Wachstumsvorgänge

Darum geht's

Sparguthaben mit Zinseszins, Bakterien auf einer Petrischale, Radioaktiver Zerfall, Abkühlung eines heissen Getränks, Ausbreitung eines Gerüchts: All das sind Wachstumsvorgänge — und sie folgen überraschend wenigen Grundmustern. Dieses Kapitel zeigt dir, wie du die drei wichtigsten Muster erkennst, mathematisch beschreibst und für Prognosen nutzt.

Wachstumsmodelle sind die klassische Anwendung der Exponentialfunktionen aus der vorangegangenen Lektion — hier werden sie zum Werkzeug für echte Sachfragen.

Worum geht es?

Ein Wachstumsvorgang beschreibt, wie sich eine Grösse $N(t)$ mit der Zeit $t$ verändert. Drei Grundtypen decken die allermeisten Situationen ab:

Lineares Wachstum. In gleichen Zeitabschnitten kommt dieselbe Menge dazu: $N(t) = N_0 + k \cdot t$. Beispiele: Taschengeld jede Woche, Wasserpegel bei konstantem Zufluss. Der Graph ist eine Gerade.

Exponentielles Wachstum. In gleichen Zeitabschnitten wächst die Grösse um denselben Faktor: $N(t) = N_0 \cdot q^t$ mit Wachstumsfaktor $q$. Bei $q > 1$ wächst die Grösse, bei $0 < q < 1$ nimmt sie ab (exponentieller Zerfall). Beispiele: Zinseszins, Bakterienwachstum, radioaktiver Zerfall, Lichtabsorption. Der Graph ist die charakteristische Exponentialkurve.

Beschränktes Wachstum. Die Grösse nähert sich einer Schranke $S$ an, kommt aber nie ganz hin: $N(t) = S - (S - N_0) \cdot q^t$ mit $0 < q < 1$. Die Differenz $S - N(t)$ fällt exponentiell. Beispiele: Abkühlung eines heissen Kaffees auf Raumtemperatur (Newtonsches Abkühlungsgesetz), die Ausbreitung einer Krankheit in einer abgeschlossenen Bevölkerung, das Wachstum eines Fisches auf seine Endgrösse.

Der Schlüssel zur Unterscheidung: Was ist in jedem Zeitintervall konstant — die absolute Zunahme ($\Delta N$), der Faktor ($\tfrac{N_\text{neu}}{N_\text{alt}}$) oder die Differenz zur Schranke? Diese Frage bestimmt das Modell.

Was du schon können solltest

Für dieses Kapitel brauchst du:

• den Funktionsbegriff und lineare Funktionen aus Funktionstypen,
• die Exponentialfunktion und Logarithmen (für das Lösen nach $t$),
• sicheres Rechnen mit Prozenten — besonders Prozente der Zunahme/Abnahme,
• Grundkenntnisse zu Zinseszinsen als Vorlage für exponentielles Wachstum.

Was du in diesem Kapitel lernst

Drei Lektionen für drei Modelle:

1. Lineares Wachstum — $N(t) = N_0 + k \cdot t$. Konstante Zunahme pro Zeiteinheit, Gerade als Graph, Standard für gleichmässige Prozesse.
2. Exponentielles Wachstum — $N(t) = N_0 \cdot q^t$. Konstanter Wachstumsfaktor, typisch für Zinseszins, Bevölkerungen, Zerfall. Umrechnung Prozent ⇆ Faktor ($p\,\%$ Wachstum ⇔ $q = 1 + \tfrac{p}{100}$).
3. Beschränktes Wachstum — $N(t) = S - (S - N_0) \cdot q^t$. Annäherung an eine Sättigungsgrenze, typisch für Abkühlung, Lernkurven, Marktsättigung.

In allen drei Lektionen lernst du, aus Sachtexten die Parameter zu extrahieren, die Gleichung aufzustellen und sowohl vorwärts (Wert zu gegebener Zeit) als auch rückwärts (Zeit zu gegebenem Wert) zu rechnen — letzteres ist der natürliche Einsatzort für Logarithmen.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Startwert ($N_0$) — Wert zum Zeitpunkt $t = 0$.
• Wachstumsrate ($k$) — konstante Zunahme pro Zeiteinheit bei linearem Wachstum.
• Wachstumsfaktor ($q$) — Multiplikator pro Zeiteinheit bei exponentiellem Wachstum. $q = 1 + p/100$ bei $p\,\%$ Zuwachs.
• Halbwertszeit — Zeit, nach der sich die Grösse halbiert hat (bei Zerfall, $q < 1$).
• Verdopplungszeit — Zeit, nach der sich die Grösse verdoppelt hat (bei Wachstum, $q > 1$).
• Schranke ($S$) — Grenzwert beim beschränkten Wachstum.

Häufige Denkfehler

Achtung

“Prozent” heisst bei Wachstum immer “von einer veränderlichen Grösse”. $5\,\%$ Wachstum pro Jahr ist nicht das Gleiche wie $5\,\%$ vom Startwert pro Jahr — nach zehn Jahren klaffen die Zahlen messbar auseinander. Zinseszins vs. Einfachzins.

1. ”$10\,\%$ Wachstum pro Jahr heisst in $10$ Jahren $100\,\%$.” Falsch. Bei exponentiellem Wachstum: $q = 1{,}10$, nach $10$ Jahren $q^{10} \approx 2{,}59$ — also $159\,\%$ Zuwachs. Der Unterschied kommt vom Zinseszins.
2. “Beschränktes Wachstum erreicht die Schranke.” Nie ganz. Es nähert sich ihr asymptotisch — $N(t) \to S$ für $t \to \infty$, aber jede endliche Zeit lässt noch eine Restdifferenz.
3. “Halbwertszeit bedeutet, dass nach der doppelten Zeit nichts mehr da ist.” Nein. Jede Halbwertszeit halbiert das, was gerade da ist. Nach $2$ Halbwertszeiten bleibt $\tfrac{1}{4}$, nach $3$ $\tfrac{1}{8}$ — mathematisch nie ganz null.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Wachstumsvorgänge gehören zu MA.3 – Grössen, Funktionen, Daten, 3. Zyklus:

• MA.3.C.2 – Sachsituationen mit dem passenden Wachstumsmodell beschreiben.
• MA.3.A.3 – Lineare und exponentielle Funktionen als Modelle einsetzen.
• MA.3.B.2 – Eigenschaften von Wachstumsvorgängen begründen (Konstanz von Zuwachs vs. Faktor).

Lineares Wachstum und einfache Zinseszinsrechnung gelten als Grundanspruch. Exponentieller Zerfall, beschränktes Wachstum und das Lösen nach der Zeit mittels Logarithmus gehören zur Erweiterung und sind im Gymnasium Standardstoff.

Die Themen im Überblick

• Lineares Wachstum: Konstante Veränderung
• Exponentielles Wachstum: Explosive Zunahme
• Beschränktes Wachstum: Wachstum mit Grenzen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport