Achsensymmetrie verstehen – Spiegelungen in der Geometrie

Darum geht's

Stell dir vor, du faltest ein Blatt Papier genau in der Mitte. Dann schneidest du mit der Schere eine Form aus – vielleicht ein Herz oder einen Tannenbaum. Wenn du das Papier wieder aufklappst, siehst du etwas Erstaunliches: Beide Hälften sehen exakt gleich aus. Sie sind perfekte Spiegelbilder voneinander.

Dieses Prinzip begegnet dir überall im Alltag. Ein Schmetterling hat zwei gleiche Flügel. Dein Gesicht ist fast symmetrisch. Selbst viele Logos und Verkehrsschilder nutzen diesen Effekt. Die Natur und die Menschen lieben diese besondere Ordnung.

In der Mathematik nennen wir dieses Phänomen Achsensymmetrie. Der Knick im gefalteten Papier ist dabei die Symmetrieachse. Sie teilt die Figur in zwei spiegelgleiche Hälften.

Eine kleine Zeitreise

Die Faszination für Symmetrie ist so alt wie die Menschheit selbst. Schon vor mehr als 4000 Jahren nutzten die alten Ägypter symmetrische Muster beim Bau ihrer Tempel und Pyramiden. Die Vorderfassade des Tempels von Luxor etwa ist fast perfekt achsensymmetrisch – kein Zufall, sondern bewusste Gestaltung. Die Ägypter glaubten, dass Symmetrie Harmonie und göttliche Ordnung widerspiegelt.

Auch die antiken Griechen dachten intensiv über Symmetrie nach. Der Philosoph und Mathematiker Platon (427–347 v. Chr.) schrieb über die Schönheit regelmässiger Formen. Sein Schüler Aristoteles erkannte, dass symmetrische Formen in der Natur besonders häufig vorkommen. Der griechische Architekt Iktinos nutzte Achsensymmetrie beim Bau des Parthenons in Athen – einem der berühmtesten Bauwerke der Antike.

Im Mittelalter war Symmetrie ein wichtiges Gestaltungsprinzip in der Kirchenarchitektur. Kathedralen wurden so gebaut, dass ihre Grundrisse und Fassaden symmetrisch waren. Die Rosettenfenster gotischer Kathedralen zeigen kunstvolle achsensymmetrische Muster aus farbigem Glas.

Der Begriff „Symmetrie” stammt aus dem Griechischen. Das Wort „symmetria” bedeutet „Gleichmass” oder „Ebengemässheit”. Es setzt sich zusammen aus „syn” (zusammen) und „metron” (Mass).

Den mathematisch präzisen Begriff der Achsensymmetrie, wie wir ihn heute kennen, entwickelten Mathematiker erst im 17. und 18. Jahrhundert. René Descartes legte mit seinem Koordinatensystem die Grundlage, um Spiegelungen exakt zu beschreiben. Euler und spätere Mathematiker formalisierten die Symmetriegeometrie weiter.

Heute begegnet dir Achsensymmetrie in der Architektur, im Design, in der Biologie, in der Chemie und in der Informatik. Symmetrische Strukturen sind stabil, schön und effizient. Die Natur nutzt sie aus genau diesen Gründen.

Die Grundlagen

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn eine besondere Gerade existiert: eine Linie, an der du die Figur spiegeln kannst, sodass sie danach genau gleich aussieht. Du kannst es dir als imaginären Spiegel vorstellen, der entlang dieser Linie steht.

Definition

Eine Figur heisst achsensymmetrisch, wenn es eine Gerade $s$ gibt, sodass die Figur bei Spiegelung an $s$ auf sich selbst abgebildet wird.

Diese Gerade $s$ nennen wir die Symmetrieachse oder Spiegelachse.

Für jeden Punkt $P$ der Figur gilt: Sein Spiegelbild $P'$ liegt ebenfalls auf der Figur. Es gilt:

$$\begin{align*} &\text{Abstand}(P, s) = \text{Abstand}(P', s) \\ &\overline{PP'} \perp s \end{align*}$$

Das heisst: Die Strecke $\overline{PP'}$ steht senkrecht auf der Achse $s$, und beide Abstände zur Achse sind gleich gross.

Die Symmetrieachse funktioniert wie ein echter Spiegel. Jeder Punkt der Figur hat einen Partnerpunkt auf der anderen Seite. Beide Partner haben denselben Abstand zur Achse. Verbindest du einen Punkt mit seinem Spiegelbild, kreuzt diese Strecke die Achse in einem rechten Winkel – und genau in der Mitte.

Verschiedene Figuren besitzen unterschiedlich viele Symmetrieachsen. Ein gleichseitiges Dreieck hat drei. Ein Quadrat hat vier. Ein Rechteck hat zwei. Ein gleichschenkliges Dreieck hat genau eine. Ein Kreis besitzt unendlich viele, denn jeder Durchmesser ist eine Symmetrieachse. Ein allgemeines Parallelogramm hingegen hat gar keine Symmetrieachse.

Je regelmässiger eine Figur, desto mehr Symmetrieachsen besitzt sie in der Regel.

Die Kernmethode

Beim Spiegeln einer Figur an einer Achse gehst du immer nach demselben Verfahren vor. Du spiegelst jeden wichtigen Punkt der Figur einzeln. Dann verbindest du die Bildpunkte.

Definition

Gegeben sind ein Punkt $P$ und eine Symmetrieachse $s$.

Der Spiegelpunkt $P'$ (lies: „P Strich”) wird so konstruiert:

1. Zeichne eine Strecke von $P$ senkrecht zur Achse $s$.
2. Miss den Abstand $d$ von $P$ zur Achse.
3. Trage auf der anderen Seite von $s$ denselben Abstand $d$ ab.
4. Dieser Punkt ist $P'$.

Es gilt stets:

$$\begin{align*} d(P, s) &= d(P', s) = d \\ |PP'| &= 2d \end{align*}$$

Liegt $P$ direkt auf der Achse $s$, dann gilt $P' = P$. Der Punkt wird auf sich selbst abgebildet.

Für ganze Figuren spiegelst du alle Eckpunkte nacheinander. Dann verbindest du die Bildpunkte $A'$, $B'$, $C'$ usw. in der gleichen Reihenfolge wie die Originalpunkte $A$, $B$, $C$. Das Ergebnis ist die gespiegelte Figur.

Denk daran: Die gespiegelte Figur ist deckungsgleich mit der ursprünglichen, aber seitenverkehrt. Sie hat dieselbe Form und Grösse. Nur die Orientierung ist umgekehrt.

Beispiel:

Beispiel 1: Einen einzelnen Punkt spiegeln

Gegeben ist der Punkt $A$. Er liegt $3 \, \text{cm}$ links von der senkrechten Symmetrieachse $s$.

Wo liegt der Spiegelpunkt $A'$?

Lösung:

Du wendest die Spiegelregel an:

• $A$ hat den Abstand $d = 3 \, \text{cm}$ zur Achse.
• $A'$ liegt auf der anderen Seite, also rechts von $s$.
• Der Abstand von $A'$ zur Achse beträgt ebenfalls $3 \, \text{cm}$.

Die Gesamtlänge der Strecke $\overline{AA'}$ berechnet sich so:

$$|\overline{AA'}| = d + d = 3 \, \text{cm} + 3 \, \text{cm} = 6 \, \text{cm}$$

Die Strecke $\overline{AA'}$ steht senkrecht auf der Achse $s$. Ihre Mitte liegt genau auf $s$.

Der Spiegelpunkt $A'$ liegt also $3 \, \text{cm}$ rechts von $s$, auf gleicher Höhe wie $A$.

Beispiel:

Beispiel 2: Ein Dreieck spiegeln

Das Dreieck $ABC$ liegt links der senkrechten Symmetrieachse $s$. Die Abstände der Eckpunkte zur Achse betragen:

• Punkt $A$: $2 \, \text{cm}$ links von $s$
• Punkt $B$: $4 \, \text{cm}$ links von $s$
• Punkt $C$: $1 \, \text{cm}$ links von $s$

Konstruiere das gespiegelte Dreieck $A'B'C'$.

Lösung:

Du spiegelst jeden Eckpunkt einzeln:

Punkt $A$: Abstand $2 \, \text{cm}$ links → $A'$ liegt $2 \, \text{cm}$ rechts von $s$.

Punkt $B$: Abstand $4 \, \text{cm}$ links → $B'$ liegt $4 \, \text{cm}$ rechts von $s$.

Punkt $C$: Abstand $1 \, \text{cm}$ links → $C'$ liegt $1 \, \text{cm}$ rechts von $s$.

Jetzt verbindest du $A'$, $B'$ und $C'$ mit Linien. Du erhältst das Dreieck $A'B'C'$.

Das gespiegelte Dreieck ist deckungsgleich mit $ABC$. Es hat dieselben Seitenlängen und dieselben Winkel. Die Abstände zu $s$ lauten:

$$|\overline{AA'}| = 4 \, \text{cm}, \quad |\overline{BB'}| = 8 \, \text{cm}, \quad |\overline{CC'}| = 2 \, \text{cm}$$

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Thema Achsensymmetrie machen viele Schülerinnen und Schüler immer wieder dieselben Fehler. Hier sind die wichtigsten Fallen – und wie du sie vermeidest.

Achtung

Schräge Verbindungslinien: Die Strecke vom Punkt zur Achse muss immer im rechten Winkel ($90°$) auf der Achse stehen. Nutze ein Geodreieck zur Kontrolle. Ohne diesen rechten Winkel liegt der Spiegelpunkt an der falschen Stelle.

Achtung

Ungleiche Abstände: Der Originalabstand und der gespiegelte Abstand müssen exakt gleich sein. Miss mit dem Lineal und trage den Wert sorgfältig ab. Ein Millimeter Unterschied führt schon zu einer falschen Lösung.

Achtung

Verwechslung mit Verschiebung: Beim Spiegeln wird die Figur umgeklappt, nicht verschoben. Die linke Seite wird zur rechten und umgekehrt. Das Ergebnis ist seitenverkehrt – das ist korrekt und gewollt. Eine Verschiebung hingegen verändert nur die Position, nicht die Orientierung.

Achtung

Vergessene Punkte: Spiegle alle Eckpunkte, bevor du die Figur verbindest. Ein vergessener Punkt führt zu einer verzerrten oder unvollständigen Figur. Arbeite systematisch: Nummeriere oder bezeichne die Punkte, und hake jeden ab, sobald du ihn gespiegelt hast.

Beispiel:

Beispiel 3: Symmetrieachsen in Buchstaben finden

Welche Symmetrieachsen besitzen die Grossbuchstaben A, B und H?

Lösung:

Buchstabe A:

Der Buchstabe A hat eine senkrechte Symmetrieachse. Sie verläuft durch den oberen Scheitelpunkt und die Mitte des Querbalkens. Die linke Hälfte und die rechte Hälfte sind spiegelgleich. Eine waagrechte Achse existiert nicht.

Buchstabe B:

Der Buchstabe B hat eine waagrechte Symmetrieachse. Sie verläuft durch die Mitte zwischen den beiden Rundungen. Die obere und die untere Hälfte sind spiegelgleich. Eine senkrechte Achse besitzt B nicht.

Buchstabe H:

Der Buchstabe H ist besonders symmetrisch. Er hat zwei Symmetrieachsen: eine senkrechte und eine waagrechte. Beide verlaufen durch die Mitte des Buchstabens.

Buchstaben wie F, G, J, K, L, N, P, Q, R, S, Z haben keine Symmetrieachse. Du kannst sie nicht so falten, dass beide Hälften deckungsgleich sind.

Beispiel:

Beispiel 4: Symmetrieachsen bei geometrischen Figuren bestimmen

Bestimme die Anzahl der Symmetrieachsen für folgende Figuren: gleichseitiges Dreieck, Quadrat, Rechteck, Raute und regelmässiges Fünfeck.

Lösung:

Gleichseitiges Dreieck: $3$ Symmetrieachsen. Jede Achse verläuft durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.

Quadrat: $4$ Symmetrieachsen. Zwei verlaufen durch gegenüberliegende Ecken (diagonal). Zwei verlaufen durch die Mitten gegenüberliegender Seiten.

Rechteck: $2$ Symmetrieachsen. Beide verlaufen durch die Mitten gegenüberliegender Seiten. Die Diagonalen sind beim Rechteck keine Symmetrieachsen – das ist ein häufiger Irrtum.

Raute: $2$ Symmetrieachsen. Beide verlaufen durch gegenüberliegende Ecken. Die Verbindungslinien der Seitenmitten sind beim Raute keine Symmetrieachsen.

Regelmässiges Fünfeck: $5$ Symmetrieachsen. Jede Achse verläuft durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.

Die Anzahl der Symmetrieachsen bei regelmässigen $n$-Ecken ist stets $n$.

Vertiefung

Du kennst nun die Grundlagen der Achsensymmetrie. Jetzt geht es einen Schritt weiter: Wie hängt die Achsensymmetrie mit anderen geometrischen Konzepten zusammen?

Mehrfache Symmetrieachsen und Punktsymmetrie

Besitzt eine Figur zwei Symmetrieachsen, die sich im rechten Winkel schneiden, so ist sie auch punktsymmetrisch zum Schnittpunkt. Das Quadrat ist ein gutes Beispiel. Es hat vier Symmetrieachsen und ist ausserdem punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt.

Spiegelung im Koordinatensystem

Im Koordinatensystem lassen sich Spiegelungen besonders elegant beschreiben.

Definition

Wird ein Punkt $P(x \mid y)$ an der $y$-Achse gespiegelt, so gilt:

$$P(x \mid y) \xrightarrow{\text{Spiegelung an } y\text{-Achse}} P'(-x \mid y)$$

Wird ein Punkt $P(x \mid y)$ an der $x$-Achse gespiegelt, so gilt:

$$P(x \mid y) \xrightarrow{\text{Spiegelung an } x\text{-Achse}} P'(x \mid -y)$$

Das Vorzeichen der entsprechenden Koordinate kehrt sich um. Die andere Koordinate bleibt unverändert.

Diese Regeln sind sehr praktisch. Du kannst damit Spiegelungen exakt berechnen, ohne zu messen.

Symmetrie in der Natur und im Alltag

Schmetterlings- und Blütenblätter, Schneeflocken, menschliche Körper, Fahrzeuge, Gebäude – überall begegnet dir Achsensymmetrie. In der Biologie hilft Symmetrie dabei, Gleichgewicht beim Bewegen zu halten. In der Technik erleichtert sie die Herstellung. Im Design erzeugt sie Harmonie.

Interessant: In der Biologie gibt es nie perfekte Symmetrie. Dein linkes Auge ist minimal anders als dein rechtes. Diese kleinen Abweichungen nennt man Asymmetrien. Sie machen Lebewesen lebendig und einzigartig.

Beispiel:

Beispiel 5: Spiegelung im Koordinatensystem

Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten $A(2 \mid 3)$, $B(5 \mid 1)$ und $C(4 \mid 5)$. Spiegle das Dreieck an der $y$-Achse.

Lösung:

Du wendest die Spiegelregel für die $y$-Achse an: Das Vorzeichen der $x$-Koordinate kehrt sich um. Die $y$-Koordinate bleibt gleich.

Punkt $A(2 \mid 3)$:

$$A' = (-2 \mid 3)$$

Punkt $B(5 \mid 1)$:

$$B' = (-5 \mid 1)$$

Punkt $C(4 \mid 5)$:

$$C' = (-4 \mid 5)$$

Das gespiegelte Dreieck $A'B'C'$ hat also die Eckpunkte $A'(-2 \mid 3)$, $B'(-5 \mid 1)$ und $C'(-4 \mid 5)$.

Zur Kontrolle: Das ursprüngliche Dreieck liegt rechts der $y$-Achse. Das gespiegelte Dreieck liegt links davon. Die $y$-Koordinaten sind identisch geblieben. Die Abstände zur $y$-Achse stimmen überein.

Das gespiegelte Dreieck ist deckungsgleich mit dem Original.

Übungen

Löse die folgenden Aufgaben. Sie werden von Aufgabe 1 bis 10 anspruchsvoller. Die ausführlichen Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1 (★☆☆) Ein Punkt $P$ liegt $4 \, \text{cm}$ links von der Symmetrieachse $s$. Wie weit liegt der Spiegelpunkt $P'$ von $P$ entfernt?

Aufgabe 2 (★☆☆) Die Strecke $\overline{QQ'}$ ist $10 \, \text{cm}$ lang. $Q'$ ist der Spiegelpunkt von $Q$ an der Achse $s$. Welchen Abstand hat $Q$ von der Achse?

Aufgabe 3 (★☆☆) Welche der folgenden Grossbuchstaben haben genau eine Symmetrieachse? C, D, E, M, T

Aufgabe 4 (★★☆) Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $4 \, \text{cm}$ und der Höhe $5 \, \text{cm}$. Zeichne die Symmetrieachse ein. Begründe, warum genau diese Achse eine Symmetrieachse ist.

Aufgabe 5 (★★☆) Ein Punkt $R$ hat den Abstand $6 \, \text{cm}$ zur Achse $s$. Sein Spiegelpunkt heisst $R'$. Berechne den Abstand $|RR'|$ und die Abstände $d(R, s)$ und $d(R', s)$.

Aufgabe 6 (★★☆) Gegeben ist das Viereck $ABCD$ mit $A(1 \mid 2)$, $B(3 \mid 2)$, $C(3 \mid 5)$, $D(1 \mid 5)$. Spiegle das Viereck an der $y$-Achse. Nenne die Koordinaten der Bildpunkte.

Aufgabe 7 (★★☆) Wie viele Symmetrieachsen haben folgende Figuren: regelmässiges Dreieck, Quadrat, regelmässiges Siebeneck, Kreis?

Aufgabe 8 (★★★) Das Dreieck $EFG$ hat die Eckpunkte $E(0 \mid 2)$, $F(3 \mid 0)$, $G(3 \mid 4)$. Spiegle das Dreieck an der $x$-Achse. Nenne die Koordinaten der Bildpunkte und beschreibe, wo das gespiegelte Dreieck liegt.

Aufgabe 9 (★★★) Ein Rechteck mit den Eckpunkten $H(1 \mid 1)$, $I(5 \mid 1)$, $J(5 \mid 3)$, $K(1 \mid 3)$ wird an der senkrechten Geraden $x = 3$ gespiegelt. Berechne die Koordinaten der Bildpunkte $H'$, $I'$, $J'$, $K'$.

Aufgabe 10 (★★★) Ein Punkt $P(a \mid b)$ wird an der $x$-Achse gespiegelt. Der Bildpunkt ist $P'$. Danach wird $P'$ an der $y$-Achse gespiegelt. Der Bildpunkt heisst $P''$. Gib die Koordinaten von $P''$ in Abhängigkeit von $a$ und $b$ an. Was fällt dir auf?

Das Wichtigste in Kürze

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn es eine Gerade $s$ gibt, an der man sie spiegeln kann, ohne dass sie sich verändert. Diese Gerade heisst Symmetrieachse.

Beim Spiegeln eines Punktes $P$ an der Achse $s$ gilt: Der Bildpunkt $P'$ liegt auf der anderen Seite von $s$. Die Strecke $\overline{PP'}$ steht senkrecht auf $s$. Beide Abstände zur Achse sind gleich gross.

Um eine ganze Figur zu spiegeln, spiegelst du jeden Eckpunkt einzeln. Dann verbindest du die Bildpunkte.

Verschiedene Figuren haben verschieden viele Symmetrieachsen. Regelmässige $n$-Ecke haben genau $n$ Symmetrieachsen. Ein Kreis hat unendlich viele.

Im Koordinatensystem kehrt die Spiegelung an der $y$-Achse das Vorzeichen der $x$-Koordinate um. Die Spiegelung an der $x$-Achse kehrt das Vorzeichen der $y$-Koordinate um.

❓ Frage: Ein Punkt $P$ liegt $5 \, \text{cm}$ von der Symmetrieachse entfernt. Wie weit ist sein Spiegelpunkt $P'$ von $P$ entfernt?

Lösung anzeigen

Der Spiegelpunkt $P'$ liegt ebenfalls $5 \, \text{cm}$ von der Achse entfernt, aber auf der anderen Seite. Die Gesamtstrecke beträgt $5 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm} = 10 \, \text{cm}$.

❓ Frage: Wie viele Symmetrieachsen hat ein regelmässiges Sechseck?

Lösung anzeigen

Ein regelmässiges Sechseck hat 6 Symmetrieachsen. Drei verlaufen durch gegenüberliegende Ecken. Drei verlaufen durch die Mitten gegenüberliegender Seiten.

❓ Frage: Die Strecke von einem Punkt $A$ zu seinem Spiegelpunkt $A'$ ist $8 \, \text{cm}$ lang. Wie gross ist der Abstand von $A$ zur Symmetrieachse?

Lösung anzeigen

Die Symmetrieachse halbiert die Strecke $\overline{AA'}$. Der Abstand von $A$ zur Achse beträgt daher $8 \, \text{cm} \div 2 = 4 \, \text{cm}$.

❓ Frage: Welche Koordinaten hat der Spiegelpunkt von $P(3 \mid {-}2)$ an der $y$-Achse?

Lösung anzeigen

Bei der Spiegelung an der $y$-Achse kehrt sich das Vorzeichen der $x$-Koordinate um. Die $y$-Koordinate bleibt gleich. Der Spiegelpunkt ist $P'(-3 \mid {-}2)$.

❓ Frage: Hat ein allgemeines Parallelogramm (kein Rechteck, keine Raute) eine Symmetrieachse?

Lösung anzeigen

Nein. Ein allgemeines Parallelogramm hat keine Symmetrieachse. Es ist zwar punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen, aber achsensymmetrisch ist es nicht. Erst wenn das Parallelogramm ein Rechteck oder eine Raute ist, entstehen Symmetrieachsen.

Ausblick

Das Thema Achsensymmetrie ist dein Einstieg in die Welt der geometrischen Abbildungen. In höheren Klassen lernst du weitere Abbildungen kennen: die Punktsymmetrie, die Drehung und die Verschiebung. Diese vier Abbildungen bilden zusammen die Grundlage der Transformationsgeometrie.

Im Koordinatensystem wirst du Spiegelungen noch präziser beschreiben. Du lernst, wie man Spiegelungsgeraden aufstellt, die weder senkrecht noch waagrecht verlaufen.

In der Oberstufe begegnet dir Symmetrie dann auch in der Algebra: in quadratischen Funktionen, deren Graphen symmetrisch zur Scheitelpunktachse sind. Das Fundament dafür legst du jetzt.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1:

Der Punkt $P$ hat den Abstand $d = 4 \, \text{cm}$ zur Achse. Der Spiegelpunkt $P'$ liegt ebenfalls $4 \, \text{cm}$ von der Achse entfernt, auf der anderen Seite. Die Gesamtstrecke beträgt:

$$|\overline{PP'}| = 4 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm}$$

Lösung zu Aufgabe 2:

Die Achse $s$ halbiert die Strecke $\overline{QQ'}$. Der Abstand von $Q$ zur Achse beträgt:

$$d(Q, s) = \dfrac{|\overline{QQ'}|}{2} = \dfrac{10 \, \text{cm}}{2} = 5 \, \text{cm}$$

Lösung zu Aufgabe 3:

• C: Eine waagrechte Symmetrieachse (oben und unten sind spiegelgleich). ✓
• D: Eine waagrechte Symmetrieachse. ✓
• E: Eine waagrechte Symmetrieachse (oberer und unterer Querbalken sind gleich lang). ✓
• M: Eine senkrechte Symmetrieachse. ✓
• T: Eine senkrechte Symmetrieachse. ✓

Alle fünf Buchstaben haben genau eine Symmetrieachse.

Lösung zu Aufgabe 4:

Das gleichschenklige Dreieck hat eine senkrechte Symmetrieachse. Sie verläuft durch den Scheitelpunkt (obere Spitze) und den Mittelpunkt der Basis. Die Begründung: Die linke und die rechte Hälfte des Dreiecks sind spiegelgleich, weil beide Schenkel gleich lang sind. Die Achse steht senkrecht auf der Basis und halbiert sie.

Lösung zu Aufgabe 5:

Gegeben: $d(R, s) = 6 \, \text{cm}$.

Der Abstand von $R'$ zur Achse ist gleich gross:

$$d(R', s) = 6 \, \text{cm}$$

Die Gesamtstrecke $|RR'|$ beträgt:

$$|RR'| = d(R, s) + d(R', s) = 6 \, \text{cm} + 6 \, \text{cm} = 12 \, \text{cm}$$

Lösung zu Aufgabe 6:

Das Viereck $ABCD$ wird an der $y$-Achse gespiegelt. Das Vorzeichen der $x$-Koordinate kehrt sich um:

$$A(1 \mid 2) \to A'(-1 \mid 2)$$ $$B(3 \mid 2) \to B'(-3 \mid 2)$$ $$C(3 \mid 5) \to C'(-3 \mid 5)$$ $$D(1 \mid 5) \to D'(-1 \mid 5)$$

Das gespiegelte Viereck $A'B'C'D'$ liegt links der $y$-Achse.

Lösung zu Aufgabe 7:

• Regelmässiges Dreieck ($n = 3$): $3$ Symmetrieachsen
• Quadrat ($n = 4$): $4$ Symmetrieachsen
• Regelmässiges Siebeneck ($n = 7$): $7$ Symmetrieachsen
• Kreis: Unendlich viele Symmetrieachsen (jeder Durchmesser)

Lösung zu Aufgabe 8:

Das Dreieck $EFG$ wird an der $x$-Achse gespiegelt. Das Vorzeichen der $y$-Koordinate kehrt sich um:

$$E(0 \mid 2) \to E'(0 \mid {-2})$$ $$F(3 \mid 0) \to F'(3 \mid 0)$$ $$G(3 \mid 4) \to G'(3 \mid {-4})$$

Punkt $F$ liegt auf der $x$-Achse. Er wird auf sich selbst abgebildet, also $F' = F$.

Das gespiegelte Dreieck $E'F'G'$ liegt unterhalb der $x$-Achse. Die Punkte $E'$ und $G'$ haben negative $y$-Koordinaten.

Lösung zu Aufgabe 9:

Die Spiegelachse ist die senkrechte Gerade $x = 3$. Für jeden Punkt berechnest du den Abstand zur Achse und trägst ihn auf der anderen Seite ab.

Punkt $H(1 \mid 1)$: Abstand zur Achse $x = 3$ beträgt $3 - 1 = 2$. Der Bildpunkt liegt $2$ Einheiten rechts von $x = 3$: $H'(5 \mid 1)$.

Punkt $I(5 \mid 1)$: Abstand zur Achse beträgt $5 - 3 = 2$. Der Bildpunkt liegt $2$ Einheiten links von $x = 3$: $I'(1 \mid 1)$.

Punkt $J(5 \mid 3)$: Abstand beträgt $2$. Bildpunkt: $J'(1 \mid 3)$.

Punkt $K(1 \mid 3)$: Abstand beträgt $2$. Bildpunkt: $K'(5 \mid 3)$.

Das gespiegelte Rechteck $H'I'J'K'$ stimmt mit dem Original überein. Das liegt daran, dass $x = 3$ genau die senkrechte Symmetrieachse des Rechtecks ist.

Lösung zu Aufgabe 10:

Ausgangspunkt: $P(a \mid b)$.

Schritt 1: Spiegelung von $P$ an der $x$-Achse. Die $y$-Koordinate wechselt das Vorzeichen:

$$P'(a \mid {-b})$$

Schritt 2: Spiegelung von $P'$ an der $y$-Achse. Die $x$-Koordinate wechselt das Vorzeichen:

$$P''(-a \mid {-b})$$

Auffälligkeit: Der Punkt $P''(-a \mid {-b})$ ist der Punkt, den man durch eine Spiegelung am Ursprung $(0 \mid 0)$ erhält. Die Hintereinanderausführung einer Spiegelung an der $x$-Achse und einer Spiegelung an der $y$-Achse ergibt eine Punktspiegelung am Ursprung. Das verbindet Achsensymmetrie und Punktsymmetrie auf elegante Weise.

Verwandte Themen

• Lage von Geraden – Wie Linien sich treffen (oder nicht)
• Punktsymmetrie verstehen – Spiegelung am Punkt
• Strecken und Geraden – Die Bausteine der Geometrie

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport