Potenzgesetze einfach erklärt: So rechnest du sicher mit Potenzen

Darum geht's

Stell dir vor, du stapelst Legosteine. Ein Turm aus 2 Steinen, dann noch mal 2 drauf, und noch mal 2. Wie beschreibst du das am kürzesten? Genau so funktionieren Potenzen: Sie sind eine Kurzschreibweise für wiederholte Multiplikation. Und die Potenzgesetze? Das sind die Spielregeln, mit denen du diese Kurzschreibweise clever nutzt. Statt lange Rechnungen auszuführen, vereinfachst du sie in Sekundenschnelle. In diesem Artikel lernst du alle fünf Potenzgesetze kennen, verstehst warum sie funktionieren und übst sie an konkreten Aufgaben — von einfach bis anspruchsvoll.

Potenzgesetze: die Idee

Bevor du die Potenzgesetze anwendest, musst du sicher mit der Grundstruktur einer Potenz umgehen können.

Basis, Exponent, Potenzwert

Eine Potenz besteht aus drei Teilen:

$a^n$

Hier ist $a$ die Basis — die Zahl, die wiederholt multipliziert wird. Das $n$ ist der Exponent — er gibt an, wie oft. Das Ergebnis der Berechnung heisst Potenzwert.

Beispiel: Bei $2^4 = 16$ ist $2$ die Basis, $4$ der Exponent und $16$ der Potenzwert.

Was der Exponent aussagt

Der Exponent sagt dir, wie oft du die Basis als Faktor schreibst:

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

Potenz	Schreibweise ausführlich	Wert
$2^1$	$2$	$2$
$2^2$	$2 \cdot 2$	$4$
$2^3$	$2 \cdot 2 \cdot 2$	$8$
$2^4$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$	$16$
$2^5$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$	$32$

Spezialfälle, die du kennen musst

Zwei Sonderfälle tauchen immer wieder auf.

Der Nullexponent: Jede Zahl (ausser 0) hoch null ergibt 1.

$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$

Das ergibt sich aus dem Divisionsgesetz: $\dfrac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$, und gleichzeitig ist $\dfrac{a^n}{a^n} = 1$.

Der negative Exponent: Er bedeutet Kehrwert.

$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)$

Definition

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ Faktoren}}$

• $a$ = Basis (die Zahl, die multipliziert wird)
• $n$ = Exponent (Anzahl der Faktoren)
• $a^0 = 1$ für alle $a \neq 0$
• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ für alle $a \neq 0$

Potenzgesetze: der Rechenweg

Die fünf Potenzgesetze sind dein Werkzeugkasten. Jedes Gesetz beschreibt eine bestimmte Situation. Lerne zunächst, welches Gesetz zu welcher Situation passt — dann das Anwenden.

Wann welches Gesetz?

• Zwei Potenzen gleicher Basis werden multipliziert → Gesetz 1
• Zwei Potenzen gleicher Basis werden dividiert → Gesetz 2
• Eine Potenz wird erneut potenziert → Gesetz 3
• Ein Produkt wird potenziert → Gesetz 4
• Ein Quotient wird potenziert → Gesetz 5

Die Herleitung im Schnelldurchlauf

Gesetz 1 ist intuitiv: $a^3 \cdot a^4 = (a \cdot a \cdot a) \cdot (a \cdot a \cdot a \cdot a) = a^7$. Drei Faktoren plus vier Faktoren ergibt sieben Faktoren. Also addierst du die Exponenten.

Gesetz 3 folgt daraus: $(a^2)^3 = a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 = a^{2+2+2} = a^6$. Du addierst denselben Exponenten dreimal — das ist Multiplikation.

Gesetz 4 nutzt das Kommutativgesetz: $(a \cdot b)^3 = (a \cdot b)(a \cdot b)(a \cdot b) = a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b = a^3 \cdot b^3$.

Definition

1. Multiplikation (gleiche Basis): $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
2. Division (gleiche Basis): $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
3. Potenz einer Potenz: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
4. Produkt potenzieren: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
5. Quotient potenzieren: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

Gesetze 1 und 2 gelten nur bei gleicher Basis!

Beispiel:

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren und dividieren

Aufgabe: Vereinfache die folgenden Terme.

a) $5^4 \cdot 5^3$

b) $\dfrac{x^8}{x^3}$

c) $a^0 \cdot a^5$

Lösung:

a) Beide Potenzen haben die Basis $5$. Wende Gesetz 1 an — addiere die Exponenten:

$5^4 \cdot 5^3 = 5^{4+3} = 5^7$

Als Zahl: $5^7 = 78125$.

b) Beide Potenzen haben die Basis $x$. Wende Gesetz 2 an — subtrahiere die Exponenten:

$\frac{x^8}{x^3} = x^{8-3} = x^5$

c) Beachte: $a^0 = 1$. Wende Gesetz 1 an:

$a^0 \cdot a^5 = a^{0+5} = a^5$

Das macht Sinn: $1 \cdot a^5 = a^5$.

Beispiel:

Potenz einer Potenz und Produkt potenzieren

Aufgabe: Vereinfache die folgenden Terme.

a) $(3^2)^4$

b) $(2x)^3$

c) $\left(\dfrac{a}{4}\right)^2$

Lösung:

a) Hier wird eine Potenz erneut potenziert. Wende Gesetz 3 an — multipliziere die Exponenten:

$(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$

Als Zahl: $3^8 = 6561$.

b) Ein Produkt wird potenziert. Wende Gesetz 4 an — potenziere jeden Faktor einzeln:

$(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$

c) Ein Quotient wird potenziert. Wende Gesetz 5 an — potenziere Zähler und Nenner getrennt:

$\left(\frac{a}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{4^2} = \frac{a^2}{16}$

Merkhilfe: Gesetze 4 und 5 funktionieren gleich — die Potenz wird auf alle Teile “verteilt”. Aber nur auf Faktoren, nicht auf Summanden!

Typische Fehler bei Potenzgesetze

Achtung

Stolperstein 1: Potenzgesetze bei unterschiedlichen Basen anwenden

Falsch: $2^3 \cdot 3^2 = 6^5$ ❌

Richtig: $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ ✓

Das Multiplikationsgesetz $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ gilt nur, wenn beide Potenzen dieselbe Basis haben. Unterschiedliche Basen kannst du nicht so zusammenfassen. Du musst jeden Wert einzeln ausrechnen.

Achtung

Stolperstein 2: Exponenten multiplizieren statt addieren

Falsch: $a^3 \cdot a^4 = a^{12}$ ❌

Richtig: $a^3 \cdot a^4 = a^{3+4} = a^7$ ✓

Bei der Multiplikation von Potenzen gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Die Exponenten werden nur dann multipliziert, wenn du eine Potenz potenzierst: $(a^3)^4 = a^{12}$. Das ist Gesetz 3, nicht Gesetz 1.

Achtung

Stolperstein 3: Negative Exponenten als negative Zahlen missverstehen

Falsch: $2^{-3} = -8$ ❌

Richtig: $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$ ✓

Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ. Er bedeutet Kehrwert. Die Basis $2$ bleibt positiv. Nur wenn die Basis selbst negativ ist — zum Beispiel $(-2)^3 = -8$ — ergibt sich ein negativer Wert.

Achtung

Stolperstein 4: Summen falsch potenzieren

Falsch: $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ❌

Richtig: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ✓

Gesetz 4 gilt nur für Produkte: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Bei Summen funktioniert das nicht. Für $(a + b)^2$ brauchst du die erste binomische Formel. Das ist ein Fehler, den selbst Zehntklässler noch machen — also besonders aufpassen!

Potenzgesetze in Aufgaben

Beispiel:

Kombination mehrerer Gesetze

Aufgabe: Vereinfache den Term vollständig.

$\frac{x^5 \cdot x^3}{(x^2)^3}$

Lösung:

Arbeite Schritt für Schritt und nutze mehrere Gesetze nacheinander.

Schritt 1: Vereinfache den Zähler mit Gesetz 1 (Multiplikation, gleiche Basis).

$x^5 \cdot x^3 = x^{5+3} = x^8$

Schritt 2: Vereinfache den Nenner mit Gesetz 3 (Potenz einer Potenz).

$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$

Schritt 3: Dividiere mit Gesetz 2 (Division, gleiche Basis).

$\frac{x^8}{x^6} = x^{8-6} = x^2$

Ergebnis: $x^2$

Kontrolle: Du kannst mit einem Zahlenwert prüfen. Setze $x = 2$: Links ergibt $\dfrac{32 \cdot 8}{64} = \dfrac{256}{64} = 4$. Rechts: $2^2 = 4$. ✓

Beispiel:

Terme mit mehreren Variablen vereinfachen

Aufgabe: Vereinfache den Term.

$\frac{12a^5b^3}{4a^2b}$

Lösung:

Bei Termen mit mehreren Variablen arbeitest du jede Basis getrennt ab.

Schritt 1: Teile die Koeffizienten (Zahlen vor den Variablen).

$\frac{12}{4} = 3$

Schritt 2: Wende Gesetz 2 auf die Variable $a$ an.

$\frac{a^5}{a^2} = a^{5-2} = a^3$

Schritt 3: Wende Gesetz 2 auf die Variable $b$ an. Beachte: $b$ ohne Exponent bedeutet $b^1$.

$\frac{b^3}{b^1} = b^{3-1} = b^2$

Schritt 4: Setze die Teilergebnisse zusammen.

$\frac{12a^5b^3}{4a^2b} = 3a^3b^2$

Merkhilfe: Schreibe Koeffizient, dann jede Variable mit ihrem Exponenten getrennt. So verlierst du keinen Faktor.

Potenzgesetze genauer betrachtet

Du beherrschst die fünf Grundgesetze. Jetzt kommt ein Schritt weiter: rationale Exponenten und die Verbindung zu Wurzeln.

Was bedeutet $a^{\frac{1}{2}}$?

Setze Gesetz 3 ein. Es muss gelten:

$\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$

Du suchst also eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert $a$ ergibt. Das ist die Definition der Wurzel!

$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$

Allgemein gilt:

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

Und was ist $a^{\frac{m}{n}}$?

Nutze Gesetz 3 erneut:

$a^{\frac{m}{n}} = \left(a^m\right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

Oder gleichwertig:

$a^{\frac{m}{n}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$

Die Potenzgesetze gelten auch für Bruchexponenten

Das Schöne daran: Alle fünf Potenzgesetze funktionieren genauso für rationale Exponenten. Du musst nichts Neues lernen — nur das Verständnis erweitern.

Beispiel: $a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = a^1 = a$ — das stimmt, denn $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$.

Definition

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \qquad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$

Dabei gilt: $a \geq 0$ für gerades $n$.

Alle fünf Potenzgesetze gelten auch für rationale Exponenten $m, n \in \mathbb{Q}$.

Verbindung zum Logarithmus

Die Potenzgesetze tauchen auch beim Logarithmus wieder auf — aber “rückwärts”. Der Logarithmus beantwortet die Frage: “Welcher Exponent ist nötig, damit $a^x = b$?” Die Potenzgesetze werden dabei zu Logarithmengesetzen. Dazu mehr im nächsten Artikel.

Beispiel:

Rationale Exponenten anwenden

Aufgabe: Vereinfache und schreibe als Wurzel bzw. Potenz um.

a) $8^{\frac{1}{3}}$

b) $\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^6$

c) $a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{4}}$

Lösung:

a) Ein Exponent von $\dfrac{1}{3}$ bedeutet dritte Wurzel:

$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$

Probe: $2^3 = 8$ ✓

b) Wende Gesetz 3 an — multipliziere die Exponenten:

$\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^6 = x^{\frac{1}{2} \cdot 6} = x^3$

c) Gleiche Basis $a$, Multiplikation. Wende Gesetz 1 an — addiere die Exponenten:

$a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{4}{4}} = a^1 = a$

Merkhilfe: Bruchexponenten addierst und multiplizierst du genauso wie ganze Zahlen. Nur das Rechnen mit Brüchen braucht mehr Sorgfalt.

Übungen

Die folgenden zehn Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Versuche jede Aufgabe selbst zu lösen, bevor du in den Lösungen nachsiehst.

Niveau 1 — Grundlagen

1. Vereinfache: $3^4 \cdot 3^2$

2. Vereinfache: $\dfrac{a^7}{a^3}$

3. Vereinfache: $\left(2^3\right)^2$

Niveau 2 — Mehrere Gesetze

4. Vereinfache: $(4x)^2$

5. Vereinfache: $\left(\dfrac{y}{3}\right)^3$

6. Vereinfache: $\dfrac{a^3 \cdot a^4}{a^5}$

Niveau 3 — Spezialfälle und Variablen

7. Schreibe ohne negative Exponenten: $5a^{-2}b^3$

8. Vereinfache vollständig: $\dfrac{8x^6y^4}{2x^2y}$

Niveau 4 — Anspruchsvoll

9. Vereinfache: $\dfrac{(x^3)^2 \cdot x}{x^4}$

10. Vereinfache und schreibe als Wurzel: $\left(a^{\frac{2}{3}}\right)^3 \cdot a^{-1}$

Das Wichtigste in Kürze

Die fünf Potenzgesetze bilden den Werkzeugkasten für alle Potenzrechnungen:

• Multiplikation (gleiche Basis): Exponenten addieren — $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• Division (gleiche Basis): Exponenten subtrahieren — $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren — $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
• Produkt potenzieren: Auf jeden Faktor anwenden — $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
• Quotient potenzieren: Auf Zähler und Nenner anwenden — $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$
• Spezialfälle: $a^0 = 1$ und $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
• Gesetze 1 und 2 gelten nur bei gleicher Basis!
• Gesetz 4 gilt nur für Produkte, nicht für Summen!

Dein Wissen im Test

❓ Frage:Wie lautet das Ergebnis von $4^3 \cdot 4^5$?

Lösung anzeigen

Beide Potenzen haben die gleiche Basis $4$. Wende Gesetz 1 an — addiere die Exponenten: $4^3 \cdot 4^5 = 4^{3+5} = 4^8$ Als Zahl: $4^8 = 65536$.

❓ Frage:Vereinfache den Term $(2^3)^2 \cdot 2^4$.

Lösung anzeigen

Schritt 1: Wende Gesetz 3 an — multipliziere die Exponenten. $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$ Schritt 2: Wende Gesetz 1 an — addiere die Exponenten. $2^6 \cdot 2^4 = 2^{6+4} = 2^{10}$ Ergebnis: $2^{10} = 1024$

❓ Frage:Was ist der Fehler in dieser Rechnung? $3^2 \cdot 2^3 = 6^5$

Lösung anzeigen

Der Fehler: Die Basen $3$ und $2$ sind unterschiedlich. Das Potenzgesetz $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ gilt nur für gleiche Basen. Richtige Lösung: $3^2 \cdot 2^3 = 9 \cdot 8 = 72$ Eine Vereinfachung mit Potenzgesetzen ist hier nicht möglich. Du musst die Werte einzeln ausrechnen.

❓ Frage:Was ergibt $5^{-2}$? Schreibe als Bruch.

Lösung anzeigen

Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$ Wichtig: Das Ergebnis ist positiv! Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ.

❓ Frage:Vereinfache $(3x^2)^3$ vollständig.

Lösung anzeigen

Wende Gesetz 4 an — potenziere jeden Faktor einzeln. $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3$ Berechne $3^3 = 27$ und wende Gesetz 3 auf $(x^2)^3$ an: $(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$ Ergebnis: $(3x^2)^3 = 27x^6$

Ausblick

Du beherrschst jetzt die Potenzgesetze für ganzzahlige und rationale Exponenten. Der nächste Schritt ist das vertiefte Arbeiten mit Wurzeln — also Potenzen mit dem Exponenten $\dfrac{1}{n}$. Danach folgt der Logarithmus. Er ist die Umkehrung des Potenzierens: Wenn $2^x = 8$, dann ist $x = \log_2 8 = 3$. Logarithmen nutzen die Potenzgesetze gewissermassen “rückwärts” und sind ein mächtiges Werkzeug für Gleichungen mit unbekannten Exponenten — unverzichtbar in Physik, Informatik und Wirtschaft.

Lösungen

Hier findest du ausführliche Lösungswege für alle zehn Übungsaufgaben.

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Aufgabe 1: Vereinfache $3^4 \cdot 3^2$.

Beide Potenzen haben die gleiche Basis $3$. Wende Gesetz 1 an:

$3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6$

Als Zahl: $3^6 = 729$.

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Aufgabe 2: Vereinfache $\dfrac{a^7}{a^3}$.

Gleiche Basis $a$, Division. Wende Gesetz 2 an:

$\frac{a^7}{a^3} = a^{7-3} = a^4$

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Aufgabe 3: Vereinfache $(2^3)^2$.

Potenz einer Potenz. Wende Gesetz 3 an — multipliziere die Exponenten:

$(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$

Als Zahl: $2^6 = 64$.

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Aufgabe 4: Vereinfache $(4x)^2$.

Ein Produkt wird potenziert. Wende Gesetz 4 an:

$(4x)^2 = 4^2 \cdot x^2 = 16x^2$

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Aufgabe 5: Vereinfache $\left(\dfrac{y}{3}\right)^3$.

Ein Quotient wird potenziert. Wende Gesetz 5 an:

$\left(\frac{y}{3}\right)^3 = \frac{y^3}{3^3} = \frac{y^3}{27}$

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Aufgabe 6: Vereinfache $\dfrac{a^3 \cdot a^4}{a^5}$.

Schritt 1: Vereinfache den Zähler mit Gesetz 1.

$a^3 \cdot a^4 = a^{3+4} = a^7$

Schritt 2: Dividiere mit Gesetz 2.

$\frac{a^7}{a^5} = a^{7-5} = a^2$

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Aufgabe 7: Schreibe ohne negative Exponenten: $5a^{-2}b^3$.

Der negative Exponent betrifft nur $a$. Nutze $a^{-2} = \dfrac{1}{a^2}$:

$5a^{-2}b^3 = \frac{5b^3}{a^2}$

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Aufgabe 8: Vereinfache $\dfrac{8x^6y^4}{2x^2y}$.

Schritt 1: Koeffizienten dividieren: $\dfrac{8}{2} = 4$.

Schritt 2: Variable $x$ — Gesetz 2 anwenden. Beachte: $x^2 = x^2$.

$\frac{x^6}{x^2} = x^{6-2} = x^4$

Schritt 3: Variable $y$ — Gesetz 2 anwenden. Beachte: $y = y^1$.

$\frac{y^4}{y^1} = y^{4-1} = y^3$

Ergebnis:

$\frac{8x^6y^4}{2x^2y} = 4x^4y^3$

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Aufgabe 9: Vereinfache $\dfrac{(x^3)^2 \cdot x}{x^4}$.

Schritt 1: Wende Gesetz 3 auf den ersten Faktor im Zähler an.

$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$

Schritt 2: Beachte: $x = x^1$. Wende Gesetz 1 auf den Zähler an.

$x^6 \cdot x^1 = x^{6+1} = x^7$

Schritt 3: Wende Gesetz 2 auf den Bruch an.

$\frac{x^7}{x^4} = x^{7-4} = x^3$

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Aufgabe 10: Vereinfache $\left(a^{\frac{2}{3}}\right)^3 \cdot a^{-1}$ und schreibe als Wurzel.

Schritt 1: Wende Gesetz 3 an — multipliziere die Exponenten.

$\left(a^{\frac{2}{3}}\right)^3 = a^{\frac{2}{3} \cdot 3} = a^2$

Schritt 2: Multipliziere mit $a^{-1}$. Wende Gesetz 1 an.

$a^2 \cdot a^{-1} = a^{2+(-1)} = a^1 = a$

Ergebnis: $a$

Der Term vereinfacht sich vollständig zu $a$. Eine Darstellung als Wurzel ist hier nicht nötig, da das Ergebnis ein ganzzahliger Exponent ist. Zur Kontrolle: Setze $a = 4$. Links: $\left(4^{\frac{2}{3}}\right)^3 \cdot 4^{-1} = 4^2 \cdot \dfrac{1}{4} = 16 \cdot \dfrac{1}{4} = 4$. Rechts: $a = 4$. ✓

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport