Dezimalzahlen

Darum geht's

Jedes Mal, wenn du an der Kasse einen Preis wie $\text{CHF}\ 4{,}95$ siehst, einen Marathonlauf mit $42{,}195$ Kilometern verfolgst oder auf der Waage $57{,}3$ Kilogramm abliest, begegnest du Dezimalzahlen. Sie sind die Schreibweise für Zahlen, die “zwischen” den ganzen Zahlen liegen — und sie hängen direkt mit den Brüchen zusammen, die du im Kapitel davor gelernt hast.

In diesem Kapitel verstehst du, wie das Dezimalsystem hinter dem Komma funktioniert, rechnest die vier Grundrechenarten mit Kommazahlen und siehst zum Schluss, was es mit periodischen Dezimalzahlen wie $0{,}\overline{3}$ auf sich hat.

Worum geht es?

Eine Dezimalzahl wie $3{,}75$ ist nichts anderes als eine andere Schreibweise für einen Bruch: $3{,}75 = \tfrac{375}{100} = 3\tfrac{3}{4}$. Die Ziffern links vom Komma zählen die ganzen Einer, Zehner, Hunderter; die Ziffern rechts vom Komma zählen Zehntel, Hundertstel, Tausendstel und so weiter. Das Komma trennt die beiden Welten.

Warum diese Schreibweise? Weil sie im Alltag praktischer ist. Brüche wie $\tfrac{7}{8}$ sind präzise, aber beim Addieren verschiedener Nenner rechnet man sich die Finger wund. Mit Dezimalzahlen geht das fast wie bei ganzen Zahlen — Stelle unter Stelle. Das ist der Grund, warum praktisch jeder Taschenrechner und jede Währung mit Dezimaldarstellung arbeitet.

Was du schon können solltest

Bevor du hier anfängst, solltest du folgendes sicher beherrschen:

• die natürlichen Zahlen und ihre Grundrechenarten,
• die Bruchzahlen, insbesondere das Erweitern und Kürzen,
• das Stellenwertsystem (Einer, Zehner, Hunderter) — es gilt gleich auch hinter dem Komma.

Was du in diesem Kapitel lernst

Die sechs Lektionen gehen Schritt für Schritt vor:

1. Dezimalschreibweise — wie eine Zahl hinter dem Komma aufgebaut ist und wie du sie richtig liest.
2. Zahlenbereiche — wo Dezimalzahlen im grossen Bild der Zahlen sitzen (natürliche, ganze, rationale Zahlen).
3. Addieren und Subtrahieren — immer stellengerecht untereinander, das Komma untereinander.
4. Multiplizieren — Dezimalstellen zählen und am Schluss ein Komma setzen.
5. Dividieren — mit dem Trick, das Komma bei Divisor und Dividend gleichzeitig zu verschieben.
6. Periodische Dezimalzahlen — warum $\tfrac{1}{3}$ zu $0{,}\overline{3}$ wird und was die Schreibweise mit dem Überstrich bedeutet.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Komma — trennt ganzzahligen Teil und Nachkommateil.
• Dezimalstellen — die Ziffern rechts vom Komma. $3{,}14$ hat zwei Dezimalstellen.
• Zehntel / Hundertstel / Tausendstel — die Stellenwerte hinter dem Komma (entspricht $\tfrac{1}{10}$, $\tfrac{1}{100}$, $\tfrac{1}{1000}$).
• Endliche Dezimalzahl — hat nur endlich viele Dezimalstellen, wie $0{,}25$.
• Periodische Dezimalzahl — eine Ziffernfolge wiederholt sich unendlich, wie $0{,}\overline{6}$.

Häufige Denkfehler

Achtung

Beim Umgang mit Kommazahlen entstehen die meisten Fehler beim Stellen-Untereinanderschreiben und beim Komma-Setzen nach einer Multiplikation.

1. ”$0{,}5$ ist kleiner als $0{,}45$, weil $45 > 5$.” Falsch. Hinter dem Komma gilt Stellenwert, nicht “welche Zahl sieht grösser aus”. $0{,}5 = 0{,}50 > 0{,}45$.
2. “Bei der Addition schreibe ich rechtsbündig wie bei ganzen Zahlen.” Nein — bei Dezimalzahlen wird das Komma untereinander geschrieben, nicht die letzte Ziffer.
3. “Beim Multiplizieren ignoriere ich das Komma einfach.” Das Weglassen ist im Zwischenschritt erlaubt, aber am Schluss musst du genau so viele Dezimalstellen im Ergebnis setzen, wie beide Faktoren zusammen hatten.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Dezimalzahlen sind Teil des Kompetenzbereichs MA.1 – Zahl und Variable, Ende 2. Zyklus (6. Klasse) und Konsolidierung zu Beginn des 3. Zyklus (7. Klasse):

• MA.1.A.1 – Begriffe Dezimalzahl, Zehntel, Hundertstel, Stellenwert.
• MA.1.A.2 – Dezimalzahlen auf dem Zahlenstrahl ordnen und mit Brüchen vergleichen.
• MA.1.A.3 – Dezimalzahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.

Das schriftliche Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen gilt als Grundanspruch für den 2. Zyklus. Multiplikation und Division mit mehrstelligen Dezimalzahlen gehören zur Erweiterung und zum Einstieg in den 3. Zyklus.

Die Themen im Überblick

• Dezimalschreibweise
• Zahlenbereiche
• Dezimalzahlen addieren und subtrahieren
• Dezimalzahlen multiplizieren
• Dezimalzahlen dividieren
• Periodische Dezimalzahlen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport