Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen: So findest du die Lösungen grafisch

Zuletzt aktualisiert: 20. Oktober 2026

Weiterführend:

Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 6 Kompetenzen

MA.3.A.3.hGrundanspruchZu einer Funktionsgleichung Wertepaare bestimmen und in einem Koordinatensystem einzeichnen
MA.3.C.2.gGrundanspruchAbhängigkeit zweier Grössen mit Funktionsgraph darstellen; Graphenverläufe interpretieren (Erw: geeignete Skalierung wählen; lineare funktionale Zusammenhänge mit Term beschreiben)
MA.1.A.4.lQuadratische Gleichungen durch Faktorzerlegung lösen; binomische Formeln anwenden; Rechenregeln Potenz vor Punkt vor Strich
MA.3.A.3.iFunktionswert zu einer gegebenen Zahl aus Wertetabelle, Graph und Funktionsgleichung bestimmen (z.B. y = 2x + 1, x = 7 → y = 15); Rechner/Software für Funktionswerte nutzen; Sachaufgaben mit Prozentangaben lösen (Steigung, Zins)
MA.3.A.3.kZu linearen Funktionen den Funktionsgraphen zeichnen; Steigung, y-Achsenabschnitt und Nullstelle bestimmen
MA.3.C.2.hWertetabellen, Diagramme, Sachtexte, Terme und Graphen einander zuordnen und interpretieren; Sachsituationen nach funktionalen, statistischen und probabilistischen Gesichtspunkten bearbeiten

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Zeichnerisches Lösungsverfahren: die Idee

Bevor du quadratische Gleichungen zeichnerisch löst, musst du wissen, was sie eigentlich sind. Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a \ne 0$ . Dabei nennt man $a$ , $b$ und $c$ die Koeffizienten der Gleichung.

Die zugehörige Funktion ist $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Ihr Graph ist eine Parabel. Diese Parabel öffnet sich nach oben, wenn $a > 0$ ist. Sie öffnet sich nach unten, wenn $a < 0$ ist.

Der Zusammenhang zwischen Gleichung und Funktion ist der Schlüssel des zeichnerischen Verfahrens. Die Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ fragt: Für welche $x$ -Werte ist $f(x) = 0$ ? Die Antwort findest du an den Stellen, an denen die Parabel die $x$ -Achse schneidet oder berührt. Diese $x$ -Werte heissen Nullstellen.

Um die Parabel zu zeichnen, brauchst du ein Koordinatensystem und eine Wertetabelle. Die Wertetabelle enthält $x$ -Werte und die zugehörigen $y$ -Werte. Jede Zeile der Tabelle liefert dir einen Punkt für die Zeichnung. Aus mindestens sieben Punkten lässt sich die Parabel sauber einzeichnen.

Zeichnerisches Lösungsverfahren: der Rechenweg

Die zeichnerische Lösung einer quadratischen Gleichung folgt einem klaren Fünf-Schritte-Plan. Wenn du diesen Ablauf verinnerlichst, gelingt dir jede Aufgabe zuverlässig.

Schritt 1: Bringe die Gleichung auf die allgemeine Form $ax^2 + bx + c = 0$ . Alle Terme müssen auf einer Seite stehen.

Schritt 2: Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Wähle mindestens sieben $x$ -Werte. Der Scheitelpunkt sollte in der Mitte liegen.

Schritt 3: Zeichne ein Koordinatensystem mit passender Skalierung. Beschrifte beide Achsen sauber.

Schritt 4: Trage die Punkte der Wertetabelle ein. Verbinde sie zu einer glatten, geschwungenen Kurve.

Schritt 5: Lies die Nullstellen ab. Das sind die $x$ -Werte der Schnittpunkte mit der $x$ -Achse.

Dieses Vorgehen klappt bei jeder quadratischen Gleichung. Wie genau du die Lösungen ablesen kannst, hängt von der Sauberkeit deiner Zeichnung ab. Eine ungenau gezeichnete Parabel führt zu ungenauen Ablesewerten. Nimm dir Zeit für sorgfältige Skalierung und genaues Eintragen der Punkte.

Beispiel:

Zwei Nullstellen finden

Löse die Gleichung $x^2 - 2x - 3 = 0$ zeichnerisch.

Lösung:

Die Gleichung liegt bereits in der Normalform vor. Du zeichnest die Parabel zu $f(x) = x^2 - 2x - 3$ .

Wertetabelle:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$5$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$5$

Der tiefste Punkt der Parabel liegt bei $(1|-4)$ . Die Parabel öffnet sich nach oben, weil $a = 1 > 0$ ist.

Du trägst die sieben Punkte ein und verbindest sie zu einer glatten Kurve. Die Parabel schneidet die $x$ -Achse an zwei Stellen: bei $x = -1$ und $x = 3$ .

Koordinatensystem mit der nach oben geöffneten Parabel f von x gleich x Quadrat minus 2 x minus 3. Die sieben Punkte der Wertetabelle sind schwarz markiert, die Schnittpunkte mit der x-Achse (−1|0) und (3|0) rot, der Scheitelpunkt S(1|−4) grün.

Abb. 1: Die schwarzen Punkte stammen aus der Wertetabelle. Die Parabel schneidet die $x$ -Achse in $(-1|0)$ und $(3|0)$ . Die Lösungen der Gleichung sind die $x$ -Werte dieser Schnittpunkte.

Lösung: $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$

Zur Kontrolle setzt du beide Werte ein: $(-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$ ✓ und $3^2 - 2 \cdot 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$ ✓

Beispiel:

Genau eine Nullstelle (Doppellösung)

Löse die Gleichung $x^2 - 6x + 9 = 0$ zeichnerisch.

Lösung:

Die Gleichung liegt in der Normalform vor. Du betrachtest $f(x) = x^2 - 6x + 9$ .

Der Scheitelpunkt liegt bei $x_S = -\dfrac{-6}{2} = 3$ .

Wertetabelle:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$f(x)$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Die Parabel ist symmetrisch zur Gerade $x = 3$ . Der tiefste Punkt liegt bei $(3|0)$ .

Die Parabel berührt die $x$ -Achse nur an einer einzigen Stelle: bei $x = 3$ . Sie schneidet die Achse nicht, sondern berührt sie nur.

Lösung: $x = 3$ (Doppellösung)

Tatsächlich lässt sich die Gleichung auch als $(x - 3)^2 = 0$ schreiben. Das erklärt, warum es nur eine einzige Lösung gibt. Bei einer Doppellösung liegt der Scheitelpunkt der Parabel exakt auf der $x$ -Achse.

Typische Fehler bei Zeichnerisches Lösungsverfahren

Zeichnerisches Lösungsverfahren in Aufgaben

Beispiel:

Keine Nullstelle

Löse die Gleichung $x^2 - 2x + 5 = 0$ zeichnerisch.

Lösung:

Die Gleichung liegt in Normalform vor. Du zeichnest $f(x) = x^2 - 2x + 5$ .

Der Scheitelpunkt liegt bei $x_S = -\dfrac{-2}{2} = 1$ .

Wertetabelle:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$13$	$8$	$5$	$4$	$5$	$8$	$13$

Die Parabel öffnet sich nach oben. Der tiefste Punkt liegt bei $(1|4)$ .

Die gesamte Parabel liegt oberhalb der $x$ -Achse. Sie schneidet die Achse niemals, weil ihr tiefster Funktionswert $4$ beträgt.

Lösung: Die Gleichung hat keine reelle Lösung.

In der Zeichnung schwebt die Parabel komplett über der $x$ -Achse. Der Abstand zwischen Scheitelpunkt und $x$ -Achse beträgt genau $4$ Einheiten. Diese Situation tritt immer dann auf, wenn die Diskriminante $b^2 - 4ac$ negativ ist. Du erkennst sie aber auch rein zeichnerisch.

Die Beispiele 1 bis 3 zeigen die drei möglichen Fälle nebeneinander. Bei einer nach oben geöffneten Parabel entscheidet der Scheitelpunkt: Liegt er unterhalb der $x$ -Achse, gibt es zwei Lösungen. Liegt er genau auf der $x$ -Achse, gibt es eine Lösung. Liegt er oberhalb, gibt es keine Lösung.

Drei Koordinatensysteme nebeneinander. Links schneidet die Parabel zu x Quadrat minus 2 x minus 3 die x-Achse in (−1|0) und (3|0). In der Mitte berührt die Parabel zu x Quadrat minus 6 x plus 9 die x-Achse in (3|0). Rechts liegt die Parabel zu x Quadrat minus 2 x plus 5 mit dem Scheitelpunkt S(1|4) ganz über der x-Achse.

Abb. 2: Zwei, eine oder keine Lösung, je nachdem, ob der Scheitelpunkt unter, auf oder über der $x$ -Achse liegt. Rechts liegt der Scheitelpunkt 4 Einheiten über der $x$ -Achse.

Beispiel:

Gleichung zuerst umformen

Löse die Gleichung $x^2 + 4 = 4x$ zeichnerisch.

Lösung:

Zuerst bringst du alle Terme auf eine Seite:

$x^2 + 4 = 4x$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Jetzt zeichnest du $f(x) = x^2 - 4x + 4$ .

Der Scheitelpunkt liegt bei $x_S = -\dfrac{-4}{2} = 2$ .

Wertetabelle:

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Die Parabel hat ihren Scheitelpunkt bei $(2|0)$ . Er liegt genau auf der $x$ -Achse, und die Parabel berührt die Achse dort.

Lösung: $x = 2$ (Doppellösung)

Diese Gleichung entspricht $(x - 2)^2 = 0$ , was die Doppellösung bestätigt. Die binomische Formel liefert dir hier einen schnellen Check. Lässt sich die Gleichung in der Form $(x - d)^2 = 0$ schreiben, hat sie genau eine Lösung, nämlich die Doppellösung $x = d$ .

Zeichnerisches Lösungsverfahren genauer betrachtet

Der Scheitelpunkt einer Parabel ist ein ganz besonderer Punkt. Er liegt auf der Symmetrieachse der Parabel. Hat die Parabel zwei Nullstellen, liegt seine $x$ -Koordinate genau in der Mitte zwischen ihnen. Wenn du seine $x$ -Koordinate kennst, sparst du dir viel Zeit beim Aufstellen der Wertetabelle.

Für eine Funktion $f(x) = x^2 + bx + c$ berechnest du den Scheitelpunkt mit:

$x_S = -\frac{b}{2}$

Setzt du diesen Wert in die Funktion ein, erhältst du die $y$ -Koordinate: $y_S = f(x_S)$ . Damit hast du den Ankerpunkt deiner Zeichnung.

Manchmal liegt die Gleichung in einer anderen Form vor, etwa $x^2 = 2x + 3$ . Du kannst die Gleichung lösen, indem du zwei Funktionen zeichnest: $f(x) = x^2$ und $g(x) = 2x + 3$ . Die $x$ -Werte der Schnittpunkte sind die Lösungen.

Diese Methode des Funktionsvergleichs ist besonders nützlich, wenn die Normalparabel $f(x) = x^2$ bereits bekannt ist. Du musst dann nur noch die Gerade einzeichnen. Der Vorteil: Du vergleichst zwei einfache Graphen. Der Nachteil: Du musst beide Graphen exakt zeichnen, damit du die Schnittpunkte genau ablesen kannst.

Beispiel:

Schnitt zweier Graphen

Löse die Gleichung $x^2 = 2x + 3$ zeichnerisch mit der Methode Funktionsvergleich.

Lösung:

Du zeichnest zwei Funktionen ins gleiche Koordinatensystem:

$f(x) = x^2$ (Normalparabel)
$g(x) = 2x + 3$ (Gerade)

Wertetabelle für die Normalparabel:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Die Gerade $g(x) = 2x + 3$ hat die Steigung $2$ und den $y$ -Achsenabschnitt $3$ . Du zeichnest sie mit zwei Punkten: $(0|3)$ und $(1|5)$ .

Die Gerade schneidet die Parabel an zwei Stellen: in $(-1|1)$ und in $(3|9)$ . Die Lösungen sind die $x$ -Werte dieser Schnittpunkte.

Koordinatensystem mit der Normalparabel f von x gleich x Quadrat in Blau und der Geraden g von x gleich 2 x plus 3 in Orange. Sie schneiden sich in den rot markierten Punkten (−1|1) und (3|9). Gestrichelte Linien führen von dort senkrecht zur x-Achse, zu x1 gleich minus 1 und x2 gleich 3.

Abb. 3: Parabel und Gerade schneiden sich in $(-1|1)$ und $(3|9)$ . Die Lösungen sind die $x$ -Werte $-1$ und $3$ , nicht die $y$ -Werte.

Lösung: $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$

Zur Kontrolle: Bei $x = -1$ ist $f(-1) = 1$ und $g(-1) = 1$ ✓. Bei $x = 3$ ist $f(3) = 9$ und $g(3) = 9$ ✓. Beide Lösungen sind korrekt.

Übrigens: Bringst du in $x^2 = 2x + 3$ alles auf eine Seite, erhältst du $x^2 - 2x - 3 = 0$ . Das ist genau die Gleichung aus Beispiel 1. Beide Verfahren liefern deshalb dieselben Lösungen.

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben in der angegebenen Reihenfolge. Die Schwierigkeit steigt von Aufgabe zu Aufgabe.

Aufgabe 1: Erstelle eine Wertetabelle für $f(x) = x^2 - 4$ im Bereich $x = -3$ bis $x = 3$ . Lies die Nullstellen ab.

Aufgabe 2: Zeichne die Parabel zu $f(x) = x^2 - 2x$ und bestimme die Lösungen der Gleichung $x^2 - 2x = 0$ .

Aufgabe 3: Bestimme zeichnerisch die Lösungen von $x^2 + 2x - 3 = 0$ . Gib die Koordinaten des Scheitelpunkts an.

Aufgabe 4: Wie viele Lösungen hat die Gleichung $x^2 + 4x + 4 = 0$ ? Zeichne die Parabel und erkläre die Anzahl der Nullstellen.

Aufgabe 5: Zeige zeichnerisch, dass die Gleichung $x^2 + 1 = 0$ keine reelle Lösung hat. Begründe mit dem Scheitelpunkt.

Aufgabe 6: Forme die Gleichung $2x + 5 = x^2$ in die Normalform um und löse sie zeichnerisch.

Aufgabe 7: Bestimme die Lösungen der Gleichung $x^2 - 5x + 6 = 0$ zeichnerisch. Der Scheitelpunkt liegt bei $x_S = 2{,}5$ .

Aufgabe 8: Zeichne $f(x) = -x^2 + 4$ und bestimme die Nullstellen. Wie liegt die Parabel im Koordinatensystem?

Aufgabe 9: Löse die Gleichung $x^2 = 6 - x$ mit der Methode Funktionsvergleich. Zeichne dazu $f(x) = x^2$ und $g(x) = 6 - x$ .

Aufgabe 10: Eine Parabel hat die Form $f(x) = x^2 + bx + c$ und die Nullstellen $x_1 = 1$ und $x_2 = 5$ . Bestimme $b$ und $c$ , zeichne die Parabel und überprüfe die Nullstellen zeichnerisch.

Das Wichtigste in Kürze

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Parabel.
Eine Wertetabelle mit mindestens sieben Punkten ermöglicht eine genaue Zeichnung.
Quadratische Gleichungen können zwei, eine oder keine reelle Lösung haben.
Die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen und hilft bei der Orientierung.
Die allgemeine Form $ax^2 + bx + c = 0$ ist die Ausgangsbasis jeder Zeichnung.
Bei der Methode Funktionsvergleich zeichnest du zwei Graphen und liest die Schnittpunkte ab.
Eine glatte, geschwungene Kurve ist entscheidend für genaue Ableseergebnisse.
Bei einer Doppellösung berührt die Parabel die $x$ -Achse genau einmal.
Bei keiner Lösung liegt die gesamte Parabel oberhalb oder unterhalb der $x$ -Achse.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Die Parabel

f(x) = x^2 - 4

schneidet die

x

-Achse. Wie viele Lösungen hat die Gleichung

x^2 - 4 = 0

Lösung anzeigen

Die Gleichung hat zwei Lösungen. Die Parabel $f(x) = x^2 - 4$ ist eine nach unten verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt bei $(0|-4)$ . Sie schneidet die $x$ -Achse bei $x = -2$ und $x = 2$ .

❓ Frage:

Eine Parabel hat ihren Scheitelpunkt bei

(3|2)

und öffnet sich nach oben. Wie viele Nullstellen hat sie?

Lösung anzeigen

Die Parabel hat keine Nullstellen. Der Scheitelpunkt bei $(3|2)$ ist der tiefste Punkt der Parabel. Da dieser Punkt über der $x$ -Achse liegt und die Parabel sich nach oben öffnet, kann sie die $x$ -Achse nie erreichen.

❓ Frage:

Du sollst die Gleichung

x^2 + 2x = 8

zeichnerisch lösen. Welche Funktion zeichnest du, um die Nullstellen abzulesen?

Lösung anzeigen

Du formst zuerst um: $x^2 + 2x - 8 = 0$ . Dann zeichnest du die Funktion $f(x) = x^2 + 2x - 8$ . Die Nullstellen dieser Parabel sind die Lösungen der Gleichung. Die Lösungen sind $x_1 = -4$ und $x_2 = 2$ .

❓ Frage:

Wo liegt der Scheitelpunkt der Parabel

f(x) = x^2 - 8x + 12

Lösung anzeigen

Der Scheitelpunkt liegt bei $x_S = -\dfrac{-8}{2} = 4$ . Der $y$ -Wert beträgt $f(4) = 16 - 32 + 12 = -4$ . Der Scheitelpunkt liegt also bei $(4|-4)$ .

❓ Frage:

Eine Parabel berührt die

x

-Achse genau an einem Punkt. Wie nennt man diese Art von Lösung?

Lösung anzeigen

Man nennt diese Lösung Doppellösung. Die Parabel tangiert die $x$ -Achse am Scheitelpunkt. Die Gleichung lässt sich dann (nach Division durch $a$ ) als $(x - d)^2 = 0$ schreiben und hat genau eine Lösung $x = d$ .

Ausblick

Das zeichnerische Verfahren gibt dir ein gutes Verständnis dafür, was quadratische Gleichungen bedeuten. Allerdings ist es nicht immer praktisch. Wenn die Lösungen keine ganzen Zahlen sind, wird das Ablesen ungenau.

Deshalb lernst du als Nächstes rechnerische Verfahren: die quadratische Ergänzung und die a-b-c-Formel. Mit diesen Werkzeugen findest du exakte Lösungen, auch wenn sie krumme Werte wie $\sqrt{7}$ enthalten. Das zeichnerische Verfahren bleibt aber wichtig, um rechnerische Ergebnisse zu überprüfen.

Lösungen

Aufgabe 1: Die Wertetabelle für $f(x) = x^2 - 4$ ergibt die Werte $f(-3) = 5$ , $f(-2) = 0$ , $f(-1) = -3$ , $f(0) = -4$ , $f(1) = -3$ , $f(2) = 0$ , $f(3) = 5$ . Die Parabel schneidet die $x$ -Achse bei $x = -2$ und $x = 2$ . Die Lösungen sind $x_1 = -2$ und $x_2 = 2$ .

Aufgabe 2: Für $f(x) = x^2 - 2x$ ergibt die Wertetabelle $f(-1) = 3$ , $f(0) = 0$ , $f(1) = -1$ , $f(2) = 0$ , $f(3) = 3$ . Der Scheitelpunkt liegt bei $(1|-1)$ . Die Parabel schneidet die $x$ -Achse bei $x = 0$ und $x = 2$ . Die Lösungen sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 2$ .

Aufgabe 3: Für $f(x) = x^2 + 2x - 3$ liegt der Scheitelpunkt bei $x_S = -\dfrac{2}{2} = -1$ , also bei $(-1|-4)$ . Wertetabelle: $f(-4) = 5$ , $f(-3) = 0$ , $f(-2) = -3$ , $f(-1) = -4$ , $f(0) = -3$ , $f(1) = 0$ , $f(2) = 5$ . Die Nullstellen liegen bei $x_1 = -3$ und $x_2 = 1$ .

Aufgabe 4: Für $f(x) = x^2 + 4x + 4$ liegt der Scheitelpunkt bei $x_S = -2$ , also bei $(-2|0)$ . Die Parabel berührt die $x$ -Achse genau an diesem Punkt. Die Gleichung hat eine Doppellösung: $x = -2$ . Das liegt daran, dass $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ ein vollständiges Quadrat ist.

Aufgabe 5: Für $f(x) = x^2 + 1$ liegt der Scheitelpunkt bei $(0|1)$ . Die Parabel öffnet sich nach oben. Der tiefste Funktionswert ist $1$ . Die gesamte Parabel liegt oberhalb der $x$ -Achse. Sie kann die Achse also nie schneiden. Die Gleichung hat keine reelle Lösung.

Aufgabe 6: Du formst um: $2x + 5 = x^2$ wird zu $x^2 - 2x - 5 = 0$ . Der Scheitelpunkt liegt bei $x_S = 1$ , also bei $(1|-6)$ . Eine Wertetabelle mit ganzen Zahlen zeigt Nullstellen zwischen $-2$ und $-1$ sowie zwischen $3$ und $4$ : Es ist $f(-2) = 3$ und $f(-1) = -2$ sowie $f(3) = -2$ und $f(4) = 3$ . Die genauen Lösungen sind $x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{6}$ , also etwa $x_1 \approx -1{,}45$ und $x_2 \approx 3{,}45$ . Zeichnerisch liest du diese Werte ungefähr ab.

Aufgabe 7: Für $f(x) = x^2 - 5x + 6$ liegt der Scheitelpunkt bei $(2{,}5|-0{,}25)$ . Wertetabelle: $f(0) = 6$ , $f(1) = 2$ , $f(2) = 0$ , $f(3) = 0$ , $f(4) = 2$ , $f(5) = 6$ . Die Parabel schneidet die $x$ -Achse bei $x = 2$ und $x = 3$ . Die Lösungen sind $x_1 = 2$ und $x_2 = 3$ .

Aufgabe 8: Für $f(x) = -x^2 + 4$ liegt der Scheitelpunkt bei $(0|4)$ . Weil $a = -1 < 0$ ist, öffnet sich die Parabel nach unten. Wertetabelle: $f(-3) = -5$ , $f(-2) = 0$ , $f(-1) = 3$ , $f(0) = 4$ , $f(1) = 3$ , $f(2) = 0$ , $f(3) = -5$ . Die Parabel schneidet die $x$ -Achse bei $x = -2$ und $x = 2$ . Zwischen den Nullstellen liegt die Parabel oberhalb der $x$ -Achse, ausserhalb davon unterhalb.

Aufgabe 9: Du zeichnest $f(x) = x^2$ und $g(x) = 6 - x$ . Wertetabelle für $f$ : wie bei der Normalparabel. Die Gerade hat $y$ -Achsenabschnitt $6$ und Steigung $-1$ . Sie verläuft zum Beispiel durch $(0|6)$ und $(6|0)$ . Die Schnittpunkte liegen bei $x = -3$ (da $9 = 9$ ) und $x = 2$ (da $4 = 4$ ). Die Lösungen sind $x_1 = -3$ und $x_2 = 2$ .

Aufgabe 10: Aus den Nullstellen $x_1 = 1$ und $x_2 = 5$ ergibt sich die faktorisierte Form $f(x) = (x - 1)(x - 5)$ . Ausmultiplizieren liefert $f(x) = x^2 - 6x + 5$ . Also ist $b = -6$ und $c = 5$ . Der Scheitelpunkt liegt bei $x_S = 3$ , also bei $(3|-4)$ . Wertetabelle: $f(0) = 5$ , $f(1) = 0$ , $f(2) = -3$ , $f(3) = -4$ , $f(4) = -3$ , $f(5) = 0$ , $f(6) = 5$ . Die zeichnerische Überprüfung bestätigt die Nullstellen bei $x = 1$ und $x = 5$ .

Quellen

Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport

Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen: So findest du die Lösungen grafisch

Zeichnerisches Lösungsverfahren: die Idee

Zeichnerisches Lösungsverfahren: der Rechenweg

Zwei Nullstellen finden

Genau eine Nullstelle (Doppellösung)

Typische Fehler bei Zeichnerisches Lösungsverfahren

Zeichnerisches Lösungsverfahren in Aufgaben

Keine Nullstelle

Gleichung zuerst umformen

Zeichnerisches Lösungsverfahren genauer betrachtet

Schnitt zweier Graphen

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