Körper - Baupläne und Würfelgebäude

Darum geht's

Stell dir vor, du baust mit Bauklötzen eine kleine Stadt. Du stapelst Würfel aufeinander und nebeneinander. Dein Freund will dasselbe Gebäude bauen, aber er sitzt in einem anderen Zimmer. Wie erklärst du ihm, wo jeder Würfel hingehört?

Genau dafür gibt es Baupläne. Sie zeigen von oben, wie viele Würfel an welcher Stelle stehen. Mit einem guten Bauplan kann jeder dein Gebäude nachbauen – auch ohne es je gesehen zu haben. Gleichzeitig trainierst du damit das räumliche Denken. Das ist eine Fähigkeit, die Architekten, Ingenieure und Designerinnen täglich brauchen.

Eine kleine Zeitreise

Menschen haben schon immer gebaut. Und schon sehr früh erkannten sie: Wer bauen will, braucht einen Plan.

Die ersten Baupläne der Geschichte

Die ältesten bekannten Baupläne stammen aus dem Alten Ägypten. Auf Papyrusrollen zeichneten Schreiber die Grundrisse von Tempeln und Palästen. Diese Risse zeigten die Lage der Räume von oben – ähnlich wie heute ein Bauplan die Würfel von oben zeigt. Der älteste erhaltene Architekturplan der Welt ist der sogenannte «Turin-Papyrus» aus dem 13. Jahrhundert v. Chr. Er zeigt einen Goldminenplan – mit Massstab!

Vitruvius und die drei Ansichten

Der römische Architekt und Ingenieur Vitruvius lebte im 1. Jahrhundert v. Chr. In seinem Werk «De architectura» beschrieb er erstmals systematisch, wie man Gebäude in Plänen darstellt. Er unterschied zwischen drei Darstellungsarten: die Ansicht von vorne, die Ansicht von der Seite und den Grundriss (also die Ansicht von oben). Das klingt bekannt? Genau – diese drei Perspektiven lernst du heute in der Mathematik.

Das Mittelalter und die Baumeister

Mittelalterliche Baumeister errichteten riesige Kathedralen ohne Computer und ohne moderne Technik. Sie nutzten Schablonen und Grundrisspläne, die sie auf Pergament oder sogar direkt auf den Steinboden zeichneten. Das Strassburger Münster wurde nach Plänen gebaut, die noch heute erhalten sind. Diese Pläne zeigen Ansichten der Türme und Querschnitte durch das Gebäude.

Die Renaissance und die technische Zeichnung

In der Renaissance entwickelten Künstler und Ingenieure wie Leonardo da Vinci die technische Zeichnung. Da Vinci zeichnete Maschinen, Gebäude und anatomische Strukturen aus mehreren Richtungen gleichzeitig. Er verstand: Eine einzige Ansicht reicht nicht. Erst mehrere Ansichten zusammen zeigen das vollständige Objekt.

Heute: Vom Papier zum Bildschirm

Heute erstellen Architektinnen und Ingenieure ihre Pläne am Computer. Programme wie CAD (Computer Aided Design) erzeugen automatisch alle Ansichten aus einem 3D-Modell. Das Grundprinzip ist dasselbe wie bei deinen Würfelgebäuden: Du beschreibst einen dreidimensionalen Körper durch mehrere zweidimensionale Ansichten.

Und in Videospielen wie Minecraft? Auch dort baust du mit Würfeln. Die «Baupläne» teilst du mit anderen Spielern als Screenshots von oben, von vorne und von der Seite.

Die Grundlagen

Bevor du mit Bauplänen arbeitest, musst du die wichtigsten Begriffe kennen.

Definition

Ein Würfelgebäude ist eine dreidimensionale Figur aus gleich grossen Einheitswürfeln. Die Würfel stehen auf einer regelmässigen Grundfläche. Benachbarte Würfel berühren sich immer an einer vollständigen Seitenfläche – nie nur an einer Kante oder einer Ecke.

Ein Bauplan ist die Ansicht des Würfelgebäudes von oben (Draufsicht). Er zeigt ein Raster. Jedes Feld des Rasters entspricht einer Position auf der Grundfläche. Die Zahl in einem Feld gibt an, wie viele Würfel an dieser Stelle übereinander gestapelt sind. Ein leeres Feld oder eine $0$ bedeutet: An dieser Stelle steht kein Würfel.

Die vier Ansichten im Überblick

Ein Würfelgebäude kann aus vier verschiedenen Richtungen betrachtet werden. Jede Richtung liefert ein anderes Bild:

Die Draufsicht (auch Vogelperspektive) zeigt das Gebäude von oben. Du siehst nur die obersten Würfel jeder Säule. Die Draufsicht entspricht dem Bauplan, enthält aber keine Höhenzahlen – sie zeigt nur die Umrisse.

Die Vorderansicht zeigt das Gebäude von vorne. Du siehst, wie hoch das Gebäude an jeder Stelle der Vorderreihe ist. Würfel, die weiter hinten stehen, können verdeckt sein.

Die Seitenansicht zeigt das Gebäude von rechts oder von links. Sie verrät, wie tief das Gebäude ist und welche Höhen es von der Seite zeigt.

Die Rückansicht zeigt das Gebäude von hinten. Sie ist häufig das gespiegelte Bild der Vorderansicht – aber nicht immer.

Wichtige Konvention: Im Bauplan gilt: Die untere Kante des Rasters ist die Vorderseite. Die linke Kante ist die linke Seite. Das hilft dir, Bauplan und Ansichten korrekt zuzuordnen.

Die Kernmethode

Zwei Aufgaben begegnen dir bei Würfelgebäuden immer wieder. Erstens: Du hast einen Bauplan und sollst eine Ansicht zeichnen. Zweitens: Du hast Ansichten und sollst den Bauplan rekonstruieren.

Definition

Um eine Ansicht aus dem Bauplan zu erstellen, gehe so vor:

Für die Vorderansicht: Betrachte die unterste Zeile im Bauplan. An jeder Position zeichnest du so viele Würfel übereinander, wie die Zahl angibt. Wenn eine hintere Säule höher ist als die vordere, aber von vorne sichtbar wäre, musst du entscheiden, was sichtbar ist. Grundregel: Du zeichnest das, was du von dieser Seite tatsächlich sehen würdest.

Für die Seitenansicht: Betrachte die rechte (oder linke) Spalte des Bauplans. An jeder Position zeichnest du so viele Würfel übereinander, wie dort steht.

Für die Draufsicht: Zeichne das Raster nach. Markiere alle Felder, in denen mindestens ein Würfel steht.

Um den Bauplan aus Ansichten zu rekonstruieren, brauchst du mindestens die Draufsicht und eine weitere Ansicht. Die Draufsicht zeigt dir, wo überhaupt Würfel stehen. Die Vorder- und Seitenansicht zeigen dir die möglichen Höhen.

Würfel zählen: Die Gesamtzahl der Würfel erhältst du, indem du alle Zahlen im Bauplan addierst. Jede Zahl steht für eine Säule, und alle Würfel dieser Säule werden einzeln gezählt.

Beispiel:

Beispiel 1: Würfel zählen und Bauplan lesen

Aufgabe: Gegeben ist folgender Bauplan. Wie viele Würfel enthält das Gebäude?

2	1	3
1	2	1

Lösung:

Addiere alle Zahlen im Bauplan der Reihe nach:

$2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 1 = 10$

Das Gebäude besteht aus 10 Würfeln.

Lies den Bauplan so: In der hinteren Reihe stehen von links nach rechts Säulen mit 2, 1 und 3 Würfeln. In der vorderen Reihe stehen Säulen mit 1, 2 und 1 Würfel. Der höchste Turm steht hinten rechts mit 3 Würfeln übereinander.

Kontrolle: Das Gebäude ist $3 \times 2$ Felder gross. Es hat 6 Säulen. Die Summe aller Würfel ist $10$.

Beispiel:

Beispiel 2: Vorderansicht zeichnen

Aufgabe: Zeichne die Vorderansicht zu folgendem Bauplan. Die Vorderseite ist die untere Reihe.

1	3
2	1

Lösung:

Die Vorderansicht zeigt die untere Reihe des Bauplans – das ist die Reihe, die dir am nächsten ist.

Von links nach rechts:

• Links: $2$ Würfel übereinander
• Rechts: $1$ Würfel

Die Vorderansicht sieht so aus:

[X] [X][X] Links ein Turm aus 2 Würfeln, rechts ein einzelner Würfel.

Wichtig: Die obere Reihe des Bauplans (mit den Zahlen 1 und 3) spielt für die Vorderansicht keine Rolle, solange die vorderen Würfel die hinteren verdecken. Die hinteren Säulen sind von vorne nicht sichtbar, wenn sie gleich hoch oder niedriger sind.

Das Gebäude hat von vorne also eine Breite von 2 Würfeln und eine maximale Höhe von 2 Würfeln.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Arbeiten mit Bauplänen und Ansichten passieren immer wieder ähnliche Fehler. Hier sind die häufigsten:

Achtung

Verdeckte Würfel vergessen: Wenn du eine Ansicht zeichnest, zeichnest du nur, was du von dieser Seite sehen kannst. Steht vorne eine Säule mit 3 Würfeln und dahinter eine Säule mit 1 Würfel, siehst du von vorne nur die 3 Würfel. Den 1 Würfel dahinter siehst du nicht. Viele Schülerinnen und Schüler zeichnen fälschlicherweise beide Säulen ein.

Achtung

Orientierung des Bauplans drehen: Im Bauplan ist die untere Zeile die Vorderseite. Drehe den Bauplan nicht versehentlich. Was im Bauplan links ist, muss auch in der Vorderansicht links sein. Ein häufiger Fehler: Man zeichnet die Vorderansicht spiegelverkehrt, weil man den Bauplan gedanklich dreht.

Achtung

Zu wenige Ansichten verwenden: Eine einzige Ansicht reicht nicht, um ein Würfelgebäude eindeutig zu beschreiben. Aus der Vorderansicht allein weisst du nicht, wie tief das Gebäude ist. Du brauchst immer mindestens zwei verschiedene Ansichten – oder noch besser: den Bauplan zusammen mit einer Ansicht.

Achtung

Säulen statt einzelne Würfel zählen: Der Bauplan zeigt Säulen, keine einzelnen Würfel. Die Zahl im Feld ist die Anzahl der Würfel in der Säule. Wenn du alle Würfel zählen willst, musst du alle Zahlen addieren – nicht die Felder zählen.

Beispiel:

Beispiel 3: Seitenansicht bestimmen

Aufgabe: Gegeben ist folgender Bauplan. Zeichne die rechte Seitenansicht.

2	1	3
1	4	2

Lösung:

Die rechte Seitenansicht zeigt die rechte Spalte des Bauplans. Das ist die Spalte mit den Zahlen 3 (hinten rechts) und 2 (vorne rechts).

Von vorne nach hinten (also von unten nach oben im Bauplan):

• Vordere Position: $2$ Würfel
• Hintere Position: $3$ Würfel

Du schaust von rechts. Du siehst die vordere Spalte zuerst. Die hintere Säule (3 Würfel) ist höher als die vordere (2 Würfel). Also ist von der Seite der obere Teil der hinteren Säule sichtbar.

Die rechte Seitenansicht zeigt:

• Von vorne: 2 Würfel hoch
• Dahinter: noch 1 Würfel mehr (da 3 − 2 = 1)

[X] [X][X] [X][X] Das ergibt eine Gesamtbreite von 2 Feldern (vorne und hinten) und eine Höhe von 3 Würfeln.

Beispiel:

Beispiel 4: Bauplan aus Ansichten rekonstruieren

Aufgabe: Du kennst die Vorderansicht und die rechte Seitenansicht eines $2 \times 2$-Würfelgebäudes. Vorderansicht (von links nach rechts): links 2 Würfel, rechts 3 Würfel. Rechte Seitenansicht (von vorne nach hinten): vorne 3 Würfel, hinten 1 Würfel. Erstelle den Bauplan.

Lösung:

Schritt 1: Das Grundraster ist $2 \times 2$.

Schritt 2: Aus der Vorderansicht weisst du: Links maximal 2 Würfel, rechts maximal 3 Würfel. Das gilt für die vordere Reihe.

Schritt 3: Aus der Seitenansicht weisst du: Vorne maximal 3 Würfel, hinten maximal 1 Würfel. Das gilt für die rechte Spalte.

Schritt 4: Die hintere rechte Ecke hat maximal $1$ Würfel (aus der Seitenansicht). Die vordere rechte Ecke hat maximal $3$ Würfel. Die vordere linke Ecke hat maximal $2$ Würfel (aus der Vorderansicht).

Ein möglicher Bauplan:

2	1
2	3

Probe: Vorderansicht: links $2$, rechts $3$. ✓ Rechte Seitenansicht: vorne $3$, hinten $1$. ✓

Vertiefung

Wenn du den Bauplan und die drei Ansichten sicher beherrschst, kannst du tiefer in das Thema einsteigen. Dabei begegnest du zwei wichtigen Konzepten: der Mehrdeutigkeit von Ansichten und dem Zusammenhang mit Netzen von Körpern.

Mehrdeutige Baupläne

Manchmal passen mehrere verschiedene Baupläne zu denselben Ansichten. Das ist keine Fehler – es ist eine mathematische Tatsache. Wenn du nur Vorder- und Seitenansicht kennst, kann das Innere des Gebäudes unterschiedlich sein. Deshalb ist der Bauplan präziser als eine Kombination von Ansichten.

Definition

Zu gegebenen Ansichten kann es mehrere passende Würfelgebäude geben. Das maximale Würfelgebäude hat an jeder Position so viele Würfel wie möglich, ohne dass eine der Ansichten widersprochen wird. Das minimale Würfelgebäude hat an jeder Position so wenige Würfel wie nötig, damit alle Ansichten noch stimmen.

Die Differenz zwischen der Würfelzahl des maximalen und des minimalen Gebäudes zeigt, wie «mehrdeutig» die Ansichten sind.

Verbindung zu Netzen

Ein Würfel hat 6 Seitenflächen. Wenn du alle Flächen aufklappst, erhältst du ein Netz. Ein Würfelgebäude hat eine bestimmte Oberfläche aus sichtbaren Flächen. Die Anzahl der sichtbaren Flächen hängt davon ab, wie viele Würfel sich berühren.

Zwei Würfel nebeneinander: Beide verlieren je eine Seitenfläche an der Berührungsstelle. Statt $2 \times 6 = 12$ sichtbaren Flächen bleiben nur $12 - 2 = 10$ übrig.

Allgemeine Formel für die Oberfläche:

$\text{Oberfläche} = 6 \times n - 2 \times k$

Dabei ist $n$ die Anzahl der Würfel und $k$ die Anzahl der Berührungsflächen zwischen je zwei Würfeln.

Beispiel:

Beispiel 5: Oberfläche eines Würfelgebäudes berechnen

Aufgabe: Gegeben ist folgender Bauplan. Berechne die Oberfläche des Würfelgebäudes.

1	2
2	1

Lösung:

Schritt 1: Anzahl der Würfel bestimmen. $1 + 2 + 2 + 1 = 6 \text{ Würfel}$

Schritt 2: Berührungsflächen zählen.

Jedes Paar von Würfeln, das nebeneinander oder übereinander liegt, teilt eine Fläche.

Horizontale Berührungen (nebeneinander in derselben Schicht):

• Vordere Reihe: Würfel links und rechts → $1$ Berührung in Schicht 1
• Hintere Reihe: Würfel links und rechts → $1$ Berührung in Schicht 1
• Zweite Schicht: nur die Säule mit $2$ Würfeln links vorne und rechts hinten

Vertikale Berührungen (übereinander):

• Vorne links hat $2$ Würfel: $1$ Berührung
• Hinten rechts hat $2$ Würfel: $1$ Berührung

Insgesamt: $k = 2 + 2 = 4$ Berührungsflächen. (Vorsicht: Genaueres Zählen ergibt hier: horizontale Berührungen in Schicht 1: vorne links–rechts (1), hinten links–rechts (1); vertikale Berührungen: vorne links (1), hinten rechts (1) → $k = 4$.)

Schritt 3: Oberfläche berechnen. $\text{Oberfläche} = 6 \times 6 - 2 \times 4 = 36 - 8 = 28 \text{ Einheitsquadrate}$

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne oben und arbeite dich nach unten vor.

Aufgabe 1 (leicht): Lies den folgenden Bauplan. Wie viele Würfel stehen insgesamt im Gebäude?

1	2
3	1

Aufgabe 2 (leicht): Schreibe alle Zahlen aus diesem Bauplan auf und berechne die Gesamtwürfelzahl.

2	1	2
1	3	1

Aufgabe 3 (leicht): Ein Würfelgebäude hat den Bauplan: vorne links $2$, vorne rechts $1$, hinten links $1$, hinten rechts $4$. Zeichne den Bauplan als Raster.

Aufgabe 4 (mittel): Gegeben ist folgender Bauplan. Zeichne die Vorderansicht.

3	1
2	4

Aufgabe 5 (mittel): Gegeben ist folgender Bauplan. Zeichne die rechte Seitenansicht.

1	3
2	2

Aufgabe 6 (mittel): Ein Gebäude hat folgende Vorderansicht (von links nach rechts): $3, 1, 2$. Die Grundfläche ist $3 \times 1$ (eine Reihe, drei Spalten). Erstelle einen möglichen Bauplan.

Aufgabe 7 (schwer): Gegeben sind Vorderansicht und rechte Seitenansicht eines $2 \times 2$-Gebäudes. Vorderansicht: links $3$, rechts $2$. Seitenansicht: vorne $3$, hinten $1$. Erstelle einen möglichen Bauplan und überprüfe ihn.

Aufgabe 8 (schwer): Berechne die Oberfläche des Gebäudes aus Aufgabe 1.

Aufgabe 9 (schwer): Zwei verschiedene Baupläne sollen dieselbe Vorderansicht ergeben (links $2$, rechts $1$) und dieselbe rechte Seitenansicht (vorne $2$, hinten $2$). Das Grundraster ist $2 \times 2$. Finde zwei verschiedene Baupläne, die dazu passen.

Aufgabe 10 (sehr schwer): Ein $3 \times 3$-Bauplan hat folgende Eigenschaften: Alle Zahlen sind verschieden. Die Zahlen gehen von $1$ bis $9$. Die Summe jeder Zeile beträgt $15$. Die Summe jeder Spalte beträgt $15$. Wie viele Würfel hat das Gebäude insgesamt?

Das Wichtigste in Kürze

Ein Würfelgebäude besteht aus gleich grossen Einheitswürfeln. Der Bauplan zeigt das Gebäude von oben. Jede Zahl im Raster gibt an, wie viele Würfel an dieser Stelle übereinander stehen.

Die Gesamtzahl der Würfel erhältst du durch Addition aller Zahlen im Bauplan.

Ein Würfelgebäude kann aus vier Richtungen betrachtet werden: von vorne, von der Seite, von hinten und von oben. Jede Ansicht zeigt nur, was von dieser Seite sichtbar ist. Verdeckte Würfel werden nicht eingezeichnet.

Um den Bauplan aus Ansichten zu rekonstruieren, brauchst du mindestens zwei verschiedene Ansichten. Eine einzige Ansicht reicht nicht.

Mehrere verschiedene Baupläne können zu denselben Ansichten passen. Der Bauplan selbst ist die eindeutigste Beschreibung eines Würfelgebäudes.

❓ Frage: Ein Bauplan zeigt: obere Reihe $[2, 1, 3]$, untere Reihe $[1, 2, 1]$. Wie viele Würfel hat das Gebäude insgesamt?

Lösung anzeigen

Addiere alle Zahlen: $2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 1 = 10$ Würfel. Das Gebäude besteht aus 10 Einheitswürfeln.

❓ Frage: Du schaust von vorne auf ein Würfelgebäude. Die vordere Reihe im Bauplan zeigt $[1, 3, 2]$. Wie hoch ist das Gebäude in der Mitte aus dieser Ansicht?

Lösung anzeigen

In der Mitte stehen 3 Würfel übereinander. Das ist die höchste Stelle in der vorderen Reihe. Du siehst von vorne genau diese 3 Würfel als mittlere Säule.

❓ Frage: Warum reicht eine einzige Ansicht nicht aus, um einen Bauplan vollständig zu erstellen?

Lösung anzeigen

Eine einzelne Ansicht zeigt nur eine Seite des Gebäudes. Du siehst nicht, wie tief das Gebäude ist und was sich dahinter verbirgt. Du brauchst mindestens zwei verschiedene Ansichten – oder den Bauplan selbst – um alle Positionen und Höhen zu kennen.

❓ Frage: Ein Bauplan zeigt an einer Stelle die Zahl $4$. Was bedeutet das genau?

Lösung anzeigen

An dieser Position auf der Grundfläche stehen 4 Würfel übereinander. Es ist eine Säule aus 4 Einheitswürfeln. Die Zahl gibt immer die Anzahl der übereinander gestapelten Würfel an einer bestimmten Stelle an.

❓ Frage: Ein Gebäude hat 5 Würfel und 4 Berührungsflächen zwischen je zwei Würfeln. Wie gross ist die Oberfläche?

Lösung anzeigen

Mit der Formel $\text{Oberfläche} = 6 \times n - 2 \times k$ gilt: $6 \times 5 - 2 \times 4 = 30 - 8 = 22$ Einheitsquadrate.

Ausblick

Du hast gelernt, wie man Würfelgebäude mit Bauplänen beschreibt und aus verschiedenen Richtungen betrachtet. Diese Fähigkeit ist der erste Schritt in die Welt der dreidimensionalen Geometrie.

Im nächsten Schritt lernst du, Körper wie Quader, Zylinder und Pyramiden zu beschreiben. Du wirst Netze dieser Körper zeichnen und ihre Oberflächen und Volumina berechnen. Das räumliche Denken, das du hier trainiert hast, hilft dir dabei. Architektinnen, Ingenieure und Designerinnen nutzen genau diese Fähigkeiten täglich in ihrem Beruf.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1:

Bauplan:

1	2
3	1

Addition aller Zahlen: $1 + 2 + 3 + 1 = 7$

Das Gebäude besteht aus 7 Würfeln.

---

Lösung zu Aufgabe 2:

Bauplan:

2	1	2
1	3	1

Zahlen: $2, 1, 2, 1, 3, 1$

$2 + 1 + 2 + 1 + 3 + 1 = 10$

Das Gebäude besteht aus 10 Würfeln.

---

Lösung zu Aufgabe 3:

Lena beschreibt: vorne links $2$, vorne rechts $1$, hinten links $1$, hinten rechts $4$.

hinten links	hinten rechts
vorne links	vorne rechts

Mit Zahlen:

1	4
2	1

---

Lösung zu Aufgabe 4:

Bauplan:

3	1
2	4

Die Vorderansicht zeigt die untere Reihe: links $2$, rechts $4$.

[X] [X] [X] [X][X] [X][X] Links eine Säule mit 2 Würfeln, rechts eine Säule mit 4 Würfeln.

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Lösung zu Aufgabe 5:

Bauplan:

1	3
2	2

Die rechte Seitenansicht zeigt die rechte Spalte: vorne $2$, hinten $3$.

Du schaust von rechts. Vorne ist die untere Reihe. Die hintere Säule hat $3$ Würfel, die vordere $2$. Von der Seite siehst du:

[X] [X][X] [X][X] Von vorne (links im Bild): 2 Würfel. Dahinter (rechts im Bild): 3 Würfel, wobei der obere über die vordere Säule hinausragt.

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Lösung zu Aufgabe 6:

Die Grundfläche ist $3 \times 1$ (eine Zeile mit drei Feldern). Die Vorderansicht zeigt von links nach rechts: $3, 1, 2$.

Ein möglicher Bauplan (da es nur eine Reihe gibt, ist der Bauplan eindeutig):

3	1	2

Gesamtzahl der Würfel: $3 + 1 + 2 = 6$.

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Lösung zu Aufgabe 7:

Grundraster $2 \times 2$. Vorderansicht: links $3$, rechts $2$. Rechte Seitenansicht: vorne $3$, hinten $1$.

Aus der Vorderansicht: In der vorderen Reihe hat die linke Säule $3$ Würfel und die rechte $2$ Würfel.

Aus der Seitenansicht: In der rechten Spalte hat die vordere Säule $3$ Würfel und die hintere $1$ Würfel.

Das ergibt:

• Vorne links: $3$
• Vorne rechts: $3$ (aus Seitenansicht)
• Hinten links: kann $1, 2$ oder $3$ sein – wir wählen $1$ (minimal)
• Hinten rechts: $1$ (aus Seitenansicht)

Bauplan:

1	1
3	3

Probe: Vorderansicht: links $\max(3, 1) = 3$ ✓, rechts $\max(3, 1) = 3$ – aber die Aufgabe fordert rechts $2$. Korrektur: Vorne rechts muss $2$ sein (aus Vorderansicht). Also:

• Vorne rechts: $2$
• Hinten rechts: $1$ (aus Seitenansicht, da vorne rechts $2$ die hintere Säule verdeckt)

Bauplan:

1	1
3	2

Probe: Vorderansicht: links $3$, rechts $2$ ✓. Rechte Seitenansicht: vorne $2$, hinten $1$. Warte – Seitenansicht vorne soll $3$ sein. Dann muss vorne rechts $3$ sein.

Lösung: Vorne rechts $3$, hinten rechts $1$. Vorderansicht: links $3$, rechts $3$ – aber gefordert rechts $2$. Widerspruch! Die Angaben sind nicht gleichzeitig erfüllbar mit einem eindeutigen Bauplan. Ein möglicher Bauplan ist:

1	1
3	3

mit der Erkenntnis, dass die rechte Säule von vorne $3$ zeigt (nicht $2$). Die Aufgabe zeigt: Manchmal widersprechen sich Ansichten – dann muss man die Angaben nochmals prüfen.

---

Lösung zu Aufgabe 8:

Bauplan aus Aufgabe 1: $n = 7$ Würfel.

Berührungsflächen zählen:

• Vorne links ($3$ Würfel): $2$ vertikale Berührungen
• Hinten rechts: $0$ (nur $1$ Würfel)
• Hinten links und hinten rechts nebeneinander: $1$ horizontale Berührung
• Vorne links und vorne rechts nebeneinander: $1$ horizontale Berührung
• Vorne links und hinten links hintereinander: $1$ horizontale Berührung
• Vorne rechts und hinten rechts hintereinander: $1$ horizontale Berührung

Summe: $k = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6$

$\text{Oberfläche} = 6 \times 7 - 2 \times 6 = 42 - 12 = 30 \text{ Einheitsquadrate}$

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Lösung zu Aufgabe 9:

Gesucht: zwei Baupläne mit $2 \times 2$-Raster, Vorderansicht links $2$, rechts $1$, Seitenansicht vorne $2$, hinten $2$.

Bauplan A:

2	2
2	1

Vorderansicht: links $\max(2,2) = 2$ ✓, rechts $\max(1,2) = 2$ – nein, gefordert ist $1$.

Bauplan B: Vorne links $2$, vorne rechts $1$, hinten links $2$, hinten rechts $?$

Seitenansicht: vorne rechts $1$, hinten rechts $2$.

2	2
2	1

Probe Seitenansicht: vorne $\max(1,2) = 2$ ✓, hinten $\max(2,2) = 2$ ✓. Vorderansicht: links $\max(2,2) = 2$ ✓, rechts $\max(1,2) = 2$ – nicht $1$.

Korrektur: Vorne rechts $1$, hinten rechts $1$ wäre Seitenansicht rechts: vorne $1$, hinten $1$ – gefordert ist vorne $2$ und hinten $2$. Also muss links die Seitenansicht gelten.

Die linke Seitenansicht: vorne links $2$, hinten links $2$.

Bauplan A:

2	1
2	1

Bauplan B:

2	2
2	2

---

Lösung zu Aufgabe 10:

Ein $3 \times 3$-Bauplan mit den Zahlen $1$ bis $9$, wobei jede Zeilen- und Spaltensumme $15$ ergibt, ist das magische Quadrat der Ordnung 3. Die Gesamtsumme ist:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$

Das Gebäude hat insgesamt 45 Würfel.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport