Definitions- und Wertemenge einfach erklärt: Der Schlüssel zur Funktionsanalyse

Darum geht's

Du betreibst einen Limonadenstand. Ein Glas kostet 2 CHF, und du hast 50 Gläser auf Lager. Pro Tag kannst du also 0 bis 50 Gläser verkaufen und nimmst dabei zwischen 0 CHF und 100 CHF ein. Die Anzahl Gläser, die du verkaufen kannst, entspricht der Definitionsmenge. Die Einnahmen, die dabei möglich sind, entsprechen der Wertemenge. Was darf hinein, was kann herauskommen? Mit diesen zwei Fragen beginnt jede Funktionsuntersuchung. Auf dieser Seite lernst du, wie du für beliebige Funktionen die Definitions- und Wertemenge bestimmst.

Vom Alltag zur Mathematik: Was bedeuten diese Begriffe?

Zurück zum Limonadenstand. Du kannst nicht minus 5 Gläser verkaufen. Du kannst auch nicht 1000 Gläser verkaufen, wenn du nur 50 hast. Es gibt also Grenzen für das, was du eingeben kannst.

In der Mathematik ist eine Funktion wie eine Maschine. Du wirfst etwas hinein (die Eingabe) und bekommst etwas heraus (die Ausgabe). Aber nicht jede Maschine akzeptiert jede Eingabe. Ein Mixer verarbeitet keine Steine. Ein Taschenrechner kann nicht durch null teilen.

Die Definitionsmenge beschreibt alle Werte, die du in die Funktion eingeben darfst.

Die Wertemenge beschreibt alle Werte, die als Ergebnis herauskommen können.

Mathematisch schreiben wir:

• $\mathbb{D}$ oder $D_f$ für die Definitionsmenge
• $\mathbb{W}$ oder $W_f$ für die Wertemenge

Bei einer Funktion $f(x)$ enthält die Definitionsmenge alle erlaubten $x$-Werte. Die Wertemenge enthält alle möglichen $y$-Werte, die durch $f(x)$ entstehen.

Die Definitionsmenge bestimmen: Dein Werkzeugkasten

Die Grundregel lautet: Die Definitionsmenge umfasst alle reellen Zahlen, ausser die Funktion enthält «verbotene Stellen». Diese verbotenen Stellen musst du erkennen und ausschliessen.

Wann gibt es Einschränkungen?

Es gibt drei Hauptfälle, in denen nicht alle reellen Zahlen erlaubt sind:

1. Division durch null ist verboten

Steht im Nenner ein Term mit $x$, darfst du alle $x$-Werte nicht einsetzen, die den Nenner zu null machen.

2. Negative Zahlen unter geraden Wurzeln sind verboten

Unter einer Quadratwurzel (oder jeder anderen geraden Wurzel) darf nur etwas Nicht-Negatives stehen.

3. Logarithmen von nicht-positiven Zahlen sind verboten

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert. Auch $0$ ist als Argument verboten.

An den einfachsten Funktionen siehst du die drei Fälle direkt am Graphen:

Abb. 1: Die grün markierten $x$-Werte bilden die Definitionsmenge. Ein gefüllter Punkt gehört dazu, ein leerer nicht: $\sqrt{0} = 0$ ist erlaubt, $\frac{1}{0}$ und $\log_2(0)$ sind es nicht.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Prüfe, ob ein Bruch vorliegt. Falls ja: Setze den Nenner gleich null und löse nach $x$. Diese Werte müssen ausgeschlossen werden.
2. Prüfe, ob eine gerade Wurzel vorliegt. Falls ja: Setze den Term unter der Wurzel $\geq 0$ und löse die Ungleichung.
3. Prüfe, ob ein Logarithmus vorliegt. Falls ja: Setze das Argument $> 0$ und löse die Ungleichung.
4. Kombiniere alle Einschränkungen zur endgültigen Definitionsmenge.

Definition

Die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ einer Funktion $f$ enthält alle reellen Zahlen $x$, für die der Funktionsterm $f(x)$ definiert ist. Sie beschreibt, welche Eingabewerte erlaubt sind. Schreibweise: $\mathbb{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid \text{Bedingung}\}$ oder in Intervallschreibweise.

Die Wertemenge bestimmen: Welche Ausgaben sind möglich?

Die Wertemenge zu bestimmen ist oft kniffliger als die Definitionsmenge. Du musst verstehen, welche $y$-Werte die Funktion tatsächlich annehmen kann.

Strategien zur Bestimmung der Wertemenge

1. Grafische Analyse

Zeichne den Graphen und lies ab, welche $y$-Werte erreicht werden. Jeder Punkt des Graphen hat einen $x$-Wert und einen $y$-Wert. Projizierst du alle Punkte senkrecht auf die $x$-Achse, erhältst du die Definitionsmenge. Projizierst du sie waagrecht auf die $y$-Achse, erhältst du die Wertemenge.

Abb. 2: Die Normalparabel $f(x) = x^2$ «wirft» auf die $x$-Achse die ganze Zahlengerade: $\mathbb{D} = \mathbb{R}$. Auf der $y$-Achse trifft sie nur Werte ab $0$: $\mathbb{W} = [0; +\infty)$. Die gestrichelten Linien zeigen die Projektion für die Punkte $(-1 \mid 1)$ und $(2 \mid 4)$.

2. Analyse typischer Funktionstypen

Manche Funktionstypen haben charakteristische Wertemengen:

• Die Normalparabel $f(x) = x^2$ hat $\mathbb{W} = [0; +\infty)$
• Exponentialfunktionen wie $f(x) = 2^x$ haben $\mathbb{W} = (0; +\infty)$
• Sinus und Kosinus haben $\mathbb{W} = [-1; 1]$

3. Umkehrung der Funktion

Löse die Gleichung $y = f(x)$ nach $x$ auf. Die Werte von $y$, für die dies möglich ist und für die das berechnete $x$ in der Definitionsmenge liegt, bilden die Wertemenge.

4. Extremwertbetrachtung

Bestimme den kleinsten und den grössten Funktionswert, falls es sie gibt. Sie bilden die Grenzen der Wertemenge. Bei einer nach oben geöffneten Parabel ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt. Sein $y$-Wert ist die untere Grenze der Wertemenge (siehe Beispiel 4).

Definition

Die Wertemenge $\mathbb{W}$ einer Funktion $f$ enthält alle reellen Zahlen $y$, die als Funktionswert $f(x)$ für mindestens ein $x$ aus der Definitionsmenge auftreten. Sie beschreibt alle möglichen Ausgabewerte. Schreibweise: $\mathbb{W} = \{y \in \mathbb{R} \mid \exists x \in \mathbb{D}: f(x) = y\}$.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Achtung

Fehler 1: Nur den Nenner betrachten, aber die Wurzel vergessen

Bei einer Funktion wie $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-2}$ musst du beide Einschränkungen beachten. Der Nenner verbietet $x = 2$, die Wurzel verbietet $x < 0$. Die Definitionsmenge ist also $\mathbb{D} = [0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Fehler 2: Definitions- und Wertemenge verwechseln

Die Definitionsmenge betrifft die $x$-Werte (Eingabe), die Wertemenge die $y$-Werte (Ausgabe). Merke dir: Definitionsmenge = Davor (bevor die Funktion rechnet), Wertemenge = Was herauskommt.

Fehler 3: Bei der Wurzel $\geq 0$ vergessen und nur $> 0$ schreiben

Unter einer Quadratwurzel darf auch null stehen. Der Ausdruck $\sqrt{0} = 0$ ist erlaubt. Die Bedingung lautet daher $\geq 0$, nicht $> 0$.

Fehler 4: Annehmen, die Wertemenge sei automatisch ganz $\mathbb{R}$

Viele Funktionen erreichen nicht alle reellen Zahlen als Funktionswerte. Bei $f(x) = x^2$ gibt es zum Beispiel keine negativen Funktionswerte.

Intervallschreibweise: Kompakt und präzise

Für Definitions- und Wertemenge verwenden wir oft die Intervallschreibweise. Hier eine Übersicht:

Schreibweise	Bedeutung	Beispiel
$[a; b]$	Alle Zahlen von $a$ bis $b$, inklusive $a$ und $b$	$[0; 5]$ enthält 0, 3, 5
$(a; b)$	Alle Zahlen von $a$ bis $b$, ohne $a$ und $b$	$(0; 5)$ enthält 3, aber nicht 0 oder 5
$[a; b)$	Mit $a$, ohne $b$	$[0; 5)$ enthält 0, aber nicht 5
$(-\infty; a]$	Alle Zahlen bis $a$, inklusive $a$	$(-\infty; 3]$ enthält alle Zahlen $\leq 3$
$\mathbb{R}$	Alle reellen Zahlen	Die gesamte Zahlengerade
$\mathbb{R} \setminus \{a\}$	Alle reellen Zahlen ausser $a$	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$ = alle ausser 0

Beispiele

Beispiel 1: Bruchfunktion

Bestimme Definitions- und Wertemenge von $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 4}$.

Lösung:

Der Nenner darf nicht null werden. Wir setzen den Nenner gleich null:

$x - 4 = 0$

$x = 4$

Der Wert $x = 4$ muss ausgeschlossen werden.

Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{4\}$ oder $\mathbb{D} = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$

Für die Wertemenge überlegen wir: Der Bruch kann beliebig grosse positive und negative Werte annehmen. Kann er aber jeden Wert erreichen? Wir lösen nach $x$ auf:

$y = \frac{3x + 1}{x - 4}$

$y \cdot (x - 4) = 3x + 1$

$yx - 4y = 3x + 1$

$yx - 3x = 4y + 1$

$x(y - 3) = 4y + 1$

$x = \frac{4y + 1}{y - 3}$

Dies ist nur definiert, wenn $y \neq 3$.

Zur Kontrolle prüfen wir, ob dabei das verbotene $x = 4$ herauskommen kann. Aus $\frac{4y + 1}{y - 3} = 4$ folgt $4y + 1 = 4y - 12$, also $1 = -12$. Das ist für kein $y$ erfüllt. Jedes $y \neq 3$ gehört also zu einem erlaubten $x$.

Wertemenge: $\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{3\}$

Abb. 3: Bei $x = 4$ hat der Graph eine Lücke, die beiden Äste nähern sich der senkrechten Geraden $x = 4$. Gleichzeitig kommen sie der waagrechten Geraden $y = 3$ beliebig nahe, ohne sie zu erreichen. Deshalb fehlt $4$ in $\mathbb{D}$ und $3$ in $\mathbb{W}$.

Beispiel 2: Wurzelfunktion

Bestimme Definitions- und Wertemenge von $f(x) = \sqrt{2x - 6}$.

Lösung:

Unter der Wurzel muss ein nicht-negativer Wert stehen:

$2x - 6 \geq 0$

$2x \geq 6$

$x \geq 3$

Definitionsmenge: $\mathbb{D} = [3; +\infty)$

Für die Wertemenge betrachten wir, welche Werte $\sqrt{2x - 6}$ annehmen kann. Eine Quadratwurzel liefert immer nicht-negative Werte. Der kleinste Wert tritt bei $x = 3$ auf: $f(3) = \sqrt{0} = 0$. Nach oben gibt es keine Grenze.

Wertemenge: $\mathbb{W} = [0; +\infty)$

Beispiel 3: Kombinierte Einschränkungen

Bestimme die Definitionsmenge von $f(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^2 - 9}$.

Lösung:

Wir haben zwei Einschränkungen:

Einschränkung 1 (Wurzel):

$x + 2 \geq 0$

$x \geq -2$

Einschränkung 2 (Nenner):

$x^2 - 9 \neq 0$

$x^2 \neq 9$

$x \neq 3 \text{ und } x \neq -3$

Jetzt kombinieren wir: Wir brauchen $x \geq -2$, aber $x \neq 3$ und $x \neq -3$.

Da $-3 < -2$ liegt, ist $-3$ ohnehin nicht in der Menge $x \geq -2$ enthalten. Wir müssen nur $x = 3$ ausschliessen.

Abb. 4: Erlaubt ist nur, was auf beiden oberen Zahlengeraden markiert ist. Die Lücke bei $-3$ fällt weg, weil die Wurzel diesen Bereich schon ausschliesst.

Definitionsmenge: $\mathbb{D} = [-2; 3) \cup (3; +\infty)$

Beispiel 4: Quadratische Funktion mit Verschiebung

Bestimme Definitions- und Wertemenge von $f(x) = (x - 1)^2 + 3$.

Lösung:

Diese Funktion ist eine verschobene Parabel. Es gibt keine Brüche, Wurzeln oder Logarithmen.

Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Für die Wertemenge betrachten wir den Aufbau der Funktion:

• $(x - 1)^2$ ist immer $\geq 0$ (Quadrate sind nie negativ)
• Der kleinste Wert von $(x - 1)^2$ ist $0$, erreicht bei $x = 1$
• Also ist der kleinste Wert von $f(x)$ gleich $0 + 3 = 3$
• Nach oben ist die Parabel unbegrenzt

Wertemenge: $\mathbb{W} = [3; +\infty)$

Abb. 5: Die Parabel ist gegenüber der Normalparabel (grau) um $1$ nach rechts und um $3$ nach oben verschoben. Der Scheitelpunkt $S(1 \mid 3)$ ist der tiefste Punkt. Deshalb beginnt die Wertemenge bei $3$, die Definitionsmenge bleibt $\mathbb{R}$.

Beispiel 5: Bruch mit Wurzel im Zähler

Bestimme Definitions- und Wertemenge von $f(x) = \frac{\sqrt{4 - x}}{x + 1}$.

Lösung:

Einschränkung 1 (Wurzel):

$4 - x \geq 0$

$4 \geq x$

$x \leq 4$

Einschränkung 2 (Nenner):

$x + 1 \neq 0$

$x \neq -1$

Definitionsmenge: $\mathbb{D} = (-\infty; -1) \cup (-1; 4]$

Für die Wertemenge analysieren wir das Verhalten:

• Der Zähler $\sqrt{4-x}$ ist immer $\geq 0$
• Bei $x = 4$: $f(4) = \frac{0}{5} = 0$
• Bei $x \to -1$ von rechts: Zähler $\to \sqrt{5}$, Nenner $\to 0^+$, also $f(x) \to +\infty$
• Bei $x \to -1$ von links: Zähler $\to \sqrt{5}$, Nenner $\to 0^-$, also $f(x) \to -\infty$
• Für $x < -1$ ist der Nenner negativ, also wird $f(x)$ negativ
• Für sehr kleine $x$ wächst der Betrag des Nenners schneller als der Zähler. Die Funktionswerte kommen dann von unten beliebig nahe an $0$ heran, zum Beispiel $f(-99) = \frac{\sqrt{103}}{-98} \approx -0{,}10$

Auf beiden Teilstücken verläuft der Graph ohne Sprung. Für $-1 < x \leq 4$ nimmt die Funktion deshalb jeden Wert von $0$ bis beliebig gross an, für $x < -1$ jeden negativen Wert.

Wertemenge: $\mathbb{W} = \mathbb{R}$

Das Wichtigste in Kürze

• Die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ enthält alle erlaubten Eingabewerte ($x$-Werte), für die die Funktion definiert ist.
• Die Wertemenge $\mathbb{W}$ enthält alle möglichen Ausgabewerte ($y$-Werte), die die Funktion erreichen kann.
• Am Graphen ist $\mathbb{D}$ die Projektion auf die $x$-Achse und $\mathbb{W}$ die Projektion auf die $y$-Achse.
• Einschränkungen der Definitionsmenge entstehen durch: Division durch null (Nenner $\neq 0$), gerade Wurzeln (Radikand $\geq 0$) und Logarithmen (Argument $> 0$).
• Die Intervallschreibweise ermöglicht eine kompakte Darstellung: eckige Klammern $[$ $]$ schliessen Randpunkte ein, runde Klammern $($ $)$ schliessen sie aus.
• Bei mehreren Einschränkungen müssen alle Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:Wie lautet die Definitionsmenge von $f(x) = \frac{5}{x + 7}$?

Lösung anzeigen

Der Nenner darf nicht null werden: $x + 7 \neq 0$, also $x \neq -7$.

Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-7\}$

❓ Frage:Bestimme die Definitionsmenge von $f(x) = \sqrt{5 - x}$.

Lösung anzeigen

Der Ausdruck unter der Wurzel muss nicht-negativ sein:

$5 - x \geq 0$

$5 \geq x$

Definitionsmenge: $\mathbb{D} = (-\infty; 5]$

❓ Frage:Eine Funktion hat die Form $f(x) = x^2 - 4$. Welche Wertemenge hat diese Funktion?

Lösung anzeigen

Die Funktion $f(x) = x^2 - 4$ ist eine nach oben geöffnete Parabel.

Das Minimum von $x^2$ ist $0$ (bei $x = 0$).

Also ist das Minimum von $f(x) = x^2 - 4$ gleich $0 - 4 = -4$.

Nach oben ist die Parabel unbegrenzt.

Wertemenge: $\mathbb{W} = [-4; +\infty)$

❓ Frage:Bestimme die Definitionsmenge von $f(x) = \log(2x - 8)$.

Lösung anzeigen

Das Argument des Logarithmus muss positiv sein:

$2x - 8 > 0$

$2x > 8$

$x > 4$

Hier steht $>$ und nicht $\geq$, denn $\log(0)$ ist nicht definiert.

Definitionsmenge: $\mathbb{D} = (4; +\infty)$

❓ Frage:Bestimme Definitions- und Wertemenge von $f(x) = \frac{1}{x} + 2$.

Lösung anzeigen

Der Nenner darf nicht null werden: $x \neq 0$.

Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Für die Wertemenge lösen wir $y = \frac{1}{x} + 2$ nach $x$ auf:

$y - 2 = \frac{1}{x}$

$x = \frac{1}{y - 2}$

Das ist nur möglich, wenn $y \neq 2$. Das berechnete $x$ ist nie $0$, liegt also immer in der Definitionsmenge. Am Graphen siehst du dasselbe: Der Graph von $\frac{1}{x}$ aus Abb. 1 wird um $2$ nach oben verschoben und erreicht die Gerade $y = 2$ nie.

Wertemenge: $\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Mit der Definitions- und Wertemenge hast du den ersten wichtigen Schritt der Funktionsuntersuchung gemeistert. Du weisst nun, welche Eingaben erlaubt sind und welche Ausgaben möglich sind.

Als Nächstes lernst du die Ableitung kennen. Sie beschreibt, wie steil ein Graph an einer bestimmten Stelle ist. Danach untersuchst du Symmetrie, Nullstellen, Monotonie (Wo steigt die Funktion, wo fällt sie?) und Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte).

Bei all diesen Schritten gilt: Du untersuchst eine Funktion nur dort, wo sie definiert ist. Die Definitionsmenge ist deshalb immer der erste Schritt.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport