Hyperbel zeichnen in 3 Schritten: Asymptoten, Punkte, Äste

Darum geht's

Eine Hyperbel sieht auf den ersten Blick wild aus: zwei Äste, die irgendwo im Nichts verschwinden. Zeichnen kannst du sie trotzdem mit einem festen Ablauf aus drei Schritten. Hier am Beispiel $f(x) = \dfrac{4}{x-2} + 1$, mit Probe und den drei häufigsten Fehlern. Am Ende der Seite findest du das Arbeitsblatt mit weiteren Aufgaben als PDF.

Die Idee: zwei Äste, zwei Asymptoten

Die Grundform $f(x) = \dfrac{1}{x}$ hat zwei Äste. Sie kommen der $x$-Achse und der $y$-Achse immer näher, berühren sie aber nie. Solche Linien heissen Asymptoten. Wie die Grundform aufgebaut ist, erklärt der Artikel zur Hyperbelfunktion.

Verschiebst du die Hyperbel, wandern die Asymptoten mit:

Definition

$$f(x) = \frac{a}{x-b} + c$$

• senkrechte Asymptote: $x = b$
• waagrechte Asymptote: $y = c$
• Zentrum, der Schnittpunkt der Asymptoten: $Z(b \mid c)$

Schritt 1: Nenner null setzen

Durch $0$ teilen geht nicht. Wo der Nenner $0$ wird, hat $f$ keinen Funktionswert. Dort liegt die senkrechte Asymptote.

Senkrechte Asymptote bestimmen

Bei $f(x) = \dfrac{4}{x-2} + 1$ ist der Nenner $x - 2$:

$$x - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2$$

Die senkrechte Asymptote ist $x = 2$. Achte auf das Vorzeichen: Aus $x - 2$ wird $x = 2$, nicht $x = -2$.

Schritt 2: Hinten ablesen

Für grosse $x$ wird der Bruch $\dfrac{4}{x-2}$ winzig. Übrig bleibt die Zahl hinter dem Bruch:

$x$	$\dfrac{4}{x-2}$	$f(x)$
$102$	$0{,}04$	$1{,}04$
$1002$	$0{,}004$	$1{,}004$

Die Funktionswerte kommen der $1$ immer näher, erreichen sie aber nie. Die waagrechte Asymptote ist $y = 1$.

Schritt 3: Punkte setzen, Äste zeichnen

Zeichne zuerst beide Asymptoten gestrichelt ein. Berechne dann je drei Punkte links und rechts der senkrechten Asymptote:

$x$	$-2$	$0$	$1$	$3$	$4$	$6$
$f(x)$	$0$	$-1$	$-3$	$5$	$3$	$2$

Zum Beispiel ist $f(4) = \dfrac{4}{2} + 1 = 3$ und $f(0) = \dfrac{4}{-2} + 1 = -1$. Verbinde die Punkte auf jeder Seite zu einem Ast, der sich an die Asymptoten anschmiegt. Die beiden Äste verbindest du nie über die Asymptote hinweg.

Abb. 1: Die Hyperbel $f(x) = \dfrac{4}{x-2} + 1$ mit ihren Asymptoten $x = 2$ und $y = 1$. Die Punkte aus der Wertetabelle sind gelb markiert.

Probe: Punktsymmetrie

Jede Hyperbel ist punktsymmetrisch zu ihrem Zentrum, hier $Z(2 \mid 1)$. Zu jedem Punkt gibt es einen zweiten, der genau gegenüber von $Z$ liegt. Die Mitte von $(3 \mid 5)$ und $(1 \mid -3)$ ist:

$$\left(\frac{3 + 1}{2} \;\middle|\; \frac{5 + (-3)}{2}\right) = (2 \mid 1) = Z$$

Dasselbe gilt für $(4 \mid 3)$ und $(0 \mid -1)$ sowie für $(6 \mid 2)$ und $(-2 \mid 0)$. Die Wertetabelle stimmt.

Die 3 häufigsten Fehler

Achtung

Vorzeichen nicht gedreht. Aus $x - 2 = 0$ folgt nicht $x = -2$. Setz zur Kontrolle ein: $2 - 2 = 0$. Die Asymptote liegt bei $x = 2$.

Achtung

Die $+1$ vergessen. Die waagrechte Asymptote liegt nicht bei $y = 0$. Die Zahl hinter dem Bruch schiebt sie nach oben auf $y = 1$.

Achtung

Durch 0 geteilt. $f(2) = 4 : 0 + 1$ ergibt nicht $1$. Durch $0$ teilen geht nicht, bei $x = 2$ liegt kein Punkt.

Übungen

❓ Frage:

Bestimme die Asymptoten und das Zentrum von $f(x) = \dfrac{6}{x+3} - 2$.

Lösung anzeigen

Nenner null setzen: $x + 3 = 0$, also $x = -3$. Hinten steht $-2$, also $y = -2$. Das Zentrum ist $Z(-3 \mid -2)$.

Punkte zum Zeichnen: $(-6 \mid -4)$, $(-5 \mid -5)$, $(-4 \mid -8)$ links und $(-2 \mid 4)$, $(-1 \mid 1)$, $(0 \mid 0)$ rechts. Die Hyperbel geht durch den Nullpunkt.

❓ Frage:

Bei $f(x) = \dfrac{-3}{x+1} + 2$ ist $a$ negativ. Wo liegen die Äste, und wo ist die Nullstelle?

Lösung anzeigen

Die Asymptoten sind $x = -1$ und $y = 2$. Es gilt $f(0) = \dfrac{-3}{1} + 2 = -1$ und $f(-2) = \dfrac{-3}{-1} + 2 = 5$. Weil $a$ negativ ist, liegen die Äste links oben und rechts unten vom Zentrum $Z(-1 \mid 2)$.

Nullstelle: $\dfrac{-3}{x+1} + 2 = 0 \Rightarrow \dfrac{-3}{x+1} = -2 \Rightarrow x + 1 = \dfrac{3}{2} \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$.

❓ Frage:

Die Hyperbel $f(x) = \dfrac{a}{x-4} - 1$ geht durch $P(5 \mid 2)$. Bestimme $a$.

Lösung anzeigen

$P$ einsetzen: $2 = \dfrac{a}{5-4} - 1 = a - 1$, also $a = 3$ und $f(x) = \dfrac{3}{x-4} - 1$.

Probe: $f(7) = \dfrac{3}{3} - 1 = 0$. Die Hyperbel schneidet die $x$-Achse bei $x = 7$.

Das Wichtigste in Kürze

• Bei $f(x) = \dfrac{a}{x-b} + c$ liegt die senkrechte Asymptote bei $x = b$: Nenner null setzen.
• Die waagrechte Asymptote liegt bei $y = c$: die Zahl hinter dem Bruch.
• Je drei Punkte links und rechts der senkrechten Asymptote reichen für eine saubere Skizze.
• Probe: Punktepaare haben ihre Mitte im Zentrum $Z(b \mid c)$.

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