zirkel und Lineal die Senkrechte zu $g$ durch $P$.

Aufgabe 2: Zeichne eine Gerade $g$ und einen Punkt $P$ neben $g$. Fälle das Lot von $P$ auf $g$. Markiere den Fusspunkt $F$.

Aufgabe 3: Eine Gerade $g$ verläuft durch $A(0|1)$ und $B(4|1)$. Ein Punkt $P(2|6)$ liegt oberhalb. Bestimme rechnerisch den Fusspunkt $F$ und den Abstand $d$.

Aufgabe 4: Eine Gerade $h$ verläuft durch $C(2|0)$ und $D(2|7)$. Der Punkt $Q(5|4)$ liegt rechts. Bestimme den Fusspunkt $F$ und den Abstand $d$.

Aufgabe 5: Zeichne ein Quadrat mit Seitenlänge $5$ cm. Konstruiere die beiden Diagonalen. Zeige mit Zirkel und Lineal, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.

Aufgabe 6: Zeichne ein Dreieck $ABC$ mit $|AB| = 6$ cm, $|BC| = 4$ cm und $|CA| = 5$ cm. Konstruiere alle drei Höhen $h_a$, $h_b$ und $h_c$. Schneiden sie sich in einem Punkt?

Aufgabe 7: Zeichne eine Gerade $g$ und drei Punkte $P_1$, $P_2$, $P_3$ neben $g$. Die Punkte liegen auf einer gemeinsamen Parallelen zu $g$ im Abstand $3$ cm. Konstruiere alle drei Lote. Was stellst du fest?

Aufgabe 8: Erkläre in eigenen Worten, warum es durch einen Punkt $P$ nur genau eine Senkrechte zu einer Geraden $g$ gibt. Nenne ein Gegenbeispiel, das zeigen würde, dass zwei verschiedene Senkrechten unmöglich sind.

Aufgabe 9: Zeichne eine Strecke $\overline{AB}$ der Länge $8$ cm. Konstruiere die Mittelsenkrechte. Wähle einen beliebigen Punkt $P$ auf der Mittelsenkrechten. Miss die Abstände $|PA|$ und $|PB|$. Was fällt dir auf?

Aufgabe 10: Ein rechteckiges Zimmer ist $4$ m lang und $3$ m breit. Du läufst von einer Ecke diagonal zur gegenüberliegenden Ecke. An welcher Stelle der langen Wand ist der Abstand deines Weges zur Wand am grössten? Skizziere die Situation und bestimme den grössten Abstand.

Das Wichtigste in Kürze

Eine Senkrechte schneidet eine Gerade im rechten Winkel von $90°$. Das Symbol ist $\perp$. Durch jeden Punkt existiert genau eine Senkrechte zu einer gegebenen Geraden. Diese Eindeutigkeit macht die Senkrechte zu einem zentralen Werkzeug der Geometrie.

Bei der Konstruktion unterscheidest du zwei Fälle. Liegt der Punkt auf der Geraden, errichtest du die Senkrechte mit zwei gleich grossen Kreisbögen. Liegt der Punkt daneben, fällst du das Lot mit einem grossen Ausgangskreis und zwei Hilfsbögen.

Der Fusspunkt des Lots markiert den kürzesten Abstand zur Geraden. Das Prinzip beruht auf der Symmetrie gleich grosser Kreisbögen. Es nutzt die Eigenschaft der Mittelsenkrechten: Alle Punkte der Mittelsenkrechten haben von beiden Endpunkten denselben Abstand.

❓ Frage:

Wie gross ist der Winkel zwischen einer Geraden und ihrer Senkrechten?

Lösung anzeigen

Der Winkel beträgt genau $90°$ (rechter Winkel). Das ist die Definition der Senkrechten: Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn sie sich im rechten Winkel schneiden.

❓ Frage:

Der Punkt $P(4|7)$ liegt oberhalb einer horizontalen Geraden $g$ mit $y = 3$. Welche Koordinaten hat der Fusspunkt $F$ des Lots?

Lösung anzeigen

$F(4|3)$. Der Fusspunkt hat dieselbe $x$-Koordinate wie $P$, weil das Lot zu einer waagrechten Geraden vertikal verläuft. Die $y$-Koordinate ist $3$, weil $F$ auf $g$ liegt.

❓ Frage:

Warum muss bei der Konstruktion die Zirkelöffnung zwischen den Bögen von $A$ und $B$ gleich bleiben?

Lösung anzeigen

Nur bei gleicher Öffnung liegt der Schnittpunkt $S$ gleich weit von $A$ und $B$ entfernt. Dadurch liegt $S$ auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$. Diese steht automatisch senkrecht auf $g$.

❓ Frage:

Du möchtest in einem Dreieck $ABC$ die Höhe $h_c$ einzeichnen. Welche Konstruktion brauchst du: a) Senkrechte im Punkt errichten b) Lot fällen c) Mittelsenkrechte d) Winkelhalbierende

Lösung anzeigen

Richtig ist b) Lot fällen. Die Höhe $h_c$ geht vom Punkt $C$ (neben der Seite $c$) senkrecht auf die Seite $c$. Das ist genau die Konstruktion “Lot fällen” aus Fall 2.

❓ Frage:

Wie viele Senkrechten zu einer Geraden $g$ kann man durch einen bestimmten Punkt $P$ zeichnen?

Lösung anzeigen

Genau eine. Durch jeden Punkt – egal ob auf $g$ oder daneben – gibt es immer genau eine Senkrechte zu $g$. Diese Eindeutigkeit ist eine der wichtigsten Eigenschaften.

Ausblick

Die Senkrechte öffnet dir die Tür zu vielen weiteren geometrischen Themen. Im nächsten Schritt lernst du die Mittelsenkrechte einer Strecke und ihre Rolle bei der Konstruktion des Umkreismittelpunkts eines Dreiecks. Daran schliessen die besonderen Linien im Dreieck an: Höhen, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende.

In höheren Klassen wirst du die Senkrechte auch algebraisch beschreiben. Im Koordinatensystem lassen sich Senkrechte über ihre Steigungen erkennen. In der Vektorrechnung entspricht das dem Skalarprodukt. So wird aus einer geometrischen Konstruktion eine präzise Rechenregel.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1: Setze den Zirkel in $P$. Zeichne einen Bogen, der $g$ links und rechts schneidet. Es entstehen $A$ und $B$. Mit grösserer Öffnung: Zeichne von $A$ und $B$ aus zwei gleich grosse Bögen, die sich oberhalb schneiden. Der Schnittpunkt ist $S$. Die Gerade $PS$ ist die Senkrechte.

Lösung zu Aufgabe 2: Setze den Zirkel in $P$. Öffne ihn so gross, dass der Kreis $g$ in zwei Punkten schneidet. Es entstehen $A$ und $B$. Mit gleicher Öffnung: Zeichne von $A$ und $B$ aus zwei Bögen auf der anderen Seite. Sie schneiden sich in $S$. Die Gerade $PS$ schneidet $g$ im Fusspunkt $F$.

Lösung zu Aufgabe 3: Die Gerade $g$ ist horizontal, denn $A$ und $B$ haben $y = 1$. Das Lot von $P(2|6)$ ist vertikal. Fusspunkt: $F(2|1)$. Abstand:

$$d = |6 - 1| = 5$$

Lösung zu Aufgabe 4: Die Gerade $h$ ist vertikal, denn $C$ und $D$ haben $x = 2$. Das Lot von $Q(5|4)$ ist horizontal. Fusspunkt: $F(2|4)$. Abstand:

$$d = |5 - 2| = 3$$

Lösung zu Aufgabe 5: Zeichne das Quadrat $ABCD$ mit $|AB| = 5$ cm. Zeichne die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$. Sie schneiden sich im Mittelpunkt $M$. Setze den Zirkel in $A$ und markiere einen Punkt $X$ auf $\overline{AC}$. Setze in $C$ und miss denselben Abstand. Beide Strecken sind gleich lang. Mit der Zirkelprobe aus Beispiel 5 zeigst du: Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Lösung zu Aufgabe 6: Konstruiere jeweils das Lot von der Ecke zur gegenüberliegenden Seite. Für $h_c$: Lot von $C$ auf die Gerade durch $A$ und $B$. Analog $h_a$ und $h_b$. Alle drei Höhen schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt. Diese Eigenschaft gilt für jedes Dreieck.

Lösung zu Aufgabe 7: Alle drei Lote verlaufen parallel zueinander. Sie haben dieselbe Richtung (senkrecht zu $g$) und alle die Länge $3$ cm. Das zeigt: Lote auf dieselbe Gerade aus parallelen Ausgangspunkten sind selbst parallel und gleich lang.

Lösung zu Aufgabe 8: Angenommen, es gäbe zwei verschiedene Senkrechten $s_1$ und $s_2$ durch $P$ zur Geraden $g$. Beide bilden mit $g$ einen Winkel von $90°$. Dann wäre der Winkel zwischen $s_1$ und $s_2$ gleich $0°$. Sie wären also identisch – ein Widerspruch zur Annahme. Deshalb gibt es nur eine Senkrechte.

Lösung zu Aufgabe 9: Die Abstände $|PA|$ und $|PB|$ sind gleich. Dies ist die definierende Eigenschaft der Mittelsenkrechten: Jeder Punkt der Mittelsenkrechten hat von beiden Endpunkten denselben Abstand. Miss nach – die Abstände stimmen immer überein, unabhängig davon, welchen Punkt $P$ auf der Mittelsenkrechten du wählst.

Lösung zu Aufgabe 10: Skizziere das Rechteck mit Ecken $A(0|0)$, $B(4|0)$, $C(4|3)$ und $D(0|3)$. Du läufst diagonal von $A$ nach $C$. Die lange Wand ist die Strecke $\overline{AB}$ auf der $x$-Achse. Der Abstand deines Weges (der Diagonalen) zur Wand ist der senkrechte Abstand vom Diagonalenpunkt zur $x$-Achse. Dieser wächst gleichmässig von $0$ bis zum Endpunkt $C(4|3)$. Der grösste Abstand ist also $3$ m und wird am Ende des Weges erreicht.

Verwandte Themen

• Die Mittelsenkrechte verstehen und konstruieren
• Die Winkelhalbierende verstehen und konstruieren
• Abstände in der Geometrie – Punkt, Gerade, Parallele

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport