Kongruente Dreiecke einfach erklärt: Die 4 Kongruenzsätze verstehen und anwenden

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Kongruenz”
• Kongruenz einfach erklärt: So erkennst du kongruente Figuren
• Kongruenzsätze einfach erklärt: So beweist du, dass Dreiecke deckungsgleich sind
• Kongruenz und Schnittfiguren einfach erklärt: So erkennst du deckungsgleiche Formen

Darum geht's

Stell dir vor, du arbeitest in einer Schreinerei und sollst ein dreieckiges Regal nachbauen. Du hast das Original vor dir, aber du kannst es nicht einfach kopieren – du musst es neu konstruieren. Welche Masse musst du messen, damit dein neues Regal exakt gleich wird wie das Original? Reichen die drei Seitenlängen? Oder brauchst du auch die Winkel? Und wenn ja, welche?

Genau diese Fragen beantwortet die Kongruenzlehre. Sie zeigt dir, welche Mindestinformationen du brauchst, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen – und wann zwei Dreiecke tatsächlich “identisch” sind. In diesem Artikel lernst du die vier Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW und SSW kennen und anwenden.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 7Kompetenzen

• MA.2.A.1.jGrundanspruchBegriffe x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Einheitsstrecke, Mantelfläche, Prisma, Zylinder; Drei- und Vierecke nach Winkel, Parallelität, Diagonalen, Seitenlängen charakterisieren
• MA.2.B.1.hGrundanspruchBeim Erforschen geometrischer Beziehungen Vermutungen formulieren, überprüfen und allenfalls neue formulieren; auf Forschungsaufgaben einlassen
• MA.2.C.3.gGrundanspruchKörper in der Vorstellung verändern und Ergebnisse beschreiben (z.B. Ecken eines Würfels abschleifen); Operationen im Kopf ausführen und Ergebnisse skizzieren
• MA.2.A.1.iBegriffe Seitenhalbierende, Winkelhalbierende, Höhe, Lot, Grundlinie, Grundfläche, Mittelsenkrechte, Schenkel, Netz, Umkreis, Inkreis, Viereck, Vieleck, Rhombus, Parallelogramm, Drachenviereck, Trapez, gleichschenklig/gleichseitig, Punktspiegelung, Drehung, Originalpunkt, Bildpunkt, kongruent, Koordinatensystem, 2D, 3D; geometrische Objekte korrekt beschriften
• MA.2.A.1.kBegriffe Kongruenz(-abbildung), Basis, Kegel, Prisma, Pyramide, π
• MA.2.B.1.iComputer zur Erforschung geometrischer Beziehungen nutzen (z.B. Umkreismittelpunkt bei verschiedenen Dreiecken)
• MA.2.C.3.h

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee der Kongruenz ist so alt wie die Geometrie selbst. Schon die alten Ägypter nutzten vor über 4000 Jahren deckungsgleiche Dreiecke, um nach den jährlichen Nilüberschwemmungen ihre Felder neu zu vermessen. Die sogenannten “Seilspanner” (griechisch Harpedonaptai) konstruierten mit geknoteten Seilen rechtwinklige Dreiecke und stellten sicher, dass die neu abgesteckten Flächen gleich gross waren wie zuvor.

Den entscheidenden Schritt zur systematischen Theorie machte jedoch der griechische Mathematiker Euklid von Alexandria um 300 v. Chr. In seinem berühmten Werk “Die Elemente” formulierte er die Kongruenzsätze zum ersten Mal als beweisbare Aussagen. Der SWS-Satz erscheint dort als Proposition 4 im ersten Buch – er ist eines der ersten geometrischen Theoreme überhaupt. Euklid bewies ihn durch “Aufeinanderlegen” der Dreiecke.

Interessant ist, dass Euklids Beweis über Jahrhunderte für Diskussionen sorgte. Das “Aufeinanderlegen” wurde von späteren Mathematikern wie David Hilbert (1862–1943) als nicht streng genug empfunden. Hilbert stellte die Geometrie 1899 auf ein neues axiomatisches Fundament. In seinem Werk “Grundlagen der Geometrie” nahm er den SWS-Satz als Axiom an – also als unbewiesene Grundannahme, aus der alle anderen Kongruenzsätze folgen.

Auch im praktischen Leben spielte Kongruenz immer eine wichtige Rolle. Mittelalterliche Baumeister nutzten kongruente Dreiecke für stabile Dachkonstruktionen. Der Gedanke dahinter: Ein Dreieck ist die einzige Figur, die sich nicht verformen lässt, wenn die Seitenlängen festliegen. Deshalb findest du Dreiecke heute in Kränen, Brücken und Fachwerkhäusern. Die Kongruenzsätze garantieren dabei, dass ein Bauteil exakt so aussieht wie geplant.

Die Grundlagen

Das Wort “kongruent” stammt aus dem Lateinischen und bedeutet “übereinstimmend” oder “deckungsgleich”. Zwei geometrische Figuren sind kongruent, wenn sie in Form und Grösse exakt übereinstimmen.

Zurück zu unserem Regal-Beispiel: Wenn dein nachgebautes Regal kongruent zum Original ist, dann könntest du es theoretisch so auf das Original legen, dass beide perfekt übereinanderpassen. Dabei darfst du das Regal drehen, verschieben oder sogar umdrehen (spiegeln) – aber nicht vergrössern oder verkleinern.

Bei Dreiecken bedeutet das konkret:

• Alle drei Seiten sind gleich lang.
• Alle drei Winkel sind gleich gross.

Definition

Zwei Dreiecke heissen kongruent (Symbol $\cong$), wenn sie durch Verschiebung, Drehung und/oder Spiegelung zur Deckung gebracht werden können. Sie stimmen dann in allen entsprechenden Seitenlängen und Winkeln überein.

Schreibweise:

$\triangle ABC \cong \triangle DEF$

Die Reihenfolge der Buchstaben gibt an, welche Ecken einander entsprechen: $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$ und $C \leftrightarrow F$.

Die Reihenfolge ist also mehr als eine Formalität. Schreibst du $\triangle ABC \cong \triangle DEF$, behauptest du gleichzeitig sechs Einzelaussagen: drei Seitenpaare und drei Winkelpaare stimmen überein. Schreibst du die Buchstaben in falscher Reihenfolge, behauptest du etwas Falsches – selbst wenn die Dreiecke eigentlich kongruent sind.

Die Kernmethode

Ein Dreieck hat insgesamt sechs Bestimmungsstücke: drei Seiten ($a$, $b$, $c$) und drei Winkel ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$). Musst du alle sechs kennen, um ein Dreieck eindeutig zu beschreiben?

Die Antwort ist: Nein! Du brauchst nur drei passende Bestimmungsstücke – aber nicht jede beliebige Kombination funktioniert.

Definition

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer der folgenden Kombinationen übereinstimmen:

• SSS (Seite-Seite-Seite): Alle drei Seiten sind gleich lang.
• SWS (Seite-Winkel-Seite): Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gleich.
• WSW (Winkel-Seite-Winkel): Zwei Winkel und die eingeschlossene Seite sind gleich.
• SSW (Seite-Seite-Winkel): Zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren Seite sind gleich.

Die Kernmethode für Kongruenzbeweise läuft immer nach dem gleichen Schema ab:

1. Sammle Informationen über beide Dreiecke: Welche Seiten und Winkel kennst du?
2. Prüfe, ob drei entsprechende Stücke übereinstimmen.
3. Identifiziere den Kongruenzsatz: Welche Kombination liegt vor (SSS, SWS, WSW, SSW)?
4. Prüfe die Bedingungen des gewählten Satzes (z. B. liegt der Winkel wirklich zwischen den Seiten?).
5. Formuliere die Schlussfolgerung: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach XYZ.

Dieses Schema funktioniert für einfache Vergleiche ebenso wie für anspruchsvolle geometrische Beweise. Die Schwierigkeit liegt meist darin, die passenden Informationen zu finden – gemeinsame Seiten, gleiche Winkel durch Stufen- oder Wechselwinkel, oder Eigenschaften besonderer Vierecke.

Beispiel:

Beispiel 1: Kongruenz nach SSS erkennen

Gegeben sind zwei Dreiecke mit folgenden Seitenlängen:

Dreieck $ABC$: $\overline{AB} = 4 \, \text{cm}$, $\overline{BC} = 6 \, \text{cm}$, $\overline{CA} = 5 \, \text{cm}$

Dreieck $DEF$: $\overline{DE} = 4 \, \text{cm}$, $\overline{EF} = 6 \, \text{cm}$, $\overline{FD} = 5 \, \text{cm}$

Sind die Dreiecke kongruent?

Lösung:

Wir vergleichen die entsprechenden Seiten:

• $\overline{AB} = \overline{DE} = 4 \, \text{cm}$ ✓
• $\overline{BC} = \overline{EF} = 6 \, \text{cm}$ ✓
• $\overline{CA} = \overline{FD} = 5 \, \text{cm}$ ✓

Alle drei Seiten stimmen paarweise überein. Nach dem SSS-Satz gilt:

$\triangle ABC \cong \triangle DEF$

Das bedeutet auch, dass automatisch alle entsprechenden Winkel gleich gross sein müssen, ohne dass wir sie einzeln messen müssen.

Beispiel:

Beispiel 2: Kongruenzsatz bestimmen und anwenden

In einem Dreieck $ABC$ gilt: $\overline{AB} = 7 \, \text{cm}$, $\angle A = 50°$ und $\overline{AC} = 9 \, \text{cm}$.

Ein Dreieck $PQR$ hat folgende Masse: $\overline{PQ} = 7 \, \text{cm}$, $\angle P = 50°$ und $\overline{PR} = 9 \, \text{cm}$.

Sind die Dreiecke kongruent? Wenn ja, nach welchem Satz?

Lösung:

Schritt 1: Gegebene Stücke im Dreieck $ABC$ analysieren:

• Seite $\overline{AB}$
• Winkel $\angle A$ (bei Ecke $A$)
• Seite $\overline{AC}$

Schritt 2: Lage des Winkels prüfen. Der Winkel $\angle A$ liegt bei Ecke $A$ und wird von den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ eingeschlossen. Es handelt sich also um den Fall Seite-Winkel-Seite (SWS).

Schritt 3: Entsprechende Stücke vergleichen:

• $\overline{AB} = \overline{PQ} = 7 \, \text{cm}$ ✓
• $\angle A = \angle P = 50°$ ✓
• $\overline{AC} = \overline{PR} = 9 \, \text{cm}$ ✓

Nach dem SWS-Satz sind die Dreiecke kongruent:

$\triangle ABC \cong \triangle PQR$

Die häufigsten Stolpersteine

Die Kongruenzsätze wirken auf den ersten Blick einfach. In der Praxis gibt es aber einige klassische Fallen, in die fast alle Lernenden tappen. Hier sind die vier häufigsten:

Achtung

Falle 1 – SWS mit dem falschen Winkel:

Der Winkel muss zwischen den beiden gegebenen Seiten liegen. Wenn der Winkel einer der Seiten gegenüberliegt, handelt es sich nicht um SWS, sondern um SSW – und das ist ein anderer Fall mit eigenen Bedingungen.

Warum wichtig: Zwei Seiten mit einem nicht-eingeschlossenen Winkel können zu zwei verschiedenen Dreiecken führen.

Achtung

Falle 2 – WSW mit der falschen Seite:

Die Seite muss die beiden Winkel verbinden, also zwischen ihnen liegen. Gibt die Aufgabe zwei Winkel und eine gegenüberliegende Seite an, ist es kein klassisches WSW.

Wichtige Bemerkung: Da die Winkelsumme im Dreieck $180°$ beträgt, ist bei zwei bekannten Winkeln auch der dritte festgelegt. Deshalb wird dieser Fall (SWW) häufig auch als Variante von WSW anerkannt.

Achtung

Falle 3 – SSW ohne Prüfung der Seitenlängen:

Beim SSW-Satz musst du immer überprüfen, ob der gegebene Winkel der längeren der beiden Seiten gegenüberliegt. Liegt er der kürzeren Seite gegenüber, können zwei verschiedene Dreiecke entstehen – der “zweideutige Fall”.

Beispielfalle: $a = 3$, $b = 4$, $\alpha = 30°$. Hier liegt $\alpha$ der kürzeren Seite $a$ gegenüber – SSW greift nicht.

Achtung

Falle 4 – WWW ist KEIN Kongruenzsatz:

Drei gleiche Winkel bedeuten nicht, dass zwei Dreiecke kongruent sind. Sie haben zwar die gleiche Form, können aber unterschiedlich gross sein. Solche Dreiecke nennt man ähnlich, nicht kongruent. Jede Vergrösserung eines Dreiecks am Kopierer zeigt das: Die Winkel bleiben gleich, die Seiten werden länger.

Beispiel:

Beispiel 3: SSW-Satz kritisch prüfen

Gegeben ist ein Dreieck $ABC$ mit: $\overline{AB} = 5 \, \text{cm}$, $\overline{BC} = 8 \, \text{cm}$ und $\angle A = 40°$.

Ein Dreieck $XYZ$ hat: $\overline{XY} = 5 \, \text{cm}$, $\overline{YZ} = 8 \, \text{cm}$ und $\angle X = 40°$.

Sind die Dreiecke kongruent?

Lösung:

Schritt 1: Fall erkennen. Wir haben zwei Seiten und einen Winkel – das ist potentiell ein SSW-Fall. Wir müssen die Bedingung prüfen.

Schritt 2: Lage des Winkels bestimmen. Der Winkel $\angle A$ liegt bei Ecke $A$. Welche Seite liegt $\angle A$ gegenüber? Es ist die Seite, die $A$ nicht enthält: $\overline{BC}$.

Schritt 3: Seitenlängen vergleichen:

• Seite gegenüber von $\angle A$: $\overline{BC} = 8 \, \text{cm}$
• Andere gegebene Seite: $\overline{AB} = 5 \, \text{cm}$

Die Seite $\overline{BC}$ (gegenüber dem gegebenen Winkel) ist mit $8 \, \text{cm}$ länger als $\overline{AB}$ mit $5 \, \text{cm}$. ✓

Schritt 4: Die SSW-Bedingung ist erfüllt! Nach dem SSW-Satz gilt:

$\triangle ABC \cong \triangle XYZ$

Beispiel:

Beispiel 4: Kongruenzbeweis in einer geometrischen Figur

In einem Parallelogramm $ABCD$ wird die Diagonale $\overline{AC}$ eingezeichnet. Beweise, dass die entstehenden Dreiecke $\triangle ABC$ und $\triangle CDA$ kongruent sind.

Lösung:

Wir sammeln systematisch alle Informationen über die beiden Dreiecke.

Eigenschaften des Parallelogramms:

• Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang: $\overline{AB} = \overline{CD}$
• Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang: $\overline{BC} = \overline{DA}$

Gemeinsame Elemente beider Dreiecke:

• Die Diagonale $\overline{AC}$ gehört zu beiden Dreiecken: $\overline{AC} = \overline{CA}$

Vergleich der Dreiecke $\triangle ABC$ und $\triangle CDA$:

• $\overline{AB} = \overline{CD}$ (gegenüberliegende Seiten)
• $\overline{BC} = \overline{DA}$ (gegenüberliegende Seiten)
• $\overline{AC} = \overline{CA}$ (gemeinsame Diagonale)

Wir haben drei Paare gleich langer Seiten. Nach dem SSS-Satz gilt:

$\triangle ABC \cong \triangle CDA$

Dieser Beweis zeigt übrigens auch, dass die Diagonale ein Parallelogramm in zwei flächengleiche Hälften teilt.

Vertiefung

Warum funktionieren genau diese vier Kombinationen – und keine anderen? Die Antwort liegt in einem fundamentalen Prinzip: Jeder Kongruenzsatz entspricht einer Konstruktionsvorschrift, mit der du das Dreieck eindeutig zeichnen kannst.

• SSS: Zeichne eine Seite, schlage von beiden Endpunkten Kreise mit den anderen Seitenlängen. Sie schneiden sich in zwei Punkten – beide führen zu kongruenten Dreiecken (eines ist das gespiegelte Bild des anderen).
• SWS: Zeichne eine Seite, trage am Endpunkt den Winkel ab und zeichne die zweite Seite. Verbinde die offenen Enden – eindeutig.
• WSW: Zeichne die Seite, trage an beiden Endpunkten die Winkel ab. Die Schenkel schneiden sich in genau einem Punkt.
• SSW: Zeichne eine Seite, trage den Winkel ab, schlage einen Kreis mit der dritten Länge. Hier kann es null, ein oder zwei Schnittpunkte geben – daher die Bedingung mit der längeren Seite.

Definition

Eine Kongruenzabbildung ist eine Abbildung der Ebene, die Längen und Winkel erhält. Es gibt drei Grundtypen:

• Translation (Verschiebung)
• Rotation (Drehung um einen Punkt)
• Spiegelung (an einer Geraden)

Zwei Figuren sind genau dann kongruent, wenn sich die eine durch eine Verkettung solcher Abbildungen auf die andere abbilden lässt.

Interessant ist auch der Zusammenhang mit der Ähnlichkeit: Jede Kongruenz ist zugleich eine Ähnlichkeit (mit Streckfaktor $k = 1$), aber nicht jede Ähnlichkeit ist eine Kongruenz. Diese Unterscheidung wird in der nächsten Klasse wichtig.

Beispiel:

Beispiel 5: Beweis der Gleichschenkligkeit

In einem Dreieck $ABC$ halbiert die Gerade vom Punkt $A$ den Winkel $\angle BAC$ und trifft die Seite $\overline{BC}$ im Punkt $D$. Zusätzlich ist gegeben, dass $\overline{BD} = \overline{DC}$.

Beweise, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist, also $\overline{AB} = \overline{AC}$ gilt.

Lösung:

Wir betrachten die beiden Teildreiecke $\triangle ABD$ und $\triangle ACD$.

Sammle Informationen:

• $\overline{AD} = \overline{AD}$ (gemeinsame Seite)
• $\angle BAD = \angle CAD$ (Winkelhalbierende)
• $\overline{BD} = \overline{DC}$ (gegeben)

Wir haben zwei Seiten und einen Winkel. Aber Achtung: Der Winkel $\angle BAD$ liegt bei Ecke $A$ – zwischen den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AD}$. Uns fehlt jedoch $\overline{AB}$.

Der Winkel liegt nicht zwischen $\overline{AD}$ und $\overline{BD}$. Die beiden gegebenen Seiten $\overline{AD}$ und $\overline{BD}$ schliessen den Winkel $\angle ADB$ ein – aber den kennen wir nicht direkt.

Wir nutzen deshalb einen anderen Weg: Die Winkelhalbierende und die Mittellinie fallen in gleichschenkligen Dreiecken zusammen. Mit SWS über $\triangle ABD$ und $\triangle ACD$ (mit $\angle ADB = \angle ADC = 90°$, da $D$ Mittelpunkt und Winkelhalbierender-Fusspunkt) folgt dann:

$\triangle ABD \cong \triangle ACD \quad \Rightarrow \quad \overline{AB} = \overline{AC}$

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben der Reihe nach. Die Schwierigkeit steigt von Aufgabe 1 bis 10 an.

1. Ein Dreieck $ABC$ hat die Seiten $a = 5\,\text{cm}$, $b = 7\,\text{cm}$, $c = 9\,\text{cm}$. Ein Dreieck $DEF$ hat $d = 5\,\text{cm}$, $e = 7\,\text{cm}$, $f = 9\,\text{cm}$. Welcher Kongruenzsatz liegt vor?

2. Gegeben: $\overline{AB} = 6\,\text{cm}$, $\angle B = 70°$, $\overline{BC} = 8\,\text{cm}$ und $\overline{PQ} = 6\,\text{cm}$, $\angle Q = 70°$, $\overline{QR} = 8\,\text{cm}$. Sind die Dreiecke kongruent? Begründe.

3. Dreieck 1: $\alpha = 40°$, $c = 6\,\text{cm}$, $\beta = 80°$. Dreieck 2: $\alpha = 40°$, $c = 6\,\text{cm}$, $\beta = 80°$. Welcher Kongruenzsatz greift?

4. Zwei Dreiecke haben je die Winkel $\alpha = 60°$, $\beta = 70°$, $\gamma = 50°$. Sind sie kongruent? Begründe.

5. Gegeben: $a = 4\,\text{cm}$, $b = 7\,\text{cm}$, $\alpha = 30°$ (Winkel gegenüber $a$). Kannst du den SSW-Satz anwenden?

6. Zeige: In einem gleichschenkligen Dreieck mit $\overline{AB} = \overline{AC}$ halbiert die Höhe von $A$ aus die Basis $\overline{BC}$.

7. In einem Quadrat $ABCD$ werden die beiden Diagonalen gezeichnet. Sie schneiden sich in $M$. Beweise mit einem Kongruenzsatz, dass $\overline{MA} = \overline{MB}$ gilt.

8. Zwei Dreiecke $\triangle ABC$ und $\triangle DEF$ stimmen in $\overline{AB} = \overline{DE} = 10\,\text{cm}$, $\overline{BC} = \overline{EF} = 6\,\text{cm}$ und $\angle A = \angle D = 35°$ überein. Sind sie kongruent? Prüfe sorgfältig.

9. Im Viereck $ABCD$ gilt: $\overline{AB} = \overline{CD}$ und $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$. Zeige mit einem Kongruenzsatz, dass $ABCD$ ein Parallelogramm ist.

10. Konstruiere ein Dreieck mit $a = 5\,\text{cm}$, $b = 6\,\text{cm}$ und $\gamma = 110°$. Welcher Kongruenzsatz garantiert, dass dein Dreieck eindeutig ist? Skizziere den Konstruktionsweg in Stichworten.

Das Wichtigste in Kürze

• Zwei Figuren sind kongruent ($\cong$), wenn sie in Form und Grösse exakt übereinstimmen – sie sind deckungsgleich.
• Ein Dreieck ist durch drei passende Bestimmungsstücke eindeutig festgelegt. Nicht jede Kombination funktioniert.
• Die vier Kongruenzsätze: SSS (drei Seiten), SWS (zwei Seiten und eingeschlossener Winkel), WSW (zwei Winkel und eingeschlossene Seite), SSW (zwei Seiten und Winkel gegenüber der längeren Seite).
• Bei SWS und WSW muss der Winkel bzw. die Seite wirklich zwischen den anderen beiden Stücken liegen.
• WWW reicht nicht für Kongruenz – die Dreiecke wären nur ähnlich, nicht deckungsgleich.
• Die Reihenfolge der Buchstaben in $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ gibt an, welche Ecken einander entsprechen.
• Kongruenzsätze sind die Grundlage vieler geometrischer Beweise: Gleichschenkligkeit, Parallelogramm-Eigenschaften, Mittelsenkrechten und mehr.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Welcher Kongruenzsatz liegt vor, wenn du von zwei Dreiecken weisst, dass sie in den Winkeln $\alpha$ und $\beta$ sowie in der Seite $c$ (gegenüber von $\gamma$) übereinstimmen?

Lösung anzeigen

Es handelt sich um WSW (Winkel-Seite-Winkel). Die Seite $c$ liegt gegenüber dem Winkel $\gamma$. Da $\gamma$ der dritte Winkel ist, verbindet $c$ die Ecken, an denen $\alpha$ und $\beta$ liegen. Somit liegt die Seite $c$ zwischen den Winkeln $\alpha$ und $\beta$ – das ist genau die Definition von WSW.

❓ Frage:

Zwei Dreiecke haben folgende Masse: Dreieck 1: $a = 3\,\text{cm}$, $b = 4\,\text{cm}$, $\alpha = 30°$. Dreieck 2: $a = 3\,\text{cm}$, $b = 4\,\text{cm}$, $\alpha = 30°$. Kann man mit Sicherheit sagen, dass die Dreiecke kongruent sind?

Lösung anzeigen

Nein, nicht mit Sicherheit. Es handelt sich um einen SSW-Fall: Zwei Seiten ($a$ und $b$) und ein Winkel ($\alpha$) sind gegeben. Der Winkel $\alpha$ liegt der Seite $a$ gegenüber. Für den SSW-Satz muss der Winkel der längeren Seite gegenüberliegen. Hier ist $a = 3\,\text{cm}$ und $b = 4\,\text{cm}$, also liegt $\alpha$ der kürzeren Seite gegenüber. In diesem Fall kann es zwei verschiedene Dreiecke mit diesen Massen geben – der SSW-Satz ist nicht anwendbar.

❓ Frage:

Warum sind zwei Dreiecke mit den gleichen drei Winkeln nicht automatisch kongruent?

Lösung anzeigen

Weil die Winkel nur die Form eines Dreiecks bestimmen, nicht aber seine Grösse. Zwei Dreiecke mit den gleichen Winkeln haben zwar dieselbe Form (man nennt sie ähnlich), aber sie können unterschiedlich gross sein. Stell dir vor, du vergrösserst ein Dreieck auf einem Kopierer auf 150 % – alle Winkel bleiben gleich, aber die Seitenlängen ändern sich. Für Kongruenz müssen die Dreiecke aber in Form und Grösse übereinstimmen. Deshalb ist WWW kein Kongruenzsatz.

❓ Frage:

Was bedeutet die Schreibweise $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ genau?

Lösung anzeigen

Die Schreibweise bedeutet, dass die beiden Dreiecke deckungsgleich sind und dass die Reihenfolge der Buchstaben die Zuordnung der Ecken angibt:

• $A$ entspricht $D$
• $B$ entspricht $E$
• $C$ entspricht $F$ Daraus folgen sechs Einzelaussagen:
• $\overline{AB} = \overline{DE}$, $\overline{BC} = \overline{EF}$, $\overline{CA} = \overline{FD}$
• $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$ Die Reihenfolge der Buchstaben ist also kein Detail, sondern ein wichtiger Teil der Aussage.

❓ Frage:

In einem Dreieck $ABC$ ist $\overline{AB} = \overline{AC}$. Die Höhe $h_a$ von $A$ aus trifft $\overline{BC}$ in $D$. Welcher Kongruenzsatz zeigt, dass $\triangle ABD \cong \triangle ACD$?

Lösung anzeigen

Es handelt sich um SSW (mit rechtem Winkel). Gegeben sind:

• $\overline{AB} = \overline{AC}$ (gleichschenkliges Dreieck)
• $\overline{AD} = \overline{AD}$ (gemeinsame Seite)
• $\angle ADB = \angle ADC = 90°$ (Höhe) Die Winkel liegen der längeren Seite ($\overline{AB}$ bzw. $\overline{AC}$) gegenüber. Da rechte Winkel stets der Hypotenuse gegenüberliegen und diese die längste Seite ist, ist die SSW-Bedingung automatisch erfüllt. Konsequenz: $\overline{BD} = \overline{DC}$ – die Höhe halbiert die Basis im gleichschenkligen Dreieck.

Ausblick

Mit den Kongruenzsätzen hast du ein mächtiges Werkzeug für geometrische Beweise in der Hand. Im nächsten Schritt wirst du die Ähnlichkeit von Dreiecken kennenlernen: Sie stimmen nur in der Form, nicht in der Grösse überein. Die Ähnlichkeitssätze bauen direkt auf deinem Wissen über Kongruenz auf. Ausserdem lernst du, wie man Kongruenzbeweise systematisch aufschreibt und in komplexeren Figuren wie Vierecken, Vielecken oder Kreisen anwendet.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1: Alle drei Seiten stimmen paarweise überein ($a = d$, $b = e$, $c = f$). Es liegt der SSS-Satz vor. Die Dreiecke sind kongruent.

Lösung zu Aufgabe 2: Der Winkel $\angle B$ wird von den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ eingeschlossen. Es handelt sich um den SWS-Satz. Alle drei Stücke stimmen überein, also sind die Dreiecke kongruent: $\triangle ABC \cong \triangle PQR$.

Lösung zu Aufgabe 3: Die Seite $c$ liegt zwischen den Winkeln $\alpha$ (bei $A$) und $\beta$ (bei $B$). Es greift der WSW-Satz. Die Dreiecke sind kongruent.

Lösung zu Aufgabe 4: Nein, die Dreiecke müssen nicht kongruent sein. Drei gleiche Winkel garantieren nur Ähnlichkeit, nicht Kongruenz. Die Dreiecke können unterschiedlich gross sein. WWW ist kein Kongruenzsatz.

Lösung zu Aufgabe 5: Nein. Der Winkel $\alpha = 30°$ liegt der Seite $a = 4\,\text{cm}$ gegenüber. Die andere Seite $b = 7\,\text{cm}$ ist länger als $a$. Der SSW-Satz verlangt aber, dass der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt. Diese Bedingung ist hier nicht erfüllt – der SSW-Satz ist nicht anwendbar.

Lösung zu Aufgabe 6: Sei $h$ die Höhe von $A$ auf $\overline{BC}$ mit Fusspunkt $D$. Vergleiche $\triangle ABD$ und $\triangle ACD$:

• $\overline{AB} = \overline{AC}$ (gleichschenklig)
• $\overline{AD} = \overline{AD}$ (gemeinsame Seite)
• $\angle ADB = \angle ADC = 90°$ (Höhe)

SSW-Fall mit rechtem Winkel (Winkel liegt der längsten Seite gegenüber): $\triangle ABD \cong \triangle ACD$. Daraus folgt $\overline{BD} = \overline{DC}$ – die Basis wird halbiert.

Lösung zu Aufgabe 7: Im Quadrat $ABCD$ sind alle Seiten gleich lang ($\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{CD} = \overline{DA}$), und die Diagonalen sind gleich lang. Betrachte $\triangle ABM$ und $\triangle BCM$:

• $\overline{AB} = \overline{BC}$ (Quadratseiten)
• $\overline{BM} = \overline{BM}$ (gemeinsame Seite)
• $\angle ABM = \angle CBM = 45°$ (Diagonale halbiert Quadratwinkel)

Nach SWS: $\triangle ABM \cong \triangle CBM$, also $\overline{MA} = \overline{MC}$. Analog $\overline{MA} = \overline{MB}$, da die Diagonalen sich gegenseitig halbieren.

Lösung zu Aufgabe 8: Vorsicht! Es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben: $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ und $\angle A$. Der Winkel $\angle A$ liegt nicht zwischen den gegebenen Seiten (der wäre $\angle B$), also ist es kein SWS-Fall, sondern ein SSW-Fall.

Prüfe die Bedingung: $\angle A$ liegt der Seite $\overline{BC} = 6\,\text{cm}$ gegenüber. Die andere Seite $\overline{AB} = 10\,\text{cm}$ ist länger. Der Winkel liegt also der kürzeren Seite gegenüber. Der SSW-Satz ist nicht anwendbar. Die Dreiecke sind nicht zwingend kongruent.

Lösung zu Aufgabe 9: Zeichne die Diagonale $\overline{AC}$. Vergleiche $\triangle ABC$ und $\triangle CDA$:

• $\overline{AB} = \overline{CD}$ (gegeben)
• $\overline{AC} = \overline{CA}$ (gemeinsam)
• $\angle BAC = \angle DCA$ (Wechselwinkel an den Parallelen $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$)

Nach SWS: $\triangle ABC \cong \triangle CDA$. Daraus folgt $\overline{BC} = \overline{DA}$ – also sind auch die anderen gegenüberliegenden Seiten gleich lang. Das Viereck ist ein Parallelogramm.

Lösung zu Aufgabe 10: Der Winkel $\gamma = 110°$ liegt zwischen den Seiten $a$ und $b$. Es handelt sich um einen SWS-Fall, der Eindeutigkeit garantiert.

Konstruktionsschritte:

1. Zeichne die Strecke $\overline{CA}$ mit $b = 6\,\text{cm}$.
2. Trage bei $C$ den Winkel $\gamma = 110°$ ab.
3. Zeichne auf dem zweiten Schenkel die Strecke $\overline{CB}$ mit $a = 5\,\text{cm}$.
4. Verbinde $A$ mit $B$ – fertig.

Nach SWS ist dieses Dreieck bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt.

Verwandte Themen

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• Kongruenz und Schnittfiguren einfach erklärt: So erkennst du deckungsgleiche Formen
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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport