Kreisgleichung einfach erklärt: So beschreibst du jeden Kreis mathematisch

Darum geht's

Du stehst in der Mitte eines grossen Platzes und hältst ein Seil in der Hand. Am anderen Ende des Seils ist ein Stück Kreide befestigt. Wenn du das Seil straff hältst und dich einmal um deine eigene Achse drehst, zeichnet die Kreide einen perfekten Kreis auf den Boden. Der Punkt, an dem du stehst, ist der Mittelpunkt. Die Länge des Seils bestimmt, wie gross der Kreis wird.

Genau dieses einfache Prinzip – ein fester Mittelpunkt und ein konstanter Abstand – ist der Schlüssel zur Kreisgleichung. Mit ihr kannst du jeden Kreis in einem Koordinatensystem exakt beschreiben und berechnen. Das ist nicht nur in der Mathematik nützlich, sondern auch in der Physik, Technik und sogar bei der Programmierung von Computerspielen.

Vom Seil zum Koordinatensystem

Erinnern wir uns an das Seilexperiment: Du stehst an einem festen Punkt, und jeder Punkt auf dem Kreis hat denselben Abstand zu dir. In der Mathematik nennen wir diesen festen Punkt den Mittelpunkt $M$ und den konstanten Abstand den Radius $r$.

Jetzt übertragen wir das Ganze in ein Koordinatensystem. Dein Standpunkt wird zu einem Punkt mit Koordinaten, zum Beispiel $M(3|2)$. Das bedeutet, du stehst 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben vom Ursprung entfernt.

Die entscheidende Frage lautet: Wie können wir alle Punkte beschreiben, die genau $r$ Einheiten von $M$ entfernt sind?

Hier kommt ein alter Bekannter ins Spiel: der Satz des Pythagoras. Wenn wir einen beliebigen Punkt $P(x|y)$ auf dem Kreis betrachten, können wir den Abstand zum Mittelpunkt $M(m_x|m_y)$ berechnen. Wir bilden ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Katheten die horizontale Differenz $(x - m_x)$ und die vertikale Differenz $(y - m_y)$ sind.

Die Kreisgleichung – dein mathematisches Werkzeug

Der Satz des Pythagoras liefert uns den Abstand zwischen zwei Punkten. Da alle Punkte auf dem Kreis den Abstand $r$ zum Mittelpunkt haben, erhalten wir die Kreisgleichung.

So leitest du die Formel ab:

1. Abstandsformel aufstellen: Der Abstand vom Punkt $P(x|y)$ zum Mittelpunkt $M(m_x|m_y)$ beträgt nach Pythagoras: $d = \sqrt{(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2}$

2. Abstand gleich Radius setzen: Da alle Punkte auf dem Kreis den Abstand $r$ haben: $\sqrt{(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2} = r$

3. Quadrieren: Um die Wurzel loszuwerden, quadrieren wir beide Seiten: $(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$

Definition

Ein Kreis mit Mittelpunkt $M(m_x|m_y)$ und Radius $r$ wird durch folgende Gleichung beschrieben:

$(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$

Dabei gilt:

• $x$ und $y$ sind die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis
• $m_x$ ist die x-Koordinate des Mittelpunkts
• $m_y$ ist die y-Koordinate des Mittelpunkts
• $r$ ist der Radius (immer positiv)

Sonderfall: Liegt der Mittelpunkt im Ursprung $M(0|0)$, vereinfacht sich die Gleichung zu: $x^2 + y^2 = r^2$

Die allgemeine Kreisgleichung

Manchmal begegnet dir die Kreisgleichung in einer anderen Form. Wenn du die Mittelpunktsform ausmultiplizierst und umformst, erhältst du die allgemeine Form:

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

Ein Beispiel: Aus $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ wird mit den binomischen Formeln $x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 25$. Du ordnest die Terme und bringst die $25$ nach links. So erhältst du $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$.

Diese Form sieht komplizierter aus, taucht aber in Prüfungen häufig auf. Du musst dann die Gleichung in die Mittelpunktsform zurückführen, um Mittelpunkt und Radius zu erkennen. Dafür brauchst du die quadratische Ergänzung – eine Technik, die du vermutlich schon bei quadratischen Gleichungen kennengelernt hast. Beispiel 4 zeigt den Rückweg Schritt für Schritt.

Nicht jede Gleichung dieser Form beschreibt einen Kreis. Steht nach der quadratischen Ergänzung rechts eine negative Zahl, gibt es keinen einzigen passenden Punkt: Eine Summe von Quadraten ist nie negativ. Steht rechts $0$, erfüllt nur der Mittelpunkt selbst die Gleichung.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Achtung

Fehler 1: Vorzeichen verwechseln

In der Gleichung $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ ist der Mittelpunkt $M(3|-2)$, nicht $M(-3|2)$. Merke: Was in der Klammer steht, wird mit umgekehrtem Vorzeichen zur Koordinate. Bei $(x - 3)$ ist $m_x = +3$, bei $(y + 2) = (y - (-2))$ ist $m_y = -2$.

Fehler 2: Radius mit $r^2$ verwechseln

Steht auf der rechten Seite eine $16$, dann ist $r^2 = 16$ und somit $r = 4$. Der Radius ist nicht 16! Ziehe immer die Wurzel.

Fehler 3: Negative Wurzel vergessen

Der Radius $r$ ist per Definition immer positiv. Auch wenn $r^2 = 25$ die Lösungen $r = 5$ und $r = -5$ hätte, gilt nur $r = 5$.

Beispiele

Beispiel 1: Kreisgleichung aufstellen

Aufgabe: Stelle die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt $M(2|5)$ und Radius $r = 3$ auf.

Lösung:

Wir setzen die gegebenen Werte in die Mittelpunktsform ein:

• $m_x = 2$
• $m_y = 5$
• $r = 3$

$(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 3^2$

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 9$

Ergebnis: Die Kreisgleichung lautet $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 9$.

Skizze: Vom Mittelpunkt aus gehst du je $3$ Einheiten nach rechts, links, oben und unten. Die Punkte $(5|5)$, $(-1|5)$, $(2|8)$ und $(2|2)$ liegen auf dem Kreis. Probe für $(5|5)$: $(5 - 2)^2 + (5 - 5)^2 = 9 + 0 = 9$ ✓

Abb. 1: Der Kreis aus Beispiel 1. Die vier markierten Punkte liegen genau $r = 3$ Einheiten waagrecht oder senkrecht vom Mittelpunkt entfernt.

Beispiel 2: Mittelpunkt und Radius ablesen

Aufgabe: Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 49$.

Lösung:

Wir vergleichen mit der allgemeinen Form $(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$:

Für die x-Koordinate: $(x + 4) = (x - (-4))$, also $m_x = -4$

Für die y-Koordinate: $(y - 1)$, also $m_y = 1$

Für den Radius: $r^2 = 49$, also $r = \sqrt{49} = 7$

Ergebnis: Der Mittelpunkt ist $M(-4|1)$ und der Radius beträgt $r = 7$.

Ob ein Punkt auf dem Kreis liegt, prüfst du durch Einsetzen. Die linke Seite der Mittelpunktsform ist das Quadrat des Abstands vom Punkt zum Mittelpunkt. Vergleiche diesen Wert mit $r^2$:

• kleiner als $r^2$: Der Punkt liegt innerhalb des Kreises.
• gleich $r^2$: Der Punkt liegt auf dem Kreis.
• grösser als $r^2$: Der Punkt liegt ausserhalb des Kreises.

In der folgenden Grafik hat der Kreis den Mittelpunkt $M(1|1)$ und den Radius $3$, also $r^2 = 9$. Für $A(2|2)$ ergibt das Einsetzen $1 + 1 = 2 < 9$, für $B(4|1)$ genau $9 + 0 = 9$ und für $C(4|3)$ den Wert $9 + 4 = 13 > 9$.

Beispiel 3: Prüfen, ob ein Punkt auf dem Kreis liegt

Aufgabe: Liegt der Punkt $P(5|7)$ auf dem Kreis mit der Gleichung $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$?

Lösung:

Wir setzen die Koordinaten von $P$ in die Kreisgleichung ein:

$(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2 = ?$

$(3)^2 + (4)^2 = ?$

$9 + 16 = 25$

Das Ergebnis $25$ stimmt mit der rechten Seite der Gleichung überein.

Ergebnis: Ja, der Punkt $P(5|7)$ liegt auf dem Kreis.

Beispiel 4: Von der allgemeinen Form zur Mittelpunktsform

Aufgabe: Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$.

Lösung:

Wir müssen die quadratische Ergänzung anwenden.

Schritt 1: Gleichung umordnen und Terme gruppieren: $x^2 - 6x + y^2 + 4y = 12$

Schritt 2: Quadratische Ergänzung für $x$: $x^2 - 6x$ wird zu $(x - 3)^2 - 9$ (Wir addieren und subtrahieren $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$)

Schritt 3: Quadratische Ergänzung für $y$: $y^2 + 4y$ wird zu $(y + 2)^2 - 4$ (Wir addieren und subtrahieren $\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$)

Schritt 4: Einsetzen und vereinfachen: $(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 = 12$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 12 + 9 + 4$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Schritt 5: Ablesen:

• Mittelpunkt: $M(3|-2)$
• Radius: $r = \sqrt{25} = 5$

Kontrolle: Der Punkt $P(6|2)$ liegt auf diesem Kreis, denn $(6 - 3)^2 + (2 + 2)^2 = 9 + 16 = 25$ ✓. Er erfüllt auch die ursprüngliche Gleichung: $6^2 + 2^2 - 6 \cdot 6 + 4 \cdot 2 - 12 = 36 + 4 - 36 + 8 - 12 = 0$ ✓

Ergebnis: Der Kreis hat den Mittelpunkt $M(3|-2)$ und den Radius $r = 5$.

Abb. 2: Beide Gleichungen beschreiben denselben Kreis. Erst die Mittelpunktsform verrät Mittelpunkt und Radius. Am Punkt $P(6|2)$ siehst du den Satz des Pythagoras: $3^2 + 4^2 = 5^2$.

Beispiel 5: Kreisgleichung aus drei Punkten bestimmen

Aufgabe: Bestimme die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte $A(1|0)$, $B(5|0)$ und $C(3|2)$ verläuft.

Lösung:

Jeder Punkt muss die Kreisgleichung $(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$ erfüllen.

Schritt 1: Wir setzen jeden Punkt ein und erhalten drei Gleichungen:

Für $A(1|0)$: $(1 - m_x)^2 + (0 - m_y)^2 = r^2$

Für $B(5|0)$: $(5 - m_x)^2 + (0 - m_y)^2 = r^2$

Für $C(3|2)$: $(3 - m_x)^2 + (2 - m_y)^2 = r^2$

Schritt 2: Gleichung 1 und 2 gleichsetzen (beide gleich $r^2$): $(1 - m_x)^2 + m_y^2 = (5 - m_x)^2 + m_y^2$

$(1 - m_x)^2 = (5 - m_x)^2$

$1 - 2m_x + m_x^2 = 25 - 10m_x + m_x^2$

$1 - 2m_x = 25 - 10m_x$

$8m_x = 24$

$m_x = 3$

Schritt 3: Gleichung 1 und 3 gleichsetzen mit $m_x = 3$: $(1 - 3)^2 + m_y^2 = (3 - 3)^2 + (2 - m_y)^2$

$4 + m_y^2 = 0 + 4 - 4m_y + m_y^2$

$4 = 4 - 4m_y$

$m_y = 0$

Schritt 4: Radius berechnen mit Punkt $A$: $r^2 = (1 - 3)^2 + (0 - 0)^2 = 4 + 0 = 4$

$r = 2$

Ergebnis: Die Kreisgleichung lautet $(x - 3)^2 + y^2 = 4$.

Kreis und Gerade

Eine Gerade und ein Kreis können auf drei Arten zueinander liegen. Entscheidend ist der Abstand $d$ zwischen dem Mittelpunkt $M$ und der Geraden. Gemeint ist der kürzeste Abstand, also senkrecht zur Geraden gemessen.

• Ist $d < r$, schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten. Sie heisst Sekante.
• Ist $d = r$, berührt die Gerade den Kreis in genau einem Punkt. Sie heisst Tangente.
• Ist $d > r$, hat die Gerade keinen Punkt mit dem Kreis gemeinsam. Sie heisst Passante.

Abb. 3: Bei waagrechten Geraden liest du den Abstand $d$ zum Mittelpunkt direkt an der y-Achse ab. Der grüne Radius zu $S_2(4|3)$ zeigt: $4^2 + 3^2 = 25$, der Schnittpunkt liegt also auf dem Kreis.

Bei schrägen Geraden kannst du den Abstand $d$ nicht einfach ablesen. Dann rechnest du: Du setzt die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein. Es entsteht eine quadratische Gleichung für $x$. Die Anzahl ihrer Lösungen verrät die Lage.

Definition

Setze die Geradengleichung $y = mx + q$ in die Kreisgleichung ein. Forme zu einer quadratischen Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ um. Die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ aus der Lösungsformel entscheidet:

• $D > 0$: zwei Lösungen – die Gerade ist eine Sekante
• $D = 0$: eine Lösung – die Gerade ist eine Tangente
• $D < 0$: keine Lösung – die Gerade ist eine Passante

Die y-Koordinaten der gemeinsamen Punkte erhältst du, indem du die x-Werte in die Geradengleichung einsetzt.

Beispiel 6: Schnittpunkte von Kreis und Gerade

Aufgabe: Wie liegt die Gerade $y = x + 1$ zum Kreis $x^2 + y^2 = 25$? Berechne die gemeinsamen Punkte.

Lösung:

Schritt 1: Setze $y = x + 1$ in die Kreisgleichung ein: $x^2 + (x + 1)^2 = 25$

Schritt 2: Klammer mit der binomischen Formel auflösen und zusammenfassen: $x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$

$2x^2 + 2x - 24 = 0 \quad | : 2$

$x^2 + x - 12 = 0$

Schritt 3: Diskriminante berechnen mit $a = 1$, $b = 1$ und $c = -12$: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Da $D > 0$ ist, gibt es zwei Lösungen. Die Gerade ist eine Sekante.

Schritt 4: x-Werte mit der Lösungsformel: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}$

$x_1 = 3, \quad x_2 = -4$

Schritt 5: y-Werte mit der Geradengleichung: $y_1 = 3 + 1 = 4$ und $y_2 = -4 + 1 = -3$.

Kontrolle: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ ✓ und $(-4)^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$ ✓

Ergebnis: Die Gerade ist eine Sekante. Sie schneidet den Kreis in $S_1(3|4)$ und $S_2(-4|-3)$.

Übungen

Die Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Die vollständigen Lösungswege findest du im Abschnitt «Lösungen» am Ende der Seite.

Aufgabe 1: Lies Mittelpunkt und Radius ab.

a) $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 16$ b) $x^2 + (y - 2)^2 = 2{,}25$ c) $(x + 1)^2 + (y + 6)^2 = 12$

Aufgabe 2: Stelle die Kreisgleichung auf.

a) Mittelpunkt $M(-2|3)$, Radius $r = 4$ b) Mittelpunkt $M(0|0)$, Radius $r = 2{,}5$

Aufgabe 3: Ein Kreis hat den Mittelpunkt $M(1|-2)$ und geht durch den Punkt $P(4|2)$. Bestimme den Radius und die Kreisgleichung.

Aufgabe 4: Gegeben ist der Kreis $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 20$. Liegen die Punkte $A(4|3)$, $B(0|1)$ und $C(-3|1)$ innerhalb, auf oder ausserhalb des Kreises?

Aufgabe 5: Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises $x^2 + y^2 + 8x - 2y + 8 = 0$.

Aufgabe 6: Bringe $x^2 + y^2 - 10y = 0$ in die Mittelpunktsform. Begründe danach, dass der Kreis durch den Ursprung $O(0|0)$ geht.

Aufgabe 7: Beschreibt die Gleichung $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 20 = 0$ einen Kreis? Begründe mit einer Rechnung.

Aufgabe 8: Gegeben ist der Kreis $x^2 + y^2 = 10$. Entscheide für jede Gerade, ob sie Sekante, Tangente oder Passante ist. Gib die gemeinsamen Punkte an.

a) $y = x + 2$ b) $y = -3x + 10$ c) $y = x + 6$

Aufgabe 9: Gegeben ist der Kreis $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25$.

a) Berechne die Schnittpunkte mit der Geraden $y = 6$.

b) Für welche Zahlen $c$ ist die waagrechte Gerade $y = c$ eine Tangente? Gib die Berührpunkte an.

c) Für welche Zahlen $c$ ist $y = c$ eine Passante?

Aufgabe 10: Ein Rasensprenger steht im Garten im Punkt $M(4|3)$ (Koordinaten in Metern). Er bewässert eine Kreisfläche mit dem Radius $5 \, \text{m}$.

a) Stelle die Gleichung des Randkreises auf.

b) Ein Liegestuhl steht bei $L(7|6)$. Wird er nass?

c) Ein gerader Gartenweg verläuft entlang der Geraden $y = 8$. Berechne, wo der Randkreis den Weg trifft. Was bedeutet das Ergebnis für den Weg?

Das Wichtigste in Kürze

• Definition: Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die denselben Abstand (Radius) zu einem festen Punkt (Mittelpunkt) haben.

• Mittelpunktsform: $(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$ mit Mittelpunkt $M(m_x|m_y)$ und Radius $r$.

• Vorzeichen beachten: Die Koordinaten des Mittelpunkts haben das umgekehrte Vorzeichen dessen, was in der Klammer steht.

• Radius richtig bestimmen: Auf der rechten Seite steht $r^2$, nicht $r$. Ziehe die Wurzel, um den Radius zu erhalten.

• Punkt auf Kreis prüfen: Setze die Koordinaten ein. Ergibt sich eine wahre Aussage, liegt der Punkt auf dem Kreis. Ist die linke Seite kleiner als $r^2$, liegt er innerhalb, ist sie grösser, ausserhalb.

• Allgemeine Form: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ bringst du mit der quadratischen Ergänzung in die Mittelpunktsform. Ergibt sich rechts eine negative Zahl, ist es kein Kreis.

• Kreis und Gerade: Geradengleichung einsetzen. Zwei Lösungen bedeuten Sekante, eine Lösung Tangente, keine Lösung Passante.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:Ein Kreis hat den Mittelpunkt $M(0|4)$ und den Radius $r = 6$. Wie lautet seine Gleichung?

Lösung anzeigen

Die Kreisgleichung lautet $x^2 + (y - 4)^2 = 36$.

Erklärung: Mit $m_x = 0$, $m_y = 4$ und $r = 6$ ergibt sich: $(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = 6^2$, also $x^2 + (y - 4)^2 = 36$.

❓ Frage:Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises $(x + 1)^2 + (y - 7)^2 = 100$.

Lösung anzeigen

Der Mittelpunkt ist $M(-1|7)$ und der Radius ist $r = 10$.

Erklärung:

• $(x + 1) = (x - (-1))$, also $m_x = -1$
• $(y - 7)$ liefert $m_y = 7$
• $r^2 = 100$, also $r = 10$

❓ Frage:Liegt der Punkt $P(4|3)$ innerhalb, auf oder ausserhalb des Kreises $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 9$?

Lösung anzeigen

Der Punkt $P(4|3)$ liegt ausserhalb des Kreises.

Erklärung: Wir berechnen $(4 - 1)^2 + (3 - 1)^2 = 9 + 4 = 13$.

Da $13 > 9 = r^2$, ist der Abstand zum Mittelpunkt grösser als der Radius. Der Punkt liegt ausserhalb des Kreises.

Merke: Ist das Ergebnis kleiner als $r^2$, liegt der Punkt innerhalb. Ist es gleich, liegt er auf dem Kreis.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Werkzeug, um Kreise im Koordinatensystem vollständig zu beschreiben. Mit Sekanten, Tangenten und Passanten hast du bereits gesehen, wie ein Kreis und eine Gerade zusammenspielen. Als Nächstes kannst du die Tangente in einem gegebenen Kreispunkt aufstellen: Sie steht senkrecht auf dem Radius zu diesem Punkt. Auch die Schnittpunkte zweier Kreise lassen sich mit Gleichungssystemen berechnen.

Ausserdem begegnen dir Kreise später in der Trigonometrie, wo der Einheitskreis (Mittelpunkt im Ursprung, Radius 1) eine zentrale Rolle spielt. Mit ihm lassen sich Sinus und Kosinus geometrisch verstehen. Die Kreisgleichung ist also nicht nur ein isoliertes Thema, sondern ein Fundament für viele weitere mathematische Konzepte.

Lösungen

Aufgabe 1: Vergleiche mit $(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$. Die Koordinaten des Mittelpunkts haben das umgekehrte Vorzeichen wie die Zahlen in den Klammern.

a) $(x - 5)$ liefert $m_x = 5$. $(y + 3) = (y - (-3))$ liefert $m_y = -3$. Aus $r^2 = 16$ folgt $r = 4$. Also $M(5|-3)$, $r = 4$.

b) $x^2 = (x - 0)^2$ liefert $m_x = 0$, $(y - 2)$ liefert $m_y = 2$. Aus $r^2 = 2{,}25$ folgt $r = 1{,}5$, denn $1{,}5^2 = 2{,}25$. Also $M(0|2)$, $r = 1{,}5$.

c) $(x + 1)$ liefert $m_x = -1$, $(y + 6)$ liefert $m_y = -6$. Aus $r^2 = 12$ folgt $r = \sqrt{12} \approx 3{,}46$. Also $M(-1|-6)$, $r = \sqrt{12} \approx 3{,}46$.

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Aufgabe 2: Setze in $(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$ ein.

a) $(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 4^2$, also $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$.

b) $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2{,}5^2$, also $x^2 + y^2 = 6{,}25$.

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Aufgabe 3: Der Radius ist der Abstand von $M$ zu $P$. Mit dem Satz des Pythagoras:

$r^2 = (4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Also ist $r = 5$. Die Kreisgleichung lautet $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$.

Kontrolle mit $P(4|2)$: $(4 - 1)^2 + (2 + 2)^2 = 9 + 16 = 25$ ✓

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Aufgabe 4: Es gilt $r^2 = 20$. Setze jeden Punkt in die linke Seite ein und vergleiche mit $20$.

• $A(4|3)$: $(4 - 2)^2 + (3 + 1)^2 = 4 + 16 = 20$. Gleich $20$, also liegt $A$ auf dem Kreis.
• $B(0|1)$: $(0 - 2)^2 + (1 + 1)^2 = 4 + 4 = 8$. Kleiner als $20$, also liegt $B$ innerhalb.
• $C(-3|1)$: $(-3 - 2)^2 + (1 + 1)^2 = 25 + 4 = 29$. Grösser als $20$, also liegt $C$ ausserhalb.

Mit Abständen: Der Radius ist $\sqrt{20} \approx 4{,}47$. Der Abstand von $B$ zu $M$ ist $\sqrt{8} \approx 2{,}83$, der von $C$ zu $M$ ist $\sqrt{29} \approx 5{,}39$.

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Aufgabe 5: Terme ordnen und quadratisch ergänzen.

$x^2 + 8x + y^2 - 2y = -8$

Für $x$: $x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$, denn $\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16$.

Für $y$: $y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1$, denn $\left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1$.

$(x + 4)^2 - 16 + (y - 1)^2 - 1 = -8$

$(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = -8 + 16 + 1 = 9$

Also $M(-4|1)$ und $r = \sqrt{9} = 3$.

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Aufgabe 6: Nur bei $y$ ist eine Ergänzung nötig: $y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25$, denn $\left(\frac{10}{2}\right)^2 = 25$.

$x^2 + (y - 5)^2 - 25 = 0$

$x^2 + (y - 5)^2 = 25$

Der Kreis hat den Mittelpunkt $M(0|5)$ und den Radius $r = 5$.

Begründung: Setze $O(0|0)$ ein: $0^2 + (0 - 5)^2 = 25$ ✓. Der Ursprung liegt also auf dem Kreis. Anschaulich: $M$ liegt $5$ Einheiten über dem Ursprung, und das ist genau der Radius.

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Aufgabe 7: Quadratisch ergänzen:

$x^2 - 4x + y^2 + 6y = -20$

$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = -20$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = -20 + 4 + 9 = -7$

Die linke Seite ist eine Summe von zwei Quadraten. Sie ist nie negativ. Kein Punkt erfüllt also die Gleichung. Sie beschreibt keinen Kreis.

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Aufgabe 8: Setze jeweils die Geradengleichung in $x^2 + y^2 = 10$ ein.

a) $x^2 + (x + 2)^2 = 10$

$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 10 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + 4x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x - 3 = 0$

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 > 0$, also Sekante.

$x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 4}{2}$, also $x_1 = 1$ und $x_2 = -3$. Mit $y = x + 2$: $y_1 = 3$, $y_2 = -1$.

Schnittpunkte $S_1(1|3)$ und $S_2(-3|-1)$. Kontrolle: $1 + 9 = 10$ ✓ und $9 + 1 = 10$ ✓

b) $x^2 + (-3x + 10)^2 = 10$

$x^2 + 9x^2 - 60x + 100 = 10 \quad \Rightarrow \quad 10x^2 - 60x + 90 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 6x + 9 = 0$

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$, also Tangente.

$x = \dfrac{6}{2} = 3$ und $y = -3 \cdot 3 + 10 = 1$. Berührpunkt $B(3|1)$. Kontrolle: $9 + 1 = 10$ ✓

c) $x^2 + (x + 6)^2 = 10$

$x^2 + x^2 + 12x + 36 = 10 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + 12x + 26 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 6x + 13 = 0$

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16 < 0$, also Passante. Es gibt keinen gemeinsamen Punkt.

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Aufgabe 9: Der Kreis hat $M(3|2)$ und $r = 5$.

a) Setze $y = 6$ ein:

$(x - 3)^2 + (6 - 2)^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad (x - 3)^2 + 16 = 25 \quad \Rightarrow \quad (x - 3)^2 = 9$

Also $x - 3 = 3$ oder $x - 3 = -3$, das heisst $x = 6$ oder $x = 0$. Die Schnittpunkte sind $S_1(6|6)$ und $S_2(0|6)$.

b) Die Gerade $y = c$ hat vom Mittelpunkt den Abstand $d = |c - 2|$. Eine Tangente braucht $d = r = 5$. Also ist $c = 2 + 5 = 7$ oder $c = 2 - 5 = -3$. Die Berührpunkte liegen senkrecht über und unter $M$: $B_1(3|7)$ und $B_2(3|-3)$.

Kontrolle mit $y = 7$: $(x - 3)^2 + 25 = 25$ ergibt nur $x = 3$ ✓

c) Eine Passante braucht $d > 5$. Das gilt für $c > 7$ oder $c < -3$.

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Aufgabe 10:

a) Mittelpunkt $M(4|3)$, Radius $5$: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$.

b) Setze $L(7|6)$ ein: $(7 - 4)^2 + (6 - 3)^2 = 9 + 9 = 18$. Da $18 < 25$ ist, liegt der Liegestuhl innerhalb der Kreisfläche. Er wird nass. Sein Abstand zum Rasensprenger beträgt $\sqrt{18} \approx 4{,}24 \, \text{m}$.

c) Setze $y = 8$ ein: $(x - 4)^2 + (8 - 3)^2 = 25 \;\Rightarrow\; (x - 4)^2 + 25 = 25 \;\Rightarrow\; (x - 4)^2 = 0$. Es gibt nur die Lösung $x = 4$. Die Gerade ist eine Tangente mit dem Berührpunkt $B(4|8)$. Das Wasser erreicht den Weg also nur an dieser einen Stelle. Der Abstand des Wegs vom Rasensprenger ist $8 - 3 = 5 \, \text{m}$, genau der Radius.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport