Kreise und Körper

Darum geht's

Wie viel Liter Wasser passen in einen konischen Eimer mit $30\,\text{cm}$ Bodendurchmesser und $40\,\text{cm}$ Höhe? Wie gross ist die Erdoberfläche? Und wie lang ist der Bogen eines Kreisausschnitts, der einen Winkel von $72°$ überspannt? Alle drei Fragen beantwortest du in diesem Kapitel.

Kreise und Körper sind das klassische Schulbuch-Thema der 9./10. Klasse — hier treffen Geometrie, Algebra und räumliches Vorstellungsvermögen aufeinander.

Worum geht es?

Der Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt (dem Mittelpunkt $M$) denselben Abstand (den Radius $r$) haben. Aus dieser schlichten Definition ergeben sich die beiden berühmtesten Formeln der Schulmathematik:

$U = 2\pi r, \quad A = \pi r^2$

Die Kreiszahl $\pi \approx 3{,}14159\ldots$ ist irrational — sie lässt sich nie exakt als Dezimalzahl schreiben. Ein Kreisbogen über einem Winkel $\alpha$ (im Gradmass) hat die Länge $b = \tfrac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$. Ein Kreissektor (“Tortenstück”) entsprechend die Fläche $A_\text{s} = \tfrac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$.

Auch die Geometrie im Kreis ist reichhaltig: Sehnen, Tangenten (die den Kreis nur in einem Punkt berühren), und die Peripherie- und Zentriwinkel, die sich nach der Sehne richten. Der Peripheriewinkelsatz (jeder Peripheriewinkel über einer Sehne ist halb so gross wie der Zentriwinkel) ist eine der schönsten Tatsachen der Elementargeometrie.

Der zweite Teil des Kapitels führt in die Körpergeometrie: Quader, Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel. Für jeden lernst du Volumen und Oberfläche berechnen. Die wichtigsten Regeln:

• Prisma / Zylinder: $V = G \cdot h$ (Grundfläche mal Höhe).
• Pyramide / Kegel: $V = \tfrac{1}{3} G \cdot h$ (ein Drittel davon).
• Kugel: $V = \tfrac{4}{3} \pi r^3$, $O = 4\pi r^2$.

Was du schon können solltest

Für dieses Kapitel brauchst du:

• den Umfang- und Flächenbegriff aus der Geometrie der 5./6. Klasse,
• den Satz des Pythagoras — viele Körperberechnungen laufen darauf hinaus,
• sichere Einheitenumrechnungen ($1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l} = 10^6\,\text{cm}^3$),
• solides Rechnen mit Termen und Wurzeln.

Was du in diesem Kapitel lernst

Zwölf Lektionen, erst der Kreis, dann die Körper:

1. Kreise: Grundlagen — Radius, Durchmesser, Mittelpunkt, die Beziehung zwischen ihnen.
2. Kreisumfang und Kreisfläche — die beiden Kernformeln $U = 2\pi r$ und $A = \pi r^2$.
3. Kreisbogen und Kreissektor — Anteil am Vollkreis.
4. Kreisausschnitte — Bogen, Sektor, Ringfläche im Detail.
5. Winkel im Kreis — Zentriwinkel, Peripheriewinkel, Thaleskreis.
6. Sehnen und Tangenten — Eigenschaften und typische Aufgaben.
7. Quader und Prisma — $V = G \cdot h$, $O = 2G + M$, wo $M$ der Mantel ist.
8. Zylinder — der runde Spezialfall: $V = \pi r^2 h$, $O = 2\pi r^2 + 2\pi r h$.
9. Pyramide — $V = \tfrac{1}{3} G h$, Mantel aus Dreiecksflächen.
10. Kegel — $V = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h$, Mantellinie $s = \sqrt{r^2 + h^2}$.
11. Kugel — $V = \tfrac{4}{3} \pi r^3$, $O = 4\pi r^2$.
12. Zusammengesetzte Körper — Zerlegen in bekannte Teile und addieren oder subtrahieren.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Kreis — $\{P : |PM| = r\}$. Vollständig durch $M$ und $r$ beschrieben.
• Sehne — Strecke zwischen zwei Kreispunkten.
• Tangente — Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Immer senkrecht zum Radius im Berührpunkt.
• Grundfläche ($G$) — die (kongruente) Fläche oben und unten bei Prisma/Zylinder.
• Mantelfläche ($M$) — die Seitenfläche eines Körpers.
• Mantellinie — bei Kegel/Zylinder die Strecke von der Grund- zur Spitze bzw. Deckfläche.
• Oberfläche ($O$) — Summe aller Flächen: $O = 2G + M$ bei Prisma, $O = G + M$ bei Pyramide/Kegel.

Häufige Denkfehler

Achtung

Der wahrscheinlich häufigste Fehler in diesem Kapitel: bei Kegel und Pyramide den Faktor $\tfrac{1}{3}$ vergessen. Eine Pyramide hat ein Drittel des Volumens des umgebenden Prismas — das gilt für alle drei Dimensionen.

1. “Die Oberfläche einer Kugel ist $\pi r^2$.” Nein, das ist die Fläche eines Kreises mit Radius $r$. Die Kugeloberfläche ist $O = 4\pi r^2$ — genau viermal so gross. Leicht zu merken: Eine Kugel “versteckt” vier Kreisflächen.
2. “Wenn ich den Radius verdoppele, verdoppelt sich das Volumen.” Achtfach, nicht doppelt. $V \sim r^3$, also $(2r)^3 = 8 r^3$. Das ist derselbe Massstabseffekt wie bei ähnlichen Figuren.
3. “Die Mantellinie eines Kegels ist gleich der Höhe.” Nur bei einem “Kegel mit Höhe $0$” — und das ist kein Kegel. Mantellinie $s$, Höhe $h$, Radius $r$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck: $s = \sqrt{r^2 + h^2}$.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Kreise und Körper gehören zu MA.2 – Form und Raum, 3. Zyklus:

• MA.2.A.3 – Umfang, Fläche und Volumen von ebenen und räumlichen Figuren berechnen.
• MA.2.A.4 – Eigenschaften des Kreises (Sehnen, Tangenten, Winkel) begründet anwenden.
• MA.2.B.1 – Räumliche Zusammenhänge beschreiben und berechnen.

Kreisumfang, Kreisfläche und die Volumenformeln für Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel gelten als Grundanspruch im 3. Zyklus. Peripheriewinkelsatz, zusammengesetzte Körper und Oberflächenberechnungen bei Kegel und Kugel gehören zur Erweiterung.

Die Themen im Überblick

• Kreise: Grundlagen verstehen
• Kreisumfang und Kreisfläche berechnen
• Kreisbogen und Kreissektor
• Kreisausschnitte berechnen
• Winkel im Kreis
• Sehnen und Tangenten am Kreis
• Quader und Prisma
• Zylinder: Volumen und Oberfläche
• Pyramide berechnen
• Kegel: Volumen, Oberfläche und Mantellinie
• Kugel: Volumen und Oberfläche
• Zusammengesetzte Körper berechnen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport