Körperschnitte verstehen: Schnittflächen von Würfel, Quader und Zylinder einfach erklärt

Weiterführend:

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• Vorwissen: Körper-Grundlagen
• Vorwissen: Quader und Würfel
• Verwandt: Baupläne und Würfelgebäude

Darum geht's

Beim Zmorge schneidest du ein Stück Käse ab, in der Pause teilst du einen Apfel, und am Abend fällt das Brot in Scheiben. Jedes Mal machst du dabei Geometrie. Je nachdem, wie du das Messer ansetzt, entstehen unterschiedliche Formen: gerade Scheiben, schräge Ovale oder lange Streifen. Genau so funktioniert es bei geometrischen Körpern. Wenn du einen Würfel, einen Quader, einen Zylinder oder eine Kugel durchschneidest, entsteht eine Schnittfläche – und ihre Form lässt sich vorhersagen, bevor du überhaupt schneidest. In diesem Artikel lernst du, welche Formen bei welchem Körper möglich sind, wie du systematisch vorgehst und wie du dein räumliches Vorstellungsvermögen trainierst.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse) · 3Kompetenzen

• MA.2.A.1.fGeometrische Körper erkennen und benennen (Würfel, Quader, Kugel, Zylinder, Pyramide) in Umwelt und Bildern
• MA.2.B.2.aEigenschaften von Figuren und Körpern erforschen und beschreiben (z.B. beim Halbieren eines Quadrats entstehen Dreiecke oder Rechtecke)
• MA.2.C.3.eKörper in der Vorstellung zerlegen und zusammenfügen (z.B. Somawürfel); Operationen am Modell ausführen

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Frage, welche Formen beim Durchschneiden von Körpern entstehen, beschäftigte schon die alten Griechen. Um 350 vor Christus untersuchte der Mathematiker Menaichmos, was passiert, wenn man einen Kegel mit einer Ebene schneidet. Er suchte eigentlich eine Lösung für ein ganz anderes Problem – die Verdopplung eines Würfels – und stiess dabei auf neue Kurven, die niemand zuvor beschrieben hatte.

Den grossen Durchbruch schaffte Apollonios von Perge (etwa 262–190 v. Chr.). In seinem Werk «Konika» untersuchte er systematisch alle Schnitte durch einen Kegel. Er entdeckte, dass dabei genau vier verschiedene Kurven entstehen können, und gab dreien davon die Namen, die wir heute noch verwenden: Ellipse, Parabel und Hyperbel. Diese Kegelschnitte spielen in der Astronomie eine zentrale Rolle – Planeten bewegen sich auf Ellipsen um die Sonne.

Rund 1700 Jahre später brachte der Künstler Albrecht Dürer das Wissen über Körperschnitte zu den Handwerkern. In seinem Buch «Underweysung der Messung» von 1525 zeigte er Schritt für Schritt, wie man Schnitte durch Körper zeichnet. Goldschmiede, Baumeister und Steinmetze lernten daraus, wie sie ihre Werkstücke planen konnten.

Gefahr

Mathe-Fact: Albrecht Dürer zeichnete 1525 als einer der Ersten eine Ellipse als Kegelschnitt – machte dabei aber einen berühmten Fehler. Er glaubte, die Kurve müsse unten breiter sein als oben, weil der Kegel dort dicker ist, und nannte sie «Eierlinie». In Wahrheit ist jede Ellipse perfekt symmetrisch.

Heute sind Körperschnitte aus Technik und Medizin nicht mehr wegzudenken. Die Computertomographie (CT) durchleuchtet den menschlichen Körper Schicht für Schicht – jedes Bild ist eine Schnittfläche. Ein Computer setzt Hunderte solcher Schnitte zu einem dreidimensionalen Bild zusammen. Auch Architektinnen und Ingenieure arbeiten ständig mit Schnittzeichnungen: Ein Grundriss eines Hauses ist nichts anderes als ein waagrechter Schnitt durch das Gebäude.

Die Grundlagen

Ein Körperschnitt entsteht, wenn eine Ebene einen dreidimensionalen Körper durchdringt. Stell dir die Ebene als unendlich grosses, hauchdünnes Messer vor, das den Körper in einem geraden Schnitt teilt. Die Fläche, die dabei im Inneren sichtbar wird, heisst Schnittfläche. Schneidest du einen Apfel durch, ist die freigelegte Innenseite die Schnittfläche.

Definition

Die Schnittebene ist die gedachte, vollkommen ebene Fläche, entlang der ein Körper durchgeschnitten wird. Die Schnittfläche ist die zweidimensionale Figur, die dabei im Inneren des Körpers entsteht. Ihre Form hängt vom Körper und von der Lage der Schnittebene ab.

Drei Dinge bestimmen die Form der Schnittfläche: erstens der Körper selbst (Würfel, Quader, Zylinder, Kugel oder Kegel), zweitens die Richtung der Schnittebene und drittens ihre Position im Körper.

Die wichtigsten Fälle zeigt diese Übersicht:

Körper	Schnittrichtung	Schnittfläche
Würfel	parallel zu einer Seitenfläche	Quadrat
Würfel	schräg	Dreieck, Viereck, Fünfeck oder Sechseck
Quader	parallel zu einer Seitenfläche	Rechteck
Zylinder	quer (parallel zur Grundfläche)	Kreis
Zylinder	längs (durch die Achse)	Rechteck
Zylinder	schräg	Ellipse
Kugel	beliebig	immer ein Kreis
Kegel	parallel zur Grundfläche	Kreis
Kegel	schräg	Ellipse, Parabel oder Hyperbel

Zwei Beobachtungen lohnen sich. Erstens: Bei Körpern mit ebenen Seitenflächen (Würfel, Quader) ist die Schnittfläche immer ein Vieleck – ihre Seiten sind gerade. Zweitens: Bei runden Körpern (Zylinder, Kugel, Kegel) können gekrümmte Randlinien entstehen. Die Kugel ist ein Sonderfall: Egal wie du sie schneidest, die Schnittfläche ist immer ein Kreis.

Die Kernmethode

Damit du die Form einer Schnittfläche sicher bestimmst, brauchst du ein festes Vorgehen. Raten führt bei räumlichen Aufgaben schnell in die Irre – mit der folgenden Methode arbeitest du systematisch.

Definition

1. Körper benennen: Um welchen Körper geht es? Notiere die Masse (Kantenlängen, Durchmesser, Höhe).
2. Lage der Schnittebene klären: Verläuft sie parallel zu einer Fläche, durch die Achse oder schräg?
3. Getroffene Flächen zählen: Jede Seitenfläche, die die Schnittebene durchquert, liefert genau eine gerade Randlinie der Schnittfläche.
4. Form benennen und Masse bestimmen: Benenne die entstehende Figur. Bei Quadraten und Rechtecken berechnest du den Flächeninhalt mit $A = a \cdot b$.

Schritt 3 ist der Schlüssel für Vielecke. Ein Würfel hat 6 Seitenflächen. Trifft die Schnittebene 4 davon, entsteht ein Viereck. Trifft sie alle 6, entsteht ein Sechseck. Mehr als 6 Ecken sind unmöglich, denn mehr Seitenflächen gibt es nicht.

Eine Skizze hilft bei jedem Schritt. Zeichne den Körper als Schrägbild, markiere die Punkte, an denen die Schnittebene die Kanten trifft, und verbinde sie. Noch besser: Arbeite mit echten Modellen. Ein Stück Käse, ein Apfel oder Knetmasse zeigen dir sofort, ob deine Vorstellung stimmt. Genau dieses Wechselspiel zwischen Kopf und Modell trainiert dein räumliches Vorstellungsvermögen – eine Fähigkeit, die der Lehrplan «Kopfgeometrie» nennt.

Beispiel:

Beispiel 1: Einstieg – Waagrechter Schnitt durch einen Würfel

Ein Würfel hat die Kantenlänge $a = 4$ cm. Du schneidest ihn waagrecht in halber Höhe durch. Welche Form entsteht, und wie gross ist die Schnittfläche?

Gegeben:

• Würfel mit Kantenlänge $a = 4$ cm
• Schnittebene waagrecht, parallel zur Grundfläche, in halber Höhe

Gesucht: Form und Flächeninhalt der Schnittfläche

Lösung:

Die Schnittebene verläuft parallel zur quadratischen Grundfläche. Sie trifft die 4 senkrechten Seitenflächen des Würfels – also entsteht ein Viereck. Weil der Würfel überall gleich breit ist, hat das Viereck dieselbe Form wie die Grundfläche: ein Quadrat mit Seitenlänge $4$ cm.

$$A = a \cdot a = 4 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 16 \text{ cm}^2$$

Antwort: Die Schnittfläche ist ein Quadrat mit dem Flächeninhalt $16$ cm².

Kontrolle: Die Schnittfläche ist genauso gross wie die Grundfläche des Würfels – das passt, denn der Würfel verjüngt sich nach oben nicht. ✓

Beispiel:

Beispiel 2: Die Wurst – drei Schnitte durch einen Zylinder

Eine Wurst hat die Form eines Zylinders mit Durchmesser $d = 4$ cm und Länge $l = 20$ cm. Du schneidest sie auf drei Arten: quer, schräg und längs durch die Mitte. Welche Schnittflächen entstehen?

Gegeben:

• Zylinder mit $d = 4$ cm und $l = 20$ cm
• Drei Schnittrichtungen: quer, schräg, längs durch die Achse

Gesucht: Form der drei Schnittflächen; beim Längsschnitt zusätzlich der Flächeninhalt

Lösung:

Querschnitt: Die Schnittebene liegt parallel zur kreisförmigen Grundfläche. Es entsteht ein Kreis mit Durchmesser $4$ cm – die klassische Wurstscheibe.

Schräger Schnitt: Die Schnittebene ist gekippt. Der Kreis wird in eine Richtung gestreckt, es entsteht eine Ellipse – die ovale Scheibe, die du vom Wurstbrot kennst.

Längsschnitt durch die Achse: Die Schnittebene verläuft der Länge nach durch die Mitte. Es entsteht ein Rechteck. Seine Breite ist der Durchmesser, seine Länge die Wurstlänge:

$$A = 4 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 80 \text{ cm}^2$$

Antwort: Quer entsteht ein Kreis, schräg eine Ellipse, längs ein Rechteck mit $80$ cm².

Die häufigsten Stolpersteine

Bei Körperschnitten tauchen bestimmte Denkfehler immer wieder auf. Wenn du sie kennst, erkennst du sie rechtzeitig.

Achtung

Stolperstein 1: Schnittfläche mit Seitenfläche verwechseln

Die Schnittfläche ist eine neue Fläche, die erst durch den Schnitt entsteht. Sie gehört nicht zur Oberfläche des Körpers und muss keiner Seitenfläche gleichen. Wird ein Würfel mit Kantenlänge 5 cm schräg durch zwei gegenüberliegende Kanten geschnitten, entsteht kein Quadrat mit 25 cm², sondern ein Rechteck: Eine Seite ist die Kante (5 cm), die andere ist die Diagonale einer Seitenfläche – und die ist länger als 5 cm. Die Schnittfläche ist also grösser als eine Würfelseite.

Achtung

Stolperstein 2: Schräger Zylinderschnitt ergibt keinen Kreis

Viele nehmen an, ein schräger Schnitt durch einen Zylinder ergebe wieder einen Kreis. Das stimmt nicht: Es entsteht eine Ellipse. Sobald die Schnittebene gekippt ist, wird die Schnittfläche in eine Richtung länger, in der anderen bleibt sie gleich breit. Du siehst das an jeder schräg geschnittenen Salamischeibe: Sie ist oval, nicht rund. Je schräger der Schnitt, desto gestreckter die Ellipse.

Achtung

Stolperstein 3: Bei der Kugel gibt es keine Ellipsen

Beim Zylinder erzeugt ein schräger Schnitt eine Ellipse – bei der Kugel nicht. Eine Kugel sieht aus jeder Richtung gleich aus, darum ist jede Schnittfläche ein Kreis, egal wie schräg du schneidest. Nur die Grösse ändert sich: Der grösste Kreis entsteht, wenn die Schnittebene genau durch den Mittelpunkt geht. Je weiter der Schnitt vom Mittelpunkt entfernt ist, desto kleiner wird der Kreis – denke an die Scheiben einer Orange.

Achtung

Stolperstein 4: Würfelschnitte sind nicht immer Vierecke

Wer nur waagrechte und senkrechte Schnitte kennt, glaubt schnell, ein Würfelschnitt sei immer ein Quadrat oder Rechteck. Schräge Schnitte können aber auch Dreiecke, Fünfecke und sogar regelmässige Sechsecke erzeugen. Die Regel aus der Kernmethode hilft: Jede getroffene Seitenfläche liefert genau eine Randlinie. Schneidest du eine Ecke ab, triffst du 3 Flächen – es entsteht ein Dreieck. Mehr als 6 Ecken sind unmöglich, weil der Würfel nur 6 Seitenflächen hat.

Beispiel:

Beispiel 3: Der Käse – Schnitt durch einen Quader

Ein Käsestück hat die Form eines Quaders mit Länge $a = 12$ cm, Breite $b = 8$ cm und Höhe $h = 5$ cm. Du schneidest es senkrecht durch, parallel zur kleinsten Seitenfläche. Welche Form entsteht, und wie gross ist die Schnittfläche?

Gegeben:

• Quader mit $a = 12$ cm, $b = 8$ cm, $h = 5$ cm
• Schnittebene senkrecht, parallel zur kleinsten Seitenfläche

Gesucht: Form und Flächeninhalt der Schnittfläche

Lösung:

Zuerst bestimmst du die kleinste Seitenfläche. Die drei verschiedenen Seitenflächen messen $12 \times 8$, $12 \times 5$ und $8 \times 5$ – die kleinste ist die mit $8$ cm und $5$ cm.

Die Schnittebene verläuft parallel zu dieser Fläche. Sie trifft 4 Seitenflächen des Quaders, also entsteht ein Viereck. Weil der Quader in Schnittrichtung überall gleich dick ist, hat die Schnittfläche genau die Masse der kleinsten Seitenfläche: ein Rechteck mit $8$ cm und $5$ cm.

$$A = 8 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 40 \text{ cm}^2$$

Antwort: Die Schnittfläche ist ein Rechteck mit dem Flächeninhalt $40$ cm².

Kontrolle: Egal an welcher Stelle du parallel schneidest – vorne, in der Mitte oder hinten –, die Schnittfläche bleibt gleich gross. ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Das Brot in Scheiben

Ein Ruchbrot ist $30$ cm lang. Du schneidest es der Länge nach in gleich dicke Scheiben von je $2$ cm. Wie viele Scheiben erhältst du, und wie oft musst du schneiden?

Gegeben:

• Brotlänge: $30$ cm
• Scheibendicke: $2$ cm

Gesucht: Anzahl Scheiben und Anzahl Schnitte

Lösung:

Die Anzahl Scheiben erhältst du durch Teilen:

$$30 : 2 = 15$$

Es entstehen $15$ Scheiben. Für die Anzahl Schnitte überlegst du räumlich: Der erste Schnitt trennt die erste Scheibe ab, danach trennt jeder weitere Schnitt genau eine Scheibe ab. Die letzte Scheibe brauchst du nicht mehr abzuschneiden – sie bleibt übrig. Darum ist die Anzahl Schnitte um 1 kleiner als die Anzahl Scheiben:

$$15 - 1 = 14$$

Antwort: Du erhältst $15$ Scheiben mit $14$ Schnitten.

Kontrolle: Probiere es mit kleinen Zahlen: 2 Scheiben brauchen 1 Schnitt, 3 Scheiben brauchen 2 Schnitte. Das Muster «Schnitte = Scheiben − 1» stimmt. ✓

Vertiefung

Die spannendsten Schnittflächen entstehen am Kegel. Apollonios von Perge hat sie vor über 2200 Jahren vollständig beschrieben – und seine Entdeckung gehört bis heute zu den wichtigsten der Geometrie.

Definition

Schneidet eine Ebene einen Kegel, entsteht je nach Neigung der Ebene eine von vier Kurven: Kreis, Ellipse, Parabel oder Hyperbel. Diese vier Kurven heissen Kegelschnitte.

Welche Kurve entsteht, hängt davon ab, wie stark die Schnittebene gekippt ist:

Lage der Schnittebene	Schnittkurve
parallel zur Grundfläche	Kreis
leicht gekippt	Ellipse
parallel zur Mantellinie des Kegels	Parabel
noch steiler (fast senkrecht)	Hyperbel

Du kannst dir das an einem Glace-Cornet vorstellen. Beisst du gerade ab, siehst du einen Kreis. Beisst du leicht schräg ab, ein Oval – die Ellipse. Kippst du die «Bissebene» so weit, dass sie genauso steil verläuft wie die Seite des Cornets, schliesst sich die Kurve nicht mehr: Es entsteht eine Parabel, eine nach oben offene Bogenlinie. Bei noch steileren Schnitten entsteht die Hyperbel.

Diese Kurven sind keine Spielerei. Wirfst du einen Ball, fliegt er auf einer Parabel. Planeten und Kometen umkreisen die Sonne auf Ellipsen. Satellitenschüsseln haben die Form einer Parabel, weil diese alle ankommenden Signale in einem Punkt bündelt. In der 9. Klasse und im Gymnasium wirst du diesen Kurven wieder begegnen – dann mit Gleichungen und Koordinaten. Im Moment genügt es, wenn du sie erkennst und weisst, wie sie entstehen.

Beispiel:

Beispiel 5: Vertiefung – Der Würfelkuchen

Ein würfelförmiger Kuchen soll in lauter gleich grosse, kleinere Würfel zerlegt werden – wie ein Zauberwürfel mit 3 Schichten in jeder Richtung. Wie viele Schnitte brauchst du, und wie viele kleine Würfel entstehen?

Gegeben:

• Würfelförmiger Kuchen
• Zerlegung in $3 \times 3 \times 3$ kleine Würfel

Gesucht: Anzahl Schnitte und Anzahl kleiner Würfel

Lösung:

Für 3 Schichten in einer Richtung brauchst du 2 Schnitte – genau wie beim Brot: Schnitte = Schichten − 1. Es gibt 3 Richtungen (von links nach rechts, von vorne nach hinten, von oben nach unten), und in jeder Richtung brauchst du 2 Schnitte:

$$2 \cdot 3 = 6 \text{ Schnitte}$$

Die Anzahl der kleinen Würfel zählst du schichtweise: Jede der 3 Lagen enthält $3 \cdot 3 = 9$ Würfel, also insgesamt:

$$3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$$

Antwort: Mit $6$ Schnitten zerlegst du den Kuchen in $27$ kleine Würfel.

Kontrolle: Der Zauberwürfel bestätigt das Ergebnis: Er besteht aus $3 \times 3 \times 3$ sichtbaren Teilwürfeln. ✓

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Fertige bei den räumlichen Aufgaben eine Skizze an. Die Lösungen mit allen Überlegungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Ein Würfel hat die Kantenlänge $a = 5$ cm. Du schneidest ihn waagrecht in halber Höhe durch. Welche Form entsteht, und wie gross ist die Schnittfläche?

Aufgabe 2: Eine Salami wird einmal quer und einmal längs durch die Mitte geschnitten. Benenne die beiden Schnittflächen.

Aufgabe 3: Ein Quader hat die Masse $a = 8$ cm, $b = 6$ cm und $h = 4$ cm. Du schneidest ihn waagrecht durch, parallel zur Grundfläche. Welche Form entsteht? Berechne den Flächeninhalt.

Aufgabe 4: Du schneidest eine Orange schräg durch. Welche Form hat die Schnittfläche? An welcher Stelle musst du schneiden, damit die Schnittfläche möglichst gross wird?

Aufgabe 5: Ein zylinderförmiges Glas hat den Durchmesser $d = 6$ cm und die Höhe $h = 10$ cm. Du schneidest es in Gedanken längs durch die Achse. Benenne die Schnittfläche und berechne ihren Flächeninhalt.

Aufgabe 6: Kann die Schnittfläche eines Würfels ein Siebeneck sein? Wie viele Ecken sind höchstens möglich? Begründe deine Antwort.

Aufgabe 7: Ein Zopf ist $24$ cm lang und wird in Scheiben von je $1{,}5$ cm geschnitten. Wie viele Scheiben entstehen, und wie viele Schnitte brauchst du?

Aufgabe 8: Ein Würfel wird schräg durch zwei gegenüberliegende Kanten geschnitten. Lea sagt: «Die Schnittfläche ist ein Quadrat.» Hat sie recht? Begründe.

Aufgabe 9: Ein würfelförmiger Käse wird wie ein Zauberwürfel mit 4 Schichten in jeder Richtung zerlegt. Wie viele Schnitte brauchst du, und wie viele kleine Würfel entstehen?

Aufgabe 10: Beim Kegel können vier verschiedene Schnittkurven entstehen. Benenne alle vier und beschreibe jeweils, wie die Schnittebene dafür liegen muss.

Das Wichtigste in Kürze

• Schnittfläche: Die zweidimensionale Figur, die entsteht, wenn eine Ebene einen Körper durchschneidet. Sie ist eine neue Fläche – keine Seitenfläche des Körpers.
• Drei Einflussgrössen: Der Körper, die Richtung der Schnittebene und ihre Position bestimmen die Form der Schnittfläche.
• Parallele Schnitte ergeben vertraute Formen: beim Würfel ein Quadrat, beim Quader ein Rechteck, beim Zylinder und Kegel einen Kreis.
• Schräge Schnitte erzeugen neue Formen: beim Zylinder eine Ellipse, beim Würfel Vielecke mit 3 bis 6 Ecken.
• Kugel-Sonderfall: Jede Schnittfläche einer Kugel ist ein Kreis. Der grösste Kreis geht durch den Mittelpunkt.
• Eckenregel: Jede getroffene Seitenfläche liefert eine Randlinie. Ein Würfelschnitt hat darum höchstens 6 Ecken.
• Schnitte zählen: Beim Zerlegen in Scheiben gilt: Anzahl Schnitte = Anzahl Scheiben − 1.
• Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel – entdeckt von Apollonios von Perge.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Ein Würfel wird waagrecht durch die Mitte geschnitten. Welche Form hat die Schnittfläche, und warum?

Lösung anzeigen

Die Schnittfläche ist ein Quadrat. Die Schnittebene verläuft parallel zur quadratischen Grundfläche und trifft die 4 senkrechten Seitenflächen – es entsteht ein Viereck. Weil der Würfel überall gleich breit ist, hat dieses Viereck dieselben Seitenlängen wie die Grundfläche. Bei Kantenlänge $a$ beträgt der Flächeninhalt $A = a \cdot a$.

❓ Frage:

Du schneidest eine Kugel schräg durch – die Schnittebene geht nicht durch den Mittelpunkt. Welche Form hat die Schnittfläche?

Lösung anzeigen

Die Schnittfläche ist ein Kreis – wie bei jedem Kugelschnitt. Eine Kugel sieht aus allen Richtungen gleich aus, darum gibt es bei ihr keine «schiefen» Schnitte: Jede Schnittfläche ist kreisrund. Nur die Grösse ändert sich. Weil die Ebene hier nicht durch den Mittelpunkt geht, ist der Kreis kleiner als der grösstmögliche Kreis.

❓ Frage:

Nino behauptet: «Wenn ich einen Zylinder schräg durchschneide, entsteht ein Kreis – einfach ein bisschen grösser.» Stimmt das?

Lösung anzeigen

Nein. Bei einem schrägen Schnitt durch einen Zylinder entsteht eine Ellipse, kein Kreis. In Richtung der Kippung wird die Schnittfläche länger, quer dazu bleibt sie so breit wie der Zylinder. Die Form ist also oval. Du erkennst das an schräg geschnittenen Salamischeiben: Sie sind länglich, nicht rund. Nur ein Schnitt parallel zur Grundfläche ergibt einen Kreis.

❓ Frage:

Ein Quader hat die Masse $10$ cm, $6$ cm und $4$ cm. Du schneidest ihn waagrecht, parallel zur Grundfläche mit den Seiten $10$ cm und $6$ cm. Benenne die Schnittfläche und berechne ihren Flächeninhalt.

Lösung anzeigen

Die Schnittebene verläuft parallel zur Grundfläche, darum ist die Schnittfläche ein Rechteck mit denselben Massen wie die Grundfläche:

$$A = 10 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 60 \text{ cm}^2$$

Die Höhe von $4$ cm spielt für die Form keine Rolle – sie bestimmt nur, wo du schneiden kannst.

❓ Frage:

Stell dir vor, du schneidest von einem Würfel eine Ecke ab. Welche Form hat die Schnittfläche? Nutze die Eckenregel.

Lösung anzeigen

Die Schnittfläche ist ein Dreieck. An einer Würfelecke stossen genau 3 Seitenflächen zusammen. Die Schnittebene trifft also 3 Flächen, und jede getroffene Fläche liefert genau eine Randlinie. Drei Randlinien ergeben ein Dreieck. Schneidest du die Ecke so ab, dass auf allen drei Kanten gleich viel abgetrennt wird, ist das Dreieck sogar gleichseitig.

Ausblick

Du weisst jetzt, welche Schnittflächen bei Würfel, Quader, Zylinder, Kugel und Kegel entstehen. Der nächste Schritt führt dich zu Quader und Würfel zurück – dort berechnest du Oberflächen und Volumen. Dein Wissen über Schnitte hilft dir dabei: Ein Volumen kannst du dir als Stapel vieler dünner Schnittflächen vorstellen, genau wie ein Brot aus seinen Scheiben besteht. Und wer die Baupläne und Würfelgebäude beherrscht, trainiert dieselbe Kopfgeometrie, die du hier beim gedanklichen Schneiden eingesetzt hast.

Lösungen

Lösung 1: Die Schnittebene verläuft parallel zur quadratischen Grundfläche des Würfels. Sie trifft die 4 senkrechten Seitenflächen, also entsteht ein Viereck mit den Seitenlängen der Grundfläche – ein Quadrat mit Seitenlänge $5$ cm.

$$A = 5 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 25 \text{ cm}^2$$

Die Schnittfläche ist ein Quadrat mit $25$ cm².

Lösung 2: Die Salami ist ein Zylinder. Beim Querschnitt liegt die Schnittebene parallel zur kreisförmigen Grundfläche – es entsteht ein Kreis (die runde Wurstscheibe). Beim Längsschnitt durch die Mitte verläuft die Schnittebene durch die Achse des Zylinders – es entsteht ein Rechteck: Eine Seite ist so lang wie die Salami, die andere so breit wie ihr Durchmesser.

Lösung 3: Die Schnittebene verläuft parallel zur Grundfläche des Quaders. Die Schnittfläche ist darum ein Rechteck mit denselben Massen wie die Grundfläche, nämlich $8$ cm und $6$ cm. Die Höhe $h = 4$ cm bestimmt nur, in welchem Bereich du schneiden kannst.

$$A = 8 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 48 \text{ cm}^2$$

Die Schnittfläche ist ein Rechteck mit $48$ cm².

Lösung 4: Die Orange ist eine Kugel, und jede Schnittfläche einer Kugel ist ein Kreis – auch bei einem schrägen Schnitt. Die Schnittfläche wird am grössten, wenn die Schnittebene genau durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft. Je weiter der Schnitt vom Mittelpunkt entfernt ist, desto kleiner wird der Kreis. Das siehst du an Orangenscheiben: Die mittleren Scheiben sind die grössten, die äusseren die kleinsten.

Lösung 5: Beim Längsschnitt durch die Achse entsteht ein Rechteck. Seine Breite entspricht dem Durchmesser des Glases ($6$ cm), seine Höhe der Glashöhe ($10$ cm):

$$A = 6 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 60 \text{ cm}^2$$

Die Schnittfläche ist ein Rechteck mit $60$ cm².

Lösung 6: Nein, ein Siebeneck ist unmöglich. Jede Seitenfläche, die die Schnittebene trifft, liefert genau eine gerade Randlinie der Schnittfläche. Ein Würfel hat nur 6 Seitenflächen – mehr als 6 Randlinien und damit mehr als 6 Ecken kann die Schnittfläche also nicht haben. Das Maximum, ein Sechseck, entsteht, wenn die Schnittebene alle 6 Seitenflächen durchquert. Bei geschickter Lage ist es sogar ein regelmässiges Sechseck.

Lösung 7: Die Anzahl Scheiben erhältst du durch Teilen der Zopflänge durch die Scheibendicke:

$$24 : 1{,}5 = 16$$

Es entstehen $16$ Scheiben. Für die Schnitte gilt die Regel «Schnitte = Scheiben − 1», denn die letzte Scheibe bleibt nach dem vorletzten Schnitt von selbst übrig:

$$16 - 1 = 15$$

Du brauchst $15$ Schnitte für $16$ Scheiben.

Lösung 8: Lea hat nicht recht. Die Schnittfläche ist ein Rechteck, aber kein Quadrat. Eine Seite des Rechtecks ist eine Würfelkante. Die andere Seite ist die Diagonale einer Seitenfläche – die schräge Strecke quer über ein Quadrat. Eine Diagonale ist immer länger als die Seite des Quadrats, das sie durchquert. Die beiden Rechteckseiten sind also verschieden lang, und ein Quadrat müsste vier gleich lange Seiten haben. Die Schnittfläche ist darum ein länglicheres Rechteck und sogar grösser als eine Seitenfläche des Würfels.

Lösung 9: Für 4 Schichten in einer Richtung brauchst du $4 - 1 = 3$ Schnitte. Es gibt 3 Schnittrichtungen, also insgesamt:

$$3 \cdot 3 = 9 \text{ Schnitte}$$

Die kleinen Würfel zählst du schichtweise: Jede der 4 Lagen enthält $4 \cdot 4 = 16$ Würfel. Insgesamt sind es:

$$4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$$

Mit $9$ Schnitten entstehen $64$ kleine Würfel.

Kontrolle: Beim $3 \times 3 \times 3$-Kuchen aus Beispiel 5 waren es $2 \cdot 3 = 6$ Schnitte und $27$ Würfel – das Muster «(Schichten − 1) mal 3 Richtungen» stimmt auch hier. ✓

Lösung 10: Beim Kegel können die vier Kegelschnitte entstehen:

1. Kreis: Die Schnittebene liegt parallel zur Grundfläche des Kegels.
2. Ellipse: Die Schnittebene ist leicht gekippt, durchquert den Kegel aber noch vollständig – die Kurve ist geschlossen und oval.
3. Parabel: Die Schnittebene verläuft genauso steil wie die Mantellinie des Kegels. Die Kurve schliesst sich nicht mehr, sondern bleibt offen.
4. Hyperbel: Die Schnittebene ist noch steiler, fast senkrecht zur Grundfläche. Auch diese Kurve ist offen und verläuft noch «spitziger» als die Parabel.

Entdeckt und benannt wurden diese Kurven von Apollonios von Perge vor über 2200 Jahren. Du begegnest ihnen im Alltag öfter, als du denkst: Ein geworfener Ball fliegt auf einer Parabel, und die Planeten umkreisen die Sonne auf Ellipsen.

Verwandte Themen

• Geometrische Körper: Würfel, Quader, Kugel & Zylinder einfach erklärt
• Körper - Baupläne und Würfelgebäude
• Körper - Quader und Würfel

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport