Zusammenhänge im Dreieck – Seiten, Winkel und besondere Linien

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Geometrie”
• Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken
• Besondere Dreiecke erkennen und verstehen
• Die Mittelsenkrechte verstehen und konstruieren

Darum geht's

Stell dir vor, du baust ein Gestell aus drei Stäben. Die Stäbe sollen ein stabiles Dreieck bilden. Du greifst drei Stäbe aus der Werkstatt – aber manche Kombinationen funktionieren nicht. Manchmal ist ein Stab zu kurz, um die anderen beiden zu verbinden.

Es gibt also Regeln dafür, welche drei Längen überhaupt ein Dreieck bilden können. Und wenn ein Dreieck existiert, dann hängen seine Seiten und Winkel auf vorhersagbare Weise zusammen. Wer diese Zusammenhänge kennt, kann Dreiecke analysieren, konstruieren und berechnen. Das öffnet die Tür zur gesamten ebenen Geometrie.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 7Kompetenzen

• MA.2.A.1.kGrundanspruchBegriffe Kongruenz(-abbildung), Basis, Kegel, Prisma, Pyramide, π
• MA.2.B.1.iGrundanspruchComputer zur Erforschung geometrischer Beziehungen nutzen (z.B. Umkreismittelpunkt bei verschiedenen Dreiecken)
• MA.2.C.3.hGrundanspruch
• MA.2.A.1.jBegriffe x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Einheitsstrecke, Mantelfläche, Prisma, Zylinder; Drei- und Vierecke nach Winkel, Parallelität, Diagonalen, Seitenlängen charakterisieren
• MA.2.A.1.lBegriffe Tetraeder, Raumdiagonale, Körperhöhe, Seitenhöhe, Kreissektor, Scheitel, Ähnlichkeit, Hypotenuse, Kathete, Tangente, Sehne; Körper durch Eigenschaften beschreiben
• MA.2.B.1.hBeim Erforschen geometrischer Beziehungen Vermutungen formulieren, überprüfen und allenfalls neue formulieren; auf Forschungsaufgaben einlassen
• MA.2.C.3.gKörper in der Vorstellung verändern und Ergebnisse beschreiben (z.B. Ecken eines Würfels abschleifen); Operationen im Kopf ausführen und Ergebnisse skizzieren

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Beschäftigung mit Dreiecken reicht weit zurück. Schon die alten Ägypter nutzten Dreiecke zum Vermessen von Feldern nach den jährlichen Nilüberschwemmungen. Mit einer Schnur, die an zwölf Knoten in gleichem Abstand markiert war, konnten sie rechte Winkel erzeugen. Das Verhältnis $3:4:5$ war dabei ihr Geheimrezept.

In der griechischen Antike erhob Euklid das Dreieck zum Grundbaustein der Geometrie. In seinem Werk “Die Elemente” – verfasst um $300$ v. Chr. – legte er die Grundlagen für das, was wir heute noch lernen. Er formulierte die ersten Sätze über Seiten und Winkel im Dreieck als streng bewiesene Aussagen.

Auch die Dreiecksungleichung war den Griechen bekannt. Euklid bewies sie in seinem ersten Buch. Allerdings fand sein Kollege Proklos diesen Beweis überflüssig. Er spottete, selbst ein Esel wisse, dass der direkte Weg zum Futter kürzer sei als der Umweg über einen dritten Punkt. Dennoch: In der Mathematik muss auch das Offensichtliche bewiesen werden.

Der Mathematiker Leonhard Euler entdeckte im $18$. Jahrhundert einen besonders eleganten Zusammenhang. Er zeigte, dass der Höhenschnittpunkt, der Schwerpunkt und der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks immer auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Diese Gerade trägt heute seinen Namen: die Eulersche Gerade.

Die Untersuchung der besonderen Linien im Dreieck – Höhen, Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende – wurde über Jahrhunderte verfeinert. Jede neue Entdeckung fügte dem Dreieck ein weiteres Geheimnis hinzu. Heute weiss man, dass jedes Dreieck Tausende besonderer Punkte besitzt. Die berühmte Datenbank “Encyclopedia of Triangle Centers” führt über $50\,000$ davon auf. Dreiecke sind also alles andere als langweilig.

Die Grundlagen

Bevor wir Zusammenhänge untersuchen, brauchen wir eine einheitliche Sprache. In der Mathematik werden Dreiecke immer gleich beschriftet.

Die Eckpunkte heissen $A$, $B$ und $C$ – gegen den Uhrzeigersinn. Die Seiten heissen $a$, $b$ und $c$. Dabei gilt eine wichtige Regel: Die Seite $a$ liegt gegenüber dem Eckpunkt $A$. Ebenso liegt $b$ gegenüber $B$ und $c$ gegenüber $C$.

Die Winkel werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet. Der Winkel bei $A$ heisst $\alpha$ (alpha), bei $B$ heisst er $\beta$ (beta), bei $C$ heisst er $\gamma$ (gamma).

Definition

Im Dreieck $ABC$ gilt:

• Eckpunkte: $A$, $B$, $C$ (gegen den Uhrzeigersinn)
• Seiten: $a = \overline{BC}$, $b = \overline{AC}$, $c = \overline{AB}$
• Winkel: $\alpha$ bei $A$, $\beta$ bei $B$, $\gamma$ bei $C$

Gegenüber-Regel: Seite und Winkel mit gleichem Buchstaben liegen sich gegenüber.

$$\text{Seite } a \text{ liegt gegenüber Winkel } \alpha$$

Diese Benennung ist kein Zufall. Sie macht Formeln übersichtlich und Kommunikation eindeutig. Wenn zwei Menschen über “Seite $b$” sprechen, meinen sie garantiert dasselbe.

Zusätzlich gilt in jedem Dreieck die Winkelsumme. Die drei Innenwinkel ergeben zusammen immer $180°$. Diese Regel haben wir in einem früheren Artikel kennengelernt. Sie ist ein ständiger Begleiter bei der Arbeit mit Dreiecken.

Die Kernmethode

Das wichtigste Werkzeug, um drei Längen auf ihre Dreieckstauglichkeit zu prüfen, ist die Dreiecksungleichung. Stell dir vor, du legst zwei Stäbe aneinander. Ihre Gesamtlänge ist die Summe. Der dritte Stab muss kürzer sein als diese Summe – sonst erreichen die ersten beiden nicht sein anderes Ende.

Definition

Drei Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ können nur dann ein Dreieck bilden, wenn gilt:

$$\begin{align*} a + b &> c \\ a + c &> b \\ b + c &> a \end{align*}$$

In Worten: Die Summe zweier Seiten muss immer grösser sein als die dritte Seite.

Prüfe also immer alle drei Kombinationen. Schon eine verletzte Ungleichung bedeutet: Kein Dreieck möglich.

Parallel dazu gilt der Seiten-Winkel-Zusammenhang. In jedem Dreieck hat die grössere Seite den grösseren gegenüberliegenden Winkel. Das ergibt intuitiv Sinn – eine längere Seite “öffnet” den gegenüberliegenden Winkel weiter.

Definition

In jedem Dreieck $ABC$ gilt:

$$a > b \iff \alpha > \beta$$

Der grösseren Seite liegt also stets der grössere Winkel gegenüber – und umgekehrt.

Diese Beziehung funktioniert in beide Richtungen. Wenn du weisst, welcher Winkel der grösste ist, dann kennst du auch die längste Seite. Beide Werkzeuge – Dreiecksungleichung und Seiten-Winkel-Beziehung – nutzt du laufend bei Konstruktionen und Berechnungen.

Beispiel:

Beispiel 1: Dreiecksungleichung prüfen

Gegeben sind drei Seitenlängen: $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 7 \, \text{cm}$, $c = 10 \, \text{cm}$.

Aufgabe: Kann ein Dreieck mit diesen Seiten existieren?

Lösung:

Prüfe alle drei Ungleichungen:

$$\begin{align*} a + b &> c \quad \Rightarrow \quad 5 + 7 = 12 > 10 \quad \checkmark \\ a + c &> b \quad \Rightarrow \quad 5 + 10 = 15 > 7 \quad \checkmark \\ b + c &> a \quad \Rightarrow \quad 7 + 10 = 17 > 5 \quad \checkmark \end{align*}$$

Alle drei Ungleichungen sind erfüllt. Ein Dreieck mit diesen Seitenlängen ist möglich.

Zur Kontrolle genügt oft ein Kurztrick: Prüfe, ob die Summe der beiden kürzeren Seiten grösser ist als die längste Seite. Hier: $5 + 7 = 12 > 10$. Passt.

Beispiel:

Beispiel 2: Seiten und Winkel zuordnen

In einem Dreieck gilt: $\alpha = 35°$, $\beta = 95°$, $\gamma = 50°$.

Aufgabe: Ordne die Seiten nach ihrer Länge – von der kürzesten zur längsten.

Lösung:

Zuerst prüfen wir die Winkelsumme als Kontrolle:

$$35° + 95° + 50° = 180° \quad \checkmark$$

Der grösste Winkel ist $\beta = 95°$. Die gegenüberliegende Seite $b$ ist daher die längste.

Sortiere die Winkel aufsteigend:

$$\alpha < \gamma < \beta \quad (35° < 50° < 95°)$$

Die Seiten folgen in gleicher Reihenfolge. Damit erhältst du:

$$a < c < b$$

Die kürzeste Seite ist $a$, die mittlere $c$, die längste $b$. Merke dir: Jedem Winkel folgt “sein” gleichbenannter Gegenspieler auf der Seitenskala.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Arbeiten mit Dreiecken entstehen immer wieder ähnliche Fehler. Wenn du sie kennst, umgehst du sie elegant.

Achtung

Stolperstein 1: Nur eine Dreiecksungleichung prüfen.

Viele Lernende prüfen nur, ob die beiden kürzeren Seiten zusammen länger sind als die längste. Das reicht mathematisch, aber nur, wenn du wirklich weisst, welche die längste Seite ist. Prüfe im Zweifel alle drei Kombinationen. So übersiehst du keinen Fall.

Achtung

Stolperstein 2: Gleichheitszeichen übersehen.

Bei $a + b = c$ entsteht kein Dreieck. Die drei Punkte liegen dann auf einer Geraden. Man spricht von einem “entarteten Dreieck”. Die Dreiecksungleichung verlangt echt grösser ($>$), nicht grösser-gleich ($\geq$).

Achtung

Stolperstein 3: Gegenüber-Regel verwechseln.

Die Seite $a$ liegt nicht am Eckpunkt $A$, sondern ihm gegenüber. Wer das verwechselt, bekommt bei Sinus- und Kosinussatz später falsche Ergebnisse. Merkhilfe: “Kleiner Buchstabe liegt gegenüber grossem Buchstaben.”

Achtung

Stolperstein 4: Höhe mit Seite verwechseln.

Die Höhe $h_c$ ist nicht die Seite $c$, sondern die senkrechte Strecke vom Eckpunkt $C$ auf die Seite $c$. Bei stumpfwinkligen Dreiecken kann ein Höhenfusspunkt sogar ausserhalb der Seite liegen. Das verwirrt, ist aber erlaubt.

Beispiel:

Beispiel 3: Fehlende Seitenlänge eingrenzen

Ein Dreieck hat die Seiten $a = 6 \, \text{cm}$ und $b = 9 \, \text{cm}$. Die dritte Seite $c$ ist unbekannt.

Aufgabe: Welche Werte kann $c$ annehmen?

Lösung:

Wende die Dreiecksungleichung auf alle drei Fälle an:

$$\begin{align*} a + b > c &\quad \Rightarrow \quad 6 + 9 > c \quad \Rightarrow \quad c < 15 \\ a + c > b &\quad \Rightarrow \quad 6 + c > 9 \quad \Rightarrow \quad c > 3 \\ b + c > a &\quad \Rightarrow \quad 9 + c > 6 \quad \Rightarrow \quad c > -3 \end{align*}$$

Die dritte Bedingung ist für jede positive Länge automatisch erfüllt. Entscheidend sind die ersten beiden.

Kombiniert ergibt sich:

$$3 \, \text{cm} < c < 15 \, \text{cm}$$

Die dritte Seite muss also echt grösser als $3 \, \text{cm}$ und echt kleiner als $15 \, \text{cm}$ sein. Bei $c = 3$ oder $c = 15$ entstünde ein entartetes Dreieck.

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – grösster Winkel finden

Ein Dreieck hat die Seitenlängen $a = 4 \, \text{cm}$, $b = 6 \, \text{cm}$, $c = 8 \, \text{cm}$.

Aufgabe: Welcher Winkel ist der grösste?

Lösung:

Prüfe kurz die Dreiecksungleichung: $4 + 6 = 10 > 8$. Passt.

Sortiere die Seiten aufsteigend:

$$a < b < c \quad (4 < 6 < 8)$$

Nach der Seiten-Winkel-Beziehung folgt:

$$\alpha < \beta < \gamma$$

Der grösste Winkel ist also $\gamma$ – denn er liegt der längsten Seite $c$ gegenüber.

Du kannst die Grösse sogar schätzen. Wäre $c$ gleich $4 + 6 = 10$, läge ein entartetes Dreieck mit $\gamma = 180°$ vor. Je näher $c$ an diese Grenze heranrückt, desto grösser wird $\gamma$. Bei $c = 8$ ist $\gamma$ bereits stumpf – tatsächlich etwa $104°$.

Vertiefung

Jedes Dreieck besitzt vier Arten besonderer Linien. Jede hat eine eigene Definition und einen eigenen Schnittpunkt. Zusammen bilden sie das Rückgrat der Dreiecksgeometrie.

Definition

In jedem Dreieck gibt es:

• Höhe $h_a$: Lot vom Eckpunkt $A$ auf die Seite $a$ (oder ihre Verlängerung).
• Seitenhalbierende $s_a$: Verbindet $A$ mit dem Mittelpunkt der Seite $a$.
• Mittelsenkrechte $m_a$: Steht senkrecht auf der Seite $a$ durch deren Mittelpunkt.
• Winkelhalbierende $w_\alpha$: Teilt den Winkel $\alpha$ in zwei gleich grosse Hälften.

Jede Art existiert dreimal – einmal pro Seite bzw. Eckpunkt. Die drei Linien einer Art schneiden sich stets in einem gemeinsamen Punkt.

Die vier gemeinsamen Schnittpunkte tragen eigene Namen:

• Drei Höhen schneiden sich im Höhenschnittpunkt $H$.
• Drei Seitenhalbierende schneiden sich im Schwerpunkt $S$. Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis $2:1$ (vom Eckpunkt aus gesehen).
• Drei Mittelsenkrechte schneiden sich im Umkreismittelpunkt $U$. Er ist von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt.
• Drei Winkelhalbierende schneiden sich im Inkreismittelpunkt $I$. Er ist von allen drei Seiten gleich weit entfernt.

Bei einem allgemeinen Dreieck sind $H$, $S$, $U$ und $I$ vier verschiedene Punkte. Nur beim gleichseitigen Dreieck fallen alle vier zusammen.

Besonders schön: Die Punkte $H$, $S$ und $U$ liegen in jedem Dreieck auf einer gemeinsamen Geraden, der Eulerschen Geraden. Der Schwerpunkt teilt diese Strecke im Verhältnis $1:2$ – zwischen $U$ und $H$.

Beispiel:

Beispiel 5: Schwerpunkt berechnen

Ein Dreieck hat die Eckpunkte $A(0 \mid 0)$, $B(6 \mid 0)$ und $C(3 \mid 6)$.

Aufgabe: Bestimme die Koordinaten des Schwerpunkts $S$.

Lösung:

Der Schwerpunkt ist der Durchschnitt der drei Eckpunkt-Koordinaten. Es gilt:

$$S = \left( \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3} \mid \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)$$

Setze die Werte ein:

$$\begin{align*} x_S &= \dfrac{0 + 6 + 3}{3} = \dfrac{9}{3} = 3 \\ y_S &= \dfrac{0 + 0 + 6}{3} = \dfrac{6}{3} = 2 \end{align*}$$

Der Schwerpunkt liegt also bei $S(3 \mid 2)$.

Zur Kontrolle: Die Seitenhalbierende von $C$ auf die Mitte der Strecke $AB$ geht durch $(3 \mid 0)$ und $(3 \mid 6)$. Das ist die senkrechte Linie $x = 3$. Der Schwerpunkt liegt auf dieser Linie – passt. Er teilt sie zudem im Verhältnis $2:1$ von $C$ aus: von $(3|6)$ nach $(3|0)$ sind es $6$ Einheiten, davon $4$ bis $(3|2)$ – also genau zwei Drittel. Stimmt.

Übungen

Arbeite die folgenden Aufgaben der Reihe nach durch. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Können die Seitenlängen $a = 3 \, \text{cm}$, $b = 4 \, \text{cm}$, $c = 5 \, \text{cm}$ ein Dreieck bilden?

Aufgabe 2: Gegeben: $a = 2 \, \text{cm}$, $b = 3 \, \text{cm}$, $c = 7 \, \text{cm}$. Ist ein Dreieck möglich?

Aufgabe 3: In einem Dreieck gilt $\alpha = 40°$, $\beta = 80°$. Wie gross ist $\gamma$? Und welche Seite ist die längste?

Aufgabe 4: Die Seiten $a = 5 \, \text{cm}$ und $b = 8 \, \text{cm}$ sind gegeben. Welche Werte kann $c$ annehmen?

Aufgabe 5: In einem Dreieck gilt $a = 7 \, \text{cm}$, $b = 10 \, \text{cm}$, $c = 4 \, \text{cm}$. Ordne die Winkel nach Grösse – vom kleinsten zum grössten.

Aufgabe 6: Welche Seite liegt dem Winkel $\gamma$ im Dreieck $ABC$ gegenüber?

Aufgabe 7: In welchem Punkt schneiden sich die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks? Welche besondere Eigenschaft hat dieser Punkt?

Aufgabe 8: Ein Dreieck hat die Eckpunkte $A(0 \mid 0)$, $B(9 \mid 0)$ und $C(3 \mid 6)$. Bestimme den Schwerpunkt.

Aufgabe 9: Begründe: In einem gleichseitigen Dreieck müssen alle drei Winkel gleich gross sein.

Aufgabe 10: Ein Dreieck hat zwei Seiten der Länge $a = 4 \, \text{cm}$ und $b = 4 \, \text{cm}$. Wie gross darf die dritte Seite $c$ höchstens sein? Was für ein Dreieck entsteht, wenn $c$ fast diese Maximallänge erreicht?

Das Wichtigste in Kürze

Im Dreieck sind Seiten und Winkel nach festen Regeln benannt. Gegenüberliegende Elemente tragen denselben Buchstaben – Seiten klein ($a, b, c$), Winkel griechisch ($\alpha, \beta, \gamma$).

Die Dreiecksungleichung bestimmt, ob drei Längen überhaupt ein Dreieck bilden können: Die Summe zweier Seiten muss grösser als die dritte sein.

Der Seiten-Winkel-Zusammenhang gilt in beide Richtungen: Längere Seiten haben grössere Gegenwinkel und umgekehrt. Vier besondere Linien strukturieren jedes Dreieck: Höhen, Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende. Jede Sorte trifft sich in einem gemeinsamen Punkt mit eigener Bedeutung.

❓ Frage:

Welche Seite liegt im Dreieck $ABC$ dem Winkel $\beta$ gegenüber?

Lösung anzeigen

Die Seite $b$ liegt dem Winkel $\beta$ gegenüber. Das folgt aus der Gegenüber-Regel: Kleiner Buchstabe gegenüber grossem Buchstaben.

❓ Frage:

Können die Seitenlängen $a = 2$, $b = 3$ und $c = 6$ ein Dreieck bilden?

Lösung anzeigen

Nein. Prüfung: $a + b = 2 + 3 = 5$, aber $c = 6$. Da $5 < 6$, ist die Dreiecksungleichung verletzt.

❓ Frage:

In welchem Punkt schneiden sich die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks?

Lösung anzeigen

Im Inkreismittelpunkt $I$. Dieser Punkt ist von allen drei Seiten gleich weit entfernt und bildet das Zentrum des Inkreises.

❓ Frage:

In welchem Verhältnis teilt der Schwerpunkt jede Seitenhalbierende?

Lösung anzeigen

Im Verhältnis $2:1$ – vom Eckpunkt aus gemessen. Zwei Drittel der Seitenhalbierenden liegen zwischen Eckpunkt und Schwerpunkt, ein Drittel zwischen Schwerpunkt und Seitenmitte.

❓ Frage:

In einem Dreieck gilt $a < b < c$. Welche Anordnung haben die gegenüberliegenden Winkel?

Lösung anzeigen

$\alpha < \beta < \gamma$. Nach der Seiten-Winkel-Beziehung liegt der grösseren Seite stets der grössere Winkel gegenüber.

Ausblick

Mit den Zusammenhängen im Dreieck hast du eine solide Basis für spannende Fortsetzungen gelegt. Im nächsten Schritt lernst du den Satz des Pythagoras kennen – das Juwel aller Dreiecksbeziehungen für rechtwinklige Dreiecke. Später folgen Kongruenzsätze, mit denen du Dreiecke eindeutig konstruieren kannst, und in der Oberstufe Sinus- und Kosinussatz, die Seiten und Winkel beliebiger Dreiecke direkt verknüpfen.

Lösungen

Lösung 1: Prüfe alle drei Ungleichungen: $3 + 4 = 7 > 5$, $3 + 5 = 8 > 4$, $4 + 5 = 9 > 3$. Alle erfüllt. Ja, ein Dreieck ist möglich. Es handelt sich sogar um das berühmte rechtwinklige $3$-$4$-$5$-Dreieck.

Lösung 2: Prüfe: $a + b = 2 + 3 = 5$. Das ist kleiner als $c = 7$. Die Dreiecksungleichung ist verletzt. Kein Dreieck möglich. Die beiden kurzen Seiten können die lange Seite nicht erreichen.

Lösung 3: Die Winkelsumme beträgt $180°$, also:

$$\gamma = 180° - 40° - 80° = 60°$$

Der grösste Winkel ist $\beta = 80°$. Die längste Seite liegt gegenüber – das ist Seite $b$.

Lösung 4: Wende die Dreiecksungleichung an:

$$\begin{align*} 5 + 8 &> c \quad \Rightarrow \quad c < 13 \\ 5 + c &> 8 \quad \Rightarrow \quad c > 3 \end{align*}$$

Ergebnis: $3 \, \text{cm} < c < 13 \, \text{cm}$. Die dritte Seite liegt echt zwischen $3$ und $13$ Zentimetern.

Lösung 5: Sortiere die Seiten: $c = 4 < a = 7 < b = 10$. Die gegenüberliegenden Winkel folgen in gleicher Reihenfolge. Damit: $\gamma < \alpha < \beta$. Der kleinste Winkel ist $\gamma$, der grösste $\beta$.

Lösung 6: Dem Winkel $\gamma$ liegt die Seite $c$ gegenüber. Das ist die Seite $\overline{AB}$, also die Verbindung zwischen den beiden Eckpunkten, die nicht $C$ sind.

Lösung 7: Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich im Umkreismittelpunkt $U$. Dieser Punkt ist von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt. Der gemeinsame Abstand ist der Umkreisradius. Zeichnet man um $U$ einen Kreis mit diesem Radius, gehen alle drei Eckpunkte durch.

Lösung 8: Der Schwerpunkt ist der Durchschnitt der Eckpunkt-Koordinaten:

$$\begin{align*} x_S &= \dfrac{0 + 9 + 3}{3} = \dfrac{12}{3} = 4 \\ y_S &= \dfrac{0 + 0 + 6}{3} = \dfrac{6}{3} = 2 \end{align*}$$

Der Schwerpunkt liegt bei $S(4 \mid 2)$.

Lösung 9: Im gleichseitigen Dreieck gilt $a = b = c$. Aus der Seiten-Winkel-Beziehung folgt: Gleiche Seiten haben gleiche Gegenwinkel. Daher gilt $\alpha = \beta = \gamma$. Mit der Winkelsumme $180°$ ergibt sich $3 \alpha = 180°$, also $\alpha = \beta = \gamma = 60°$.

Lösung 10: Die Dreiecksungleichung verlangt $c < a + b = 4 + 4 = 8$. Also gilt $c < 8 \, \text{cm}$ (und gleichzeitig $c > 0$). Je näher $c$ an $8 \, \text{cm}$ heranrückt, desto flacher wird das Dreieck. Es entsteht ein sehr stumpfwinkliges, gleichschenkliges Dreieck. An der Grenze $c = 8 \, \text{cm}$ läge ein entartetes Dreieck vor – die drei Punkte lägen auf einer Geraden.

Verwandte Themen

• Besondere Dreiecke erkennen und verstehen
• Abstände in der Geometrie – Punkt, Gerade, Parallele
• Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport